【人教版】2020中考数学一轮复习 习题分类汇编十一(三角形3)(无答案) 鲁教版
2020中考数学 一轮复习：三角形综合 复习练习(含答案)
2020中考数学 一轮复习：三角形综合（含答案）一、单选题（共有10道小题）1.下列有关三角形的说法中正确的是（）①中线、角平分线、高都是线段； ②三条高必交于一点； ③三条角平分线必交于一点； ④三条高必在三角形内.A .①②B .①③C .②④D .③④2.现有两根木棒，它们的长度分别是20cm 和30cm ，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形，则应在下列四根木棒中选取( ) A.10cm 的木棒 B.20cm 的木棒 C.50cm 的木棒 D.60cm 的木棒3.已知△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( )A.30°B.40°C.60°D.80°4.如图，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，∠B ＝40°，∠ACD ＝120°，则∠A 等于（ ）A.60°B.70°C.80°D.90°5.如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于D 点，6.现有3cm ，4cm ，7cm ，9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的方案有( )A .1个B .2个C .3个D .4个7.在△ABC 中，∠A = 20°，∠B = 60°，则△ABC 的形状是( )A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形 8.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE 等于( )A.120°B.115°C.110°D.105°A9.直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中所标记的角中，与∠1互余的角有几个（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个10.如图，点C 在AB 的延长线上，CE⊥AF 于点E ，交BF 于点D ．若∠F=40°，∠C=20°，则∠FBC的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°二、填空题（共有6道小题） 11.如图：(1)AD ⊥BC,垂足为D ，则AD 是 边上的高，∠ ＝∠ ＝90o(2)AE 平分∠BAC ，交BC 于E 点，则AE 叫 ，∠ ＝∠ ＝∠(3)若AF ＝FC ，则△ABC 的中线是 ，S △ABF = . (4)若BG ＝GH ＝HF ，则AG 是 的中线，AH 是 的中线.12.在△ABC 中，点D 为AB 的中点，点E 为AC 的中点。
2020年中考数学一轮复习培优训练：《三角形》及答案
2020年中考数学一轮复习培优训练：《三角形》1．点D为△ABC外一点，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，∠DCE＝90°，CD＝CE，求证：∠ADC＝∠BEC；（2）如图2，若∠CDB＝45°，AE∥BD，CE⊥CD，求证：AE＝BD；（3）如图3，若∠ADC＝15°，CD＝，BD＝n，请直接用含n的式子表示AD的长．2．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD 是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN ＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．3．如下图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．（1）在图1中，∠ABC＝60°，AF＝3时，FC＝，BH＝；（2）在图2中，∠ABC＝45°，AF＝2时，FC＝，BH＝；（3）从第（1）、（2）中你发现了什么规律？在图3中，∠ABC＝30°，AF＝1时，试猜想BH等于多少？并证明你的猜想．4．在图1、2中，已知∠ABC＝120°，BD＝2，点E为直线BC上的动点，连接DE，以DE 为边向上作等边△DEF，使得点F在∠ABC内部，连接BF．（1）如图1，当BD＝BE时，∠EBF＝；（2）如图2，当BD≠BE时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明，若不成立请说明理由；（3）请直接写出线段BD，BE，BF之间的关系式．5．在△ABC中，AC＝BC，点E是在AB边上一动点（不与A、B重合），连接CE，点P是直线CE上一个动点．（1）如图1，∠ACB＝120°，AB＝16，E是AB中点，EM＝2，N是射线CB上一个动点．试确定点P和点N的位置，使得NP+MP的值最小．①请你在图2中画出点P和点N的位置，并简述画法：．②直接写出NP+MP的最小值．（2）如图3，∠ACB＝90°，连接BP，∠BPC＝75°且BC＝BP求证：PC＝P A．6．探究题：如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5cm，AB＝1cm，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．（1）如图1，若BP＝4cm，则CD＝；（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；（3）若△PDC是等腰三角形，则CD＝cm．（请直接写出答案）7．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A（2，0）、B（0，1）．（1）在图①中，点C坐标为；（2）如图②，点D在线段OA上，连接BD，作等腰直角三角形BDE，∠DBE＝90°，连接CE．证明：AD＝CE；（3）在图②的条件下，若C、D、E三点共线，求OD的长；（4）在y轴上找一点F，使△ABF面积为2．请直接写出所有满足条件的点F的坐标．8．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠P AB度数．9．阅读下列材料，完成（1）～（3）题：数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AC的中点，经过点A、C作射线BE的垂线，垂足分别为点F、G，连接AG．探究线段DF和AG的关系．某学习小组的同学经过思考后，交流了自己的想法：小明：“经过观察和度量，发现∠ABF和∠ACG相等．”小刚：“经过观察和度量，发现有两条线段和AF相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段DF和AG的关系．”……老师：“若点E不是AC的中点，其他条件不变（如图2），可以求出的值．”（1）求证：AF＝FG；（2）探究线段DF和AG的关系，并证明；（3）直接写出的值．10．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝度；（2）如图2，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝度；（3）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图3，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，请直接写出α，β之样的数量关系，不用证明．11．在平面直角坐标系中，点A（0，m）和点B（n，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，满足（m﹣n）2+|m+n﹣8|＝0，连接线段AB，点C为AB上一动点．（1）填空：m＝，n＝；（2）如图，连接OC并延长至点D，使得DC＝OC，连接AD．若△AOC的面积为2，求点D的坐标；（3）如图，BC＝OB，∠ABO的平分线交线段AO于点E，交线段OC于点F，连接EC．求证：①△ACE为等腰直角三角形；②BF﹣EF＝OC．12．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（1，0），点D 为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC＝2∠BDO，BD与AC交于点F，过D作DM⊥AC于点M．（1）求证：∠ABD＝∠ACD．（2）若点E在BA延长线上，求证：AD平分∠CAE．（3）在线段MC上取点G，使DG＝AD，求证：AB＝CG．13．如图（1），在四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，AB⊥AD，点E 在CD的延长线上，且∠BAC＝∠DAE．（1）求证：AC＝AE；（2）求证：CA平分∠BCD；（3）如图（2），设AF是△ABC的边BC上的高，试求CE与AF之间的数量关系．14．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE ＝β．（1）求证：△CAE≌△BAD；（2）探究：当点D在BC边上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图2，若∠BAC＝90°，CE与BA的延长线交于点F．求证：EF＝DC．15．（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：DE＝DF，AE＝AF．（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN＝∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC 相交于M、N两点，其它条件不变，那么AM，AN，AF有怎样的数量关系？并加以证明．（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC交BC 于D，∠MDN＝120°，ND∥AB，四边形AMDN的周长为．（直接写答案）．参考答案1．（1）证明：∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，又∵AC＝BC，CE＝CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC．（2）如图1，延长DC交AE于F，连BF，∵AE∥BD，∴∠EFC＝∠CDB＝45°．∵EC⊥CD，∠CEF＝∠CFE＝45°，∴EC＝CF．∵∠ACE＝∠BCF，AC＝BC，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BFC＝∠AEC＝45°＝∠FDB，∴BF＝BD，∴AE＝BD；（3）如图2，过点C在CD上方作CE⊥CD，CE＝CD，连BE、DE．设AD、BE交于点O，由（1）知△ACD≌△BCE（SAS），∠BEC＝∠ADC＝15°，∴∠DOE＝∠DCE＝90°．又∵∠CED＝∠CDE＝45°，∴＝2，∴∠BED＝30°，∴OD＝DE＝×2＝1，∴＝，OB＝＝，∴AD＝BE＝OB+OE＝+．2．解：（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下：如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠NCD＝120°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，∴BM﹣CN＝BD．