单纯形法习题
单纯形法的矩阵计算例题
1、在使用单纯形法求解线性规划问题时，初始基本可行解通常通过以下哪种方法获得？A. 两阶段法B. 高斯消元法C. 矩阵求逆D. 逐次逼近法（答案）A2、在单纯形表的迭代过程中，当所有检验数均非负时，说明当前解是？A. 无界解B. 无解C. 最优解D. 可行解但非最优（答案）C3、单纯形法中，选择进入基的变量时，通常选择检验数最小的变量，这是？A. 错误的做法B. 正确的做法，但仅当目标函数求最大值时C. 正确的做法，但仅当目标函数求最小值时D. 无论目标函数求最大还是最小，都是正确的做法（答案）B（假设题目中指的是选择绝对值最大的负检验数对应的变量进入基，若求最小值则选择正检验数）4、在单纯形迭代过程中，若出现某个基变量的值为零，而该变量在目标函数中的系数（即检验数）为正，则？A. 该问题无界B. 应立即停止迭代，因为当前解不可行C. 应将该变量从基中换出D. 这种情况不可能发生（答案）C5、单纯形法中，退出基的变量选择通常基于？A. 检验数的大小B. 基变量在约束条件中的系数比值（即比值检验）C. 目标函数中的系数D. 变量的下界或上界（答案）B6、在单纯形迭代过程中，若所有基变量的检验数均为零，则？A. 达到了最优解，且可能存在多个最优解B. 达到了最优解，且唯一C. 问题无解D. 需要进行人工变量调整（答案）A7、单纯形法中，若某个迭代步骤中发现无法找到符合条件的进入基变量（即所有检验数均非负），则？A. 当前解即为最优解B. 问题无解C. 需要引入人工变量继续迭代D. 应检查初始基本可行解的正确性（答案）A8、在构建初始单纯形表时，若目标函数为求最小化，则检验数应如何计算？A. 检验数= 目标函数系数- 约束条件右侧常数与基变量系数的乘积之和B. 检验数= 目标函数系数+ 约束条件右侧常数与基变量系数的乘积之和的相反数C. 检验数= 目标函数系数直接作为检验数D. 检验数= 约束条件左侧系数与目标函数系数的比值（答案）B（简化描述，实际计算中需考虑基变量的当前值和目标函数系数）9、单纯形法中，当某个基变量的值为负时，说明？A. 当前解不可行B. 当前解可能是最优解，但需进一步验证C. 应立即将该变量从基中换出D. 这种情况在正确执行单纯形法时不可能发生（答案）D（在正确执行时，基变量应始终非负）10、在单纯形迭代过程中，若发现某个非基变量的检验数为正，且该变量对应的约束条件为“≤”类型，则？A. 该变量应被选为进入基的变量B. 该变量不能进入基，因为其检验数为正C. 需要检查该变量的上界是否满足约束D. 该问题可能无解（答案）A（在求最大化问题时，正检验数对应的非基变量是潜在的进入基候选）。
运筹学单纯形法的例题
练习㈠. 单纯形表
4 x3 0 1 x4 0 4 0 4 1 3 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
7 9
基?
0
填目标函数系数,填基变量列, 填CB列,计算Zj,计算检验数σj,
6 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈠. 单纯形表
16 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈡. 单纯形表：迭代
x1 x5 基变量列中___换为___, -M 4 改CB列,____换为___.
17 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
Excel
练习㈢用图解法和单纯形法求 如下线性规划问题的最优解： Max z =4 x1 + x2 x1 + 3x2 ≥ 7 s.t. 4x1 + 2x2 ≥ 9 x1 , x 2 ≥ 0
下 可行域在x1+3x2=7与4x1+2x2=9之__
3 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈠用图解法
5
4
1 (2.25,0) 0 1
4
2
3
4
5
《运筹学》单纯形法
2013-7-27
6
7
练习㈠. 单纯形表
1 4 3 1 2 0 0 1 7 9
填入第一个约束的数据. 填入第二个约束的数据.
4 1 0 0 x3 0 1 3 1 0 7 7 x4 0 4 2 0 1 9 9/4 0 0 0 0 0 4 1 0 0 最优吗？查什么？ 不是！ 谁进基？ 检验数最大的x1进基, 谁出基？ 求比值？ x1的系数有正的吗？
7 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈠. 单纯形表
单纯形法的计算题
单纯形法的计算题
单纯形法是一种求解线性规划问题的数学方法。
下面是一道使用单纯形法求解的线性规划问题的例子：
求最大化目标函数z = -2x1 + 3x2，
约束条件：
1. x1 + x2 <= 4
2. 3x1 + 4x2 <= 12
3. x1, x2 >= 0
用单纯形法求解此问题，需要进行以下步骤：
1. 建立初始单纯形表格：根据约束条件，我们可以确定初始单纯形表格的基变量和非基变量。
2. 计算目标函数的系数和：根据目标函数的系数，我们可以计算出目标函数的系数和。
3. 检查退出条件：如果目标函数的系数和大于零，则无法找到可行解；如果目标函数的系数和小于等于零，则已经找到最优解。
4. 迭代计算：如果未达到最优解，需要继续迭代计算，更新单纯形表格，直到找到最优解为止。
5. 输出结果：最终的单纯形表格中，最优解对应的基变量和非基变量的值即为所求的最优解。
具体到这个例子中，可以使用线性规划软件包或编程语言实现单纯形法来求解。
通过输入约束条件和目标函数，可以得到最优解。
3第二章 单纯形法
三、练习
利用刚刚学过的单纯形法计算课本16 页题目
第二章 单纯形法
单纯形法习题
列出下列问题的基本解，找 出基可行解和最优解
1.
