2006经济数学基础
7315《经济数学基础》A卷试题
试卷代号：7315(A)浙江广播电视大学2005—2006学年度第一学期期末考试财经05级第一学期经济数学基础试题月一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设函数=-=)x 2(f 1x x)x 1(f ，则（ ）A. x211- B . x 12- C. x 2)1x (2-D.x)1x (2- 2．函数)1x )(2x (3x y -+-=的连续区间是（ ）A. ),1()2,(+∞---∞B. ),1()1,(+∞---∞C. ),1()1,2()2,(+∞-----∞D. [)+∞,33. 设f(x)的一个原函数是x 2，则⎰=dx )x (xf （ ） A. C 3x 3+B. x 5+CC. C x 323+D. C 15x 5+4．设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ ）．A.BA AB =B.B A AB ''=')(C. (A B)B A '''+=+D. AB AB =')(5. 线性方程组AX =0只有0解，则AX b b =≠()0（ ）. A . 有唯一解 B . 可能无解 C . 有无穷多解 D . 无解二、填空题（每小题3分，共15分）6．lim()1xx x x →∞=+7．函数xy e x -=-在区间(-1,1)内单调8．[()()] f x xf x dx '+=⎰9．设B A ,均为3阶矩阵，2=A ，3=B ，则='--13B A 10．若线性方程组⎩⎨⎧=+=-02121x x x x λ有非零解，则=λ得分 评卷人 三、极限与微分计算题（每小题9分，共18分）11．0limx →=12．设lntan ln(x y x e =++，求)(x y '13．2ln(1)x dx x +⎰14．求微分方程0x dyx y e dx+-=满足初始条件y(1)=e 的特解.15．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=012411210A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=653312B ，求解矩阵方程TB AX =16．求线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=--+=--+023232212432143214321x x x x x x x x x x x x 的一般解.六、应用题（12分）17．已知某厂生产x 件某产品的成本为C(x)=25000+200x+ 问.x 4012(1)要使平均成本最小，应生产多少件产品?(2)如产品以每件500元出售，要使利润最大，应生产多少件产品?七、证明题（4分）18．设n 阶矩阵A 满足A I 2=，AA I T=，证明A 是对称矩阵。
经济数学基础答案2006
经济数学基础一微分学（一）填空题1 .若函数f （x+2）= 2x +4x+5，则f （x ）=22(2)4(2)51x x x -+-+=+ 2．．若函数f （x ）=2x +2，g(x)=sinx ，则f(g(x))= 2sin 2x + 3．函数)1ln(3)(--=x xx f 的定义域是(1,2)(2,3]⋃4..___________________sin lim0=-→xxx x .答案：05..设 ⎝⎛=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则________=k .答案：16..曲线x y =在)1,1(的切线方程是 .答案：2121+=x y7..设函数52)1(2++=+x x x f ，则____________)(='x f .答案：x 2 8..设x x x f sin )(=，则__________)2π(=''f .答案：2π-9.函数f(x)= —lnx 在区间（0，∞）内单调 减少10．函数y = x 2 + 1的单调增加区间为[0,)+∞．11．设需求量q 对价格p 的函数为q(p)=1002p e-，则需求弹性为=P E 2p -12已知需求函数为p q 32320-=，其中p 为价格，则需求弹性E p =10p p - 13.已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) =20.2545q q -+（二）单项选择题1．下列各对函数中，（ B ）中的两个函数相同。
A ．11)(2--=x x x f ，11)(+=x x g B ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x gC ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(=D ．x x f =)(，2)()(x x g =2．下列函数为奇函数是（ C ）。
A ．xsinxB ．ln xC ．)1ln(2x x ++D ．x ＋2x .. 3.下列函数中为奇函数的是（C ）．. A ．x x y -=2 B ．x x y -+=e e C ．11ln +-=x x y D ．x x y sin = 4. .．极限xx x 11lim-+→= ( D )． A ．0 B ．1 . C ．∞ . D ．21 5.下列极限计算正确的是（ ）答案：BA.1lim 0=→x x xB.1lim 0=+→x x x C.11sin lim 0=→x x x D.1sin lim =∞→xxx 6..当0→x 时，下列变量是无穷小量的是（ ）. 答案：CA ．x 2B ．x xsin C ．)1ln(x + D ．x cos 77.．当x →1时，下列变量中的无穷小量是（ C ）。
最新中央电大开放专科经济数学基础试题.doc
最新中央电大开放专科经济数学基础试题卷号2006 中央电大开放专科经济数学基础试题07年07月（注本试卷为考试时间第2次用90分钟的试卷）
一、单项选择（35分）1．下列各函数对中，（）中的两个函数相等（提示两个函数相等定义域和对应规律都相同，故选D）A．B．C．D．2、已知，当（）时，为无穷小。
（提示变量为无穷小极限为0，故选A）A．B．C．D．3．（）。
（答案C）A．0 B．C．D．4．设A是可逆矩阵，且AABI，则（）。
（答案C）A．B B．1B C．IB D．5．设线性方程组AXb的增广矩阵为，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（）。
（答案B）A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（35分）6．若函数，则。
（答案）7．已知若在（-,）内连续，则a 。
提示a,故答案2 8．若存在且连续，则。
提示，故答案9．设矩阵A，I单位矩阵，则。
（答案）10．已知齐次线性方程组AXO中A为35矩阵，且该方程组有非0解，则rA≤ 。
（答案3）
三、微积分计算题（102分）11．设，求。
解12．。
解。
四、代数计算题（152分）13．设矩阵A，求。
解A-I （A-I I）14．求线性方程组的一般解。
解故方程组的一般解为
五、应用题（20分）15．已知某产品的边际成本为4q-3万元/百台，固定成本为18（万元），q为产量（百台），求（1）该产品的平均成本。
（2）最低平均成本。
解（1），因固定成本为18万元，故C18，从而平均成本为（2）令得唯一驻点q3，即当产量q3百台时平均成本最低，最低平均成本为。
经济数学基础第1章
记为 lim f ( x) A , 或者 x x0
f ( x) A( x x0 ) .
