2.2集合上的运算
概率论的基础
概率论的基础1 预备知识在开始介绍概率论之前，我们需要先了解一些预备知识。
1.1 集合运算概率论中经常会涉及到集合运算，因此我们需要先了解集合运算的基本概念。
集合是由一些确定的对象组成的整体。
我们用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
常见的集合运算有：- 并集：将两个集合的元素合起来，得到包含这两个集合所有元素的新集合。
记作A∪B。
- 交集：只将两个集合中都有的元素取出来，得到一个新的集合。
记作A∩B。
- 补集：集合A的补集是指集合U中所有不在A中的元素的集合。
记作A'或者A^c。
- 差集：从集合A中减去集合B中的元素，得到一个新的集合。
记作A-B。
1.2 条件概率在概率论中，条件概率是指在已知一种事件发生的前提下，另一种事件发生的概率。
记作P(B|A)，表示在事件A发生的情况下，事件B发生的概率。
条件概率的计算公式为：$$P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
1.3 独立性在概率论中，独立性是指两个事件的发生不会互相影响。
也就是说，当事件A发生与否对事件B发生的概率没有任何影响时，我们称事件A和事件B是独立的。
如果事件A和事件B是独立的，那么有以下公式成立：$$P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B)$$反之，如果有以上公式成立，那么我们可以认为事件A和事件B是独立的。
2 概率的定义概率是描述随机事件发生可能性的数值。
在概率论中，我们用P(E)表示事件E发生的概率。
2.1 古典概型如果所有的结果都是等可能的，那么我们可以使用古典概型来计算概率。
例如，掷硬币和掷骰子都是古典概型，因为每一个结果都是等可能的。
在古典概型中，如果一个事件E可以由n个元素构成，且所有的元素等可能，那么事件E发生的概率就是：$$P(E) = \frac{\text{符合事件E的结果个数}}{\text{总结果个数}} = \frac{n_E}{n}$$2.2 条件概率法则如果我们已知事件B发生，在B的基础上怎么计算事件A发生的概率呢？根据条件概率公式，我们有：$$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$这个公式被称为条件概率法则。
高考数学第一题集合
高考数学第一题集合题目：高考数学第一题集合正文：一、集合的基础概念集合是数学中的一种基本概念，它是由若干确定的元素组成的总体。
在高考数学中，我们常常会遇到关于集合的问题。
下面，就让我们一起来了解一些关于集合的基础知识。
1.1 集合的定义与表示法集合是由若干确定的元素组成的总体，我们通常用大写字母A、B等来表示集合。
而集合中的元素则用小写字母a、b等表示。
例如，我们可以表示一个集合A={1, 2, 3, 4}，其中元素1、2、3、4都属于集合A。
1.2 集合的性质集合有一些基本性质，包括空集、全集、子集、真子集等。
空集是不包含任何元素的集合，用符号∅表示；全集则是指某一给定范围内的元素构成的集合，用符号U表示；而子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合的元素，用符号⊆表示。
如果一个集合是另一个集合的子集，并且两个集合不相等，则称这个子集为真子集。
1.3 常见的集合运算在高考数学中，我们会遇到一些常见的集合运算，包括并、交、差、补等。
集合的并是指包含两个或更多个集合中的所有元素的新集合，用符号∪表示；集合的交则是指两个或更多个集合中共有的元素构成的新集合，用符号∩表示；而集合的差是指从一个集合中减去另一个集合的所有元素所构成的新集合，用符号−表示；集合的补是指给定集合中不属于另一个集合的元素所构成的新集合，用符号'表示。
二、高考数学集合题的解题方法在高考数学中，集合题是一种常见的考点。
下面，我们来了解一些常用的解题方法。
2.1 集合图示法集合图示法是一种直观的解题方法，它通过用图形的方式表示集合，帮助我们更清晰地理解和解题。
例如，我们可以通过用圆形来表示集合，用交叉部分表示集合的交，用圆周上未填充的部分表示集合的差等。
2.2 元素法元素法是一种逐个检查集合元素的解题方法。
通过逐个检查集合元素是否符合给定条件，我们可以确定一个集合的内容。
例如，当解决集合的并、交、差等问题时，我们可以逐个检查集合中的元素，再通过运算规则得出结果。
集合的补集与差集
集合的补集与差集集合是数学中一个重要的概念，它由一组不重复的元素组成。
在集合的运算中，我们常常遇到补集与差集的概念。
本文将详细介绍集合的补集与差集，并探讨其在实际问题中的应用。
一、集合的补集1.1 补集的定义给定一个集合A，其全集为U，那么相对于全集U而言，A的补集定义为全集U中不属于A的元素的集合，记作A'或complement of A。
1.2 补集的性质（1）对于任意集合A而言，其补集A'中的元素都不属于集合A。
（2）对于全集U而言，U的补集为一个空集，即U' = {}。
（3）对于一个空集∅而言，其补集为全集U，即∅' = U。
1.3 补集的示例假设全集U为整数集，集合A = {1, 2, 3}，那么A的补集A' = {x | x∈U, x∉A} = {x | x∈U, x≠1, x≠2, x≠3} = {..., -3, -2, -1, 0, 4, 5, 6, ...}。
