二次函数的图像和性质讲义
辅导讲义_二次函数的图像和性质.doc
辅导讲义_⼆次函数的图像和性质.doc课题⼆次函数的图像和性质教学容⼀、⼆次函数概念：1．⼆次函数的概念：⼀般地，形如y ax2 bx c（ a ，b ，c 是常数，a 0 ）的函数，叫做⼆次函数。
这⾥需要强调：和⼀元⼆次⽅程类似，⼆次项系数a 0 ，⽽ b ，c 可以为零．⼆次函数的定义域是全体实数．2.⼆次函数 y ax2 bx c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于⾃变量x 的⼆次式， x 的最⾼次数是 2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是⼆次项系数，b是⼀次项系数， c 是常数项．⼆、⼆次函数的基本形式1. ⼆次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越⼤，抛物线的开⼝越⼩。
a 的符号开⼝⽅向a 0向上a 0向下2.y ax2 c 的性质：上加下减。
a 的符号开⼝⽅向a 0向上a 0向下23. y a x h的性质：左加右减。
a 的符号开⼝⽅向顶点坐标0，00，0顶点坐标0，c0，c顶点坐标对称轴性质x 0 时， y 随x的增⼤⽽增⼤；x0 时， y 随y 轴x 的增⼤⽽减⼩；x 0 时， y 有最⼩值 0 ．x 0 时， y 随x的增⼤⽽减⼩； x 0 时， y 随y 轴0 时， y 有最⼤值 0 ．x 的增⼤⽽增⼤；x对称轴性质x 0 时， y 随x的增⼤⽽增⼤；x 0 时， y 随y 轴x 的增⼤⽽减⼩；x 0 时， y 有最⼩值c．x 0 时， y 随x的增⼤⽽减⼩；x 0 时， y 随y 轴x 的增⼤⽽增⼤；x 0 时， y 有最⼤值c．对称轴性质a 0 h，0 x h 时， y 随x的增⼤⽽增⼤； x h 时， y 随向上X=hx 的增⼤⽽减⼩；x h 时， y 有最⼩值 0 ．a 0 h，0 x h 时， y 随x的增⼤⽽减⼩； x h 时， y 随向下X=hx 的增⼤⽽增⼤；x h 时， y 有最⼤值 0 ．4. y a x h 2k 的性质：a 的符号开⼝⽅向顶点坐标对称轴性质a 0 h，k x h 时， y 随x的增⼤⽽增⼤； x h 时， y 随向上X=hx 的增⼤⽽减⼩；x h 时， y 有最⼩值 k ．a 0 h，k x h 时， y 随x的增⼤⽽减⼩； x h 时， y 随向下X=hx 的增⼤⽽增⼤；x h 时， y 有最⼤值 k ．三、⼆次函数图象的平移1. 平移步骤：⽅法⼀：⑴将抛物线解析式转化成顶点式y a x h 2h ，k ；k ，确定其顶点坐标⑵保持抛物线 y2h，k 处，具体平移⽅法如下：ax 的形状不变，将其顶点平移到向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位y=ax2+k y=ax2向右 (h>0)【或左 (h<0)】向右 ( h>0)【或左 (h<0) 】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移|k|个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|个单位y=a( x-h)2y=a (x-h)2+k 向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|个单位2.平移规律⽅法⼀：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成⼋个字“左加右减，上加下减”．⽅法⼆：⑴ y ax2 bx c 沿y轴平移:向上（下）平移 m 个单位， y ax2 bx c 变成y ax 2 bx c m （或 y ax 2 bx c m ）⑵ y ax2 bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， y ax 2 bx c 变成y a( x m)2 b(x m) c （或 y a(x m) 2 b( x m) c ）四、⼆次函数 y a x2k 与 y ax2 bx c 的⽐较h从解析式上看， y a x2k 与 y ax2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配⽅可以得h2 b，k到前者，即 y a x b 4ac b2 ，其中 h 4ac b 2 ．2a 4a 2a 4a 五、⼆次函数 y ax2 bx c 图象的画法五点绘图法：利⽤配⽅法将⼆次函数y ax2bx c 化为顶点式⽅向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图顶点、与 y 轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点y a ( x h)2 k ，确定其开⼝.⼀般我们选取的五点为：2h ，c 、与 x 轴的交点x1，0 ，x2，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下⼏点：开⼝⽅向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、⼆次函数 y ax2 bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开⼝向上，对称轴为x b ，顶点坐标为 b ，4ac b 2 ．2a 2a 4a当 x b时， y 随x的增⼤⽽减⼩；当x b 时， y 随x的增⼤⽽增⼤；当x b 时， y 2a 2 a 2a 2有最⼩值4ac b ．4a2. 当a 0 时，抛物线开⼝向下，对称轴为x b ，顶点坐标为 b，4ac b2 ．当x b 时，2a 2a 4a 2ab时， y 随x的增⼤⽽减⼩；当x b时， y 有最⼤值4ac 2y 随x的增⼤⽽增⼤；当x b ．2a 2a 4a七、⼆次函数解析式的表⽰⽅法1. ⼀般式： y ax2 bx c （ a ，b， c 为常数，a 0 ）；2. 顶点式： y a(x h)2 k （ a ，h，k为常数，a 0 ）；3. 