y
当x在x0的去心邻
域时,函数y f ( x) 图形完全落在以直
A
A
A
线y A为中心线,
宽为2的带形区域内. o
y f (x)
x0 x0 x0
x
显然,找到一个后,越小越好.
y
单侧极限:
y1 x
x0 x
2
lim(1 1 )x e
x
x
1
或lim(1) e. 0
1.6 函数的连续性
1.6.1 函数连续的概念 1.6.2 初等函数的连续性 1.6.3 闭区间上连续函数的性质
1.6.1 函数连续的概念
定义 设函数 f ( x) 在U( x0, ) 内有定义,如果
函数 f ( x) 当 x x0 时的极限存在,且等于它在
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
1.2.2 函数的极限
问题:函数 y f ( x) 在 x x0 的过程中, 对应函数
值 f (x) 无限趋近于确定值A .
x x0 时 f (x) 的极限 定义 若对任意给定的正数 > 0, 总存 在正数 >0,只要 f 的定义域中的点 x 满 足0<|x x0|< 时，恒有 |f(x)A|< 成 立，则称常数A 是函数 f(x) 当 x x0时 的极限,简称 A 是 f (x)在 x0 处的极限.
点 x0处的函数值
那末就称函数 f (
f( x)
x ) ,即 lim f
0
在点
x0
连x续x0 .
(
x
2006《经济数学基础12》复习资料
【填空题】若，则=[1/3&三分之一]。
【填空题】若，则=[1/2&二分之一]。
【填空题】若，则=[-1]。
【填空题】若，则=[-1/2&负二分之一]。
【填空题】设线性方程组，则方程组有解的充分必要条件为[a+b-c=0]。
【填空题】当[r(A)=r(A，b)=n&系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于未知数的个数]时，线性方程组AX=b （b≠0）有唯一解，其中n是未知量的个数。
【填空题】n元线性方程组有无穷多解的充分必要条件是[r(A)=r(A，b)]【填空题】若线性方程组的增广矩阵为,则当=[1/2&二分之一]时线性方程组有无穷多解。
【填空题】设齐次线性方程组，其中A为3×5矩阵，且该方程组有非零解，则r(A)≤[2]。
【填空题】n元线性方程组有非零解的充分必要条件是r(A)[小于未知数个数&小于n]。
【填空题】若线性方程组有非零解，则=[-1]。
【填空题】若r (A，b)＝4，r (A)＝3，则线性方程组AX＝b解的情况是[无解]。
【填空题】设n元齐次线性方程组AX＝O只有零解，则秩(A)＝[n&未知量个数]。
【填空题】线性方程组AX=b有解的充分必要条件是[秩(A，b)=秩(A)&系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩]。
【填空题】设A为n阶可逆矩阵，则r (A)＝[n]。
【填空题】设A＝，则秩(A)＝[3]。
【填空题】若矩阵A＝，则r (A)=[2]。
【填空题】设，则A的秩为[3]。
【填空题】设，则A的秩为[4]。
【填空题】矩阵的秩是[2]。
【填空题】矩阵，则r（A）=[3]。
【填空题】已知矩阵A＝，则r (A)＝[2]。
【填空题】矩阵的秩为[2]。
【填空题】设，则A的秩为[3]。
【填空题】设A为n×s矩阵，B为m×s矩阵，则下列运算中，①；②；③；④。
有意义的是第几个[②&2]。
【填空题】设A是m×n矩阵，B为s×t矩阵，若乘积矩阵有意义，则C为[④&4]矩阵。
(2006)经济数学基础
经济数学基础积分学一、单项选择题1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ）． A ．y = x 2 + 3 B ．y = x 2 + 4 C ．y = 2x + 2 D ．y = 4x 2. 若⎰+10d )2(x k x = 2，则k =（ A ）．A ．1B ．-1C ．0D ．213．下列等式不成立的是（ D）．A ．)d(e d e xxx = B ．)d(cos d sin x x x =-C ．x x xd d 21=D ．)1d(d ln xx x =4．若c x x f x +-=-⎰2ed )(，则)(x f '=（ D ）.A. 2e x -- B.2e21x -C.2e41x -D. 2e41x --5.=-⎰)d(exx （ B ）．A ．c x x +-eB ．c x xx++--ee C ．c x x+--eD ．c x xx+---ee6. 若c x x f x x +-=⎰11e d e )(，则f (x ) =（ C ）．A ．x1 B ．-x1 C ．21xD ．-21x7. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( B )．A ．)(d )(x F x x f x a =⎰B ．)()(d )(a F x F x x f xa-=⎰C ．)()(d )(a f b f x x F b a-=⎰D ．)()(d )(a F b F x x f ba-='⎰8．下列定积分中积分值为0的是（ A ）． A ．x xx d 2ee 11⎰--- B ．x xx d 2ee 11⎰--+C ．x x x d )cos (3⎰-+ππD ．x x x d )sin (2⎰-+ππ9．下列无穷积分中收敛的是（ C ）．A ．⎰∞+1d ln x x B ．⎰∞+0d e x xC ．⎰∞+12d 1x xD ．⎰∞+13d 1x x10．设R '(q )=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R 的改变量是（ B ）． A ．-550 B ．-350 C ．350 D ．以上都不对 11．下列微分方程中，（ D ）是线性微分方程． A ．y y yx'=+ln 2B ．xxyy y e 2=+'C ．yy x y e ='+'' D ．x y y x y xln e sin ='-''12．微分方程0)()(432=+'''+'xyy y y 的阶是（ C ）.A. 4B. 3C. 2D. 1 13．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 3）的曲线为（ C ）． A ．42+=xy B ．32+=x y C ．22+=x y D ．12+=x y14．下列函数中，（ C ）是2sin x x 的原函数．A ．-2cos 2x x B ．2cos 2x x C ．2cos 21x x - D ．2cos 21x x15．下列等式不成立的是（ D ）．A ．3ln )d(3d 3xxx =B ．)d(cos d sin x x x =-C ．x x xd d 21=D ．)1d(d ln xx x =16．若c x x f x +-=-⎰2ed )(，则)(x f '=（ D ）.A. 2ex -- B.2e 21x - C.2e41x -D. 2e41x --17. =-⎰)d(exx （ B ）．A ．c x x+-e B ．c x xx++--eeC ．c x x+--eD ．c x xx+---ee18. 若c x x f x x +-=⎰11e d e )(，则f (x ) =（ C ）．A ．x1 B ．-x1 C ．21xD ．-21x19. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( B )．A ．)(d )(x F x x f x a =⎰B ．)()(d )(a F x F x x f xa-=⎰C ．)()(d )(a f b f x x F b a-=⎰D ．)()(d )(a F b F x x f ba-='⎰20．下列定积分中积分值为0的是（ A ）． A ．x xx d 2ee 11⎰--- B ．x xx d 2ee 11⎰--+C ．x x x d )cos (3⎰-+ππD ．x x x d )sin (2⎰-+ππ21．下列无穷积分中收敛的是（ C ）．A ．⎰∞+0d sin x x B ．⎰∞+0d e x xC ．⎰∞+12d 1x xD ．⎰∞+13d 1x x22．下列微分方程中，（ D ）是线性微分方程． A ．y y yx'=+ln 2B ．xxyy y e 2=+'C ．yy x y e ='+'' D ．x y y x y xln e sin ='-''23．微分方程0)()(432=+'''+'xy y y y 的阶是（ C ）.A. 4B. 3C. 2D. 1 24.设函数xxx x f cos 1sin)(2+=，则该函数是（ A ）.A. 奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数 25. 若42)1(2++=+x xx f ，则=')(x f ( A )．A. 22+xB. x 2C. 32+x D. 226. 曲线)sin (21x x y +=在0=x 处的切线方程为( A ).A ．x y =B ．x y -=C ．1-=x yD ．1--=x y27. 若)(x f 的一个原函数是x1, 则)(x f '=（ D ）．A ．x lnB ．x1 C ．21x-D ．32x28. 若c x x x f x+=⎰22ed )(, 则=)(x f （ C ）.A. xx 2e 2 B. xx 22e2 C. )1(e22x x x+ D. xx 2e二、填空题 1．=⎰-x xd ed 2x xd e2-． 2．函数x x f 2sin )(=的原函数是-21cos2x + c (c 是任意常数) ．3．若c x x x f ++=⎰2)1(d )(，则=)(x f )1(2+x .4．若c x F x x f +=⎰)(d )(，则x f xx)d e(e--⎰=c F x+--)e( .5．=+⎰e12dx )1ln(d d x x0 .6．=+⎰-1122d )1(x x x 0 ．7．无穷积分⎰∞++02d )1(1x x 是收敛的．（判别其敛散性）8．设边际收入函数为R '(q ) = 2 + 3q ，且R (0) = 0，则平均收入函数为2 + q 23．9. 0e)(23='+''-y y x是 2 阶微分方程.10．微分方程2x y ='的通解是c xy +=33．11．=⎰-x xd ed 2x xd e 2-12．__________________d )cos (='⎰x x 。
