北师大版选修导数与函数的单调性 (4)
北师大版数学高二选修1-1课件 第四章 1.1 导数与函数的单调性
33，
33，则
a
的取值范围是
(_0_，__＋__∞__).
解析
f′(x)＝a(3x2－1)＝3ax＋
33x－
33，
令
f′(x)<0，由已知得－
3 3 <x<
33，
可得a>0.
12345
解析 答案
5.已知a>0且a≠1，证明：函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的. 证明 y′＝axln a－ln a＝ln a(ax－1)， 当a>1时，因为ln a>0，ax<1， 所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的； 当0<a<1时，因为ln a<0，ax>1， 所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的. 综上，函数y＝ax－xln a在(－∞，0)上是减少的.
(√) 4.若f(x)在区间(a，b)上可导，则“f′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上是增加的” 的充要条件.( × ) 5.若f(x)的图像在[a，b]上是一条连续曲线，且f(x)在(a，b)上f′(x)<0，则 f(x)在[a，b]上是减少的.( √ )
题型探究
类型一 原函数和导函数图像之间的关系 例1 已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是 图中的
解答
类型三 含参数函数的单调性 例3 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上是增加的，则k的取值范 围是_[1_，__＋__∞__). 解析 由于 f′(x)＝k－1x，f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋∞)上是增加的， 得 f′(x)＝k－1x≥0 在(1，＋∞)上恒成立. 因为 k≥1x，而 0<1x<1，所以 k≥1， 即k的取值范围为[1，＋∞).
2020北师大版高中数学选修1-1 教师课件：第四章 导数与函数的单调性
关于不等式的恒成立问题，可以转化为求函数的最值问题来研究，如a≥f(x)(x∈D)得 a≥f(x)max(x∈D)；a≤f(x)(x∈D)得a≤f(x)min(x∈D)．这种转化思想很重要，要注意掌 握．
3．已知函数f(x)＝x3＋ax(x≠0，常数a∈R)． (1)当a＝48时，求f(x)的单调递减区间； (2)若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围． 解析：(1)当a＝48时，f(x)＝x3＋4x8， f′(x)＝3x2－4x82＝3x4x－2 48＝3x2＋4xx＋2 2x－2， 令f′(x)<0，得－2<x<0或0<x<2， ∴f(x)的单调递减区间为(－2,0)，(0,2)．
A.16，＋∞ C.－16，＋∞
B.－∞，16 D.－∞，－16
解析：f′(x)＝6x－1，令f′(x)>0，得x>16.
答案：A
3．函数f(x)＝xln x( ) A．在(0,5)上是增函数 B．在(0,5)上是减函数 C．在0，1e上是减函数，在1e，5上是增函数 D．在0，1e上是增函数，在1e，5上是减函数
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)， ①当a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－x12x＋x－1122≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的． ②当a<－12时，Δ<0，g(x)<0， f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的．
③当－12<a<0时，Δ>0.
设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点，
x >0，f(x)在(0,1)上单调递增；
当x>1时，f′(x)＝1x－1e－x ln
x <0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
函数的单调性与导数(IV)
导数定义为函数在某一点处的切线的斜率，表示函数在该点附近的变化率。对于可导函数，其在某一点的导数值 可以通过极限来定义，即lim(x->0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h是一个无穷小量。
导数的计算方法
总结词
导数的计算方法包括多项式函数的导数、复合函数的导数、幂函数的导数以及三角函数的导数等。
在物理学中，速度和加速度是描述物体运动状态 的重要物理量，而速度和加速度可以通过对位移 函数求导得到。
斜率场和流场
在物理学中，斜率场和流场是描述物理现象的重 要概念，而斜率场和流场的分布可以通过对物理 量函数求导得到。
弹性碰撞
在弹性碰撞中，两个物体碰撞后的速度可以通过 对动能函数求导得到，利用导数的性质可以求解 出碰撞后的速度。
详细描述
对于可导函数，其在某一点的导数值即为该点处的切线斜率 。切线的斜率决定了函数在该点的增减性，斜率为正表示函 数在该点处单调递增，斜率为负表示函数在该点处单调递减 。
03 导数与函数单调性的关系
导数与单调增函数
总结词
导数大于零的区间内，函数单调递增
详细描述
当函数在某区间内的导数大于零时，意味着函数在该区间 内的变化率是正的，即函数值随自变量的增加而增加，因 此函数在该区间内单调递增。
函数的单调性与导数(iv)
目 录
• 函数的单调性 • 导数的概念与性质 • 导数与函数单调性的关系 • 导数在实际问题中的应用 • 综合案例分析
01 函数的单调性
单调性的定义
单调增函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$上单调增。
北师版高中同步学考数学选修1-1精品课件 第四章 1.1 导数与函数的单调性
取值范围时,应用f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在区间(a,b)上恒成立,解出参数
的取值范围,然后检验参数的取值能否使f'(x)在(a,b)的任意子区间
内恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去.