两根式： y a (x x1)( x x2 ) （a 0， x1， x2是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何⼆次函数的解析式都可以化成⼀般式或顶点式，但并⾮所有的⼆次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b2 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以⽤交点式表⽰．⼆次函数解析式的这三种形式可以互化.⼋、⼆次函数的图象与各项系数之间的关系1.⼆次项系数 a⼆次函数y ax2bx c 中， a 作为⼆次项系数，显然a0 ．⑴当 a 0 时，抛物线开⼝向上， a 的值越⼤，开⼝越⼩，反之 a 的值越⼩，开⼝越⼤；⑵当 a 0 时，抛物线开⼝向下， a 的值越⼩，开⼝越⼩，反之 a 的值越⼤，开⼝越⼤．总结起来， a 决定了抛物线开⼝的⼤⼩和⽅向， a 的正负决定开⼝⽅向， a 的⼤⼩决定开⼝的⼤⼩．2.⼀次项系数 b在⼆次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴在 a0 的前提下，当 b 0时，b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．2a⑵在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴 xb0 ，概括的在 y 轴左边则 ab 0 ，在 y 轴的右侧则 ab2a说就是“左同右异”总结： 3. 常数项 c⑴当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上⽅，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；⑵当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ；⑶当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下⽅，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯⼀确定的．⼆次函数解析式的确定：根据已知条件确定⼆次函数解析式，通常利⽤待定系数法．⽤待定系数法求⼆次函数的解析式必须根据题⽬的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．⼀般来说，有如下⼏种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，⼀般选⽤⼀般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最⼤（⼩）值，⼀般选⽤顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，⼀般选⽤两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选⽤顶点式．九、⼆次函数图象的对称⼆次函数图象的对称⼀般有五种情况，可以⽤⼀般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y ax 2 bx c ；y a x h2ya x h 2k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 k ；2. 关于 y 轴对称y 2bxc 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y 2bx c ；ax ax y a x h2ya x h 2k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 k ；3. 关于原点对称y ax 2 bx c 关于原点对称后，得到的解析式是yax 2 bx c ；22y a xhk关于原点对称后，得到的解析式是ya xhk；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2 y ax2 bx c 关于顶点对称后，得到的解析式是y ax 2 bx c b ；2ay a2k ．k 关于顶点对称后，得到的解析式是x h5.关于点 m，n 对称2k 关于点22n ky a x h m，n 对称后，得到的解析式是 y a x h 2m根据对称的性质，显然⽆论作何种对称变换，抛物线的形状⼀定不会发⽣变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或⽅便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开⼝⽅向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开⼝⽅向，然后再写出其对称抛物线的表达式．⼗、⼆次函数与⼀元⼆次⽅程：1.⼆次函数与⼀元⼆次⽅程的关系（⼆次函数与x 轴交点情况）：⼀元⼆次⽅程ax2 bx c 0 是⼆次函数 y ax2 bx c 当函数值 y 0 时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数：①当24 ac 0 时，图象与 x 轴交于两点 A x1，0 ，B x2，0 ( x1 x2 ) ，其中的 x1，x2是⼀元b⼆次⽅程 ax2 bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离 AB x2 x1 b2 4ac .a②当0 时，图象与 x 轴只有⼀个交点；③当0 时，图象与 x 轴没有交点 .1' 当 a 0 时，图象落在x 轴的上⽅，⽆论x 为任何实数，都有y 0 ；2' 当 a 0 时，图象落在x 轴的下⽅，⽆论x 为任何实数，都有y 0 ．2. 抛物线y ax2 bx c 的图象与y轴⼀定相交，交点坐标为 (0 ， c) ；3.⼆次函数常⽤解题⽅法总结：⑴求⼆次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为⼀元⼆次⽅程；⑵求⼆次函数的最⼤（⼩）值需要利⽤配⽅法将⼆次函数由⼀般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断⼆次函数y ax2bx c 中 a ，b， c 的符号，或由⼆次函数中 a ，b， c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷⼆次函数的图象关于对称轴对称，可利⽤这⼀性质，求和已知⼀点对称的点坐标，或已知与x轴的⼀个交点坐标，可由对称性求出另⼀个交点坐标.0 抛物线与x 轴有⼆次三项式的值可正、⼀元⼆次⽅程有两个不相等实根两个交点可零、可负0 抛物线与x 轴只⼆次三项式的值为⾮负⼀元⼆次⽅程有两个相等的实数根有⼀个交点0 抛物线与 x 轴⽆⼆次三项式的值恒为正⼀元⼆次⽅程⽆实数根 .