(金融保险类)经济数学基础微分部分综合练习及解答
经济数学基础微分部分综合练习及解答（06春）中央电大顾静相从2005年秋季开始经济数学基础课程的教学计划、教学内容进行了调整。
具体情况上学期的各种教学活动中都给大家讲过，而且已经执行了一个学期，并得到了大家的肯定。
为了使大家更好地进行本课程学习和复习，本文首先还要简要地介绍本课程的调整情况，然后给出微分学部分的综合练习题，剩下的内容在后两次再给大家介绍。
在这里要提醒大家的是，上学期网上教学辅导栏目中的综合练习内容，本学期还是有很好的参考价值。
一、本课程教学内容、教学安排说明从2005年秋季开始经济数学基础课程的教学内容作如下调整：1．电大开放教育财经类专科教学计划中经济数学基础课程的教学内容调整为微积分学（含多元微分学）和线性代数两部分，其中微积分学的主要内容为：函数、极限、导数与微分、导数应用、多元函数微分学；不定积分、定积分、积分应用、微分方程。
线性代数的主要内容为：行列式、矩阵、线性方程组。
2．教材采用由李林曙、黎诣远主编的，高等教育出版社出版的“新世纪网络课程建设工程——经济数学基础网络课程”的配套文字教材：•经济数学基础网络课程学习指南•经济数学基础——微积分•经济数学基础——线性代数3．教学媒体（1）配合文字教材的教学，有26讲的电视录像课，相对系统地讲授了该课程的主要内容。
同时还有2合录音带，对学生的学习进行指导性的提示和总结性的复习。
（2）计算机辅助教学课件(CAI课件)有助于提高学生做作业的兴趣，帮助学生复习、掌握基本概念和基本方法。
（3）《经济数学基础网络课程》已经放在“电大在先学习网”上，在主页的处找到经济数学基础网络课程，并点击就可以进入学习。
网络课程的模块包括课程序言、课程说明、预备知识、本章引子、学习方法、教学要求、课堂教学、课间休息、跟我练习、课后作业、本章小结、典型例题、综合练习、阶段复习、专题讲座、课程总结、总复习等。
（4）速查卡主要是根据学生学习的流动性特点,考虑到本课程学时少、知识点多、相对抽象、不易记忆和理解等特点而设计。
2006年经济师《经济基础知识》考试大纲（初级）
第⼀部分 经济学 ⼀、社会主义经济制度 考试⽬的 通过本章的考试，使考⽣正确认识社会主义的本质，了解社会主义初级阶段理论的基本内容，了解社会主义初级阶段基本经济制度的内容。
考试内容 （⼀）社会主义的根本任务是解放和发展⽣产⼒ 掌握社会主义的根本任务及其原因。
（⼆）社会主义初级阶段及其基本经济制度 掌握社会主义初级阶段的特征及客观必然性，掌握公有制的基本形式；掌握坚持公有制主体地位的含义和原因，掌握公有制的多种实现形式；熟悉各种⾮有制经济的形式及其作⽤；掌握按劳分配为主体，多种分配形式并存的个⼈收⼊分配制度。
⼆、社会主义市场经济体制 考试⽬的 通过本章的考试，使考⽣了解实⾏社会主义市场经济体制的客观必然性，正确认识社会主义市场经济的内容，了解建⽴和完善社会主义市场体制的⽬标和任务。
考试内容 （⼀）社会主义商品经济与价值规律 了解商品经济的含义，掌握社会主义商品经济存在的客观必然性；掌握价值规律的基本内容及其在社会主义经济中的作⽤。
（⼆）社会主义市场经济及其特征 了解市场经济的含义及其与商品经济的区别与联系；掌握社会主义市场经济的定义和特征；熟悉市场机制的含义；熟悉市场需求、供给、市场价格的含义及其相互关系；熟悉市场经济中价格的基本功能。
（三）社会主义市场经济体制的建⽴和完善 熟悉经济制度、经济体制及其选择和确定的⽅式；掌握我国社会主义市场经济体制改⾰的⽬标和基本框架。
三、社会主义市场体系 考试⽬的 通过本章的考试，使考⽣了解市场体系的基础知识，了解和要素市场的含义和类型，了解建⽴市场规则和规范市场秩序的必要性。
考试内容 （⼀）社会主义市场体系及其特征 掌握市场、市场体系的含义和结构类型，熟悉市场体系的功能；掌握社会主义市场体系的特征和逐步完善社会主义市场体系的意义。
（⼆）社会主义市场经济条件下的商品市场和要素市场 掌握商品流通和商品流通体制的含义和作⽤；掌握商品市场、要素市场的含义和类型。
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2006经济数学基础习题一、单项选择题1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ）．A ．y = x 2 + 3B ．y = x 2+ 4 C ．y = 2x + 2 D ．y = 4x 2．下列等式不成立的是（ A ）． A ．)d(e d e xxx = B ．)d(cos d sin x x x =- C ．x x x d d 21= D ．)1d(d ln x x x =3．若c x x f x +-=-⎰2ed )(，则)(x f '=（ D ）.A. 2ex-- B. 2e 21x- C. 2e 41x- D. 2e 41x--4．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ C ）． A ．⎰+x x c 1)d os(2 B ．⎰-x x x d 12C ．⎰x x x d 2sin D ．⎰+x x xd 125. 若c x x f xx+-=⎰11e d e)(，则f (x ) =（ C ）． A ．x 1 B ．-x 1 C ．21x D ．-21x6. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( B )．A ．)(d )(x F x x f xa =⎰B ．)()(d )(a F x F x x f xa-=⎰C ．)()(d )(a f b f x x F ba-=⎰D ．)()(d )(a F b F x x f ba-='⎰7．下列定积分中积分值为0的是（ A ）．A ．x xx d 2e e 11⎰--- B ．x xx d 2e e 11⎰--+ C ．x x x d )cos (3⎰-+ππD ．x x x d )sin (2⎰-+ππ8．下列定积分计算正确的是（ D ）． A ．2d 211=⎰-x x B ．15d 161=⎰-xC ．0d sin 22=⎰-x x ππD ．0d sin =⎰-x x ππ9．下列无穷积分中收敛的是（ C ）．A ．⎰∞+1d ln x x B ．⎰∞+0d e x xC ．⎰∞+12d 1x x D ．⎰∞+13d 1x x10．无穷限积分⎰∞+13d 1x x =（ C ）． A ．0 B ．21- C ．21 D. ∞11．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行.A ．AB B ．AB TC ．A +BD ．BA T12．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B ） A. T T T )(B A AB = B. TT T )(A B AB = C. 1T 11T)()(---=B A AB D. T 111T )()(---=B A AB13．以下结论或等式正确的是（ C ）．A ．若B A ,均为零矩阵，则有B A = B ．若AC AB =，且O A ≠，则C B = C ．对角矩阵是对称矩阵D ．若O B O A ≠≠,，则O AB ≠ 14．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A-=1（ C ）.A. BB. 1+BC. I B +D. ()I AB --115．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T＝（ D ）．A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6231B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6321C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5322D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 1 6．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ，则r (A ) =（ C ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．