3．解：（1）如图①连接CF，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴CF⊥AB，∵BH⊥AB，∴CF∥BH，∴∠CBH＝∠BCF，∵点M是BC的中点，∴BM＝MC，在△BMH和△CMF中，，∴△BMH≌△CMF（ASA），∴BH＝CF，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF＝CF，∴BH＝AF，∴AF＝CF＝BH＝3，故答案为：3，3；（2）如图②，连接CF，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴CF⊥AB，∵BH⊥AB，∴CF∥BH，∴∠CBH＝∠BCF，∵点M是BC的中点，∴BM＝MC，在△BMH和△CMF中，，∴△BMH≌△CMF（ASA），∴BH＝CF，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF＝CF，∴BH＝AF，∴AF＝CF＝BH＝2，故答案为：2，2；（3）从第（1）、（2）中发现AF＝CF＝BH；猜想BH＝1，理由如下：如图③，连接CF，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴CF⊥AB，∵BH⊥AB，∴CF∥BH，∴∠CBH＝∠BCF，∵点M是BC的中点，∴BM＝MC，在△BMH和△CMF中，，∴△BMH≌△CMF（ASA），∴BH＝CF，∵AB＝BC，BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF＝CF，∴BH＝AF，∴AF＝CF＝BH＝1．4．解：（1）∵△DEF是等边三角形，∴DF＝EF＝DE，∠DFE＝60°，∵BD＝BE，DF＝EF，BF＝BF，∴△DBF≌△EBF（SSS）∴∠DBF＝∠EBF，且∠DBF+∠EBF＝120°，∴∠EBF＝60°，故答案为：60°；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，过点F作FG⊥BC，FH⊥AB，∵∠DFE＝60°，∠ABC＝120°，∴∠FDB+∠FEB＝180°，且∠FEB+∠FEG＝180°，∴∠FDB＝∠FEG，且∠FHD＝∠FGE＝90°，FD＝EF，∴△FDH≌△FEG（AAS）∴FH＝FG，且FG⊥BC，FH⊥AB，∴∠ABF＝∠FBE＝60°；（3）由（2）可知：△FDH≌△FEG，∴DH＝EG，∴BD+BE＝BH+DH+BE＝BH+BG，∵∠ABF＝∠FBE＝60°，FG⊥BC，FH⊥AB，∴∠BFH＝∠BFG＝30°，∴BF＝2BH＝2BG，∴BF＝BH+BG＝BD+BE．5．解：（1）①如图2所示：作点M关于CE的对称点M'，过点M'作M'N⊥BC，垂足为N，交EC于点P，∵点M与点M'关于EC对称，∴MP＝M'P，∴NP+MP＝NP+M'P，∴点N，点P，点M'三点共线，且M'N⊥BC时，NP+MP的值最小；故答案为：作点M关于CE的对称点M'，过点M'作M'N⊥BC，垂足为N，交EC于点P；②∵∠ACB＝120°，BC＝CA，AB＝16，E是AB中点，∴∠B＝30°，BE＝AE＝8，且EM＝2，∴BM'＝10，∵∠B＝30°，M'N⊥BC，∴MN'＝5，∴NP+MP的最小值为5，故答案为：5；（2）如图3，在BE上截取EF＝PE，∵∠BPC＝75°，BC＝BP，∴∠BCP＝∠BPC＝75°，∴∠CBP＝30°，∵∠ACB＝90°，AC＝CB，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∴∠ABP＝15°，∵∠BPC＝∠PBE+∠BEP＝75°，∴∠BEP＝60°，且EF＝PE，∴△PEF是等边三角形，∴PE＝PF＝EF，∠FPE＝60°＝∠PFE，∵∠PFE＝∠PBE+∠BPF，∠PEF＝∠BAC+∠ACE，∴∠BPF＝∠BAC＝45°，∠ACE＝∠PBF＝15°，且BP＝BC＝AC，∴△BPF≌△CAP（ASA）∴PF＝AE，∴PE＝AE，∠PEA＝180°﹣∠BEP＝120°，∴∠EP A＝∠P AE＝30°，∵∠EP A＝∠PCA+∠P AC＝30°，∴∠PCA＝∠P AC＝15°，∴PC＝P A．6．解：（1）∵BC＝5cm，BP＝4cm，∴PC＝1cm，∴AB＝PC，∵DP⊥AP，∴∠APD＝90°，∴∠APB+∠CPD＝90°，∵∠APB+∠CPD＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠CPD，在△ABP和△PCD中，，∴△ABP≌△PCD，∴BP＝CD＝4cm；（2）PB＝PC，理由：如图2，延长线段AP、DC交于点E，∵DP平分∠ADC，∴∠ADP＝∠EDP．∵DP⊥AP，∴∠DP A＝∠DPE＝90°，在△DP A和△DPE中，，∴△DP A≌△DPE（ASA），∴P A＝PE．∵AB⊥BP，CM⊥CP，∴∠ABP＝∠ECP＝Rt∠．在△APB和△EPC中，，∴△APB≌△EPC（AAS），∴PB＝PC；（3）∵△PDC是等腰三角形，∴△PCD为等腰直角三角形，即∠DPC＝45°，又∵DP⊥AP，∴∠APB＝45°，∴BP＝AB＝1cm，∴PC＝BC﹣BP＝4cm，∴CD＝CP＝4cm，故答案为：4．7．（1）解：如图①中，作CH⊥y轴于H．∵A（2，0），B（0，1），∴OA＝2，OB＝1，∵∠CHB＝∠AOB＝∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠OAB＝90°，∠ABO+∠CBH＝90°，∴∠CBH＝∠OAB，∵AB＝BC，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴CH＝OB＝1，OA＝BH＝2，∴OH＝OB+BH＝3，∴C（1，3）．故答案为（1，3）．（2）证明：如图②中，∵△DBE，△ABC都是等腰直角三角形，∴∠DBE＝∠ABC＝90°，BD＝BE，BA＝BC，∴∠DBA＝∠EBC，∴△DBA≌△EBC（SAS），∴EC＝AD．（3）解：如图②中，设CD交AB于J．∵△DBA≌△EBC，C，E，D共线，∴∠BCD＝∠BAD，∵∠BCD+∠CJB＝90°，∠CJB＝∠AJD，∴∠BAD+∠AJD＝90°，∴∠ADJ＝90°，∴CD⊥OA，∵C（1，3），∴OD＝1．（4）解：设F（0，m）．由题意：•|m﹣1|•2＝2，∴m＝3或﹣1，∴F（0，3）或（0，﹣1）8．解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．理由：如图1中，∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，∴△MBP≌△ANP（SAS），∴MB＝AN．延长MB交AN于点C．∵△MBP≌△ANP，∴∠P AN＝∠PMB，∵∠P AN+∠PNA＝90°，∴∠PMB+∠PNA＝90°，∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，∴BM⊥AN．（Ⅱ）结论成立理由：如图2中，∵△APM，△BPN，都是等边三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°∴∠MPB＝∠APN＝120°，又∵PM＝P A，PB＝PN，∴△MPB≌△APN（SAS）∴MB＝AN．（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．∵△APM，△PBN都是等边三角形∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，∴PC＝P A＝PM＝PB＝PN，∵∠APC＝60°，∴△APC为等边三角形，∴∠P AC＝∠PCA＝60°，又∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，∴∠P AB＝∠P AC+∠CAB＝90°．9．（1）证明：如图1中，作AH⊥AG交BG于H．∵∠BAC＝∠HAG＝90°，∴∠BAH＝∠CAG，∵BG⊥CG，∴∠EAB＝∠EGC＝90°，∵∠AEB＝∠CEG，∴∠ABH＝∠ACG，∵AB＝AC，∴△ABH≌△ACG（ASA），∴AH＝AG，∵AF⊥FG，∠HAG＝90°，∴FH＝FG，∴AF＝FG＝FH．（2）解：结论：AG＝2DF，DF⊥AG．理由：如图2中，连接AD，DG，作DK⊥BG于K．∵∠BAC＝∠BGC＝90°，BD＝CD，∴DA＝DG＝BC，∵DF＝DF，AF＝FG，∴△DF A≌△DFG（SSS），∴∠ADF＝∠GDF，∴DF⊥AG，∵DK∥CG，BD＝DC，∴BK＝KG，∴DK＝CG，∵AE＝CE，∠AFE＝∠CGE，∠AEF＝∠CEG，∴△AEF≌△CGE（AAS），∴AF＝CG＝2DK，∵△ADF≌△GDF，∴∠AFD＝∠GFD＝135°，∵∠AFK＝90°，∴∠DFK＝45°，∴DF＝DK∵AG＝AF，∴AG＝2DF．（3）由（2）可知：CG＝2DK，DF＝DK，∴＝＝10．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案为：90；（2）∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABD＝∠ACB＝60°，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°，故答案为：120．（3）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB＝β，∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°．②如图1：当点D在射线BC上时，α+β＝180°，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，即：∠BCE+∠BAC＝180°，∴α+β＝180°，如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．连接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE．∴α＝β；综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．11．解：（1）∵（m﹣n）2+|m+n﹣8|＝0，∴m＝n＝4，故答案为：4，4；（2）如图1，过点C作CH⊥OA，CG⊥OB，∵点A（0，4）和点B（4，0），∴OA＝OB＝4，＝×4×4＝8，∴S△ABO∵△AOC的面积为2，＝6＝×OB×CG＝×4×CG，∴AO×CH＝×4×CH＝2，S△BOC∴CH＝1，CG＝3，∴点C（1，3），∵DC＝OC，∴点D（2，6）（3）①∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵BE平分∠ABO，∴∠EBO＝∠EBC，且BE＝BE，OB＝OC，∴△OBE≌△CBE（SAS）∴∠EOB＝∠ECB＝90°，∴∠ACE＝90°，且∠OAB＝45°，∴∠CAE＝∠AEC＝45°，∴AC＝CE，且∠ACE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形；②如图2，作OM平分∠AOB，交BE于点M，∵OM平分∠AOB，∴∠AOM＝∠BOM＝45°，∴∠AOM＝∠BOM＝∠OAB＝∠OBA，∵OB＝OC，BE平分∠ABO，∠ABO＝45°，∴∠OBE＝22.5°，BE⊥OC，∠COB＝∠OCB＝67.5°，∴∠AOC＝22.5°＝∠COM，∴∠AOC＝∠BOM，且OB＝OA，∠OAB＝∠OBM，∴△ACO≌△OMB（ASA）∴BM＝OC，∵∠EFO＝∠MFO＝90°，OF＝OF，∠AOC＝∠COM，∴△EFO≌△MFO（ASA）∴EF＝FM，∴BF﹣EF＝BF﹣FM＝BM＝OC．