二、集合的差集2.1 差集的定义给定两个集合A和B，那么集合A相对于集合B的差集定义为属于集合A但不属于集合B的元素的集合，记作A-B。
2.2 差集的性质（1）对于任意集合A和B而言，其差集A-B中的元素属于集合A 但不属于集合B。
（2）若集合A和B没有任何交集，即A∩B = ∅，那么差集A-B即为集合A本身。
2.3 差集的示例假设集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，那么A相对于B的差集A-B = {x | x∈A, x∉B} = {1}。
三、补集与差集的应用3.1 补集的应用（1）在概率论与统计学中，可以通过计算补集的概率来得到事件的概率，例如事件A的概率P(A) = 1 - P(A')。
（2）在布尔代数中，补集运算可以用来实现逻辑电路的设计与优化。
3.2 差集的应用（1）在集合论与逻辑学中，差集运算可以用来表示排除某些元素后的集合。
（2）在数据库中，差集运算可以用来实现两个数据表之间的差异比较与筛选。
人教版新课标高一数学必修一 第一章 集合与函数的概念 1..1 集合 集合的运算 教案及课后习题
微课程2：集合的运算子集真子集定义对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集若集合A⊆B，但存在元素x ∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集符号语言若任意x∈A，有x∈B，则A⊆B。
若集合A⊆B，但存在元素x ∈B ，且x∉A，则A B表示方法A为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A。
A不是B的子集时，记作A B或B A。
若集合A是集合B的真子集，记作A B或B A。
性质①A⊆A ②∅⊆A③A⊆B，B⊆C⇒A⊆CA B，且B C⇒A C子集个数含n个元素的集合A的子集个数为n2含n个元素的集合A的真子集个数为n2－1空集不含任何元素的集合，记为∅。
空集是任何集合的子集，用符号语言表示为∅⊆A；若A非空（即A≠∅），则有∅A。
集合的运算：1. 并集的概念（1）自然语言表示：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。
（2）符号语言表示：A∪B={x|x∈A，或x∈B}。
（3）图形语言（Venn图）表示：。
2. 交集的概念（1）自然语言表示：由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A与B的交集。
（2）符号语言表示：A∩B={x|x∈A，且x∈B}。
（3）图形语言表示（Venn图）：。
3. 补集的概念（1）自然语言表示：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素所组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。
（2）符号语言表示：A={x|x∈U，且x∉A}。
（3）图形语言表示（Venn图）：，阴影部分表示A。
【典例精析】例题1 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正。
（1）{∅}表示空集；（2）空集是任何集合的真子集；（3）{1，2，3}不是{3，2，1}；（4）{0，1}的所有子集是{0}，{1}，{0，1}；（5）如果A ⊇B 且A≠B ，那么B 必是A 的真子集； （6）A ⊇B 与B ⊆A 不能同时成立。
(人教课标版)普通高中课程标准实验教科书《数学》目录(B版)
（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算本章小结阅读与欣赏聪明在于学习，天才由于积累第二章函数2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（Ⅰ）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法本章小结阅读与欣赏函数概念的形成与发展第三章基本初等函数（Ⅰ）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）本章小结阅读与欣赏对数的发明必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积实习作业1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系本章小结阅读与欣赏散发着数学芳香的碑文第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式本章小结阅读与欣赏笛卡儿必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值、输入和输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例本章小结阅读与欣赏我国古代数学家秦九韶附录1解三元一次方程组的算法、框图和程序附录2Scilab部分函数指令表第二章统计2.1随机抽样2.1.2系统抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关本章小结阅读与欣赏蚂蚁和大象谁的力