117．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ A ）．A ．1B ．2C ．3D ．418．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（ A ）．A. 无解B. 只有0解C. 有唯一解D. 有无穷多解19．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01221λA ，则当λ＝（ B ）时线性方程组无解．A ．0B ．12C ．1D ．2 20. 设线性方程组b X A n m =⨯有无穷多解的充分必要条件是（ D ）．A ．m A r A r <=)()(B ．n A r <)(C ．n m <D ．n A r A r <=)()( 21．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（ B ）． A ．有唯一解 B ．无解 C ．有非零解 D ．有无穷多解22．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（ C ）． A ．无解 B ．有非零解 C ．只有零解 D ．解不能确定23．设xx f 1)(=，则=))((x f f （ C ）． A ．x 1 B ．21xC ．xD ．2x24．下列函数中为奇函数的是（ C ）．A ．x x y -=2B ．xxy -+=e eC ．11ln+-=x x y D ．x x y sin = 25．已知1tan )(-=xxx f ，当（ A ）时，)(x f 为无穷小量.A. x →0B. 1→xC. -∞→xD. +∞→x 26．当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ）A ．12+x xB ．)1ln(x +C ．21e x - D ．xxsin27．函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( C )．A ．-2B ．-1C ．1D ．2 28．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ）． A ．21-B ．21C ．3)1(21+x D ．3)1(21+-x29．曲线x y sin =在点(0, 0)处的切线方程为（ A ）． A. y = x B. y = 2x C. y = 21x D. y = -x 30．设y x =lg2，则d y =（ B ）．A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 31．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ B ）． A ．sin x B ．e xC ．x 2D ．3 - x32．设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（ B ）．A ．p p32- B ．--pp32 C ．32-ppD ．--32pp33．函数()1lg +=x xy 的定义域是（ D ）．A ．1->xB ．0≠xC ．0>xD ．1->x 且0≠x34．下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等．A ．2)()(x x f =，x x g =)( B ．11)(2--=x x x f ，x x g =)(+ 1C ．2ln x y =，x x g ln 2)(= D ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g35．函数()x xy +=1ln 的定义域是（ C ）．A ．0≠xB ．1->xC ．1->x 且0≠xD ．0>x 36．当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ A ）A ．xxsin B ． 12+x x C ．21e x - D ．)1ln(x +37．下列等式成立的是（ B ）． A ．)d(cos d sin x x x = B ．)d(22ln 1d 2x xx =C ．)1d(d ln xx x =D ．x x xd d 1=38．设A 是可逆矩阵，且A A B I+=，则A -=1（ D ）. A ．)(B I - B ．B C ．1+B D ．I B +39．设线性方程组b X A n m =⨯有无穷多解的充分必要条件是（ B ）．A ．m A r A r <=)()(B ．n A r A r <=)()(C ．n m <D ．n A r <)(40．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（ ）．CA ．无解B ．有非零解C ．只有零解D ．解不能确定41．下列函数中为偶函数的是（ C ）．A ．x x y -=2B ．11ln+-=x x yC ．2e e x x y -+= D ．x x y sin 2=42．设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（ D ）．A ．p p32- B ．32-ppC ．--32ppD ．--pp3243．下列无穷积分中收敛的是（ C ）．A ．⎰∞+0d e x xB ． ⎰∞+13d 1x xC ．⎰∞+12d 1x x D ．⎰∞+1d sin x x44．设A 为43⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，且TT B AC 有意义，则C 是 ( B )矩阵．A ．24⨯B ．42⨯C ．53⨯D ．35⨯45．线性方程组⎩⎨⎧=+=+32122121x x x x 的解得情况是（ A ）．A. 无解B. 只有O 解C. 有唯一解D. 有无穷多解 46．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． BA ．sin xB ．e xC ．x 2D ．3 - x 47．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ ）．A A ．21-B ．21C ．3)1(21+x D ．3)1(21+-x48．下列定积分计算正确的是（ ）． D A ．2d 211=⎰-x x B ．15d 161=⎰-xC ．0d sin 22=⎰-x x ππD ．0d sin =⎰-x x ππ49．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）． C A ．111)(---+=+B A B A B ．111)(---=B A ABC ．111)(---=A B AB D ．BA AB =50.下列函数中为奇函数的是（ ）．C(A) x x y -=2(B) xxy -+=e e(C) 11ln+-=x x y (D) x x y sin = 51.设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为=p E （ ）．D (A)p p32- (B)32-pp(C) --32pp(D)pp23--52.下列无穷积分中收敛的是（ ）． B (A)⎰∞+0d e x x (B) ⎰∞+12d 1x x(C)⎰∞+13d 1x x(D) ⎰∞+1d ln x x53.设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ ）可以进行．A (A) AB (B) A +B(C) AB T (D) BA T54.线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（ ）．D(A) 有唯一解 (B) 只有0解(C) 有无穷多解 (D) 无解 二、填空题1．⎰-x x d ed 2x x d e 2-2．函数x x f 2sin )(=的原函数是 -21cos2x + c (c 是任意常数) ． 3．若)(x f '存在且连续，则='⎰])(d [x f )(x f ' ． 4．若c x x x f ++=⎰2)1(d )(，则=)(x f )1(2+x .5．若c x F x x f +=⎰)(d )(，则x f x x )d e (e --⎰= c F x +--)e ( .6．=+⎰e 12dx )1ln(d d x x0 . 7．积分=+⎰-1122d )1(x x x0 ．8．无穷积分⎰∞++02d )1(1x x 是 收敛的 ．（判别其敛散性）9．设边际收入函数为R '(q ) = 2 + 3q ，且R (0) = 0，则平均收入函数为2 +q 23．10．设线性方程组b AX =，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→010********1t A ，则1-≠__________t 时，方程组有唯一解.11．若矩阵A = []21-，B = []132-，则A T12．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3421A ，I 为单位矩阵，则T)(A I -＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2240．