-23-
1.1 导数与函数的单调性
探究一
探究二首页探究三自源自预习探究学习当堂检测
思维辨析
变式训练 3 已知函数 f(x)=x2 +(x≠0,常数 a∈R),若函数 f(x)在
[2,+∞)上是增加的,求 a 的取值范围.
解
f'(x)=2x-2
=
23 -
.
2
要使 f(x)在[2,+∞)上是增加的,
则 f'(x)≥0 在 x∈[2,+∞)时恒成立,
数的正负.
-8-
1.1 导数与函数的单调性
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思维辨析
变式训练1设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图像如图所示,则
y=f(x)的图像最有可能的是 (
)
-9-
1.1 导数与函数的单调性
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变式训练已知函数f(x)=2ax-x3,x∈(0,1),a>0,若f(x)在(0,1)上是增
北师大版高中数学选修1-14-1.1导数与函数的单调性.docx
第4章 1.1(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．当x ＞0时，f (x )＝x ＋2x，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2)解析： f ′(x )＝1－2x2，当f ′(x )＜0时，－2＜x ＜0，或0＜x ＜2，又∵x ＞0，∴0＜x ＜2，故选D.答案： D2．下列函数中在区间(－1,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝2－3x 2B ．y ＝ln xC ．y ＝1x －2D ．y ＝sin x解析： 对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝－1(x －2)2<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝1x －2在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C. 答案： C3．函数y ＝x cos x －sin x 在下列哪个区间内是增函数( ) A ．(π2，3π2)B ．(π，2π)C ．(3π2，5π2)D ．(2π，3π)解析： 由y ′＝－x sin x ＞0，则sin x ＜0，则π＋2k π＜x ＜2π＋2k π，k ∈Z. 答案： B4．(2，＋∞)为函数y ＝2x －ax的单调递增区间，则a 的值为( ) A ．a ≥－8 B ．－8＜a ＜0 C ．a ＜－8D ．a ＞0解析： y ′＝2＋a x2≥0对x ＞2恒成立，∴a ≥－2x 2， ∴a ≥－8. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2009江苏高考)函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________． 解析： f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)， 当x <－1或x >11时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当－1<x <11时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 答案： (－1,11)6．若函数y ＝(a －1)ln x ＋2x －1在(0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围为________． 解析： y ′＝(a －1)·1x＋2>0在(0，＋∞)上恒成立即：a －1>－2x ，而x >0，∴a －1≥0，∴a ≥1. 答案： a ≥1三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝3x 2－2x ＋1； (2)f (x )＝x 3－2x 2＋x ； (3)f (y )＝x －ln x (x >0)；解析： (1)f ′(x )＝6x －2.令6x －2>0，解得x >13.因此，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞时，f (x )是增函数； 其单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.再令6x －2<0，解得x <13.因此，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13时，f (x )是减函数． 其单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13.(2)f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令3x 2－4x ＋1>0，解得x >1，或x <13.因此，y ＝x 3－2x 2＋x 的单调递增区间为(1，＋∞)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13.再令3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.因此，y ＝x 3－2x 2＋x 的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.