气更大附录随机数表第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用本章小结阅读与欣赏概率论的起源必修四第一章基本初等函数（Ⅱ）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角教学建模活动本章小结阅读与欣赏三角学的发展第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用本章小结阅读与欣赏向量概念的推广与应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦、余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积本章小结阅读与欣赏和角公式与旋转对称必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例本章小结阅读与欣赏亚历山大时期的三角测量第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和本章小结阅读与欣赏级数趣题无穷与悖论第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划本章小结选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的几何性质2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的几何性质2.3抛物线2.3.1抛物线级其标准方程2.3.2抛物线的几何性质本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章导数及其应用3.1导数3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表3.2.3导数的四则运算法则3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性3.3.2利用导数研究函数的极值3.3.3导数的实际应用本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想选修1-2第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析本章小结“回归”一词的由来附表相关性检验的临界值表第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法本章小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想数学证明的机械化——机器证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入3.2复数的运算3.2.1复数的加法和减法3.2.2复数的乘法和除法本章小结复平面与高斯第四章框图4.1流程图4.2结构图本章小结阅读与欣赏冯·诺伊曼选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）本章小结阅读与欣赏向量的叉积及其性质选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何意义1.2导数的运算1.2.1常数函数与冥函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例本意小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法本章小节阅读与欣赏复平面与高斯选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3二项式定理1.3.2杨辉三角本章小结第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布本章小结阅读与欣赏关于“玛丽莲问题”的争论第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析本章小结阅读与欣赏“回归”一词的由来附表选修3-1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3-2暂缺选修3-3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史选修3-4第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn二多项式的对称变换三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行摄影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4-2引言第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用选修4-5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2基本不等式1．3绝对值不等式的解法1．4绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1数学归纳法原理3．2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记选修4-6引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4-9引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例说明：A版适用于文件生使用，B版适用于理科生使用，B 版比A版略难。
