[苏教版]必修4平面向量的坐标表示及运算

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课时小结: 课时小结:
1 向量坐标定义. 2 加、减法法则 减法法则.
a + b=( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2) a - b=( x1 , y1) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y2) 3 实数与向量积的运算法则 实数与向量积的运算法则： λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j =(λx , λy)
平面向量的坐标表示及运算
y
M ( x, y )
O
x
复习回顾
平面向量基本定理的内容是什么？ 平面向量基本定理的内容是什么？
平面向量基本定理: 平面向量基本定理 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线 的向量， 的向量，那么对于这一平面内的任一向 量 a ，有且只有一对实数 λ1 , λ2 使得 a= λ1 e1+ λ2 e2 向量的基底: 向量的基底 不共线的平面向量 e1 , e2 叫做这一平 面内所有向量的一组基底. 面内所有向量的一组基底
向量的坐标运算
a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ) 则：+ b = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) a a − b = ( x1 − x2 , y1 − y2 )
λ a = (λx1 , λy1 )
r r 练习，已知 = (2,1), b = (−3,4), a r rr r r r 求a + b, a − b,3a + 4b 的坐标。
说明： 说明：一个向量的坐标等于表示该向量的
的坐标． 终点的坐标减去起点的坐标．
则向量AB = x2 − x1，y2 − y1） （
3）， 例2、如图，已知A（− 1， B（ ， 3），C（4， 1− 1 ），D（3， 4）， Y → → 求向量 OA， ， OB → → AO， 的坐标。 CD A
y
P a x
o
向量的坐标表示
3
4
r yj
j
-2
2
P（x，y）
1
2
O i
-1 -2
r xi
4
6
uuu r r r OP = xi + y j = ( x, y )
uuu r 向量 OP
一一对应
P（x ，y） （ ）
-3
探索2: 探索
在平面直角坐标系内， 在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示 的向量如何用坐标来表示? 原点 的向量如何用坐标来表示
e2 e1
a
e2
a e1
e2
a e1
思考： 思考：
既然向量是既有大小又有方向的量， 既然向量是既有大小又有方向的量， 那如何刻画向量a的相对位置呢 的相对位置呢？ 那如何刻画向量 的相对位置呢？
y
o
x
探索1: 探索
以坐标原点O为起点， 为终点 以坐标原点 为起点，P为终点 为起点 的向量能否用坐标表示？ 的向量能否用坐标表示？如何 表示？ 表示？
称其为向量的坐标形式 称其为向量的坐标形式. 向量的坐标形式 (0,0)
2、单位向量 i =（1，0）， =（0，1） 0= 、 （ ， ）， （ ， ） ），j
平面向量可以用坐标表示， 平面向量可以用坐标表示，向量 探索3： 探索 ：
的运算可以用坐标来运算吗？ 的运算可以用坐标来运算吗？ 如何计算？ 如何计算？ （1）已知 =(x1 , y1), b= (x2 , y2) ， ）已知a 求a + b , a – b . （2）已知 =(x1 , y1)和实数 λ ， ）已知a 和实数 求λ a的坐标 . 的坐标
r r 解：+ b = (2,1) + (−3,4) = −15 a （ ， ） r r a − b = (2,1) − (−3,4) = 5 − 3 （， ） r r 3a + 4b = 3(2,1) + 4(−3,4) = − 619 （ ，）
b 例1、如图，用基底 i , j 分别表示向量 a 、 , 并 求出它们的坐标。
-3 -4
你能发现向量a的坐标 与它起点坐标和终点坐标 间有什么联系吗？
y y2 A x2-x1 B y2-y1
AB = OB − OA = ( x2 , y2 ) − ( x1 , y1 )
x
→
→
→
y1
0
x1
x2
= ( x2 − x1 , y2 − y1 )
一个重要结论：
已知点A(x1, y1), B(x2 , y2 ),
4 向量坐标 向量坐标.
则
若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
AB =(x2 - x1 , y2 – y1 )
r b
y 5 4 3 2
r1 j -4 -3 -2 -1 0 r 1 -1 i -2
A2
→ →
→ →
r a
A1
A

解：由图可知 r uuur uuuu r a = AA1 + AA2 r r = 2i + 3 j
r ∴ a = (2,3)
同理
2
3 4 x
r r r b = −2i + 3 j = (−2,3)
yA a a x o
归纳总结
在平面直角坐标系内， 在平面直角坐标系内，若分别取与X轴、Y轴正方向 作为基底， 相同的两个单位向量 i , j作为基底，任作一向量 ， 作为基底 任作一向量a， 由平面向量基本定理知， 由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y , 使得 a=x i+y j. 1、 a=x i+y j =( x , y)
y a o x
探索2: 探索
在平面直角坐标系内， 在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示 的向量如何用坐标来表示? 原点 的向量如何用坐标来表示
解决方案:
可通过向量的平移， 可通过向量的平移， 将向量的起点移到坐 标的原点O处 其终点 标的原点 处,其终点 的坐标（ ， ） 的坐标（x，y）称为 a的（直角）坐标， 的 直角）坐标， 记a=（x，y）。 （ ， ）。
D
四边形OCDA 四边形 是平行四边形？ 是平行四边形？
C O X
B
例3、已知向量 a = ( x + 3, x − 3 x − 4)与 MN 相等，
2
→
→
其中M（ − 1， 3），N（ ， 1 3），求x。
变式训练： 已知P x1 , y1）P2 ( x2 , y2 )，P是直线P P2上一点，且 （ , 1 1 P P = λ PP（λ ≠ −1 ），求点P的坐标。 1 2