13．设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是 B A ,是可交换矩阵 .14．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 0 时，A 是对称矩阵. 15．设B A ,均为n 阶矩阵，且)(B I -可逆，则矩阵X BX A =+的解X = A B I 1)(-- ．16．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )= n ． 17．若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则线性方程组AX = b无解．18．若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非零解，则=λ-1 ．19．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于 n – r20. 已知齐次线性方程组O AX =中A 为53⨯矩阵，且该方程组有非0解，则≤)(A r 3 ．21．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一般解为⎩⎨⎧=--=4243122x x x x x (其中43,x x 是自由未知量)22．函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是 (-5, 2 ) ．23．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f62-x．24．设21010)(xx x f -+=，则函数的图形关于 y 轴 对称．25．已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为 3.6 ．26．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) =45q – 0.25q 2． 27. =+∞→xxx x sin lim1 .28．已知xxx f sin 1)(-=，当 0→x 时，)(x f 为无穷小量．29. 已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞内连续，则=a 2 .30．曲线y =)1,1(处的切线斜率是(1)0.5y '=．31．函数y x =-312()的驻点是 x =1 . 32．需求量q 对价格p 的函数为2e100)(p p q -⨯=，则需求弹性为E p = 2p -33．已知74)2(2++=+x x x f ，则____________)(=x f 32+x ．34．曲线1+=x y 在点)2,1(处的切线斜率是21．35．=++⎰-112d )2sin (x x x x4．36．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12300201a A ，当a = 3 时，A 是对称矩阵. 37．设线性方程组⎩⎨⎧=+=-02121x x x x λ有非0解，则-138．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是[-5，2]39．函数)5ln(21)(++-=x x x f 的定义域是 ),2()2,5(∞+-40．函数1()1e xf x =-的间断点是 0x = . 41．若c x x x f x ++=⎰222d )(，则=)(x f x x 42ln 2+ .42．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=333222111A ，则=)(A r 1 ． 43．设齐次线性方程组O X A =⨯⨯1553，且r (A ) = 2，则方程组一般解中的自由未 知量个数为 3 ．44．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是 [-5, 2) ．45．求极限 =+∞→xxx x sin lim1 .46．若)(x f '存在且连续，则='⎰])(d [x f )(x f ' ．47．设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是BA AB = ．48．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且r (A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于n -r ．49.函数24)(2--=x x x f 的定义域是 ),2(]2,(∞+--∞ ．50.函数1()1exf x =-的间断点是 0=x . 51.若c x F x x f +=⎰)(d )(，则=⎰--x f x x d )e (e c F x +--)e ( ．52.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当=a 0 时，A 是对称矩阵． 53.若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非零解，则λ 1- ．三、计算题1．⎰+-x x x d 242解： ⎰+-x x x d 242=(2)d x x -⎰=2122x x c -+2．计算⎰x x x d 1sin2解：c x x x x x x +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin23．计算⎰xx x d 2解：c x xx xx x +==⎰⎰22ln 2)(d 22d 24．计算⎰x x x d sin解： c x x x x x x x x x x ++-=+-=⎰⎰sin cos d cos cos d sin 5．计算⎰+x x x d 1)ln (解： ⎰+x x x d 1)ln (=⎰+-+x xx x x d 1)(21ln 1)(2122=c x x x x x +--+4)ln 2(2122 6．计算x xxd e2121⎰x x xd e 2121⎰=21211211e e e )1(d e -=-=-⎰x xx7．2e 1x ⎰解：x xx d ln 112e 1⎰+=)ln d(1ln 112e 1x x++⎰=2e 1ln 12x +=)13(2-8．x x x d 2cos 2π0⎰解：x x x d 2cos 20⎰π=202sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=22cos 41πx =21-9．x x d )1ln(1e 0⎰-+解法一x x xx x x x d 1)1ln(d )1ln(1e 01e 01e 0⎰⎰---+-+=+ 解法二 令1+=x u ，则u uu u u u u x x d 1ln d ln d )1ln(e 1e1e 11e 0⎰⎰⎰-==+-=11e e e e1=+-=-u11．设xx y -+=2tan 3，求y d ．解：因为 )(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x x y x2ln 2cos 3322x x x --= 所以 x xx y x d )2ln 2cos 3(d 322--= 12．计算积分x x x d 2cos 20⎰π．解：x x x d 2cos 20⎰π=202sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=22cos 41πx =21-13．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---112401211，计算1)(-+A I ．解：因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+012411210A I 且 (I +A I ) =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120001010830210411100010001012411210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200210201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001所以 1)(-+A I =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----2112312411214．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=+-5532342243214321421x x x x x x x x x x x 的一般解．