24 关系代数
2.4 关系代数--------------------------------------------------------------------- 关系代数是一组施加于关系上的高级运算，每个运算都以一个或多个关系作为它的运算对象，并生成另一个关系作为该运算的结果。
由于它的运算直接施加于关系之上而且其运算结果也是关系，所以也可以说它是对关系的操作；从数据操作的观点来看，也可以说关系代数是一种查询语言。
---------------------------------------------------------------------关系代数是一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式，它是用对关系的运算来表达查询的。
任何一种运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果。
所以运算对象、运算符、运算结果是运算的三大要素。
关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。
关系代数用到的运算符包括四类:集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符，如表2·4所示。
关系代数的运算按运算符的不同可分为传统的集合运算和专门的关系运算两类。
其中传统的集合运算将关系看成元组的集合，其运算是从关系的"水平"方向即行的角度来进行。
而专门的关系运算不仅涉及行而且涉及列。
比较运算符和逻辑运算符是用来辅助专门的关系运算符进行操作的。
2.4.1 传统的集合运算传统的集合运算是二目运算，包括并、差、交、广义笛卡尔积四种运算。
设关系R和关系S具有相同的目n(即两个关系都有n个属性)，且相应的属性取自同一个域，则可以定义并、差、交运算如下:1.并 (Union)关系R与关系S的并记作:R ∪ S = {t|t∈R ∨ t∈S}其结果仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成。
(注:等式右边大括号中的t是一个元组变量,表示结果集合由元组t构成。
竖线“|”右边是对t约束条件,或者说是对t的解释。
2.2.集合—集合的概念—判断是否为同一集合2
2.2.集合的概念—“判断是否为同一集合”变式教学卷21.基本问题（本源性练习）单选1．下列选项中，表示同一集合的是A ．A={0，1}，B={（0，1）}B ．A={2，3}，B={3，2}C ．A={x|–1<x≤1，x ∈N}，B={1}D ．A=∅，{0}B x =2．下列说法正确的有(1)很小的实数可以构成集合; (2)集合2{|1}y y x =-与集合2{(,)|1}x y y x =-是同一个集合; (3) 3611,,,||,0.5242-这些数组成的集合有5个元素; (4)任何集合至少有两个子集. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3．方程组251x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集不可以表示为（ ） A ．25(,)1x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭ B ．2(,)1x x y y ⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭C ．{}2,1D ．2,14．下列命题中正确的是（ ） ① 0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示.A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．只有②和④5．下列说法中正确的是（ ）A ．联合国所有常任理事国(共5个）组成一个集合B ．宜丰二中年龄较小的学生组成一个集合C ．{}1,2,3与{}2,1,3是不同的集合D ．由1,0,5,1,2,5组成的集合有六个元素 2. 变式提升（进阶练习）6．下列各组集合中，M 与P 表示同一集合的是（ ）A ．{}M =∅，{0}P =B ．{1,2}M =，(){}1,2P =C ．{}2()|,M x y y x ==，{}2|P y y x ==D ．{}21|M y y x ==+，{}21|P x x y ==+7．下列说法正确的是（ ）A ．{1，2}，{2，1}是两个集合B ．{(0,2)}中有两个元素C ．6|x Q N x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集D ．{|x Q ∈且220}x x +-=是空集8．下列集合中表示同一集合的是（ ）A ．{(3,2)}M =，{(2,3)}N =B ．{2,3}M =，{3,2}N =C ．