(3)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x，令y ′＝1－1x >0，则x >1，因此，函数y ＝x －ln x 在(1，＋∞)上是增函数；令y ′＝1－1x<0，则0<x <1，因此，函数y ＝x －ln x 在(0,1)上是减函数，所以函数y ＝x －ln x 的单调区间是(0,1)和(1，＋∞)． 8．讨论函数f (x )＝bxx 2－1(－1<x <1，b ≠0)的单调区间．解析： f (x )的定义域为(－1,1)，易知函数f (x )是奇函数，故只需讨论函数在(0,1)内的单调性．因为f ′(x )＝b ·x ′(x 2－1)－x (x 2－1)′(x 2－1)2＝－b (x 2＋1)(x 2－1)2，当0<x <1时，x 2＋1>0，(x 2－1)2>0，所以－x 2＋1(x 2－1)2<0.所以若b >0，则f ′(x )<0，所以函数f (x )在(0,1)内是减函数；若b <0，则f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0,1)内是增函数．又函数f (x )是奇函数，而奇函数图象关于原点对称，所以当b >0时，f (x )在(－1,1)内是减函数；当b <0时，f (x )在(－1,1)内是增函数． 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知f (x )＝2ax －1x2，x ∈(0,1]．若f (x )在区间(0,1]上是增函数，求a 的取值范围．解析： f ′(x )＝2a ＋2x3.∵f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ′(x )≥0，即a ≥－1x3在x ∈(0,1]上恒成立．而g (x )＝－1x3在(0,1]上单调递增．∴g (x )max ＝g (1)＝－1.∴a ≥－1，即a 的取值范围是[－1，＋∞)．。
北师大版高中数学选修1-1课件4-1.1导数与函数的单调性
的
单
调
递
减
区
间
为
－∞，－
3 3
和
33，＋∞.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－2x＝2·3x2x－1. 令 f′(x)＞0，即 2·3x2x－1＞0.
解得－
33＜x＜0
或
x＞
33.又∵x＞0，∴x＞
3 3.
令 f′(x)＜0，即 2·3x2x－1＜0，
减区间是－
－3 3a，
－3 3a.
综上可知：当 a≥0 时，函数 y＝x3＋ax 在(－∞，＋∞)
上单调递增．
当
a<0
时，函数
y ＝ x3 ＋ ax
在 －∞，－
－3a
3
和
－3 3a，＋∞
上单调递增，在－
－3 3a，
－3 3a上单调递减．
在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)>0 f′(x)<0
单调 单调
增函数 减函数
f′(x)＝0 常数函数
1．函数 f(x)＝5x2－2x 的单调增区间是( )
A.15，＋∞ C.－15，＋∞
B.－∞，15 D.－∞，－15
答案： C
求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x4－2x2＋5； (2)f(x)＝x3＋3x.
求函数单调区间步骤： 求 f(x)的定义域→求 f′(x)→求解不等式 f′(x)>0， f′(x)<0→求 f′(x)>0，f′(x)<0 与定义域的交集或求 f(x)的 值域→求 f′(x)→令 f′(x)＝0 求 xi→用 xi 将定义域分成 n 个 区间→列表考查各个区间内 f′(x)的符号→确定单调区间
数学北师大版高中选修1-1导数与函数的单调性
1.1 导数与函数的单调性班级_________ 姓名____________【学习目标】：1. 正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法【重点难点】重点：了解数学归纳法的原理 ,数学归纳法证明基本步骤难点：应用2.掌握利用导数判断函数单调性的方法【自主检测】1：用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有，那么函数f(x)就是区间I上的函数. 2：常用导数公式C=；()'n x=；(sin)'x=；(cos)'x=；'x=；(log)'(ln)'x=；()'x e=；()'x a=；a【知识点拔】1.函数的导数与函数的单调性的关系：问题：我们知道，曲线()=y f x=的切线的斜率就是函数()y f x的导数.从函数342+-=x x y 的图像来观察其关系：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即0y '>时，函数()y f x =在区间（2，∞+）内为 函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即/y <0时，函数()y f x =在区间（∞-，2）内为 函数.2.一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数()y f x =在这个区间内的增函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数()y f x =在这个区间内的减函数. 如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间内为常数函数3.用导数求函数单调区间的步骤：（1） 确定函数f (x )的定义域；求函数f (x )的导数f ′(x ).（2） 令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间【经典体验】例1.判断下列函数的的单调性，并求出单调区间： （1）2()24f x x x =-+； （2）()x f x e x =-；（3）()sin ,(0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+.例2. 设函数f (x x 3a x 2ax ，其中a ∈R.若f (x )在∞,0)上为增函数，求a 的取值范围。