12．（1）证明：∵B（﹣1，0），C（1，0），∴OB＝OC＝1，∵OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠BDC＝2∠BDO，∵∠BAC＝2∠BDO，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BAC+∠ABD＝∠AFD＝∠BDC+∠ACD，∴∠ABD＝∠ACD．（2）作DN⊥AE，垂足为N．∵DM⊥AC于点M，∴∠DNB＝∠DMC＝90°，在△DNB和△DMC中，，∴△DNB≌△DMC（AAS），∴DN＝DM，又∵DN⊥AE于N，DM⊥AC于点M，∴AD平分∠CAE．（3）∵DG＝AD，∴∠DAG＝∠DGA，∵AD平分∠CAE，∴∠DAG＝∠DAE．∴∠DGA＝∠DAE．∵∠DAE+∠DAB＝∠DGA+∠DGC＝180°，∴∠DAB＝∠DGC，在△DAB和△DGC中，，∴△DAB≌△DGC（AAS）∴AB＝CG．13．（1）证明：如图（1），∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，在△ABC与△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA）∴AC＝AE．（2）证明：如图（1），∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，∠BCA＝∠E，∴∠ACD＝∠E，∴∠BCA＝∠E＝∠ACD，即CA平分∠BCD；（3）解：EC＝2AF．证明如下：如图（2），过点A作AM⊥CE，垂足为M，∵AM⊥CD，AF⊥CF，∠BCA＝∠ACD，∴AF＝AM，又∵∠BAC＝∠DAE，∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°，∵AC＝AE，∠CAE＝90°，∴∠ACE＝∠AEC＝45°，∵AM⊥CE，∴∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°，∴CM＝AM＝ME，又∵AF＝AM，∴EC＝2AF．14．（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，∴∠CAE＝∠BAD．∵AD＝AE，AC＝AB，∴△CAE≌△BAD（SAS）．（2）解：α+β＝180°，理由如下：由△CAE≌△BAD，∴∠ACE＝∠B．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．∴∠ACE＝∠B＝∠ACB．∴∠BCE＝β＝2∠B，在△ABC中，∠BAC＝α＝180°﹣2∠B．∴α+β＝180°．（3）证明：由（1）知，△CAE≌△BAD，∴CE＝BD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，由（2）得，∠BCF+∠BAC＝180°．∴∠BCF＝90°．∴∠F＝∠B＝45°，∴CF＝CB．∴CF﹣CE＝CB﹣BD．∴EF＝DC．15．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴DE＝DF，AE＝AF；（2）解：AM+AN＝2AF；证明如下：由（1）得DE＝DF，∵∠MDN＝∠EDF，∴∠MDE＝∠NDF，在△MDE和△NDF中，，∴△MDE≌△NDF（ASA），∴ME＝NF，∴AM+AN＝（AE+ME）+（AF﹣NF）＝AE+AF＝2AF；（3）解：过点D作DE⊥AB于E，由（2）可知AM+AN＝2AC＝2×6＝12，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∵ND∥AB，∴∠ADN＝∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠ADN，∴AN＝DN，在Rt△CDN中，DN＝2CN，∵AC＝6，∴DN＝AN＝×6＝4，∵∠BAC＝60°，∠MDN＝120°，∴∠CDE＝∠MDN，∴DM＝DN＝4，∴四边形AMDN的周长＝12+4×2＝20．故答案为：20．。
2020年中考数学一轮复习三角形有关概念及全等三角形测试题含答案
2020年中考数学一轮复习三角形有关概念及全等三角形测试题一、选择题（本大题有6小题，第6小题选做一题,每小题3分，共18分） 1、下列命题中，假命题．．．是( ) A ．对顶角相等 B ．三角形两边和小于第三边 C ．菱形的四条边都相等 D ．多边形的内角和等于360° 2、下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ） A ．3cm ，4cm ，8cm B ．8cm ，7cm ，15cm C ．5cm ，5cm ，11cm D ．13cm ，12cm ，20cm3、如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A 等于( ) A.30° B．35° C.40° D．50°4、如图4，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△CDB 的是（ ） A ．∠A＝∠C B ．AB ＝DC C ．∠A DB ＝∠DBC D．AD ＝BC5、如图，在△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（ ） A ．65° B ．60° C ．55° D ．45°6～A 、如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点， 且AC=CD=BD=BE ，∠A=50°，则∠CDE 的度数为（ D ） A ．50° B ．51° C ．51.5° D ．52.5°6～B 、如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD 上的两点，连接MO 、NO ，并分别延长交边BC 于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对mn第3题图21CBAD第4题第5题二、填空题（本大题有6小题，第12小题选做一题，每小题3分，共18分） 7、在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=6cm ，则BC= . 8、如图，在ΔABC 中，∠B=67°，∠C ＝33°，AD 是ΔABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为9、如图，在▱ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且BE∥DF， 请从图中找出一对全等三角形： ．10、将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的 直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上， 则∠1的度数为11、如图，OP 平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA， PD⊥OA 于点D ，PC=4，则PD= ．12～A 、已知3是关于x 的方程x 2﹣（m+1）x+2m=0的 一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为12～B 、如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和 ∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=___ __° 三、本大题有5小题，每小题6分，共30分13、如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，求∠C 的度数.14、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AB 的垂直平分线交AC 点E ，垂足为点D ，连接BE ，求∠EBC 的度数.CABDBFDE AC15、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．16、如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．17、如图，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．四、本大题有3小题，每小题8分，共24分18、将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．19、已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．五、本大题2小题，第小题9分，共18分 21、问题引入：(1)如图①，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝ ___ _(用α表示)；如图②，∠CBO＝13∠ABC，∠BCO＝13∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝__ ____(用α表示)．如图③，∠CBO＝13∠DBC，∠BCO＝13∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______(用α表示)．类比研究：(2)BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC，∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO＝1n∠DBC，∠BCO＝1n ∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．22、如图(1)，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D 、E.证明:DE=BD+CE.(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3) 拓展与应用：如图(3)，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互OCBA② ABCO①O C B AED③不重合）,点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，试判断△DE F 的形状.