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---131101311021011551323412121011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000001311012101000001311021011 故方程组的一般解为：1342342131x x x x x x =++⎧⎨=+-⎩ (x 3，4x 是自由未知量〕15．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，求逆矩阵1-A ．．解：因为(A I ) =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120001010830210411100010001012411210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200210201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001所以 A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----2112312411216．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121511311，求逆矩阵1)(-+A I ．解：因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+021501310A I 且 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110520001310010501100021010501001310⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→112100001310010501⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1121003350105610001所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1A I17．设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1． 解：因为BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2435(BA I )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1024111110240135⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→54201111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→2521023101 所以 (BA )-1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--25223118．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =． 解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡10530121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13100121 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13102501即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-132553211所以，X =153213221-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡13253221= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1101 19．设线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+052231232132131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.解：因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211011101201051223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→300011101201 所以 r (A ) = 2，r (A ) = 3. 又因为r (A ) ≠ r (A )，所以方程组无解.20．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解．解：因为系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201 所以一般解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量）21．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-126142323252321321321x x x x x x x x x 的一般解．解：因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=1881809490312112614231213252A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→0000194101101所以一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=1941913231x x x x （其中3x 是自由未知量）22．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ 问λ取何值时方程组有非零解，并求一般解.解：因为系数矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---61011023183352231λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ所以当λ = 5时，方程组有非零解. 且一般解为⎩⎨⎧==3231x x x x （其中3x 是自由未知量） 23．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++1542131321321x x x x x x x x λ 有解？并求一般解.解：因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=26102610111115014121111λλA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→λ00026101501 所以当λ=0时，线性方程组有无穷多解， 且一般解为：⎩⎨⎧+-=-=26153231x x x x (x 3是自由未知量〕24．已知y xxxcos 2-=，求)(x y ' ．解： 2cos sin cos ()(2)2ln 2xx x x x xy x x x --''=-=-2sin cos 2ln 2xx x x x +=+25．已知()2sin ln xf x x x =+，求)(x f ' ．解： xx x x f xx 1cos 2sin 2ln 2)(++⋅=' 26．已知2sin 2cos x y x-=，求)(x y ' ．解：)(cos )2(2sin )(22'-'-='x x x y x x 2cos 22ln 2sin 2x x x x --=4．已知x x y 53e ln -+=，求)(x y ' ．解：)5(e )(ln ln 3)(52'-+'='-x x x x y xx xx525e ln 3--=27．已知xy cos 25=，求)2π(y '；解：因为 5ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5(cos 2cos 2cos 2x x xx x y -='='='所以 5ln 25ln 52πsin 2)2π(2πcos2-=⋅-='y28．设x x y x+=2cos e，求y d 解：因为 212cos 23)2sin (e2x x y x+-='所以 x x x y xd ]23)2sin (e 2[d 212cos +-=29．设x y x5sin cos e+=，求y d ．解：因为 )(cos cos 5)(sin e 4sin '+'='x x x y xx x x x sin cos 5cos e 4sin -=所以 x x x x y xd )sin cos 5cose (d 4sin -=30．设xx y -+=2tan 3，求y d ．解：因为 )(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x xy x2ln 2cos 3322x x x --=所以 x xx y xd )2ln 2cos 3(d 322--= 31．