等比数列的前n项和优质课课件
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等比数列的前n项和PPT课件
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xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
xx年xx月xx日
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目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
等比数列的前n项和_优质PPT课件
条件,这时
k a1 . 1 q
5
4.等比数列的判定方法
(1)定义法: 列.
an1 an
(qq是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数
(2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是 等比数列.
(3)中项公式法
:a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}
(2)只有同号的两个数才有等比中项,且这两数的等比中项互 为相反数.
18
类型二
等比数列的基本量运算
解题准备:在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有 a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余 两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利 用方程组的思想求解.
19
7
解析:由数列中an与Sn的关系,当n=1时,a1=S1=a-2;当n≥2时 ,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公式不符合,故当 a≠1时,从第二项起成等比数列;当a=1时,an=0(n≥2),数列从 第二项起成等差数列.
答案:D
8
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=() A.64 B.81
2,3S2=a3-2,则公比q=(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 :
3S3 3S2
a4 a3
2① 2②
,
①
②得
:
3a3
a4
a3,
4a3
a4,
q a4 4. a3
答案:B
12
5.(2010·重庆)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的值 为( )
等比数列的前n项和课件
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式用于计算数列中任意一项的值。公式中包含首项、公比和项数，通过这些参数可以 确定数列中任意项的值。
前n项和的定义
前n项和是指等比数列中前n个项的总和。它是数列中一段连续项的求和结果， 可以用来表示数列的部分特征和总体特征。
推导前n项和公式
我们可以通过数学推导，得出等比数列前n项和的具体公式，以解决求和问题，简化计算过程，提高效 率和准确性。
应用及拓展
等比数列的性质和应用非常广泛，不Байду номын сангаас在数学中有重要地位，还可以应用到其他学科和实际问题中。同 时，还可以拓展到无穷等比数列的求和问题。
总结
等比数列前n项和的基本概念和公式的掌握对学生的数学学习和应用都具有重 要意义。通过本次课件的学习，希望学生能够灵活运用相关知识解决实际问 题。
等比数列的前n项和课件
本课件将全面介绍等比数列的前n项和相关概念和求解方法，帮助学生更好地 应用数学知识。
什么是等比数列？
等比数列是一种数列，每一项与它前面的项的比相等。公比是这个比值，决 定了数列的增长方式和特征。
公比的概念和作用
公比是等比数列中的一个关键概念，它决定了数列连续项之间的比值关系。公比的大小对数列的增长速 度和特性产生重要影响。
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26 1
1
210
2
2
n
3
例2：求和 1+ a + a2 + a3 + + an-1.(a 0)
解: 当a 1时，1 a a2 a3 an1 n
当a 1时，1 a a2 a3 an1 1 an 1 a
变式练习:
求和：（1
1) x
(2
1 x2
)
(3
1 x3
)
(n
1 xn
)
(n N ,且x 0)
由②- ①得：
S64 264 1
等比数列的求和公式
一般地，等比数列的前n项和
=? Sn a1 a2 a3 an1 an
=? 即 Sn
a1
a1q
a1q 2
a1q n2
a1q n1
“请你用错位相减法或者其他方法在
这两个式子中任选一个进行研究．”
等比数列的求和公式
一般地，设有等比数列：a1, a2 , a3 , an
问题： 如何来求麦
子的总量？
即求：1,22 ,23,24 263 的和?
由刚才的分析可知：实际上就是一个以1为 首项，2为公比的等比数列的前64项的求和 问题，即：
S64 1 2 22 23 …… 262 263
①
把上式左右两边同乘以2得：
2S64 2 22 23 …… 263 264 ②
归纳小结:
1.等比数列前n项求和公式. 2.数列求和的错位相减法.提取q 法,和比定理法. 3.对含字母的等比数列要注意考察q是否为1.