交点⑸与⼆次函数有关的还有⼆次三项式，⼆次三项式ax 2 bx c(a0) 本⾝就是所含字母 x 的⼆次函数；下⾯以 a 0 时为例，揭⽰⼆次函数、⼆次三项式和⼀元⼆次⽅程之间的在联系：⼆次函数图像参考：y=2x2y=x2y=2x 2y=2(x-4) 2x 2 y=2y=2(x-4) 2-3y=2 x 2+2y=2 x2y=2 x 2-4y=-2(x+3) 2y=3(x+4) 2x 2 y= -2y= -x 2y=-2x 2⼗⼀、函数的应⽤y=-2x 2 y=-2(x-3) 2y=3x 2y=3(x-2) 2【例题精讲】⼆次函数图像和性质常考考点：考点 1、考查⼆次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为⾃变量的⼆次函数y (m 2) x2m 2m 2 的图像经过原点，则m的值是考点 2、综合考查正⽐例、反⽐例、⼀次函数、⼆次函数的图像，习题的特点是在同⼀直⾓坐标系考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y kx b 的图像在第⼀、⼆、三象限，那么函数y kx 2bx 1 的图像⼤致是（）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 xA B C D考点 3、考查⽤待定系数法求⼆次函数的解析式，有关习题出现的频率很⾼，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知⼀条抛物线经过(0,3) ， (4,6) 两点，对称轴为 x 5，求这条抛物线的解析式。
二次函数的图象和性质课件
解决实际问题
实际应用场景
二次函数在许多实际问题中都有应用，如物体运动、经济 活动等。通过建立数学模型，我们可以利用二次函数来描 述和解决这些实际问题。
实际问题的求解策略
对于实际问题，我们通常需要结合二次函数的性质和实际 问题的特点来制定求解策略。这可能包括分析函数的单调 性、最值、零点等。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的最值点即为顶点。对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点的x坐标为-b/2a，y坐 标为c-b^2/4a。Biblioteka 二次函数的对称轴总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是由二次函数的最值性质决定的，对称轴上 方的函数值与对称轴下方的函数值相等。
二次函数图象的绘制
01
02
03
步骤一
确定二次函数的表达式， 例如 $f(x) = ax^2 + bx + c$。
步骤二
选择一个或多个点，代入 二次函数表达式中，计算 出对应的y值。
步骤三
在坐标系上标出这些点， 通过这些点绘制出二次函 数的图象。
二次函数图象的形状
形状特征一
二次函数图象是一个抛物 线。根据a的值（正或负） ，抛物线开口向上或向下 。
二次函数的图象和性质课 件
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图象 • 二次函数的性质 • 二次函数的解析式 • 二次函数的应用
01
二次函数的基本概念
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。
二次函数讲义(四)：二次函数y=a(x-好)2的图像和性质
二次函数与y=a的图像和性质【知识要点梳理】知识点1:二次函数y=a图象的特征①图象是抛物线;②对称轴是直线x=h;③顶点是(h,0)。
当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是最低点。
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是最高点。
知识点2:二次函数y=a图象的性质从二次函数y=a图象可知:①如果a>0,当x<h时,y随x的增大而减小,当x>h时,y随x的增大而增大;②如果a<0,当x<h时,y随x的增大而增大,当x>h时,y随x的增大而减小知识点3: 二次函数y=a图象与二次函数y=a图象的关系当h>0时,可将抛物线y=a向右平移个单位得到y=a;当h<0时,可将抛物线y=a向左平移个单位得到y=a。
〖名师点拨〗解二次函数y=a的问题要注意两点:1.将抛物线y=a沿x轴左右平移可以得到抛物线y=a, 可简记为“左加右减”。
抛物线y=a的顶点坐标是(0,0),抛物线y=a的顶点坐标是(h,0),顶点始终在x轴上。
2.对于函数y=a,若a>0,则x<h时,y随x的增大而减小,x>h时,y随x的增大而增大,函数有最小值0;若a<0,则x<h时,y随x的增大而增大,x>h时,y随x的增大而减小,函数有最大值0。
【知识点过关训练】知识点1:二次函数y=a的图象1. 抛物线y=-5的顶点坐标是( )A.（-2，0）B.（2，0）C.（0，-2）D.（0，2）2. 二次函数y=3图象的对称轴是( )A. 直线x=2B. 直线x=−2C. y轴D. x轴3.对于抛物线y=2,下列说法正确的有( )①开口向上，②顶点为(0,-1)③对称轴为直线m=1④与轴的交点坐标系为(1,0)A.1个B.2个C.3个D.4个4. 平行于x轴的直线与抛物线y=a的一个交点坐标为(−1,2),则另一个交点坐标为( )A. (1,2)B. (1,−2)C. (5,2)D. (−1,4)5. 在平面直角坐标系中，函数y=-x+1与y=的图象大致是 ( )6. 在同一直角坐标系中，一次函数 y ＝ ax ＋ c 和二次函数 y ＝ a 的图象大致为（）A. B. C. D.知识点2:二次函数y=a的性质1. 关于二次函数y= -2，下列说法中正确的是（）A.其图象的开口向上B.其图象的对称轴是x=3C.其图象的顶点坐标是(0，3)D.当x＞-3时，y随x的增大而减小2. 已知抛物线y= -上的两点A(,)和B(,),如果<<−1,）那么下列结论一定成立的是（）A. <<0B. 0<<C. 0<<D. <<03. 已知二次函数y= -2,当x<−3时,y随x的增大而增大,当x>−3时,y随x的增大而减小,则当x=1时,y的值为( )A. −12B. 12C. 32D. −324. 二次函数y= 3和y=3，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴,顶点坐标都是原点(0,0)；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们的开口的大小是一样的。