设xx y sin e ln +=，求y d ．解 )(cos e 1sin x xy x+=' x x xy y y x d )cos e 1(d d sin +='= 32．计算定积分x x x d 2cos 20⎰π解： x x x d 2cos 20⎰π=202sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=22cos 41πx =21-．33．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =． 解：因为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10530121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13100121 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13102501 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-132553211所以，X =153213221-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡13253221= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-110134．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++-=--+λ432143214321479637232x x x x x x x x x x x x 有解？在有解的情况下求方程组的一般解.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---2710222012511103121114796371231211λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+----→3000012511109490130000125111031211λλ由此可知当3-≠λ时，方程组无解；当3-=λ时，方程组有解方程组的一般解为：⎩⎨⎧-+=+--=12511949432431x x x x x x ， 其中3x ，4x 是自由未知量．35．设x y xcos ln e -=，求y d ． 解：因为 x x xy x xtan e )sin (cos 1e +=--=' 所以 x x y xd )tane (d += 36．计算定积分⎰e1d ln x x x ．解：⎰⎰-=e12e12e1)d(ln 21ln 2d ln x x x x x x x414e d 212e 2e 12+=-=⎰x x ． 37．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=143102010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001I ，求1)(-+A I ． 解：因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+243112011A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+103210012110001011100243010112001011)(I A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→115100012110001011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→115100127010001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→115100127010126001所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+-115127126)(1A I ．38．求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+--=-++03520230243214314321x x x x x x x x x x x 的一般解．解：因为系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111011101211351223011211A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011102301所以一般解为⎩⎨⎧-=+-=43243123x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量） 四、应用题39设x y x5cos 3+=，求y d ．解：由微分四则运算法则和微分基本公式得)(cos d )3(d )cos 3(d d 55x x y xx+=+= )(cos d cos 5d 3ln 34x x x x+= x x x x xd cos sin 5d 3ln 34-= x x x xd )cos sin 53ln 3(4--= 40. 计算定积分⎰e1d ln x x x ．解：由分部积分法得⎰⎰-=e 12e12e1)d(ln 21ln 2d ln x x x x x x x414e d 212e 2e 12+=-=⎰x x 41. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211010,211001B A ，求1T )(-A B ．设矩阵解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3121211001211100TA B所以由公式可得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⨯-⨯-=-11231123)1(23)1(1)(1T A B 12. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解．42.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211010,211001B A ，求1T )(-A B ．解：因为系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201 所以一般解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量）五、应用题（本题20分）1．设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2++=（万元）, 求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本； （2）当产量x 为多少时，平均成本最小？ 解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：x x x C 625.0100)(2++=625.0100)(++=x xx C ，65.0)(+='x x C 所以，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C 5.1861025.010100)10(=+⨯+=C ， 116105.0)10(=+⨯='C（2）令 025.0100)(2=+-='x x C ，得20=x （20-=x 舍去） 因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，平均成本最小. 2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q p =-100010（q 为需求量，p 为价格）．试求：（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？ 解：（1）成本函数C q ()= 60q +2000． 因为 q p =-100010，即p q =-100110，所以 收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =1001102q q -． （2）因为利润函数L q ()=R q ()-C q () =1001102q q --(60q +2000)= 40q -1102q -2000 且 'L q ()=(40q -1102q -2000')=40- 0.2q 令'L q ()= 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．3．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？ （2）最大利润是多少？ 