六、本大题从两小题中选做一题，共12分23～A 、一节数学课后，老师布置了一道课后练习题： 如图，已知在Rt△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O ，点PD 分别在AO 和BC 上，PB=PD ，DE⊥AC 于点E ，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：ABCE D m（图1）（图2）（图3）mABCDEADEBFC m根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程． （2）特殊位置，证明结论若PB 平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD ． （3）知识迁移，探索新知若点P 是一个动点，点P 运动到OC 的中点P′时，满足题中条件的点D 也随之在直线BC 上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）23～B 、某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： ●操作发现：在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论正确的是 （填序号即可） ①AF=AG=21AB ；②MD=ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB ． ●数学思考：在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探索：在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状． 答： ．测试题答案一、选择题（本大题有6小题，第6小题选做一题,每小题3分，共18分） 1、下列命题中，假命题．．．是( D ) A ．对顶角相等 B ．三角形两边和小于第三边 C ．菱形的四条边都相等 D ．多边形的内角和等于360° 2、下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ D ） A ．3cm ，4cm ，8cm B ．8cm ，7cm ，15cm C ．5cm ，5cm ，11cm D ．13cm ，12cm ，20cm3、如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A 等于( C ) A.30° B．35° C.40° D．50°4、如图4，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△CDB 的是（ D ） A ．∠A＝∠C B ．AB ＝DC C ．∠A DB ＝∠DBC D．AD ＝BC5、如图，在△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（ A ） A ．65° B ．60° C ．55° D ．45°mn第3题图21CBAD第4题第5题6～A 、如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点， 且AC=CD=BD=BE ，∠A=50°，则∠CDE 的度数为（ D ） A ．50° B ．51° C ．51.5° D ．52.5°6～B 、如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是BD 的中点，若M 、N 是边AD 上的两点，连接MO 、NO ，并分别延长交边BC 于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（ C ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对二、填空题（本大题有6小题，第12小题选做一题，每小题3分，共18分） 7、在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=6cm ，则BC= 3cm . 8、如图，在ΔABC 中，∠B=67°，∠C ＝33°，AD 是ΔABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为 40°9、如图，在▱ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且BE∥DF， 请从图中找出一对全等三角形： △ADF≌△BEC ． 10、将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的 直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上， 则∠1的度数为 75°11、如图，OP 平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA， PD⊥OA 于点D ，PC=4，则PD= 2 ．12～A 、已知3是关于x 的方程x 2﹣（m+1）x+2m=0的 一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为 10或1112～B 、如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和 ∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=___66.5___° 三、本大题有5小题，每小题6分，共30分13、如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，求∠C 的度数.解：由题意得，∠AED=180°﹣∠A﹣∠ADE=70°， ∵点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CABDBFDE AC∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠C=∠AED=70°14、如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC点E，垂足为点D，连接BE，求∠EBC 的度数.解：在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°得：∠ABC=∠C=72°.由AB的垂直平分线交AC得AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=72°-36°=36°.15、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．证明：∵FC∥AB，∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AE=CE．16、如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．证明：由BE＝CF可得BC＝EF，又AB＝DE，AC＝DF，故△ABC≌△DEF（SSS），则∠B=∠DEF，∴AB∥DE．17、如图，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．解：补充条件：EF=BC，可使得△ABC≌△DEF．理由如下：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即：AC=DF，∵BC∥EF，∴∠EFD=∠BCA，在△EFD和△BCA中，，∴△EFD≌△BCA（SAS）．四、本大题有3小题，每小题8分，共24分18、将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．（1）证明：∵CF平分∠DCE，∴∠1=∠2=∠DCE，∵∠DCE=90°，∴∠1=45°，∵∠3=45°，∴∠1=∠3，∴AB∥CF；（2）∵∠D=30°，∠1=45°，∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．19、已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠1=∠DCE，∵AF∥CE，∴∠AFB=∠ECB，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠ECB，∴∠AFB=∠1，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）解：由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，∴∠1=∠DCE=65°，∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．五、本大题2小题，第小题9分，共18分21、问题引入：(1)如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝___ _(用α表示)；如图②，∠CBO＝13∠ABC，∠BCO＝13∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝__ ____(用α表示)．如图③，∠CBO＝13∠DBC，∠BCO＝13∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______(用α表示)．类比研究：(2)BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC，∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO＝1n∠DBC，∠BCO＝1n ∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝______．解：(1)第一个空填：90°＋2α；第二个空填：90°＋3α．第三个空填：120°－3α．(2) 答案：120°－3α．过程如下：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB) ＝180°－ 1n (∠DBC＋∠ECB)＝180°－1n (180°＋∠A)＝n−1n·180°－αn ．22、如图(1)，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D 、E.证明:DE=BD+CE.(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3) 拓展与应用：如图(3)，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合）,点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，试判断△DE F 的形状. OCBA② ABCO①O C B AED③ABCE Dm（图1）（图2）（图3）mABCDEADEBFC m证明：(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m ∴∠B DA ＝∠CEA=90° ∵∠BAC＝90°∴∠BA D+∠CAE=90° ∵∠BAD+∠AB D=90°∴∠CAE=∠AB D又AB=AC ∴△A DB ≌△CEA ∴AE =BD ，AD=CE ∴DE=AE+AD= BD+CE (2)∵∠BDA =∠BAC=， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°— ∴∠DBA=∠CAE∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC ∴△A DB ≌△CEA ∴AE=BD，AD=CE ∴DE=AE+AD=BD+CE （3）由（2）知，△A DB ≌△CEA ， BD=AE ，∠DBA =∠CAE∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形 ∴∠ABF=∠CAF=60° ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ∴∠DBF=∠FAE ∵B F=AF ∴△DBF ≌△EAF ∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60° ∴△DEF 为等边三角形.