课时29 等比数列的前n项和(1)
等比数列前N项和(一)
则有am an a p aq
与你作一笔交易：一个月30天算，我 每天给你5000元，而你只需第1天给我1 分钱，第2天给我2分钱，第3天给我4分 钱，第4天给我8分钱，由此类推，这样 的交易期为一个月，这笔交易你做吗？
这实际上是求以 1 为首项，2为公比的等比数 列的前30项的和。
S30 1 2 2 2 2 (1)
2 3 29
如果用公比2乘以上面等式的两边，得到：
2S30 2 2 2 2 2 (2)
2 3 29 30
为便于对上面两式进行比较，我们将它们列在一起：
S30 1 2 22 23 229 (1)
2 S30 = 2 + 22 + 2 3 +…..+ 2 29 + 230。。。。(2) (2) – (1) : S30 = 2 30 – 1 ≈1073.74万元
错位相减法
这笔交易不能做
等比数列前n项和公式的推导
Sn a1 a2 a3 an …… (1) Sn=a1+a2+ +an=? 1
Sn .an ,q , a1 , n 知三而可求二 .
并能应用.
.了解等比数列的推导过程(错位相减)
an a 2 a 3 a4 因为 a a a a q 1 2 3 n 1 a 2 a 3 a4 a n q 所以 a1 a2 a3 an1 S n a1 q S n an
因为棋盘共有64格,所以各格中的麦子数 组成了一个64项的等比数列 1, 2, 22 , 23 ,263
1 2 264 1 1.841019 1 2
《等比数列的前n项和第一课时：定义和公式》名师课件2
思考：
❖ (1)棋盘中每格的麦粒数将构成什么样的一个数列？
1,2,22 ,23,,263
❖ (2)国王需要给发明者多少粒小麦？
1 2 22 23 263 ?
问题探究
若{an} 为等比数列，那么等比数列前n项和： Sn a1 a2 a3 an1 an ?
公式辨析
1．口答：
在公比为 q 的等比数列{an}中
(1)若 a1
2,q 3
1 3
，则
S
n
_1__(_1_)_n__
3
（2）若 a1 1,q 1 ，则 Sn __n______
2．判断是非：
①1
2
4
8
(2)n1
1 (1 2n 1 2
)
②1 2 22 23 2n 1
注意：1.对公比q的分类讨论；
3.判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
国际象棋的传说
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象 棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以 满足你的任何要求．西萨说：“请给我棋盘的64 个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第 三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至 第64格．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意 了。
S8
1 [1 (1)8 ] 22
1 1
255 ; 256
2
能否运用q≠1时的 另一个公式进行
1 27 • q8 , q 0.解得：q 1
243
3
S8
27 [1 ( 1)8 ] 3
1 ( 1)
1640 . 81
3
等比数列的前n项和公式(第1课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
a1 (1 q n )
当1 q 0,即q 1时,S n
.
1 q
当q 1时,Sn na1 .
a1 (1 q n )
，q 1
∴S n 1 q
na ，
q1
1
等比数列的前n项和公式：
若等比数列{an }的首项为a1 ,公比为q,则{an }的前n项和公式为
1 q
.
na ，
q1
q1
室
1
na1，
an am q n m .
3.等比数列{an}的重要性质：
若m n s t，则am an a s at .
特别地，若m n 2 p，则aman a 2p .
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ；
a1 (1 q n )
，q 1宋老
Sn 1 q
师数
na ，
q 1学精
1
品工
宋老师
∵an a1q n 1，∴上述公式还可以写成
作室
宋老师数学精品工作室
数学精
品工作
a1 an q
，q 1
室
Sn 1 q
na ，
1
q1
按1000颗麦粒的质量
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ；
2
2
1
宋老
(2) 若a1 27,a9
,q 0,求S8 ；
师数
243
1
31学精
(3) 若a1 8,q ,S n 品工
《等比数列的前n项和》(第一课时)教学设计
《等比数列的前n项和》（第一课时）教学设计一、教学目标1. 知识与技能：掌握等比数列的概念和性质，能够求等比数列的第n项；掌握等比数列的前n项和的计算公式；能够解决一些实际问题，应用等比数列的前n项和的计算公式进行计算。
2. 过程与方法：通过讲解、演示、示例分析等方式引导学生理解等比数列的概念和性质；通过举例和引导，让学生自主发现并掌握等比数列前n项和的计算公式；通过实际问题的引入，培养学生应用数学知识解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高数学学习的积极性；通过培养思维能力，提高学生的解决实际问题的能力；建立合作学习的氛围，培养学生的团队协作精神。
2. 教学难点：如何引导学生发现等比数列的前n项和计算公式；如何应用等比数列的前n项和计算公式解决实际问题。
三、教学准备1. 教学工具：黑板、彩色粉笔、PPT；学生课前准备的练习册。
四、教学过程Step 1 引入新知识（15分钟）1. 通过一些日常生活中的场景介绍等比数列，并引导学生思考：（1）你们在购物时是否遇到过折扣问题？是否觉得价格之间存在某种规律？（2）在旅行中，大部分的车票、门票都是按照一定比例的折扣出售的。
你们有没有想过，如果给定了第一项和公比，如何求前n项的和呢？（3）在金字塔的设计中，每一层的砖块数量都是前一层数量的2倍，那么你们有没有想过，如何计算指定层数金字塔的砖块总数呢？2. 引出本节课的内容：等比数列的前n项和的计算方法。
Step 2 等比数列的概念和性质（10分钟）1. 引导学生回顾等差数列的概念，并通过问题引出等比数列的概念。
（1）请大家回顾一下我们之前学的等差数列，能否从中总结出什么规律？（2）为什么等差数列的通项公式能够找到等差数列中任意一项？（3）如果将等差数列进行分割，每一项分割成两部分，两部分的比例保持不变，这样的数列是否存在？2. 让学生通过运算验证等比数列的概念和性质。
等比数列的概念和性质：如果一个数列，从第二项起，每一项与前一项的比值等于同一个非零常数，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的前n项和 (1)
第四课时
例1(A)已知数列n a
范例讲解
的通项公式
an 3 2n 为
，这个数列是等比数列吗？
分析：用定义法证明
等比数列的例题
例2 已知 a n , bn 是项数相同的等比数列， 证明:设数列 an 首项为a1,公比为q1 n 首项为b1,公比为q 2 ;b 那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为：
课堂小结
a1 (1 q n ) (q 1) Sn 1 q 或S n na (q 1) 1
减)并能应用.