函数的单调性与导数(说课)
05 课程总结
本节课的收获
01
理解了函数的单调性与导数的关系
通过本节课的学习，学生们能够理解函数的单调性与其导数之间的关系，
掌握利用导数判断函数单调性的方法。
02
掌握了求导的基本法则
学生们学会了使用求导的基本法则，如链式法则、乘积法则、商的求导
法则等，能够熟练地求出函数的导数。
03
增强了数学思维能力
04 导数与函数的单调性
导数与单调性的关系
01
02
03
导数大于零
函数在该区间内单调递增。
导数小于零
函数在该区间内单调递减。
导数等于零
函数可能存在拐点或极值 点。
单调性判定定理的应用
判断函数单调性
通过求导数并分析导数的 正负来判断函数的单调性。
确定极值点
通过导数为零的点来确定 可能的极值点，并结合单 调性判断是否为极值点。
通过本节课的学习，学生们不仅掌握了相关的数学知识，更重要的是培
养了他们的数学思维能力，如逻辑推理、抽象思维和归纳演绎等。
课程中的不足与改进
部分学生对于求导法则的运用还不够熟练
在练习过程中，发现部分学生对于求导法则的运用还不够熟练，需要在课后加强练习和巩固。
部分学生对单调性与导数的关系理解不够深入
在讨论单调性与导数的关系时，发现部分学生对其理解不够深入，需要在后续课程中加强这方面的讲解和练习。
详细描述
基本初等函数的导数公式包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三 角函数的导数。复合函数的导数法则涉及到内外函数的导数计算，以及链式法 则的应用。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
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（5）
学生继续探索，得出初步规律。
几何画板演示，共同探究。
得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。
（学生总结）： ①该函数在区间(,2)-∞上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负； 在区间(2,)+∞上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正； 注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？
②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？
3、再看我们熟悉的函数的导数及单调性
（1）x y 2= ， 2ln 2)(/x x f =
（2）
x y )21(= 2
1ln )21()(/x x f =
（3）x y 3log = 3ln 1)(/
x x f =
（4）x y 21log = 2
1ln 1)(/
x x f =
抽象概括 定理：
一般地，函数y ＝f （x ）在某个区间(a,b)内
1) 如果恒有 f ′(x)>0，那么 y=f （x)在这个区间（a,b)内 单调递增； 2) 如果恒有 f ′(x)<0，那么 y=f （x ）在这个区间(a,b)内单调递减。
注意：
①应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义， 它必是定义域内的某个子区间。
②如果在某个区间内恒有f /
(x)＝0 ,则 f(x) 为常数函数. （三）举例演练： 例1、求函数
163632)(23+--=x x x x f 的递增区间与递减区间。
分析：函数的单调性与导数的符号有关，所以可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间。
2：确定函数f(x)=2x 3
＋3x 2
－24x －1在哪个区间是减函数？在哪个区间上是增函数？（让学生自己先动手作，再从解题过程中归纳出利用导数讨论函数单调的步骤）
例3、已知导函数f /(x)的下列信息： 当1<x<4时，f /
(x)>0; 当x>4,或x<1时，f /
(x)<0;
当x=4,或x=1时，f /(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状。
（让学生自己先作图，再总结） 利用导数讨论函数单调的步骤：
(1)求y=f(x)的定义域D
专家点评（师大附中张文俊）
本课例教学目标定位较准确，教学方法选择合理。
课例力求以问题为情景，引导学生探索并应用导数与函数的单调性的关系求函数的单调区间；通过利用导数研究函数单调性问题的过程，学会由图形——性质；从特殊到一般的，数形结合的研究方法。
掌握研究函数单调性的另一种常用方法——导数法，教学过程较为流畅，并注意在教学过程中通过力求让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，认识到数学是一个有机整体，这样培养学生的自信心，保持学生的学习热情和培养学生勇于探索善于发现的创新意识。
这些设计思想都符合新课程理念，但在具体的实施过程中师生互动体现学生的自主不够，教师代替较多，没达到设计的预期目的，另外，个别例题解答不够完整，即示范性不够，因为，例题。