二次函数讲义
第1页共12页二次函数【知识点1】二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义：形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f (x )＝___ax 2＋bx ＋c (a ≠0)___.已知三个点的坐标时，宜用一般式.②顶点式：f (x )＝__a (x －m )2＋n (a ≠0)____.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.③零点式：f (x )＝___a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)__.已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便.点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.2.二次函数的图象和性质图象函数性质a >0定义域x ∈R (个别题目有限制的，由解析式确定)值域a >0a <0y ∈[4ac －b 24a，＋∞)y ∈(－∞，4ac －b 24a]a <0奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x ∈(－∞，－b2a]时递减，x ∈[－b2a ，＋∞)时递增x ∈(－∞，－b 2a]时递增，x ∈[－b2a，＋∞)时递减图象特点①对称轴：x ＝－b 2a；②顶点：(－b 2a ，4ac －b 24a)3.二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2－4ac >0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、第2页共12页M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ|a |.【知识点2】二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当0∆<⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴无交点⇔20ax bx c ++=无实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆=⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴相切⇔20ax bx c ++=有两个相等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆>⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点⇔20ax bx c ++=有两个不等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞ 。
2.2二次函数的图象与性质讲义
2.2二次函数的图象与性质讲义知识点：主要讨论抛物线的１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向、大小３.增减性与最值。
抛物线y=ax2 (a>0) y=ax2 (a＜0)顶点坐标（，）（，）对称轴直线x＝直线x＝开口方向向向增减性在对称轴的左侧,y随着x的增大而 . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而 .在对称轴的左侧,y随着x的增大而 . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而 .最值当x＝时，最小值为当x＝时，最大值为开口大小|a|越，开口越=(-)的图象:=(-) (≠0) 的图象可以看成=²的图象先沿轴整体左(右)平移||个单位(当>0时,向右平移;当<0时,向左平移)得到的.抛物线y=a(x-h)2 (a>0) y=a(x-h)2 (a＜0)顶点坐标（，）（，）对称轴直线x＝直线x＝开口方向向向增减性在对称轴的左侧,y随着x的增大而 . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而 .在对称轴的左侧,y随着x的增大而 . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而 .最值当x＝时，最小值为当x＝时，最大值为开口大小|a|越，开口越(-)²+的图象:=(-)²+(≠0) 的图象可以看成=²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.抛物线y=a(x-h)2＋k (a>0) y=a(x-h)2＋k (a＜0)顶点坐标（，）（，）对称轴直线x＝直线x＝开口方向向向增减性在对称轴的左侧,y随着x的增大而 . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而 .在对称轴的左侧,y随着x的增大而 . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而 .【例题赏析】1.已知抛物线y =ax 2+bx +c ，其中a <0，b >0，c >0，则抛物线的开口方向______；抛物线与x 轴的交点是在原点的______；抛物线的对称轴在y 轴的______.2当m =_____时，抛物线y =mx 2+2(m +2)x +m +3的对称轴是y 轴；当m =_____时，图象与y 轴交点的纵坐标是1；当m =_____时，函数的最小值是－2.3.