由
a1 an q (q 1) 1 q . na (q 1) 1
.理解等比数列的推导过程(错位相
Sn .an ,q , a1 , n 知三而可 求二 .
公式应用：
例1：求等比数列
1 1 1 , , , 的前8项的和。 2 4 8
1 1 1 1 解:由 a1 , q , n 8 ,得 2 4 2 2
1 1 8 [1 ( ) ] 2 2 255 Sn 1 256 1 2
公式应用：
例2 已知等比数列 an ,
课堂总结
1．等比数列的前 n 项和公式分两类，一类是当 公比 q＝1 时，其公式为 Sn＝na1；另一类是当 q≠1 a11－qn a1－anq 时，Sn＝ ＝ 1－q 1－q
复习:
等差数列 等比数列
定义
通项公式
an1 an d
an a1 (n 1)d
an am (n m)d
错解：Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝(a2＋a4＋…＋a2n)－(a＋a2＋…＋an) a21－a2n a1－an ＝ . 2 － 1－a 1－a
等比数列的前n项和(1)
等比数列的前n 项和（1）【学习目标】1. 探索并掌握等比数列的前n 项和公式；学会用公式解决一些简单问题。
2.掌握从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的水平。
【课前导学】1. 在等比数列{a n }中，a 1=81,q =2,则a 4与a 8的等比中项是 2．在等比数列{a n }中，已知a 5=－2,则这个数列的前9项的乘积等于3．2，x ,y ,z ,162是成等比数列的五个正整数，则z 的值等于【答案】（1）4 ；（2）－512；（3）54【课堂活动】一、建构数学1. 等比数列}{n a 的前n 项的和()111(1)1(1)n n a q q S q na q ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩【注意】（1）证法：错位相减法（2）当q=1时，等比数列的前n 项和公式为11S na =，应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况．（3）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆；（4）如果已知a 1, a n ,q,n,Sn 五个量中的任意三个就能够求出其余两个（5）当ｑ≠１时，()111n n a q S q-=-1111n a a q q q -=+-- 当0,0A q ≠≠时⇔=++=)0(B A Bq A S n n ｛n a ｝是等比数列。
二、应用数学1、,,,,1a d n a S n n 五个量，知三个量，就能够求余下的两个量 【例1】 在等比数列｛a n ｝中，（１）已知1a ＝－4，q ＝12，求10S ；（２）已知1a ＝１，k a ＝243，q ＝3，求k S ．【解】（1）根据等比数列的前ｎ项和公式，得（2）根据等比数列的前ｎ项和公式，得【解后反思】在等差数列的通项公式与前ｎ项和公式中，含有1a ，ｄ，ｎ，n a ，n S 五个量，只要已知其中的三个量，就能够求出余下的两个量．合理使用用种形式，优化过程【例2】（1）在等比数列｛a n ｝中，263,2763==S S ，求a n . （2）等比数列｛a n ｝中，a 3=7,前 3项之和S 3=21, 求公比q 的值【解】（1）若ｑ＝１，则Ｓ６＝２Ｓ３，这与已知263,2763==S S 是矛盾的，所以ｑ≠１．从而将上面两个等式的两边分别相除，得所以ｑ＝２，由此可得211=a ，所以（2）若ｑ＝１，a 3=71a =，S 3=21=13a ，满足题意；ｑ≠１．从而2313137(1)211a a q a q S q ⎧==⎪⎨-==⎪-⎩，将上面两个等式的两边分别相除，解得12q =-。
等比数列的前n项和(1)
an q(n 1) 1.等比数列的定义： an 1
2.等比数列的通项公式：
an a1q , (a1 0, q 0).