六、本大题从两小题中选做一题，共12分23～A 、一节数学课后，老师布置了一道课后练习题： 如图，已知在Rt△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O ，点PD 分别在AO 和BC 上，PB=PD ，DE⊥AC 于点E ，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：ααα根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程． （2）特殊位置，证明结论若PB 平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD ． （3）知识迁移，探索新知若点P 是一个动点，点P 运动到OC 的中点P′时，满足题中条件的点D 也随之在直线BC 上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程） （1）证明：∵PB=PD，∴∠2=∠PBD， ∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠C=45°，∵BO⊥AC，∴∠1=45°，∴∠1=∠C=45°，∵∠3=∠PBO﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C，∴∠3=∠4， ∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠BOP=∠PED=90°， 在△BPO 和△PDE 中∴△BPO≌△PDE（AAS ）；（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，∵BP 平分∠ABO，∴∠ABP=∠3，∴∠ABP=∠4， 在△ABP 和△CPD 中∴△ABP≌△CPD（AAS ），∴AP=CD．（3）CD′与AP′的数量关系是CD′=AP′．23～B 、某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论正确的是 （填序号即可） ①AF=AG=21AB ；②MD=ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB ． ●数学思考：在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探索：在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状．答： ．解：●操作发现：①②③④●数学思考：答：MD=ME ，MD ⊥ME ， １、MD=ME ；如图2，分别取AB ，AC 的中点F ，G ，连接DF ，MF ，MG ，EG ， ∵M 是BC 的中点， ∴MF ∥AC ，MF=21AC ． 又∵EG 是等腰Rt △AEC 斜边上的中线， ∴EG ⊥AC 且EG=21AC ，∴MF=EG ． 同理可证DF=MG ． ∵MF ∥AC ，∴∠MFA ＋∠BAC=180°．同理可得∠MGA+∠BAC=180°， ∴∠MFA=∠MGA ．又∵EG ⊥AC ，∴∠EGA=90°． 同理可得∠DFA=90°，∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA ，即∠DFM=∠MEG ，又MF=EG ，DF=MG ， ∴△DFM ≌△MGE （SAS ）， ∴MD=ME ． 2、MD ⊥ME ；∵MG ∥AB ，∴∠MFA+∠FMG=180°，又∵△DFM ≌△MGE ，∴∠MEG=∠MDF.∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°， 其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°，∴∠DME=90°.即MD ⊥ME ； ●类比探究答：等腰直角三解形。
2020年九年级数学中考一轮专题汇编 考点三角形和四边形 压轴题提高训练检测卷 含答案
2020年九年级数学中考一轮专题汇编考点三角形和四边形压轴题提高训练检测卷含答案1、如图，在△ABC中，∠ACB=90︒，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F.（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30︒时，求证：四边形ECBF是菱形.2、如图，将矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；（2）若AB=3，BC=9，求线段CE的取值范围．3、如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AC=BC=5，AB=6，AE是△ABC的中线．（1）用无刻度的直尺画出△ABC的高CH（保留画图痕迹）；（2）求△ACE的面积．4、如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．（1）若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．（2）若固定一根木条AB不动，AB=2cm，量得木条CD=5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A、C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．5、已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．6、四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．7、如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接A，P并过Q作QE⊥AP垂足为E．（1）求证：△ABP∽△QEA；（2）当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；（3）设△QEA的面积为y，用运动时刻t表示△QEA的面积y（不要求考t的取值范围）．（提示：解答（2）（3）时可不分先后）8、已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．9、现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是；（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？（4）如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说明）10、如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．11、如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长CA 至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC．连接AD，AF，DF，EF．延长DB 交EF于点N．（1）求证：AD=AF；（2）求证：BD=EF；（3）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．12、如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，M 是边CD 上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN ，当DM＝1时，求△ABN 的面积；（3）当射线BN 交线段CD于点F时，求DF的最大值．13、数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD=120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．（1）初步尝试如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；（2）类比发现如图2，若AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH；（3）深入探究如图3，若AD=3AB，探究得：的值为常数t，则t= ．14、我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）15、如图①，△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH=CH，连结BD．（1）求证：BD=AC；（2）将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE．①如图②，当点F落在AC上时，（F不与C重合），若BC=4，tanC=3，求AE的长；②如图③，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE 相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．16、如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F 处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有①②⑤（写出所有正确结论的序号）①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为2；⑤当△ABP≌△ADN时，BP=4﹣4．17、如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x 的取值范围（不用说明理由）．答案1、 (1) 证明：∵D，E分别为边AC，AB的中点，∴DE∥BC，即EF∥BC.又∵BF∥CE，∴四边形ECBF是平行四边形.(2)证法一：∵∠ACB=90︒，∠A=30︒，E为AB的中点，∴12CB AB=，12CE AB=.∴CB CE=.又由(1)知，四边形ECBF是平行四边形,[来源:] ∴四边形ECBF是菱形.证法二：∵∠ACB=90︒，∠A=30︒，E为AB的中点，∴12BC AB BE==，∠ABC=60︒.∴△BCE是等边三角形. ∴CB CE=.又由(1)知，四边形ECBF是平行四边形,∴四边形ECBF是菱形. 证法三：∵E为AB的中点，∠ACB=90︒，∠A=30︒，∴12CE AB BE==, ∠ABC=60︒.∴△BCE是等边三角形.∴CB CE.又由(1)知，四边形ECBF是平行四边形,2、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE=∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，∴∠GEF=∠FEC，∴∠GFE=∠FEG，∴GF=GE，∵图形翻折后BC与GE完全重合，∴BE=EC，∴GF=EC，∴四边形CEGF为平行四边形，∴四边形CEGF为菱形；（2）解：如图1，当F与D重合时，CE取最小值，由折叠的性质得CD=DG，∠CDE=∠GDE=45°，∵∠ECD=90°，∴∠DEC=45°=∠CDE，∴CE=CD=DG，∵DG∥CE，∴四边形CEGD是矩形，∴CE=CD=AB=3；如图2，当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得AE=CE，∵∠B=90°，∴AE2=AB2+BE2，即CE2=32+（9﹣CE）2，∴CE=5，∴线段CE的取值范围3≤CE≤5．