若二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则直线y =abx +c 不经过_____象限.4.二次函数y =mx 2+2x +m －4m 2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______.5.二次函数y =x 2+p x +q 中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中（ ） A.(－1，1) B.(1，－1) C.(－1，－1) D.(1，1)6.函数y =ax +b 的图象经过一、二、三象限，则二次函数y =ax 2+bx 的大致图象是图37.下列说法错误的是（ ）A.二次函数y =－2x 2中，当x =0时，y 有最大值是0B.二次函数y =4x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大C.在三条抛物线y =2x 2，y =－0.5x 2，y =－x 2中，y =2x 2的图象开口最大，y =－x 2的图象开口最小D.不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点 8.若二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图，则点(a +b ，ac )在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2－1的最小值是0，则k 的值是（ ） A.43B.－43C.45 D.－45 10.若二次函数y =x 2－2x +c 图象的顶点在x 轴上，则c 等于（ ） A.－1B.1C.21D.211.在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)， (－321，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系应为（ ）A.y 1>y 2>y 3B.y 2>y 3>y 1C.y 3>y 1>y 2D.y 3>y 2>y 1 12.物体在地球的引力作用下做自由下落运动，它的运动规律可以表示为：s =21gt 2.其中s 表示自某一高度下落的距离，t 表示下落的时间，g 是重力加速度.若某一物体从一固定高度自由下落，其运动过程中下落的距离s 和时间t 函数图象大致为（ ）ABCD【习题精选】1.抛物线y =－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.2.抛物线y =21(x +3)2的顶点坐标是______. 3.将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.4.在同一坐标系中，二次函数y =－21x 2，y =x 2，y =－3x 2的开口由大到小的顺序是______. 5.抛物线y =－41x 2+1，y =－41(x +1)2与抛物线y =－41(x 2+1)的_____相同，_____不同.6.已知抛物线y =－2(x +1)2－3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是______.7.函数y =34x －2－3x 2有最_____值为_____. 8.如图1所示的抛物线：当x =_____时，y =0；当x <－2或x >0时， y _____0；当x 在_____范围内时，y >0；当x =_____时，y 有最大值_____.图19.抛物线y =x 2+1的图象大致是（ ）图210.函数y =21x 2+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是（ ） A.y =21(x －1)2+2 B.y =21(x －1)2+21 C.y =21(x －1)2－3D.y =21(x +2)2－111.若函数y =4x 2+1的函数值为5，则自变量x 的值应为（ ）A.1B.－1C.±1D.223 12.抛物线y =－2x 2－x +1的顶点在第（ ）象限 A.一 B.二 C.三 D.四13.抛物线y =21x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（ ） A.y =21(x +3)2－2 B.y =21(x －3)2+2 C.y =21(x －3)2－2 D.y =21(x +3)2+214.二次函数y =(3－m )x 2－2mx －m 的图象如图所示，则m 的取值范围是（ ） A.m >0 B.m <0 C.m <3 D.0<m <3xyO15.不论m 取任何实数，抛物线y =a (x +m )2+m (a ≠0)的顶点都（ ） A.在y =x 直线上 B.在直线y =－x 上 C.在x 轴上 D.在y 轴上16.任给一些不同的实数n ，得到不同的抛物线y =2x 2+n ，如当n =0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 三、考查你的基本功(共16分)17.(8分)试分别说明将抛物线：(1)y =(x +1)2；(2)y =(x －1)2；(3)y =x 2+1；(4)y =x 2－1的图象通过怎样的平移得到y =x 2的图象.例题赏析参考答案1.向下 两侧右侧2.－2 －2 43.第四4.(－4，－4)5.D6.B7.C8.D9.D 10.B 11.D 12.B习题精选参考答案1.向下 y 轴2.(－3，0)3.(0，3)4.y =－21x 2，y =x 2，y =－3x 25.开口方向、对称轴 顶点坐标6.x ≥－17.大 －27508.－2，0 < －2<x <0 －1 39.C 10.D 11.C 12.B 13.A 14.D 15.B 16.D17.将抛物线(1)向右平移一个单位，可得到y =x 2的图象. 将抛物线(2)向左平移一个单位，可得到y =x 2的图象. 将抛物线(3)向下平移一个单位，可得到y =x 2的图象. 将抛物线(4)向上平移一个单位，可得到y =x 2的图象.。
二次函数的图像与性质ppt课件