3.a,G,b成等比数列
n1
G ab, (ab 0)
2
传说在古代印度，国王要奖赏国际象棋 的发明者,发明者说：“请在棋盘的第1个格 子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦 粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格 子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放 的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍， 直到第64个格子。请给我足够的粮食来实现 上述要求”。国王觉得并不难，就欣然同意 了他的要求。你认为国王有能力满足发明者 的要求吗？
255 S8 256
1640 S8 81
练习1 求下列等比数列各项和
(1) 1, -1/2 ,1/4, -1/8, …-1/512
1 1 1 1023 512 2 Sn 1536 1 1 2
练习1 求下列等比数列各项和 (2)1, 3 ,9, , …,2187
1 2187 3 Sn 3280 1 3
练习2
在等比数列中
1023 (1)已知a1=-4,q=0.5,求S10 128
(2)已知a1=1,ak=243,q=3,求Sk =364
练习3 在等比数列{an}中已知 Sn=189,q=2,an=96,求a1,n
a1=3,n=6
等比数列的前n项和
设等比数列 a1 , a2 , a3 ,, an ,
它的前n项和是 即
Sn a1 a2 a3 an
2 n 2
Sn a1 a1q a1q a1q
a1q . ⑴
等比数列的前n项和公式(第一课时)课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
[分析] 在等比数列中，对于a1，an，n，q，Sn五个量，若已知其 中三个量就可求出其余两个量，常列方程(组)来解答问题．当涉及高次 方程或指数方程时，要注意表达式的特点，采取相应的方法处理．
题型二 等比数列前n项和公式的实际应用
典例 2 某企业年初有资金1 000万元，如果该企业经过生产经营 ，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣除消费资金x万元，余下 的资金投入再生产．为实现5年后，资金达到2 000万元(扣除消费资金后 )，那么每年年底扣除的消费资金应是多少万元？(精确到1万元)
依此类推，得： a5＝1 000(1＋12)5－x(1＋12)4－x(1＋12)3－x(1＋12)2－x(1＋21)－x. 则 1 000×(32)5－x[(32)4＋(32)3＋…＋1]＝2 000， ∴1 000×(32)5－x·11－－32325＝2 000． 解得 x≈424(万元)．∴每年年底扣除的消费资金为 424 万元．
由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指函数 型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，则数列S1，S2，S3， …，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．
知识点3 等比数列前n项和的性质 (1)若{an}是公比为 q 的等比数列，则 Sn＋m＝Sn＋qnSm. (2)在等比数列{an}中，当项数为 2n(n∈N*)时，SS偶奇＝q. (3){an}是公比不为－1 的等比数列，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等
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课时23 等比数列的前n 项和（1）
教学目标：
1．掌握G.P 前n 项和公式（含推导）。
2．利用求和公式，进行简单应用。
3．掌握化归基本量的方法。
知识梳理：
1.公式推导
2.G .P 求和公式______________n S ==_______________ 说明：①基本量1,,,,n n a a n q S ，“知三求二”。
②应用公式不要忽略q =1的情况。
例题讲解
例1．在G.P {}n a 中
（1）已知114,2a q =-=
，求10S ； （2）已知11,243,3k a a q ===，求k S 。
(3)已知36763,22S S =
=，求n a ,n S (4)已知13515,,22a S ==求公比q
（5）已知19165,,8324n n a a S =
==，求q ，n
例2．已知一个G .P {}n a ，1346510,4
a a a a +=+=
，求4a 和5S 。
例3．（1）求和
()16
132k k =+∑；
（2）已知数列{}n a ，12n
n a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，求数列{}n a 的前n 项和n S 。
例4．设G.P {}n a 的前n 项和n S ，若3692S S S +=，求公比q 的值。
例5．等比数列有首项是a ，公比为q ，S n 为前n 项的和，求S 1 + S 2 + … + S n 的值T n 。
例 6.已知数列{a n } 构成一个新数列：a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，… ，是首项为1
公比为 13
的等比数列．⑴求数列{a n } 的通项公式；⑵求数列{a n } 的前n 项和．
课后作业
1．根据下列条件，求等比数列{}n a 的前n 项和n S ：
（1）13,2,6a q n ===； （2）111,,53a q n =-=-=；
（3）1118,,22
n a q a ===； （3）250.12,0.00096,4a a n ===。
2．求下列等比数列的前n 项和
（1）32，94，258，6516… （2）1111,,,,248--
（3）1，-1，1，-1，…； （4）7，77，777，…
3.在等比数列{}n a 中，（1）已知171.5,96a a =-=-，求q 和n S ；
（2）已知5131,28
q S =
=-，求1a 和n a ；（3）已知132,26a S ==，求q 和n a 。
4．设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和n S ，已知3422,5a S S ==，求n a 。
5．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，396,,S S S 成等差数列，求证：285,,a a a 成等差数列。
6．已知数列{}n a 中，2n n a =，求数列{}lg n a 的前n 项和。
7．已知数列{}n a 中，2n n a =，①求2n a ；②求24620a a a a ++++ 的值。
8．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，对任意n N *∈，有113
n n a S +=， ①求n a ；②求2462n a a a a ++++ 的值。
问题
统计
与分
析
题源：。