小升初数学 专题课程——立体图形
小升初数学·立体几何完美编辑版)
小升初数学拓展与提高——立体几何内容提要板块一、基本立体图形认知 板块二、立体染色及最短线路问题 板块三、套模法、切片法及立体旋转问题基础知识点例1.右图是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管(不考虑吸管粗细)放在玻璃杯内。
当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米。
则这个玻璃杯的容积为________立方厘米。
(取π=3 .14) （提示：直角三角形中“勾6、股8、弦10）CB A例2.铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如下图所示。
问：该油罐车的容积是多少立方米？(π=3.14)例3.图中是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形。
问这个直三棱柱的体积是多少？绿黄例4.下图是半个圆柱的表面展开图，由两个半圆和两个长方形组成，总面积是a ，圆柱底面半径是r 。
用a ，r 和圆周率π所表示的这个半圆柱的高的式子是__________________________，体积的式子是__________________________________。
例5.如下图给出了一个立体图形的正视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米。
立体图形的体积()立方厘米。
A. 2πB. 2.5πC. 3πD. 3.5π例6.如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180厘米，内直径是50厘米。
这卷铜版纸的总长是多少米？(π=3.14)例7.输液100毫升，每分钟输2.5毫升。
如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？【阶段总结1】1. 柱体的体积：底面积×高；锥体的体积：13×底面积×高。
2. 根据展开图、三视图还原原立体图形的能力，立体图形、展开图对照分析能力。
3. 简易立体图形的画法。
例8.右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？例8．拓展：一个长方体体积462立方厘米，在它的表面涂上一层油漆，然后把它切成棱长1厘米的正方体若干，长宽高为整数，这时三面都有油漆的正方体有86个，有二面油漆的正方体______个．例9.将16个相同的小正方体拼成一个体积为16立方厘米的长方体，表面涂上漆，然后分开，则3个面涂漆的小正方体最多有_________个，最少有________个。
小升初数学重点专题精讲：立体图形
变式训练 2：
1、如 图 所 示 将 四 个 边 长 为 1 厘 米 的 正 方 体 拼 成 如 图 所 示 的 长 方 体 ， 则 表 面
积比原来少（ ）
个面．
3、把两个棱长都是 2 分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比两个正
方体的表面积的和减少了( )平方分米。
根据相应的公式，即可解答．
变式训练 3：
1、把 一 个 圆 柱 分 成 相 等 的 四 个 圆 柱 ， 表 面 积 增 加 18.84 平 方 分 米 ， 则 圆 柱 的一个底面的面积是（ ）平方分米．
A．3.14
B． 4.71
C．6.28 D．9.42
2、两个完全相同的圆柱能拼成一个长 12 厘米的圆柱，但表面积比原来减 少了 25.12 平方厘米，原来一个圆柱体的体积是（ ）立方厘米．
故答案为：32.97．
点评：此题主要考查圆柱的侧面积、表面积公式及其计算．
变式训练 6：
1、将 3 个高都是 2dm 的圆柱，底面半径分别是 2dm、1dm、0.5dm 的圆柱组成一个物 体，它的表面积是多少？体积是多少？
分析：先画出洞的结构组成部分示意图，再标出具体数据，最后分步计算，体积：