{(,)1}M x y x y =+=∣，{1}N y x y =+=∣ D ．{2,3}M =，{(2,3)}N = 9．下列集合中表示同一集合的是（ ）A ．(){}3,2M =，(){}2,3N =B ．{}3,2M =，{}2,3N =C ．(){},1M x y x y =+=，{}1N y x y =+=D ．{}1,2M =，(){}1,2N =10．给出下列说法：①任意一个集合的正确表示方法是唯一的；②集合P ＝{x |0≤x ≤1}是无限集；③集合{x |x ∈N ，x <5}＝{0,1,2,3,4}；④集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合．其中正确说法的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．②D ．①③④3. 变式拓展（深化练习）11．已知集合{}2A y y x ==，(){},B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．012．下列命题中正确的是（ ）①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程2(1)(2)0x x --=的所有解组成的集合可表示为{1,1,2}；④满足45x <<的所有实数组成的集合可以用列举法表示.A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．以上命题都不对详细解答及分析1．B【分析】利用集合相等的定义直接求解．【详解】在A中，A={0，1}是数集，B={（0，1）}是点集，二者不表示同一集合，故A错误；在B中，A={2，3}，B={3，2}，集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等，表示同一集合，故B正确；在C中，A={x|–1<x≤1，x∈N}={0，1}，B={1}，二者不相等，不表示同一集合，故C错误；在D中，A=∅，{0}B x=={0}，二者不相等，不表示同一集合，故D错误．故选B．【点睛】本题考查集合相等的判断，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．A【分析】利用集合元素的特征，集合中元素的含义，子集的定义，判断命题的子集即可．【详解】（1）很小的实数不满足集合中元素的确定性，显然（1）不正确．（2）集合{y|y＝x2﹣1}与集合{（x，y）|y＝x2﹣1}不是同一个集合，前者是函数的值域，后者是点的集合；所以不正确．（3）不正确；因为3624=，10.52-=，集合中的元素是互异的，所以说36110.5242-，，，，这些数组成的集合有5个元素不正确，（4）例如空集，只有一个子集．所以任何集合至少有两个子集是不正确的；故选：A．【点睛】本题考查命题的真假，集合概念的理解与应用，是基本知识的考查．3．C【分析】由方程组判断集合为点集，结合选项判断C错误.【详解】解方程组251x yx y+=⎧⎨-=⎩得：21xy=⎧⎨=⎩，方程组的解集是x，y的一对值，∴用集合表示为点集，∴选项A，B，D是正确的；选项C是数集，不正确，故选：C．【点睛】本题考查判断集合是否为同一集合，属于基础题.4．C【分析】根据集合的概念，集合元素的属性，集合的表示方法判断各选项．【详解】①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合；根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素不能一一列举，故选：C.【点睛】本题考查集合的概念，集合元素的性质，以及集合的表示法，属于基础题．5．A【分析】根据集合中的元素的性质逐一判断可得选项.【详解】年龄较小不确定，所以B选项错误；{1,2,3}与{2,1,3}是相同的集合，故C错误；由1,0,5,1,2,5组成的集合有4个元素，故D错误；故选：A.【点睛】本题考查集合中的元素的性质和判断两个集合是否是同一集合，属于基础题.6．D【分析】根据相同集合的判定方法，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，{}M =∅与{0}P =所含元素不同，故不是同一集合，A 错；B 选项，{1,2}M =与(){}1,2P =所含元素不同，故不是同一集合，B 错；C 选项，集合{}2()|,M x y y x ==表示点集，集合{}2|P y y x ==表示数集，故不是同一集合，C 错；D 选项，两集合均表示大于等于1的全体实数，是同一集合，故D 正确；故选：D【点睛】本题主要考查同一集合的判定，属于基础题型.7．C【分析】根据集合的定义判断．【详解】在A 中，由集合中元素的无序性，得到{1，2}，{2，1}是同一个集合，故A 错误；在B 中，{(0,2)}中有一个元素，故B 错误；在C 中，6|{1x Q N x ⎧⎫∈∈=⎨⎬⎩⎭，2，3，6}，是有限集，故C 正确； 在D 中，{|x Q ∈且220}{2x x +-==-，1}，不是空集，故D 错误.故选：C .【点睛】本题考查集合的概念，掌握集合的概念，集合元素的性质：确定性、互异性、无序性是解题关键．8．