作业:
必做题: 50页 练习A 1. 2 . 选做题：求和： x 2x2 3x3 nxn (x 0)
等比数列的前n项和(优质课比赛)ppt课件
10
课堂小结
1、等比数列的前n项和公式； 2、前n项和的推导方法我们称之为错位相减法； 3、由 Sn .an ,q , a1 , n 知三而可求二。
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11
知能巩固
1.已知a1
27,
a9
1 ,(q 243
0),求S8
2.若等比数列1，1，1，...前n项和是63，求n
248
64
3.已知a1
a3
通项公式: an=a1• q n-1
最新课件
5
例题分析
例1 求等比数列 1 , 1 , 1 , 的前8项的和. 248
解:
a1
1,q1,n8 22
S8
1 2
1
1 2
8
1 1
2
Sn
a1(1 qn ) 1q
255 . 256
最新课件
6
S 1. 根据下列条件，求相应的等比数列 a n 的 n
等比数列的前n项和
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1
等差数列
等比数列
定义
an－an-1=d(n≥2)
an q a n1
(n≥2)
通项 公式 中项
an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
A= a b 2
an=a1·qn-1(q≠0) an=am·qn-m
G= a b
m+n=p+q
前n项和
am+an=ap+aq
10,
a4
a6
5 4
,
求S5
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12
作业: 课本P66 练习1、２、３
最新课件
13
谢谢大家
最新课件
高中数学《等比数列前n项和公式》课件
反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列 的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计 算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n， 其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一 分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热 气球上升的高度能超过125 m吗？
跟踪训练2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
方法二 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
a111－－qq2＝30，
①
所以a111－－qq3＝155，
②
两式作比，得1＋1＋q＋q q2＝361，
解得aq1＝＝55，
a1＝180， 或q＝－65，
达标检测
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
1－xn
√
C.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
解析 当x＝1时，Sn＝n； 1－xn
当 x≠1 时，Sn＝ 1－x .
D.1－1－xnx－1，x≠1， n，x＝1
1234
2.设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于
A.2 解析
B.4
√C.125
17 D. 2
方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝aq2＋a2＋a2q＋
a2q2，得Sa42＝1q＋1＋q＋q2＝125. 方法二 ∵S4＝a111－－qq4，a2＝a1q，∴Sa42＝11－－qq4q＝125.
等比数列的前n项和优质课比赛课件 PPT
a1135 13
242
a1 2
练习: 已知 {a n } 是等比数列，请完成下表：
a1
项和公式中涉及到a1、q、 n、Sn这四个量,知三可求一.体现方程的思想
回顾反思 我们学到了什么？
1.等比数列的前n项和公式； 2.公式的推导方法； 3.公式的简单应用——知三求二.
等比数列的前n项和优质课比赛课件
每个格子里放
…
的麦粒数都是
人陛你什几直前放搞下到一想么的粒第个定的赏子得样6格麦24.倍小子个到的就，里格
OK
?
请问:国王需准备多少麦粒才能满足发明者的要求? 他能兑现自己的诺言吗?
上述问题实际上是求1,2,4,8‥‥263 这个等比数列的和.
令S64=1 +2+4+8+ ‥‥ ‥+263，
第一层 n=1 第二层 n=2
… ……
思考
…… ……
第七层 n=7
……
数学建模：
已知等比数列{an}，公比q=2，n=7, S7=381,求a1
①
2S64= 2+4+8+ ‥‥ ‥+263 + 264 ，
②
② －① 得S64= 264－1.
错位相减
当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时， 国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒 全拿来，也满足不了那位宰相的要求.
那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？ 第第 第 第 第
1 2 3 4 ……64 格格 格 格 格
a 1 (12 ) q , ( 12 ) n , ( 8 )
1 [1 ( 1 )8 ]
S8
2
2 1 1
1 (1)8 255 2 256
等比数列的前n项和-优秀PPT课件
1
Sn
a1 anq 1 q
,q
1
na1, q 1
na1, q 1
练习1.判断是非
（ 2）n
①1 2 4 8 16 (2)n1 1 (1 2n) 1 (2)
n+1
② 1 2 22 23 2n 1 (1 2nn ) 12
③
c2
c4
c6
c2n
c2[1 (c2 )n ] 1 c2
, 14
,
1 8
,116
,
求前2n项中所有偶数项的和.