可以先求出原来正方体的体积，然后剪去前后、上下，左右三个长方体的体积，由 于中间这个小正方体多减去了两次，所以最后再加上两个多剪去的小正方体；表面 积：可以先求出原来正方体的表面积，再减去每个面减少的面积，最后加上挖洞之 后增加的面积。
故选：D．
点评：综合考查学生对圆锥，圆柱体积公式的灵活应用能力，以及分数应用题．
变式训练 5：
例 6：将高都是 1 米，底面半径分别为 1.5 米、1 米和 0.5
小升初数学课程：第六讲 立体图形的特征及计算(一)
第六讲立体图形的特征及计算（一）长方体与正方体一、知识梳理1、长方体和正方体的认识一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有6个面是正方形，但不会存在3个、4个、5个面是正方形二、例题精讲例1：（1）判断和填空：长方体的六个面一定是长方形； ( × )正方体的六个面面积一定相等； ( √ )一个长方体(非正方体) 最多有四个面面积相等； (√ )相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。
( √ )一个长方体中，可能有4个面是正方形。
（×）正方体是特殊的长方体。
（√）有两个面是正方形的长方体一定是正方体。
( × )一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。
（√）（2）一个长方体最多有（ 2 ）个面是正方形，最多有（ 8 ）条棱长度相等。
（3）一个长方体的底面是一个正方形，则它的4个侧面是（完全一样的长方）形。
（4）正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（相等），它的六个面都是相等的（正方）形。
（5）把长方体放在桌面上，最多可以看到（ 3 ）个面。
最少可以看到（ 1 ）个面。
2、长方体与正方体的棱长总和公式长方体棱长总和=（长+宽+高）×长+宽+高=棱长总和÷4长方体棱长总和=下面周长×2+高×4长方体棱长总和=右面周长×2+长×4长方体棱长总和=前面周长×2+宽×4正方体棱长总和=棱长×棱长=棱长和÷12例2：（1）看图，并填空单位：厘米这个长方体长( 6 )厘米，宽(3)厘米，高(4) 厘米。
由一个顶点引出的三条棱的长度和是(13 )厘米。
棱长总和是( 52 )厘米。
上下两个面是( 长方 )形。
（2）一个长方体的棱长总和是 80厘米，其中长是 10厘米，宽是 7厘米，高是（ 3 ）厘米。
（3）有一个长方体的鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高30厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处，需要（ 4.4 ）米的铝合金（4）把两个棱长 1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（ 16 ）厘米。
小升初 第三节立体图形(讲义)六年级下册数学人教版
第三节 立体图形小学梳理小学阶．段，我们主要学习的立体图形有长方体、正方体、圆柱、圆锥。
研究了各个立体图形的特征和表面积、体积的计算方法。
通过对物体的实际观察，使我们了解到从不同方向观察物体，所看到一、立体图形的特征 1、 长方体长方体有6个面，6个面一般都是长方形(也有可能相对的2个面是正方形)，长方体每一组相对的2个面形状相同、大小相等。
长方体有8个顶点、12条棱，每一组互相平行的4 条棱(相对的棱)的长度相等。
我们把相交于一个顶点的三条棱分别叫作这个长方体的长、宽、高。
2. 正方体正方体有6个面，6个面都是正方形，且面积相等。
正方体有8个顶点、l2条棱，12 条棱的长度相等。
有时我们也把正方体看成是长、宽、高都相等的长方体。
3、 圆柱圆柱由两个底面和一个曲面组成。
上、下两个底面是相等的两个圆，两个底面之间的距离叫作高，圆柱有无数条高。
把圆柱的侧面沿高展开后得到一个长方形(或正方形)，长方形的长相当于圆柱的底面周长，长方形的宽相当于圆柱的高。