B【分析】利用集合的定义和元素的三个性质，对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一判断；【详解】A.M 、N 都是点集，()3,2与()2,3是不同的点，则M 、N 是不同的集合，故错误；B.2,3M ，{}3,2N =，根据集合的无序性，集合M ，N 表示同一集合，故正确；C.{}(,)1M x y x y =+=∣，M 集合的元素表示点的集合，{}1N y x y =+=∣，N 表示直线1x y +=的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故错误；D.2,3M 集合M 的元素是两个数字2，3，{}(2,3)N =，集合N 的元素是一个点()2,3，故错误；故选：B.【点睛】本题主要考查集合的定义及元素的性质，属于基础题.9．B【分析】两个集合相等的充要条件是两个集合的元素相同.【详解】解：对于A 选项，点()3,2和点()2,3不是同一个点，则M N ； 对于B 选项，集合M 和N 中的元素相同，则M N ；对于C 选项，集合M 为点集，集合N 为数集，则M N ；对于D 选项，集合M 为数集，集合N 为点集，则M N . 故选：B.【点睛】考查集合相等的判断，基础题10．B【分析】①一个集合的表示方法不唯一；②集合P={x |0≤x ≤1}有无穷多个元素，故是无限集；③集合{x |x ∈N ，x <5}={0,1,2,3,4}正确；④显然集合{(1，2)}≠{(2,1)}.【详解】①一个集合的表示方法不唯一，如{0,1,2}={x |-1<x <3,x ∈Z }，错误；②集合P ＝{x |0≤x ≤1}有无穷多个元素，故是无限集，正确；③集合{x |x ∈N ，x <5}＝{0,1,2,3,4}，正确；④集合{(1，2)}≠{(2,1)}，错误.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的概念，集合的表示方法，集合的分类，属于容易题.11．D【分析】利用集合A 是数集，集合B 是点集，两者无公共元素.【详解】 解：因为集合{}2A y y x ==为数集，(){},B x y y x ==为点集，所以A B 中元素的个数为0.故选：D.12．C【分析】由集合中元素的特性、集合的表示方法以及集合表示方法的使用原则一一判断即可得出答案.【详解】①中“0”不是集合，而“{0}”表示集合，故①不正确；根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合中元素的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是有无数个元素，不能一一列举出来.故选：C.。
大学高等数学基础教材目录
大学高等数学基础教材目录第一章：导论1.1 数学的发展历程1.2 数学思维与数学语言1.3 数学的应用领域第二章：集合论与逻辑2.1 集合的基本概念与运算2.2 集合的性质与关系2.3 逻辑与命题2.4 命题的合取与析取2.5 谓词逻辑与量词第三章：数列与极限3.1 数列的定义与性质3.2 数列的极限概念3.3 极限的性质与运算3.4 数列的收敛与发散3.5 无穷大量与无穷小量第四章：连续性与一元函数4.1 函数的定义与性质4.2 一元函数的极限与连续性 4.3 初等函数与其性质4.4 反函数与复合函数4.5 函数的图像与性质第五章：全微分与微分运算5.1 全微分与偏导数5.2 多元函数的全微分5.3 隐函数与参数方程5.4 微分中值定理5.5 泰勒展开与高阶导数第六章：一元函数的微分学应用 6.1 函数的增减与极值6.2 函数的凹凸性与拐点6.3 泰勒展开的应用6.4 一元函数的曲线图形第七章：不定积分与定积分 7.1 不定积分的定义与性质 7.2 基本积分公式与换元法 7.3 定积分的定义与性质7.4 反常积分与广义积分7.5 积分中值定理与应用第八章：重积分与曲线积分 8.1 二重积分的定义与性质 8.2 二重积分的计算方法8.3 三重积分的定义与性质 8.4 三重积分的计算方法8.5 曲线积分与曲面积分第九章：无穷级数与函数级数 9.1 数项级数的收敛与发散 9.2 正项级数收敛的判定9.3 幂级数与常数项级数9.4 函数项级数的收敛性9.5 泰勒级数与函数逼近第十章：常微分方程10.1 常微分方程的基本概念10.2 一阶常微分方程10.3 高阶常微分方程10.4 欧拉方程与特解10.5 线性微分方程与变换第十一章：多元函数的微分学11.1 多元函数的偏导数11.2 多元函数的全微分11.3 隐函数与参数方程11.4 多元函数的极值与条件极值 11.5 多元函数的曲面图形第十二章：向量代数与线性代数12.1 向量的基本运算与性质12.2 向量的线性相关与线性无关 12.3 向量的内积与投影12.4 矩阵的基本运算与性质12.5 线性方程组与矩阵的秩第十三章：多元函数的积分学13.1 双重积分的定义与性质13.2 双重积分的计算方法13.3 三重积分的定义与性质13.4 三重积分的计算方法13.5 曲线积分与曲面积分的应用第十四章：级数与幂级数14.1 数项级数的审敛与发散14.2 正项级数的审敛法14.3 幂级数的收敛半径14.4 幂级数的求和运算14.5 幂级数的应用与展开第十五章：偏微分方程15.1 偏微分方程的基本概念15.2 一阶偏微分方程15.3 二阶线性偏微分方程15.4 常系数线性偏微分方程15.5 热方程与波动方程以上是《大学高等数学基础教材》目录的简要介绍，旨在为读者提供对该教材内容的整体把握和知识框架。