解： （1）由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-= 则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q . 因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，（2）最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元）4．某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？解：因为 ()9800()0.536C q C q q q q==++ (0)q > 298009800()(0.536)0.5C q q q q ''=++=- 令()0C q '=，即0598002.-q =0，得q 1=140，q 2= -140（舍去）. q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为9800(140)0.514036176140C =⨯++= （元/件） 5．已知某厂生产q 件产品的成本为C q q q ()=++25020102（万元）．问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？解： 因为 C q ()=C q q ()=2502010q q++ 'C q ()=()2502010q q ++'=-+2501102q 令'C q ()=0，即-+=25011002q ，得150q =，q 2=-50（舍去）， q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q 1=50是C q ()的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．6．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(x C '=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低. 解：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为⎰+=∆64d )402(x x C =642)40(x x += 100（万元）又 xc x x C x C x⎰+'=d )()(=x x x 36402++ =xx 3640++令 0361)(2=-='xx C ， 解得6=x .x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.7．已知某产品的边际成本C '(x )=2（元/件），固定成本为0，边际收益R '(x )=12-0.02x ，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 解：因为边际利润)()()(x C x R x L '-'='=12-0.02x –2 = 10-0.02x令)(x L '= 0，得x = 500x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.当产量由500件增加至550件时，利润改变量为5505002550500)01.010(d )02.010(x x x x L -=-=∆⎰ =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元.8．生产某产品的边际成本为C '(x )=8x (万元/百台)，边际收入为R '(x )=100-2x （万元/百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？ 解：L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x 令L '(x )=0, 得 x = 10（百台）又x = 10是L (x )的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L (x )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.又 x x x x L L d )10100(d )(12101210⎰⎰-='=20)5100(12102-=-=x x即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.9．已知某产品的边际成本为34)(-='q q C (万元/百台)，q 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.解：因为总成本函数为⎰-=q q q C d )34()(=c q q +-322当q = 0时，C (0) = 18，得 c =18即 C (q )=18322+-q q 又平均成本函数为qq q q C q A 1832)()(+-==令 0182)(2=-='q q A ， 解得q = 3 (百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当q = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台) 10．设生产某产品的总成本函数为 x x C +=3)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时的边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？=x x d )111(1e 1e 0⎰-+---=1e 0)]1ln([1e -+---x x ＝e ln =1解：(1) 因为边际成本为 1)(='x C ，边际利润)()()(x C x R x L '-'=' = 14 – 2x 令0)(='x L ，得x = 7由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L (x )的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为87287)14(d )214(x x x x L -=-=∆⎰ =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元.11．已知某产品的边际成本为34)(-='q q C (万元/百台)，q 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.解：因为总成本函数为⎰-=q q q C d )34()(=c q q +-322当q = 0时，C (0) = 18，得 c =18即 C (q )=18322+-q q 又平均成本函数为 qq q q C q A 1832)()(+-==令 0182)(2=-='q q A ， 解得q = 3 (百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台) 12．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少？解：由已知收入函数 201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数 22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-= 于是得到 q L 04.010-='令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q ．因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大． 且最大利润为 1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元）13．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？解：（1）由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-= 则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大， 15分 （2）最大利润为 1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元）14.生产某产品的总成本为x x C +=3)(（万元），其中x 为产量，单位：百吨．边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 从利润最大时的产量再生产1百吨，利润有什么变化？ 解：（1）因为边际成本1)(='x C ，边际利润'='-'L x R x C x ()()()x x 2141215-=--=令'=L x ()0 得 7=x （百吨）又7=x 是L x ()的唯一驻点，根据问题的实际意义可知L x ()存在最大值，故7=x 是L x ()的最大值点，即当产量为7（百吨）时，利润最大． （2）x x x x L L d )214(d )(8787⎰⎰-='=1)14(872-=-=x x即从利润最大时的产量再生产1百吨，利润将减少1万元．。