3、【解答】解：（1）如图，连接BD，BD与AE交于点F，连接CF并延长到AB，则它与AB的交点即为H．理由如下：∵BD、AC是▱ABCD的对角线，∴点O是AC的中点，∵AE、BO是等腰△ABC两腰上的中线，∴AE=BO，AO=BE，∵AO=BE，∴△ABO≌△BAE（SSS），∴∠ABO=∠BAE，△ABF中，∵∠FAB=∠FBA，∴FA=FB，∵∠BAC=∠ABC，∴∠EAC=∠OBC，由可得△AFC≌BFC（SAS）∴∠ACF=∠BCF，即CH是等腰△ABC顶角平分线，所以CH是△ABC的高；（2）∵AC=BC=5，AB=6，CH⊥AB，∴AH=AB=3，∴CH==4，∴S△ABC=AB•CH=×6×4=12，∵AE是△ABC的中线，∴S△ACE =S△ABC=6．4、【解答】解：（1）相等．理由：连接AC，在△ACD和△ACB中，，∴△ACD≌△ACB，∴∠B=∠D．（2）设AD=x，BC=y，当点C在点D右侧时，，解得，当点C在点D左侧时，解得，此时AC=17，CD=5，AD=8，5+8＜17，∴不合题意，∴AD=13cm，BC=10cm．5、【解答】解：（1）∵正方形ABCD∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPA（AAS）∴AP=BQ（2）①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ6、【解答】证明：（1）∵BE=DF，∴BE﹣EF=DF﹣EF，即BF=DE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在Rt△ADE与Rt△CBF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CBF；（2）如图，连接AC交BD于O，∵Rt△ADE≌Rt△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．7、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形；∴∠BAP+∠QAE=∠B=90°，∵QE⊥AP；∴∠QAE+∠EQA=∠AEQ=90°∴∠BAP=∠EQA，∠B=∠AEQ；∴△ABP∽△QEA（AA）（2）∵△ABP≌△QEA；∴AP=AQ（全等三角形的对应边相等）；在RT△ABP与RT△QEA中根据勾股定理得AP2=32+t2，AQ2=（2t）2即32+t2=（2t）2解得t1=，t2=﹣（不符合题意，舍去）答：当t取时△ABP与△QEA全等．（3）由（1）知△ABP∽△QEA；∴=（）2∴=（）2整理得：y=．8、【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中，，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE﹣AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠GCO，在△EOA和△GOC中，，∴△EOA≌△GOC，∴EO=GO，AE=CG，在RT△EFG中，∵EO=OG，∴OE=OF=GO，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=GF，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG+CG，∴CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠AEO=∠G，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG，∴OE=OG，AE=CG，在RT△EFG中，∵OE=OG，∴OE=OF=OG，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG﹣CG，∴CF=OE﹣AE．9、（2）仍成立．证明：如图2，连接AC、BD，则由正方形ABCD可得，∠BOC=90°，BO=CO，∠OBM=∠OCN=45°∵∠MON=90°∴∠BOM=∠CON在△BOM和△CON中∴△BOM≌△CON（ASA）∴OM=ON（3）如图3，过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分别为E、F，则∠OEM=∠OFN=90°又∵∠C=90°∴∠EOF=90°=∠MON∴∠MOE=∠NOF在△MOE和△NOF中∴△MOE≌△NOF（AAS）∴OE=OF又∵OE⊥BC，OF⊥CD∴点O在∠C的平分线上∴O在移动过程中可形成线段AC（4）O在移动过程中可形成直线AC．10、【解答】解：（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，∴PM=BD，PN=AE，∴PM=PM，∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，∴∠MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°，即PM⊥PN；（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∴△ACE≌△BCD．∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，∴∠BHO=∠ACO=90°．∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM=BD，PM∥BD；PN=AE，PN∥AE．∴PM=PN．∴∠MGE+∠BHA=180°．∴∠MGE=90°．∴∠MPN=90°．∴PM⊥PN．（3）PM=kPN∵△ACB和△ECD是直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∵BC=kAC，CD=kCE，∴=k．∴△BCD∽△ACE．∴BD=kAE．∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM=BD，PN=AE．∴PM=kPN．11、【解答】（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABF=135°，∵∠BCD=90°，∴∠ABF=∠ACD，∵CB=CD，CB=BF，∴BF=CD，在△ABF和△ACD中，，∴△ABF≌△ACD（SAS），∴AD=AF；（2）证明：由（1）知，AF=AD，△ABF≌△ACD，∴∠FAB=∠DAC，∴∠EAB=∠BAC=90°，∴∠EAF=∠BAD，在△AEF和△ABD中，，∴△AEF≌△ABD（SAS），∴BD=EF；（3）解：四边形ABNE是正方形；理由如下：∵CD=CB，∠BCD=90°，∴∠CBD=45°，由（2）知，∠EAB=90°，△AEF≌△ABD，∴∠AEF=∠ABD=90°，∴四边形ABNE是矩形，又∵AE=AB，∴四边形ABNE是正方形．12、【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=32+x2，解得：x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴；（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC，∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴，∵AH≤AN=3，AB=4，∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH，∵AD=BC，∴AH=BC，在△ABH和△BFC中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH，由勾股定理得：，∴DF的最大值=DC-CF=．13、【解答】解；（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=120°，∴∠D=∠B=60°，∵AD=AB，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，∵∠ECF=60°，∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，∴∠BCE=∠ACF，在△BCE和△ACF中，∴△BCE≌△ACF．②∵△BCE≌△ACF，∴BE=AF，∴AE+AF=AE+BE=AB=AC．（2）设DH=x，由由题意，CD=2x，CH=x，∴AD=2AB=4x，∴AH=AD﹣DH=3x，∵CH⊥AD，∴AC==2x，∴AC2+CD2=AD2，∴∠ACD=90°，∴∠BAC=∠ACD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠ACH=60°，∵∠ECF=60°，∴∠HCF=∠ACE，∴△ACE∽△HCF，∴==2，∴AE=2FH．（3）如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．∵∠ECF+∠EAF=180°，∴∠AEC+∠AFC=180°，∵∠AFC+∠CFN=180°，∴∠CFN=∠AEC，∵∠M=∠CNF=90°，∴△CFN∽△CEM，∴=，∵AB•CM=AD•CN，AD=3AB，∴CM=3CN，∴==，设CN=a，FN=b，则CM=3a，EM=3b，∵∠MAH=60°，∠M=90°，∴∠AHM=∠CHN=30°，∴HC=2a，HM=a，HN=a，∴AM=a，AH=a，∴AC==a，AE+3AF=（EM﹣AM）+3（AH+HN﹣FN）=EM﹣AM+3AH+3HN﹣3FN=3AH+3HN﹣AM= a，∴==．故答案为．14、【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH=BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG=BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH是菱形．证明：如图2中，连接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF=AC，FG=BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．（3）四边形EFGH是正方形．证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．15、【解答】解：（1）在Rt△AHB中，∠ABC=45°，∴AH=BH，在△BHD和△AHC中，，∴△BHD≌△AHC，∴BD=AC，（2）①如图，在Rt△AHC中，∵tanC=3，∴=3，设CH=x，∴BH=AH=3x，∵BC=4，∴3x+x=4，∴x=1，∴AH=3，CH=1，由旋转知，∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°，EH=AH=3，CH=DH=FH，∴∠EHA=∠FHC，，∴△EHA≌△FHC，∴∠EAH=∠C，∴tan∠EAH=tanC=3，过点H作HP⊥AE，∴HP=3AP，AE=2AP，在Rt△AHP中，AP2+HP2=AH2，∴AP2+（3AP）2=9，∴AP=，∴AE=；②由①有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，∴∠GAH=∠HCG=90°，∴△AGQ∽△CHQ，∴，∴，∵∠AQC=∠GQE，∴△AQC∽△GQH，∴=sin30°=．