函数的凹凸性
当a>0时，函数凹；当a<0时，函数凸。
函数的零点和方程
零点是方程y=0的解，方程求解可以用二次公式。
二次函数的应用
1
抛物线运动
抛物线可以描述物体在空中的轨迹，如
弹性系数
2
抛出物体的运动轨迹。
二次函数可以表示材料的弹性特性，如
描述力和变形的关系。
3
跳水成绩预测
通过二次函数建模，可以预测跳水运动
二次函数的图像与性质 ppt课件
通过本课件，你将深入了解二次函数的定义和表达式，并学习二次函数的图 像特征，如开口方向、对称轴、最值点和零点等。还将探究二次函数的性质， 如增减性、凹凸性、最值和零点方程。从抛物线运动到报价模型，掌握二次 函数的应用。最后，了解二次函数的变形与拓展，包括平移、缩放、翻转和 混合运用。同时，我们将解决常见错误和实际问题应用。
常见错误和解决方法
1 符号错误
检查符号的正确使用，特别是a的正负。
3 图像理解错误
注意开口方向、对称轴和最值点的判断。
2 方程解法错误
仔细检查求解方程是否正确，特别是二次方 程。
4 实际问题应用
将数学模型应用到实际问题时，需考虑问题 的实际情况并合理使用二次函数。
开口方向
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时， 抛物线开口向下。
最值点
最值点是抛物线的最高点（当a>0）或最 低点（当a<0）。最值点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
二次函数的性质
函数的增减性
当a>0时，函数单调递增；当a<0时，函数单调 递减。
函数的最值
最值主要由最值点确定，注意开口方向和a的值 来确定最值。
二次函数的图像与性质-完整版课件
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，有 一个交点；当 $Delta < 0$ 时，没有交点。
• 分析：根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$，代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛 物线上，所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2：已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点，且这两点关于原点对称，求二次函数的解析式。 • 分析：根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，由于两点关于原点对称，所以有$x_1 = -x_2$和
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二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人：XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在 性判断方法
对于函数f(x)，若存在x0∈D， 使得f(x0)=0，则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断 。当Δ>0时，二次函数有两个 不相等的零点；当Δ=0时，二 次函数有两个相等的零点（即 一个重根）；当Δ<0时，二次 函数无零点。
二次函数的图像和性质讲义
二次函数图象和性质【知识点归纳】1、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.2、二次函数的图象及性质：（1）二次函数y=ax 2(a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．（2）二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条对称轴平行y 轴或者与y 轴重合的抛物线．顶点为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2b a ；当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞－2b a ，y 随x 的增大而增大，x ＜－2ba，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而减小，x ＜－2ba，y 随x 的增大而增大．（3）当a ＞0时，当x=－2b a 时，函数有最小值244ac b a -；当a ＜0时，当x =－2ba 时，函数有最大值244ac b a-3、图象的平移：将二次函数y=ax 2(a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ）形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2+k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．记住规律：左加右减，上加下减4、 用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=【典型例题】例1、二次函数y=ax 2＋bx 2＋c 的图象如图所示，则 a 0，b 0， c 0（填“＞”或“＜”＝．）例2、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）例3、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb的图象大致是图中的（ ）例4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x 2＋0．9x ＋10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？例5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）例6、抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 ．例7、已知二次函数y=（m －2）x 2＋（m ＋3）x ＋m ＋2的图象过点（0，5） （1）求m 的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．