4、 圆锥圆锥有一个顶点、一个曲面和一个圆形的底面。
从顶点到底面圆心的距离就是圆锥的高，圆锥只有一条高。
二、立体图形的表面积 1. 表面积的意义一个立体图形所有面的面积的和叫作这个立体图形的表面积。
2. 表面积的计算方法(1) 长方体的表面积：长方体6个面的面积的和就是这个长方体的表面积。
长方体的表面积计算公式：:S=(ab+ah+b)×2(2) 正方体的表面积：正方体6个面的面积的和就是这个正方体的表面积。
正方体的表面积计算公式： S =6a²(3)圆柱的表面积：两个底面的面积与一个侧面面积的和就是这个圆柱的表面积。
圆柱的表面积计算公式： S 底=S N +S 底×2(其中 S N =Cℎ)进一法：在实际生产中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，在保留得数的时候，即使被省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小，都要向前一位进1。
小升初数学专题十二含详解：立体图形
专题十二 立体图形考点解析立体图形应用题是小升初考试中的重点和难点，每年小升初考试，立体图形应用题都是必考点。
立体图形应用题主要考查常见立体图形（长方体、立方体、圆柱、圆锥）的表面积和体积，其中以求圆柱的体积的题型最为常见；另外，还考查等体积变形、三视图等衍生考点。
在复习时，熟练掌握常规立体图形表面积和体积的求法便能轻松应考。
学习难度：★★★★ 考点频率：★★★★★精讲精练1 立体图形的表面积和体积●正方体表面积公式：S 表 = 6a 2 体积公式：V = a 3 ●长方体表面积公式：S 表 = 2(ab +aℎ+bℎ) 体积公式：V = abℎ●圆柱表面积公式S 侧 = Cℎ=2πrℎS 表 = Cℎ=2πr 2体积公式：V = πr 2ℎ ●圆锥体积公式:V = 13 S 底h = 13πr 2ℎ例1（华罗庚金杯）已知一个长方体的长、宽、高的比为4:3:2，用平面切割，切割面为六边形（如图所示）。
已知所有这样的六边形的周长最小为36，求这个长方体的表面积。
例❷（昆明市五华区小学毕业卷）一个圆柱形的容器内，放着一个长方体铁块，现在打开一个水龙头往容器里注水，3分钟后，水恰好没过长方体铁块的顶面，又过了18分钟，水灌满容器。
已知容器的高度是50厘米，长方体的高度为20厘米，求长方体铁块底面积与容器底面积的比。
例③（重庆市南开中学招生卷）一个圆柱和一个圆锥（如图所示），它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米，问:圆锥体积与圆柱体积的比是多少?2 等积变形●特点等积变形问题是指形状改变，而体积（或面积）没有变。
例④（深圳市罗湖区小学毕业卷）一个长方体容器，底面是一个边长50厘米的正方形，容器中直立着一个高1米、底面是边长10（米的正方形的长方体铁块，这时容器中的水深40厘米。
如果把铁块轻轻上提24厘米，那么，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？3 三视图与展开图●正方体的展开图●长方体的展开图●圆柱的展开图圆锥的展开图●圆锥的展开图例⑤（创新杯）一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面两个数的和都等于13。
【小升初】立体图形的认识教案讲义及练习
24.立体图形的认识知识要点梳理一、立体图形的展开图正方体的展开图长方体的展开图圆柱的展开图圆锥的展开图二、观察物体在实际生活中，常常需要对一个物体从不同角度、不同方位进行观察，来获得其形状、大小、颜色等各方面的信息。
1．从不同的角度、不同的方位观察物体，看到物体的形状可能是不同的。
2．能正确辨认从正面、侧面、上面观察到的物体的形状。