练习4
思考
资料表明，2000年我国工业废弃垃圾达 7.4×108t，每吨占地1m2，环保部门每回收或 处理1t废旧物资，相当于消灭4t工业废弃垃 圾．如果环保部门2002年共回收处理了100t 废旧物资，且以后每年的回收量递增20%． (1)2010年能回收多少吨废旧物资？ (2)从2002年到2010年底，可节约土地多少m2?
小结：
乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式
q≠1,q=1 分类讨论
数学
源于生活
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
q1
na1
q 1
知三求二
a1 anq
Sn
1q
na1
数学 用于生活
q1
q1
分组求和
方
转
程
化
思
思
想
想
课后作业：
必做：P61 A组 1、4、6题 选做：
思考题(1): 求和 x + 2 x2 + 3 x3 + + nxn .
等比数列的前n项和
选自人教A版必修5第二章第五节
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a1 q(a1 a2 an2 an1 )
a1 q ( S n an )
提取公比法
(1 q)Sn a1 an q
方法拓展2
an a2 a3 q， a1 a2 an1 a2 a3 an q. a1 a2 an 1 S n a1 q. 即 S n an
2 当q 1时,
S2 k Sk ak 1 ak 2 ... ak k q k (a1 a2 ... ak ) q Sk ,即S2 k Sk q Sk , 同理S3k S 2 k q Sk ,
k k 2k
知识拓展3
S偶 等比数列的项数是偶数时， ＝q. S奇
例3 求
Sn a a ... a (a 0).
2
n
解析：
,a 1 n Sn n a(1 a ) ,a 0且a 1 1 a
分 类 讨 论 的 思 想
归纳小结：
1、两个公式：
a1 (1 q n ) (q 1) Sn 1 q na (q 1) 1 (1) a1 an q (q 1) Sn 1 q (2) na (q 1) 1
推导过程:
S偶 S偶
a2 1 q 2 n 1 q
2
, S奇
a1 1 q 2 n 1 q
2
,
a2 q. S奇 a1
当堂检测：
1 、数列1 ，a ,a 2 ,a 3 ,...,a n 1,... 的前n 项和为( 1 an A. 1 a 1 an 2 C. 1 a 1 a n 1 B. 1 a )
2
n 2
a1q
n
n1
qSn
a1q a1q a1q
2
n 2
a1q
n1
a1q
n
(1 q)Sn a1 0 0 a1q
(1 q)Sn a1 a1q
n
(1 q)Sn a1 a1q
⑴当q≠1时
Sn=
n
a1 a1q n a1 1 q n 1 q 1 q
a1 令A 0即可. 1- q
知识拓展2 如果 a 为等比数列，则S
n
k
,S 2k S k ,S 3k S 2k， ...也成等比数列。
新等比数列首项为Sk，公比为q k 。 注意：q 1
推导过程:
1当q 1时, Sn na1 ,
S k ka1 , S 2 k S k ka1 , S3k S 2 k ka1 ,
题号 (1) (2)
a1
3 ?