max z=4X1+3X2 2X1 +3X2 ≤6 -3X1 +2X2 ≤3 2X2 ≤5 2X1 +X2 ≤4 X1≥0 X2≥0
先将上述问题化为标准型
max Z=4X1+3X2
+ 5
=200
x
=300
单纯形法第一步：确定第一个基可行解 一般我们为了将LP转化为标准型，在约束条 件为≤的情况，我们都会加入松弛变量（≥的情况 稍后会讨论），利用松弛变量作为基变量很容易 得到一组基可行解。 因此，上述问题我们不妨设x3、x4、x5为基变 量，x1、x2即为非基变量，代入方程组可得： x3=360 x4=200 x5=300 在使用单纯形法时我们习惯利用一种特殊的 表，成为单纯形表，格式如下：
b
84 20 24
0
X3
1 0 0 0
0
X4
-3.12 0.4 -0.12 -13.6
0
X5
1.16 -0.2 0.16 -5.2
XB
X3 X1 X2 σj = cj-zj
X1
0 1 0 0
X2
0 0 1 0
θj
此时检验数已全部为非正值，以达到最优。 最终求得x1=20，x2=24时得到最优值z=4280
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
x1 0 0 0 0 5 10 5 5 2
x2 0
5 4 0 0 0 2.5 4 4
x3 5 0 5 5 0 -5 0 0 3
运筹学原理单纯形法练习题
四、把下列线性规划问题化成标准形式：2、minZ=2x1-x2+2x3五、按各题要求。
建立线性规划数学模型1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。
月销售分别为250，280和120件。
问如何安排生产计划，使总利润最大。
2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省?某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示： 起运时间 服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—24 8 10 7 12 4每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。
六、用单纯形法求解下列线性规划问题：七、用大M法求解下列线性规划问题。
并指出问题的解属于哪一类。
八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。
已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10XlX2 X3 X4 —10 b-1 f g X3 2 C O 1 1／5 Xlade1(1)求表中a ～g 的值 (2)表中给出的解是否为最优解?（1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2） 表中给出的解为最优解 第四章 线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3六、已知线性规划问题应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值不大于25七、已知线性规划问题maxZ=2x1+x2+5x3+6x4其对偶问题的最优解为Yl﹡=4，Y2﹡=1，试应用对偶问题的性质求原问题的最优解。
单纯形法原理及例题
单纯形法原理及例题
单纯形法原理：
单纯形法是求解线性规划问题的一种数学方法，它是由美国数学家卢克·单纯形于1947年发明的。
用单纯形法求解线性规划的过程，往往利用线性规划的对偶形式，将原问题变换为无约束极大化问题，逐步把极大化问题转换为标准型问题，最后利用单纯形法的搜索方法求解满足所有约束条件的最优解。
例题：
问题：求解最小化目标函数z=2x1+x2的线性规划问题，约束条件如下：
x1+2x2≥3
3x1+x2≥6
x1,x2≥0
解：将上述线性规划问题转换为无约束极大化问题，可得：
极大化问题：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2≤3
3x1+x2≤6
x1,x2≥0
将极大化问题转换为标准型问题，可得：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2+s1=3
3x1+x2+s2=6
x1,x2,s1,s2≥0
运用单纯形法的搜索方法求解：
令x1=0,x2=0，则可得s1=3,s2=6，即(0,0,3,6)是单纯形的初始解；
令z=-2x1-x2=0，代入约束条件，可得x1=3,x2=3，则可得s1=0,s2=0，即(3,3,0,0)是新的单纯形解。
由于s1=s2=0，说明x1=3,x2=3是线性规划问题的最优解，且最小值为z=2*3+3=9。
单纯形法求解线性规划问题例题
单纯形法求解线性规划问题例题线性规划问题（LinearProgrammingProblem,LPP）是指由一系列约束条件和优化目标函数组成的数学最优化模型，它可以用于解决各种单位时间内最高效率的分配问题。
在求解LPP的过程中，单纯形法（Simplex Method）是最主要的优化算法之一。