三、立体图形的认识1.长方体与正方体特征的区别与联系名称 图形 相同点 不同点 面 棱 顶点 面的特点 棱长长方体 6个 12条8个 6个面一般都是长方 形（也可能有两个相 对的面是正方形），相 对的面的面积相等， 相对棱长相等 每组（有3 组，分别叫 长、宽、高） 互相平行的４条棱相等 正方体6个 12条8个 6个面都是相等的正 方形 12条棱都 相等 2、圆柱、圆锥的特征考点精讲分析典例精讲考点1立体图形的认识【例1】 一个长方体的棱长总和是40厘米，其中长5厘米，宽3厘米，高是多少厘米？【精析】 根据长方体棱长总和的计算公式，计算出长方体的高。
名称 图形 特征 圆柱 由3个面围成，上、下两底面是面积 相等的圆。
侧面是一个曲面，沿高展 开是长方形或正方形。
两个底面之 间的距离叫做高，有无数条高。
圆锥 由2个面围成，底面是一个圆形。
侧 面是一个曲面，展开后是扇形。
顶点 到底面圆心的距离叫做高，只有一条高【答案】40÷4－5－3＝2（厘米）答：高是2厘米。
【归纳总结】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。
【例2】把一个大正方体木块表面涂上红色的漆（如图），锯成完全一样的27块小正方体木块。
小正方体中一面红色、二面红色、三面红色各有多少块？【精析】我们可以想象一下，大正方形被切割成小正方体后，一面有红色的在大正方体每个面的最中间（如A处），两面有红色的在大正方体每条棱的中间（如B处），三面有红色的在大正方体的8个角上（如C处），没有红色的在中心内部。
小升初立体图形知识点
小升初立体图形篇1、立体图形的分类：长方体、正方体、圆柱、圆锥2、棱长公式：长方体棱长之和＝正方体棱长之和＝3、表面积公式：长方体表面积＝S=(a×b+a×c+b×c)×2正方体表面积＝S=a×a×6＝6a²圆柱表面积＝S=πr²×2+2πr 圆柱体的侧面积=S=2πRh圆柱底面积=侧面积=4、体积公式：长方体体积＝长×宽×高V＝a×b×h=Sh 正方体体积＝棱长×棱长×棱长V＝a×a×a＝a³圆柱体积＝底面积×高V＝Sh=πr²h 圆锥体积＝31×底面积×高V＝31×Sh 常见的题型：一、圆柱压路机：1.前进的路程：底面周长2.压路的面积：圆柱侧面积二、底面是正方形的长方体知识索引：画出底面是正方形的长方体的侧面展开图，写出这四个侧面的特点，写出这个长方形长、宽、高的特点。
底面是正方形的长方体，四个侧面：长方体的长=宽=正方形周长÷4三、、把一个圆柱的底面平均分成相等的若干小扇形，然后把圆柱切开，拼成一个近似的长方体（如图）特性：（1）长方体的长相当于圆柱的；（2）长方体的宽相当于圆柱的；（3）长方体的高相当于圆柱的；（4）长方体比圆柱增加了部分的表面积。
四、立体图形表面积的增加问题(1)圆柱切割后增加的面积：1刀2段：增加个面2刀3段：增加个面(2)长方体、正方体切割后增加的面积：1刀2段：增加个面2刀3段：增加个面(3)一个立体图形底面大小不变，高增加,则会跟着增加。
五、圆柱与圆锥之间的比较，可以用比的方法解决（1）底面圆：周长之比等于半径之比；面积之比等于半径的平方之比。
（2）体积之比：锥锥柱柱锥柱：：h s V V 31h s =（3）高之比：)3()S V (h 锥锥柱柱锥柱：：S V h ÷÷=（4）面积之比：)3()h V (S 锥锥柱柱锥柱：：h V S ÷÷=六、往水中放入物体，使水面上升专题解析：抓住浸没问题的关键：水面上升（下降）的体积=物体浸没部分的体积即：容器底面积×水面上升（下降）的高度=物体底面积×高情形一：往容器里放物体（淹没或半淹没），水面上升，浸末增加V V =情形二：从容器里取出物体（淹没或半淹没），水面下降，浸末减少V V =七、展开图问题例题讲解1、将一块长方形铁皮，利用图中阴影的部分，刚好制成一个油桶，求这个油桶的体积。
小学六年级【小升初】数学《立体图形的表面积专题课程》含答案
25. 立体图形的表面积知识要点梳理一、立体图形的切割1．立体图形每切割一次，增加两个面的面积。
2．立体图形每拼一次，减少两个面的面积。
二、表面积表面积：物体表面面积的总和叫做物体的表面积。
表面积通常用 S 表示，常用面积单位有平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。