q
2 3
n
6 5
Sn
? 242
练习: 已知 {an } 是等比数列，请完成下表：
题号 (1) (2)
a1
3
2
q
2 3
n
6 5
Sn
189
242
解：(1) a1 3, q 2, n 6
(2) S 242, q 3, n 5 5
a1 1 35 S5 242 1 3
例２、 已知等比数列 {an } 的前4项和是 S 4 40，公比
q 3 ，求首项 a1
解：
请学生填空
S4 40, q 3, n 4
n
a1 (1 q ) a1 1 3 S4 40 1 q 1 3
4
a1 1
练习: 已知 {an } 是等比数列，请完成下表：
错
位 相 减 法
⑵当q =1时 Sn=na1
即：
a1 (1 q n ) Sn 1 q na 1
( q 1) ( q 1)
当q≠1时
Sn
a1 a1q an= a1qn-1 1 q n 1 a1 an q a1 a1q q 1 q 1 q
3 1 26 S6 1 2
3 26 1
a 1 2
189
练习: 已知 {an } 是等比数列，请完成下表：
题号
a1
3
2
q
2
3
n
6
5
Sn
189
(1)
(2)
242
在等比数列的通项公式和前n 项和公式中涉及到a1、q、
n、Sn这四个量,知三可求一.体现方程的思想
n
a1 an q Sn 1 q na 1
(q 1) (q 1)
思考
你还有推导等比数列前n项 和公式的其他方法吗
方法拓展1
等比数列 {an },公比为 q ,它的前 n 项和
Sn a1 a2 a3 an1 an
Sn a1 a1q a2q an2q an1q
想一想
设等比数列 an 公比为 q ，它的前n项 和 Sn a1 a2 an ，如何用 a1 , q, n 或 an 来表示 S ？
n
探究：等比数列{an}，公比为q，求Sn
Sn a1 a2 a3 an1 an
Sn a1 a1q a1q a1q
给了大家一个数学问题，你
能用今天所学的知识求出这 首古诗的答案吗？
第一层 n=1
… …… ……
思考
第二层 n=2
第七层 n=7
数学建模： 已知等比数列{an}，公比q=2，n=7, S7=381,求a1
……
……
Thank you！
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等比数列的前n项和
定远中学 林葵
人几粒麦就 什么样的 搞定. 赏赐？
每个格子里放 的麦粒数都是 前一个格子里 陛下赏小 放的的2倍， 你想得到 直到第64个格 子
…
OK
?
请问:国王需准备多少麦粒才能满足发明者的要求? 他能兑现自己的诺言吗?
上述问题实际上是求1,2,4,8‥‥263 这个等比数列的和.
1 2 2 2 2
1 2 363源自1 (1 2 ) 64 2 1 1 2
64
= 18446744073709551615(粒).
算
一
算
如果按1000颗麦粒 40克计算，这里大约有 7000 亿吨 麦粒；如果按人 _____ 1000克 粮食计 均每天吃______ 算,此棋盘上的粮食可 70 亿人吃 供全世界_____ 上_____ 274 年.
2、方法：
错位相减法
3、两种思想：
分类讨论的思想(q=1和q≠1) 方程思想(知三求一)
合作探究 形成规律
知识拓展1
数列 {an }是等比数列 Sn Aq -A （A 0） .
n
推导过程:
a1 n a1 a1 a1 q n Sn q Sn 1-q 1-q 1-q
D. 以上都不对
2、等比数列中，已知a1 a2 20,a3 a4 40,则 a5 a6 = （ ） A.30
B.60
C.80
D.160
3、等比数列的前n 项和Sn 3 a,则a
n
.
4、等比数列的各项都是正数，若a1=81,a 5 =16,则S5 .
5、等比数列 an 共有2n项，其和为-240，且奇数项 的和比偶数项的和大80，则公比q .
n为奇数，q 为－1时此 法不适用
等比定理法
(1 q)Sn a1 an q.
例1、 求下列等比数列前８项和：
1 1 1 1 , , , 2 4 8 16
解：
请学生填空
a1 (
1 2
), q (
1 2
), n ( 8 )
1 1 8 [1 ( ) ] 1 8 2 255 S8 2 1( ) 1 256 2 1 2
令S64=1 +2+4+8+ ‥‥ ‥+263， 2S64= 2+4+8+ ‥‥ ‥+263
② －① 得S64= 264－1. ①
+ 264 ，
②
错位相减
当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时， 国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒 全拿来，也满足不了那位发明者的要求. 那么，发明者要求得到的麦粒到底有多少 呢？ 第 第 第 第 第 1 2 3 4 ……64 格 格 格 格 格
拓展提升：
1 、S n
n个 3 33 333 333...3 .
2、若数列 an 的通项公式an =（2n-1） 2n ,求 其前n 项和S n .
思考 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增。 其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
这首古诗给大家呈现一
幅美丽的夜景的同时，也留