单纯形法的原理是采用一组基本变量的拿破仑表示法，一步步构造出线性规划问题的最优解。
下面我们来看一个例子：有公司向农户出售两种农药，甲和乙，每瓶甲农药售价3元，每瓶乙农药售价2元，公司每天有200瓶甲农药和150瓶乙农药，问该公司售出多少瓶甲农药和乙农药，能每天获得最大收益？该问题可表示为下述线性规划模型：最大化 $3x_1+2x_2$约束条件：$x_1+x_2le 200$$2x_1+x_2le 150$$x_1,x_2ge 0$由上述模型可知，有两个未知量$x_1$和$x_2$，它们分别代表出售的甲农药和乙农药的瓶数。
单纯形法的基本思想是采用一组基本变量表示未知量，将未知量$x_1$和$x_2$表示为由两个基本变量$y_1$和$y_2$组成的拉格朗日变换系数矩阵形式，即：$x_1+x_2=y_1+y_2$$2x_1+x_2=m(y_1+y_2)$其中，m是一个系数，根据上面的约束条件，m取200/150=4/3，则：$x_1=y_1+frac{1}{3}y_2$$x_2=y_2-frac{1}{3}y_2$由此可以得到该问题的新的线性规划模型：最大化 $3y_1+2(frac{4}{3})y_2$约束条件：$y_1+y_2le 200$$y_2le 150$$y_1,y_2ge 0$可以看出，该问题所构建出来的新的线性规划模型比原来的模型更加容易求解。
我们将建立单纯形表，以便求出最优解。
首先列出单纯形表：$begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}hline& y_1 & y_2 & S_1 & S_2 & f & b hline1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 3 & 200 hline2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 4/3 & 150 hlineend{array}$其中，$y_1$和$y_2$是基本变量，$S_1$和$S_2$是可行解系数，$f$是目标函数系数，$b$是右端项。
补全单纯形表例题
补全单纯形表例题
单纯形法是线性规划问题的一种求解方法。
在给定的线性规划问题中，我们首先找到一个初始解，然后通过迭代的方式找到最优解。
以下是一个简单的线性规划问题的单纯形法求解过程：
例题：
目标函数：最大化 z = 3x + 4y
约束条件：
1. x + 2y <= 12
2. 2x + y <= 10
3. x, y >= 0
初始单纯形表：
x y z c b
1 0 -
2 -1 30 + 40 4 0
2 0 -1 2 30 + 40
3 0
3 1 0 0 0 0 12
4 2 0 0 0 0 10
迭代步骤：
1. 从最后一行开始，检查是否满足所有约束条件。
发现第3个约束条件不满足，即x+2y>12，说明我们可以增加y的取值以减小x的取值。
2. 将第4列中的y增加1，得到新的单纯形表：
x y z c b
1 0 -
2 -1 30 + 40 4 -4
2 0 -1 2 30 + 40
3 -2
3 1 0 1 0 -2 6
4 2 0 1 0 -1 5
3. 检查新的单纯形表，所有约束条件都满足。
现在我们有了初始解，x=0, y=1。
将这个解代入目标函数得到z=30+41=4。
因此，初始最优解是(x=0, y=1, z=4)。
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习题一 下表为求极大化的单纯形表，问表中 a1,a2,c1,c2,d为何值及表中变量为哪一类型时， （1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最 优解之一；（3）表中解为退化的可行解；（4）下一 步迭代将以x1替代基变量x5;（5）该问题具有无界解； （6）该问题无可行解； XB X3 X4 X5 b d 2 3 x1 4 -1 a2 x2 a1 -5 -3 x3 1 0 0 x4 0 1 0 X5 0 0 1
习题三 已知某线性规划问题的初始单纯形表和用 单纯形法迭代后得到的表如下所示，试求括号中未 知数a～l的值。
基变量 X4 X5 cj-zj b 6 1 X1 （b） -1 （a） X2 （c） 3 -1 X3 （d） （e） 2 X4 1 0 0 X5 0 1 0
X1
X5
（f）
4
Hale Waihona Puke （g）（h）2
（i）
Cj-Zj
c1
c2
0
0
继续
0
返回
习题二 线性规划的目标函数是maxZ,在用标准的 单纯形法求解的过程中，得到下表（其中a、b是常 数，部分数据有缺失）
基变量
X6 X2
CB
X1 2 0 a
X2 5
X3 8 3
X4 0
X5 0 0 0.5
X6 0
b
20 b
X4 Cj-Zj
-2
-1 -2
1
8
（1）在所有的空格中填上适当的数（其中可含a、b参数） （2）判断以下四种情况在什么时候成立，并简要说明理由。 1.此解为最优解，试写出相应的基解和目标函数值； 2.此解为最优解，且此规划有无穷多最优解； 3.此规划有无界解； 4.此解不是最优解，且能用单纯形法得到下一个基可行解。
-1
1
1/2
1/2
0
1
cj-zj
0
-7
（j）
（k）
（l ）