第六章 异方差与序列相关2

d （ d ≈ 2(1 − ρ ) ） ，在小样本的情况下，我们有 Theil 修正： 2 d n 2 (1 − ) + k 2 2 ˆ= ρ ，其中 n 为样本容量， k 为回归元的个数。 2 n − k2 ˆ = 1− ρ
4、Hildreth-Lu 方法
确定 ρ 的一组网格值，这些值通常是作为 ρ 的猜测的一些间隔开的值。 第一步，若已知 ρ > 0 ，则可选 ρ 的网格点值为 0, 0.1," , 0.9,1 用每一个网格点值对方程进行广义差分，并进行 OLS 回归。选择具有最
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3）若 ρ = 1 ，则广义差分变成一阶差分，而一阶差分后的回归方程将没
有截距项，因此在估计除截距项外的参数后，截距项的参数
ˆ =Y −β ˆ X −" − β ˆ X 。 β 1 2 t2 k tk
广义差分法在 ρ 已知时会非常有用，但 ρ 往往是未知的。因此，需 要估计 ρ 。
2、Cochrane-Orcutt 方法
ˆ。 小误差平方和的方程作为最优的方程， 并选定此时的 ρ 值为第一步的 ρ ˆ 的一个邻域内划分新的网格值，并重复第一步的过程，直 第二步，在 ρ
至达到需要的精度为止。 该方法的特点是：
1）可以收敛到 ρ 的 MLE 估计。 2）网格点的选择可以任意间隔，任意细密。
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若采用模型： Yt = β1 + β 2 X t + μt 。 则 μt 为：X t2 + ε t ，从而扰动项随解释变量的变化而变化，会导致自相关。
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③忽略了滞后效应 如：在消费支出对收入的时间序列的回归中，人们常常发现当期的消费 支出除了依赖于其他变量外，还依赖于前期的消费支出： 消费t = β1 + β 2收入t + β k 消费t −1 + ε t 如果忽略了模型中的滞后项，所造成的误差项将由于滞后消费对当前消 费的影响而反映出一种系统性模式。从而造成自相关。 4、蜘网现象 许多农产品的供应反映一种蜘网现象。供给对价格的反映要滞后一个时 期，是因为供给需要经过一定的时间才能实现。因此，供给函数是： 供给t = β1 + β 2价格t −1 + ε t 假使时期 t 的期末价格 Pt 低于 Pt −1 ，农民就很可能决定在时期 t + 1 生产比 时期 t 更少的东西。诸如此类的现象，就不能期望扰动项是不相关的，因 此，在存在蜘网现象时，很可能会出现自相关。 5、数据处理不当造成的自相关 例如对数据进行平滑。为了估计季度数据模型，我们可能会将月度数据 进行平均从而得到季度数据。而这种“平滑”可能会使扰动项出现系统 性样式，从而导致自相关。当然数据的内插和外推往往也会造成扰动项 的自相关。 需要注意的是：虽然自相关问题也可能出现在截面数据中，但大多数情 况下，自相关出现在时间序列数据中。 二、自相关的后果
这个方法是一个迭代过程，每一次迭代所产生的 ρ 的估计都比前一 次迭代的 ρ 的估计更好一些。迭代的过程如下： 第一步，用 OLS 对模型 Y = XB + ε 进行估计，对其残差进行如下的回归
ˆt = ρ1ε ˆt −1 + μt 。 分析： ε
第二步， 用估计出来的 ρ1 对 Y , X 进行广义差分得到 Y* 和 X * 。 用 Y* 和 X * 进 行 OLS 估计，将估计量代入原模型，计算新的残差，然后对新的残差进
就可能
低估了真实的最小二乘估计量的方差。
(1)最小二乘估计量仍然是线性的和无偏的。 (2)OLS估计量不再有效。 (3)OLS估计量的方差是有偏的。 (4)通常所用的 t 检验和 F 检验一般来说是不可靠的。 (5)计算得到的误差方差=残差平方和/自由度，是真实 σ 2 的有偏估计量，
它低估了真实的 σ 2 。
ˆ )= Var ( β 2
∑
σ ε2
2 t =1 t n
x
∑ (1 + 2 ρ ∑
n
t = 2 t t −1 n 2 t =1 t
xx x
+ " + 2 ρ n −1
∑
x1 xn x2 t =1 t
n
如果回归元和干 )，
ˆ ∑μ
2 i
ˆ2 = 扰都有正的自相关，不考虑自相关的扰动项方差估计 σ
n−2
ρσ ε2
#
ρ
T −2
σ ε2
" ρ T −1σ ε2 ⎞ ⎟ % # ⎟ σ ε2 ⎟ " ⎠
ρ
#
ρ
T −2
" ρ T −1 ⎞ ⎟ % # ⎟ " 1 ⎟ ⎠
2、序列相关后果
假设误差项呈现如AR（1）的模式，使用O L S法会导致什么后果呢？ 以一元回归方程 Yt = β1 + β 2 X t + ε t，ε t = ρε t −1 + μt 为例：