1．长方体、正方体的表面积为 6 个面的面积和。
2．圆柱的表面积＝侧面积＋2 个底面面积。
3．圆锥的表面积＝侧面积＋底面积三、立体图形的表面积计算公式考点精讲分析典例精讲考点1 长方体与正方体的表面积【例 1 】一个长 40 厘米，截面是正方形的长方体，如果长增加 5 厘米，表面积就增加80 平方厘米，原来长方体的表面积是多少？【精析】根据题意可知，一个长方体如果长增加 5 厘米，增加的80 平方厘米是 4个同样的长方形的面积和。
【答案】 80÷4÷5=4（厘米）0×4×4＋4×4×2＝672（平方厘米）答：原来长方体的表面积是672 平方厘米。
【归纳总结】根据长方体增加的面积，计算出长方体的宽和高，然后根据长方体的表面积计算公式解答即可。
【例2】学校新建一个游泳池，长50 米，宽 20 米，深 2 米。
这个游泳池占地面积有多大？如果游泳池的四壁和底面都要贴上瓷砖，一共需要贴多少平方米的瓷砖？【精析】此题主要考查长方体底面积及表面积的计算方法在实际生活中的应用。
解答时要清楚长方体游泳池的占地面积是指长方体的底面积。
贴瓷砖的面积，就等于游泳池的表面积减去上面的面积。
【答案】占地面积：50× 20＝ 1000（平方米）贴瓷砖的面积：（ 50× 2＋ 20× 2）×2＋50× 20＝ 1280（平方米）答：这个游泳池占地面积有1000 平方米，共需要贴1280 平方米的瓷砖。
【归纳总结】这类题目解答时一般遵循下列步骤：①识别形体；②搞清问题（求表面积还是求体积、容积、求表面积涉及几个面）；③回忆公式；④正确列式；⑤计算解答。
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答案：底面半径：62.8÷2÷3.14÷2＝5(厘米) 圆柱体积：3.14×52×20＝1570(立方厘米)
举一反三
4. 将一根长5米的圆柱形木料锯成4段，表面积增加360
精析：把三个面相交的顶点作为基点， 相交于这个基点的3条棱分别是长方体的 长、宽、高，然后把每个面的面积转化为3个关系式： 8＝长×宽，12＝长×高，6＝宽×高。由于长、宽、高 都是整厘米数，可以推算，长是4厘米，宽是2厘米， 高是3厘米。验证：8＝4×2,12＝4×3,6＝2×3。
答案：这个长方体的长、宽、高分别是4厘米、 2厘米、3厘米。
答案：600
举一反三
1. 做一个长8厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体框架，至
少要用( )厘米的铁丝；如果用彩纸把这个框架包起
来，至少要(
)平方厘米的彩纸。
2. 从一个长方体上截下一个体积32立方厘米的小长方体后，
剩下部分是一个棱长为4厘米的正方体。原来的长方体
的长、宽、高分别是(
)厘米。(填出一种情况)
3、圆柱： ①圆柱的认识： ②计算公式：
3、圆柱： ①圆柱的认识： a. 圆柱的上下两个面叫做底面。 b. 圆柱有一个曲面叫做侧面。 c. 圆柱两个底面之间的距离叫做高。 ②计算公式：侧面积S侧＝Ch，表面积S表＝S侧＋S底×2， 体积V＝S底h。
4、圆锥： ①圆锥的认识： ②圆锥的高的定义及测量方法。 ③把圆锥的侧面展开得到的图形是一个扇形。 ④体积公式：
画图略 20－3×2＝14(厘米) 14×14×3＝588(立方厘米) 答：盒子的容积是588立方厘米。
题型二
【例2】一个高为20厘米的圆柱体，如果它的高增加2 厘米，那么它的表面积增加62.8平方厘米，求这个圆柱 的体积。
题型二
【例2】一个高为20厘米的圆柱体，如果它的高增加2 厘米，那么它的表面积增加62.8平方厘米，求这个圆柱 的体积。
1 3
S底h。
题型一
【例1】如图，从一张硬纸板上剪下两个长方形和两 个正方形后，用剩余部分做成一个有盖的长方体盒 子。若剪下的正方形边长为3厘米，则做成长方体盒 子的容积为( )立方厘米。
精析：观察图形可知，做成的这个长方体盒子的长 是20厘米，高是3厘米，由此根据26厘米是2个高的 长度与两个宽的长度之和，可以求出这个长方体盒 子的宽是：26÷2－3＝10(厘米)，所以可得做成的 长方体盒子的容积为20×3×10＝600(立方厘米)。