例8、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出．已知生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），每只售价为P （元），且R ，P 与x 的表达式分别为R=500＋30x ，P=170－2x ．（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？训练题A ：1．抛物线y=－2x 2＋6x －1的顶点坐标为 ，对称轴为 ．2．如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ）3．已知二次函数y=41x 2－25x ＋6，当x= 时，y最小= ；当x 时，y 随x的增大而减小．4．抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为．5．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则ac 0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。
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知识框架一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质3. ()2y a x h =-的性质： 4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五、二次函数2y ax bx c =++的性质六、二次函数解析式的表示方法七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 八、二次函数图象的对称九、二次函数与一元二次方程：考点一：二次函数的定义相关典型例题【例1】下列函数中，是二次函数的是 . ①； ②； ③； ④；【例2】如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,则k 的值一定是_______.【例3】 二次函数y=x 2+2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．－3和5 D ．3和－5 .针对性练习 1．已知二次函数，当时.2．下列各式中，y 是的二次函数的是 ( ) A ． B ．C ．D ．.3．若是二次函数，则.4．若函数是关于的二次函数，则的取值范围为 .5．已知函数是二次函数，则＝ .考点二：一般式化为顶点式典型例题【例4】分别运用公式法和配方法将二次函数y=x 2－4x+ 6化为 y=(x —h)2+k 的形式：y=___________针对性练习：1、分别用配方法和公式法把二次函数y=x 2－4x+5化成y=(x —h)2+k 的形式.2、（2011山东济宁，12，3分）将二次函数245y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，则y = ．考点三：二次函数的性质典型例题【例5】抛物线与的形状相同，则=【例6】二次函数的图象，如图所示，根据图象可得a 、b 、c 与0的大小关系是（ ）A ．a ＞0，b ＜0，c ＜0B ．a ＞0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c<0D ．a ＜0，b ＞0，c ＜0【例7】、二次函数y=2(x+3)(x-1)的x 轴的交点的个数有_______个，交点坐标为_____________.【例8】y=x 2-3x-4与x 轴的交点坐标是__________,与y 轴交点坐标是____________. 【例9】二次函数y=-x 2+6x+3的图象顶点为_________对称轴为_________.【例10】二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为_________,对称轴为________.【例11】二次函数的顶点坐标为 .【例12】二次函数y=－x 2＋6x －5，当 时，随的增大而减小.【例13】已知点A（2，），B（4，）在二次函数的图像上，则.【巩固练习】1．与抛物线的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（）A．B． C．D．2．在函数中，其图像的对称轴是轴的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．若抛物线的开口向下，顶点是（1，3），随的增大而减小，则的取值范围是（）A. B. C. D.4．二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1，则点M（b，）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，•则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=－2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(1) (2)6．已知二次函数的图象如图所示，则在“① a＜0，②b ＞0，③c＜ 0，④b2－4ac＞0”中，正确的判断是（）A.①②③④B.④C.①②③D、①④7. 如果函数y = ax2+4x-的图像的顶点的横坐标为l，则a的值为 .8. 已知抛物线y = ax2+12x-19的顶点的横坐标是3，则 a= .考点四：二次函数图像的平移典型例题【例14】把函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式是 . 【巩固练习】1．抛物线的图象可由抛物线向 平移 个单位得到，它的顶点坐标是 ，对称轴是 . 2．抛物线的图象可由抛物线的图象向 平移 个单位得到，它的顶点坐标是 ，对称轴是 .3．直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x －1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（ ）A.