ˆ =ρε ˆ ˆ ˆ 行如下分析： ε t 2 t −1 + μt
第三步，用新估计出来的 ρ 2 对 Y , X 进行广义差分得到新的 Y* 和 X * 。然 后重复前两步的做法。 当进行到第 n 次迭代时， ρ n 和 ρ n −1 的差达到一定的精度要求时，停止迭 代。
3、Durbin 两步法
类似地我们可以得到：
Cov[ε t , ε t − s ] = ρ sσ ε2 ， Corr[ε t , ε t − s ] = ρ s = ρ s 。
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⎛ ε12 ε1ε 2 " ε1ε T ⎞ ⎛ σ ε2 ⎜ ⎟ ⎜ E (εε ') = E ⎜ # # % # ⎟=⎜ # 2 ⎟ ⎜ ε T ε1 ε T ε 2 " ε T ⎜ T −1 2 ⎝ ⎠ ⎝ ρ σε ⎛ 1 2⎜ = σε ⎜ # ⎜ ρ T −1 ⎝
对模型的如下变换：
Yt = β1 + β 2 X 2t + " + β k X kt + ε t
ρYt −1 = ρβ1 + ρβ 2 X 2t −1 + " + ρβ k X kt −1 + ρε t −1
两式相减得：
Yt = β1 (1 − ρ ) + ρYt −1 + β 2 X 2t − ρβ 2 X 2t −1 + " + β k X kt − ρβ k X kt −1 + ε t − ρε t −1
t =2 t =2 t =2
T
T
T
2 t
∑e
t =1
T
2 t
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当 T 充分大时， ∑ e ≈ ∑ e
t =1 2 t t =2
T
T
2 t −1
≈ ∑ e ，所以 d ≈ 2 − 2 t = 2T
t =2 2 t
T
∑e e ∑e
t =1
T
t t −1 2 t
ˆ ≈ 2 − 2ρ
ˆ 是自相关系数 ρ 的估计。由于 ρ ≤ 1 ，所以 DW ∈ [0, 4] 其中 ρ ˆ 检验判断： d ≈ 2 − 2 ρ
ρ → 0 ， d → 2 ，无自相关； ρ → 1 ， d → 1 ，正自相关； ρ → −1 ， d → 4 ，负自相关；
D-W检验适用条件： 1）检验扰动项一阶自相关 2）解释变量与扰动项不相关 3）无滞后因变量作为解释变量 4）样本容量比较大
4、D-h检验： （模型中有滞后因变量）
Yt = β1 + β 2 X t 2 + " + β K X tK + α1Yt −1 + " + α sYt − s + ε t H0 ： ρ = 0 ， T ⎛ d⎞ D − h = ⎜1 − ⎟ ˆ1 ) ⎝ 2 ⎠ 1 − T var (α
四、自相关修正
1、 ρ 已知时的广义差分
若 ρ 已知可以通过对因变量和自变量进行广义差分来消除自相关的 影响。具体做法是：
1）对数据进行变换： Yt * = Yt − ρYt −1 ， X t* = X t − ρ X t −1 ，t=2,…T。 2）用 Y* 对 X * 进行 OLS 估计，从而得到参数的有效估计。
ˆ 作为 ρ 的一个一致 对新模型进行 OLS 回归，并将 Yt −1 的系数的估计值 ρ ˆ 对原模型进行广义差分，再用 OLS 估计得到原模型参数 估计。然后用 ρ
的有效估计。
Durbin 两步法的优点：可以推广到高阶自回归过程。
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ˆ 的估计精度较低。 Durbin 两步法的缺点： ρ ˆ 注意：当对 ρ 的估计精度不太高时，可由 Durbin-Waston 统计量来求 ρ
三、自相关的检验
1、图示法
2、Durbin-Waston检验：用于检验扰动项一阶自相关。
检验的假设是：
H 0 ： ρ = 0 ，即不存在一阶自相关； H1 ： ρ ≠ 0 ，存在一阶自相关。
检验统计量为： d =
∑ (et − et −1 )
t =2
T
∑e
t =1
T
=
Байду номын сангаас
∑ et2 + ∑ et2−1 − 2∑ et et −1
1、AR(1)过程的形式和特点 Yt = X t β + ε t，ε t = ρε t −1 + μt ，
其中 E ( μt ) = 0, E ( μ t2 ) = σ 2 , Cov( μt , μ s ) = 0, t ≠ s, ρ < 1
ε t , μ s 相互独立，当 s > t 时。
2 （1） Var (ε t ) = ρ 2Var (ε t −1 ) + σ μ 。 2 ρσ μ （2） Cov[ε t , ε t −1 ] = E (ε t ε t −1 ) = E[ε t −1 ( ρε t −1 + μt )] = ρVar[ε t −1 ] = ， 1− ρ 2