16、【解答】解：∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，∵∠CPN+∠NPB=180°，∴2∠NPM+2∠APE=180°，∴∠MPN+∠APE=90°，∴∠APM=90°，∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，∴∠CPM=∠PAB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，∴△CMP∽△BPA．故①正确，设PB=x，则CP=4﹣x，∵△CMP∽△BPA，∴=，∴CM=x（4﹣x），∴S=[4+x（4﹣x）]×4=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣2）2+10，四边形A M C B∴x=2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，当PB=PC=PE=2时，设ND=NE=y，在RT△PCN中，（y+2）2=（4﹣y）2+22解得y=，∴NE≠EP，故③错误，作MG⊥AB于G，∵AM==，∴AG最小时AM最小，∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣x（4﹣x）=（x﹣1）2+3，∴x=1时，AG最小值=3，∴AM的最小值==5，故④错误．∵△ABP≌△ADN时，∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，∴∠KPA=∠KAP=22.5°∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，∴∠BPK=∠BKP=45°，∴PB=BK=z，AK=PK=z，∴z+z=4，∴z=4﹣4，∴PB=4﹣4故⑤正确．故答案为①②⑤．：当y=0时，2x+3=0，x=﹣17、【解答】解：（1）直线l1与x轴坐标为（﹣，0）则直线l1：当y=3时，2x﹣3=3，x=3直线l2与AB的交点坐标为（3，3）；则直线l2（2）①若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连结AC，如图1，∠APB＞∠ACB＞45°，∴△APM不可能是等腰直角三角形，∴点M不存在；②若点P为直角顶点时，点M在第一象限，如图2，过点M作MN⊥CB，交CB的延长线于点N，则Rt△ABP≌Rt△PNM，∴AB=PN=4，MN=BP，设M（x，2x﹣3），则MN=x﹣4，∴2x﹣3=4+3﹣（x﹣4），x=，∴M（，）；③若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图3，设M（x，2x﹣3），1过点M1作M1G1⊥OA，交BC于点H1，则Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1，∴AG1=M1H1=3﹣（2x﹣3），∴x+3﹣（2x﹣3）=4，x=2∴M1（2，1）；设M2（x，2x﹣3），同理可得x+2x﹣3﹣3=4，∴x=，∴M2（，）；综上所述，点M的坐标为（，），（2，1），（，）；（3）x的取值范围为﹣≤x＜0或0＜x≤或≤x≤或≤x ≤2．。
2020年中考数学一轮复习解直角三角形训练试题含答案
2020年中考数学一轮复习《解直角三角形》测试题一、选择题（本大题有6小题，第6小题选做一题,每小题3分，共18分）1、tan45°的值为（）A． B． 1 C．D．2、在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）A、3sin40°B、3sin50°C、3tan40°D、3tan50°3、关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°4、若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A、30°＜α＜45°B、45°＜α＜60°C、60°＜α＜90°D、30°＜α＜60°5、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．0.56～A、如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）．A． B．51 C． D．1016～B、如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A、4kmB、2kmC、2kmD、（+1）km二、填空题（本大题有6小题，第12小题选做一题，每小题3分，共18分）7、已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米．8、如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB=2000米，则他实际上升了米．9、在ABC ∆中，若90C ∠=︒，1sin 2A =，2AB =，则ABC ∆的周长为10、如图，菱形ABCD 的边长为15，sin∠BAC=，则对角线 AC 的长为 .11、已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+ β =0， 则α+β= ．12～A 、如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗 杆ED ，从办公楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗 杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是 12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB 的高度约为（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）12～B 、如图，在正方形ABC D 外作等腰直角△CDE，DE=CE ， 连接BE ，则tan∠EBC= ．三、本大题有5小题，每小题6分，共30分13、计算：（ ﹣1）0﹣ ×sin60°+（﹣2）2．14、如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm, ∠CBD=40°,求点B 到CD 的距离.(参考数据：sin20°≈ 0.342,com20°≈0.940, sin40°≈ 0.643, com40°≈ 0.766.精确到0.1cm,可用科学计算器).15、如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°，求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）．16、如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D 与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．17、某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由．四、本大题有3小题，每小题8分，共24分18、南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处，为了防止某国还巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．19、2019年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 1.73，结果精确到0.1米）20、如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为65°，热气球与高楼的水平距离AD为120m.求这栋高楼的高度. （结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）五、本大题2小题，第小题9分，共18分21、如图是吊车在吊一物品时的示意图，已知吊车底盘CD的高度为2米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（精确到0.1米）？（参考数据：sin10°＝cos80°＝0.17；cos10°＝sin80°＝0.98；sin20°＝cos70°＝0.34；tan70°＝2.75,sin70°＝0.94）22、如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm．（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm）（参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）六、本大题从两小题中选做一题，共12分23～A、如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为，顶部A处的高AC为4m，B、C 在同一水平地面上。
2020年中考数学一轮复习 作业本：11 三角形(含答案)
2020年中考数学一轮复习作业本：11 三角形一、选择题1.设三角形三边之长分别为3，8，1﹣2a，则a的取值范围为( )A.3＜a＜6B.﹣5＜a＜﹣2C.﹣2＜a＜5D.a＜﹣5或a＞22.如图，为了估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玥同学在池塘一侧选取一点O，测得OA=12米，OB=7米，则A，B间的距离不可能是（）-+-=520a bA.5米B.7米C.10米D.18米3.a-=，则△ABC的周长为 ( ）若a,b为等腰△ABC的两边，且满足50A.9B.12C.15或12D.9或124.下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是（）。
A.（1）B.（2）C.（3）D.（4）5.若一个三角形三个内角度数的比为2：3：4，那么这个三角形是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形6.如图，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）A.7.5°B.10°C.15°D.18°7.已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A.6B.7C.8D.98.如图三角形的顶点落在折叠后的四边形内部，则∠γ与∠α+∠β之间的关系是（）A.∠γ=∠α+∠βB.2∠γ=∠α+∠βC.3∠γ=2∠α+∠βD.3∠γ=2(∠α+∠β)二、填空题9.一个多边形内角和是一个四边形内角和的4倍，则这个多边形的边数是。
10.若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是__ __。