(0，0)B.(1，－2)C.(0，－1)D.(－2，1)★ 学生易错点 ★题目1：如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,则k 的值一定是_______.题目2：下列函数中，二次函数有 个. ①；②；③；④；⑤⑥；题目3：函数与轴的交点坐标为 .题目4：已知点A （－2，），B （4，）在二次函数的图像上，则.【当堂检测】二次函数中考题练习1. （2011山东滨州，7，3分）抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( )A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位2. （2011广东广州市，5，3分）下列函数中,当x >0时y 值随x 值增大而减小的是（ ）． A ．y = x 2B ．y = x －１C ． y = 34xD ．y = 1x3. （2011湖北鄂州，15，3分）已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34. （2011山东德州6,3分）已知函数))((b x a x y --=（其中a b >）的图象 如下面右图所示，则函数b ax y +=的图象可能正确的是5. （2011山东菏泽，8，3分）如图为抛物线2y ax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是 A ．a ＋b =－1 B ． a －b =－1 C ． b <2a D ． ac <06. （2011山东泰安，20 ，3分）若二次函数y=ax 2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：X -7 -6 -5 -4 -3 -2 y-27-13-3353则当x =1时，y 的值为A.5B.-3C.-13D.-277. （2011山东威海，7，3分）二次函数223y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ ）． A ．－1＜x ＜3B ．x ＜－1C ． x ＞3D ．x ＜－1或x ＞38. （2011山东烟台，10,4分）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ）A ．m ＝n ，k ＞hB ．m ＝n ，k ＜hyx 1 1 O （A ） yx1 -1 O （B ） yx-1-1 O （C ） 1 -1x yO （D ）第6题图C ．m ＞n ，k ＝hD ．m ＜n ，k ＝h9. （2011浙江温州，9，4分）已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A ．有最小值0，有最大值3 B ．有最小值－1，有最大值0 C ．有最小值－1，有最大值3D ．有最小值－1，无最大值10．（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( ) A ． a >0 B ． b ＜0 C ． c ＜0 D ． a ＋b ＋c >0 11. （2011甘肃兰州，5，4分）抛物线221y x x =-+的顶点坐标是A ．（1，0）B ．（－1，0）C ．（－2，1）D ．（2，－1）12. （2011甘肃兰州，9，4分）如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）240b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。
你认为其中错误．．的有A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个13、 （2011江苏宿迁,8,3分）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（） A ．a ＞0 B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C ．c ＜0 D ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根14. （2011山东济宁，8，3分）已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：x …… 0 1 2 3 4 …… y……4114……点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在函数的图象上，则当112,x <<234x <<时，1y 与2y 的大小关xy-1 1O1系正确的是A．12y y> B．12y y< C．12y y≥ D．12y y≤15. （2011山东聊城，9，3分）下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）16. （2011山东潍坊，12，3分）已知一元二次方程20(0)ax bx c a++= >的两个实数根1x、2x满足124x x+=和123x x=g，那么二次函数2(0)y ax bx c a=++ >的图象有可能是（）17．（2011四川广安，10，3分）若二次函数2()1y x m=--．当x≤l时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m=l B．m>l C．m≥l D．m≤l18.（2011上海，4，4分）抛物线y＝－(x＋2)2－3的顶点坐标是（）．(A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3）．19.（2011四川乐山5，3分）将抛物线2y x=-向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是A．2(2)y x=-+ B．22y x=-+ C．2(2)y x=-- D．22y x=--20、（2011四川凉山州，12，4分）二次函数2y ax bx c=++的图像如图所示，反比列函数ayx=与正比列函数y bx=在同一坐标系内的大致图像是（）O xyOyx Oyx O。