4、圆锥：
①圆锥的认识：圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。
②圆锥的高的定义及测量方法。
a. 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
b. 测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地
放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。
③把圆锥的侧面展开得到的图形是一个扇形。
④体积公式：V＝
立体图形
知识要点梳理
1、长方体： ①特征： ②计算公式：
知识要点梳理
1、长方体： ①特征：六个面都是长方形(有时有两个相对的面是正方 形)。 a. 相对的面面积相等，12条棱中相对的4条棱长度相等。 有8个顶点。 b. 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。 c. 两个面相交的边叫做棱。 d. 三条棱相交的点叫做顶点。
题型三
【例3】已知一个长方体的长、宽、高都是整厘米数，相 邻的三个面的面积分别是8平方厘米、6平方厘米和12平 方厘米。这个长方体的长、宽、高分别是多少？
题型三
【例3】已知一个长方体的长、宽、高都是整厘米数，相 邻的三个面的面积分别是8平方厘米、6平方厘米和12平 方厘米。这个长方体的长、宽、高分别是多少？
平方分米。这根木料的体积是(
)立方分米。
5. 把一个正方体木块削成一个最大的圆柱，圆柱的体
积是正方体体积的(
)%。
举一反三
4. 将一根长5米的圆柱形木料锯成4段，表面积增加360 平方分米。这根木料的体积是( 3000 )立方分米。
5. 把一个正方体木块削成一个最大的圆柱，圆柱的体 积是正方体体积的( 78.5 )%。
6. 如图是一个圆柱体，如果把它的高截短3厘米， 它的表面积减少94.2平方厘米。这个圆柱体积 减少多少立方厘米？
6. 如图是一个圆柱体，如果把它的高截短3厘米， 它的表面积减少94.2平方厘米。这个圆柱体积 减少多少立方厘米？
94.2÷3÷3.14÷2＝5(厘米) 3.14×52×3＝235.5(立方厘米) 答：这个圆柱体积减少235.5立方厘米。
举一反三
7. 一个长方体所有棱长的和是96厘米，它的长宽高的
比是5∶4∶3。它的表面积是(
举一反三
1. 做一个长8厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体框架，至 少要用( 76 )厘米的铁丝；如果用彩纸把这个框架包起 来，至少要( 236 )平方厘米的彩纸。
2. 从一个长方体上截下一个体积32立方厘米的小长方体后， 剩下部分是一个棱长为4厘米的正方体。原来的长方体 的长、宽、高分别是( 4 4 6 )厘米。(填出一种情况)
3. 用一张边长20厘米的正方形纸，裁剪粘贴成一个无盖 的长方体盒子(不考虑损耗及接缝)，要使它的容积大 于550立方厘米。请画出裁剪草图、标明主要数据(画 出一种情况)，并求出盒子的容积是多少立方厘米？
3. 用一张边长20厘米的正方形纸，裁剪粘贴成一个无盖 的长方体盒子(不考虑损耗及接缝)，要使它的容积大 于550立方厘米。请画出裁剪草图、标明主要数据(画 出一种情况)，并求出盒子的容积是多少立方厘米？
e. 把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。 f. 长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 ②计算公式：表面积S表＝2(ab＋ah＋bh)， 体积V＝S底h＝abh。
2、正方体： ①特征： ②计算公式：
2、正方体： ①特征：六个面都是正方形，六个面的面积相等； 有12条棱，每条棱长都相等；有8个顶点。 注意：正方体可以看作是特殊的长方体。 ②计算公式：表面积S表＝6a2，体积V＝a3。