11.如图，△ABC的两条中线AM、BN相交于点O，已知△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为．12.若三角形三边长为3、2a-1、8，则a的取值范围是 .13.如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=，则∠BCA的度数为 .14.如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1＋∠2的度数为°．三、解答题15.一个多边形的内角和比四边形的内角和多540°并且这个多边形的各个内角都相等，这个多边形的每个内角等于几度？16.如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长.17.如图,已知△ABC中,∠A=70°,∠ABC=48°,BD⊥AC于D，CE是∠ACB的平分线,BD与CE交于点F,求∠CBD、∠EFD的度数．18.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，并证明你的结论．19.如图，已知在△ABC 中，D 为BC 上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120°，求∠DAC 的度数．20. (1)如图(1),在△ABC中,∠C>∠B,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC,则∠EAD与∠B,∠C有和数量关系？(2)如图(2),AE平分∠BAC,F为其上一点,FD⊥BC于D,这时∠EFD与∠B、∠C又有何数量关系？(3) 如图(3),AE平分∠BAC,F为AE的延长线上的一点，FD⊥BC于D,这时∠AFD与∠B、∠C又有何数量关系？参考答案1.B2.答案为：B.3.答案为：B.4.D5.B6.C7.D8.B9.答案为：10；10.答案为：6；11.答案为：412.答案为：3＜a＜613.答案为：60°，114.答案为：180°．15.略16.717.∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣70°﹣48°=62°．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°．∴∠CBD=90°﹣∠ACB=90°﹣62°=28°；∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=∠ACB=×62°=31°．∴∠EFD=∠ACE+∠BDC=31°+90°=121°．故答案为：∠CBD、∠EFD的度数分别为28°，121°．18.19.略20.略。
2020年中考数学一轮复习：几何基础与三角形过关测试卷含解析
2020年中考数学一轮复习：几何基础与三角形过关测试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，每小题只有一个正确答案，共24分）1．（3分）如图，AB∥CD，∠DCE＝80°，则∠BEF＝（）A．120°B．110°C．100°D．80°2．（3分）若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是（）A．1B．5C．7D．93．（3分）如图，直线EO⊥AB于O，CD平分∠EOB，则∠BOC的度数为（）A．120°B．130°C．135°D．140°4．（3分）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°．则∠C等于（）A．40°B．65°C．75°D．115°5．（3分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．BD＝CD B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA 6．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．3.5B．4.2C．5.8D．77．（3分）如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．12B．16C．20D．248．（3分）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是（）A．2B．3C．4D．5二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则△ABC的外角∠BCD＝度．10．（3分）如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE＝150°，则∠C的度数为．11．（3分）如图，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝度．12．（3分）某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是．13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若BD＝5，BD：CD＝5：3，AB＝10，则△ABD的面积是．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为cm．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝5cm，则EF＝cm．16．（3分）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB＝30°．有以下四个结论：①AF丄BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：DE＝：4，其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，AE＝EC，CF∥AB．求证：AD＝CF．18．（6分）如图，AB∥CD．（1）用直尺和圆规作∠C的平分线CP，CP交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）中作出的线段CE上取一点F，连接AF．要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）．19．（6分）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明：猜想：；证明：．四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．21．（8分）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．23．（9分）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC+CD．（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．六、（本小题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使P A+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则P A+PB＝A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图2，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图3，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求P A+PC的最小值是；（3）如图4，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝5，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．25．（10分）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，每小题只有一个正确答案，共24分）1．（3分）如图，AB∥CD，∠DCE＝80°，则∠BEF＝（）A．120°B．110°C．100°D．80°【分析】根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF＝180°，代入求出即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DCE+∠BEF＝180°，∵∠DCE＝80°，∴∠BEF＝180°﹣80°＝100°．故选：C．2．（3分）若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是（）A．1B．5C．7D．9【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边＞两边之差，即4﹣3＝1，而＜两边之和，即4+3＝7，即1＜第三边＜7，∴只有5符合条件，故选：B．3．（3分）如图，直线EO⊥AB于O，CD平分∠EOB，则∠BOC的度数为（）A．120°B．130°C．135°D．140°【分析】根据直线EO⊥AB，可知∠EOB＝90°，根据CD平分∠EOB，可知∠BOD＝45°，再根据邻补角的定义即可求出∠BOC的度数．【解答】解：∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°，∵CD平分∠EOB，∴∠BOD＝45°，∴∠BOC＝180°﹣45°＝135°，故选：C．4．（3分）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°．则∠C等于（）A．40°B．65°C．75°D．115°【分析】由∠A＝40°，∠AOB＝75°，根据三角形内角和定理，即可求得∠B的度数，又由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠C的值．【解答】解：∵∠A＝40°，∠AOB＝75°．∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB＝180°﹣40°﹣75°＝65°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠B＝65°．故选：B．5．（3分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．BD＝CD B．AB＝AC C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA 【分析】根据全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析即可．【解答】解：A、添加BD＝CD不能判定△ABD≌△ACD，故此选项符合题意；B、添加AB＝AC可利用SAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；C、添加∠B＝∠C可利用AAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；D、添加∠BDA＝∠CDA可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；故选：A．6．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．3.5B．4.2C．5.8D．7【分析】利用垂线段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出AB＝6，可知AP最大不能大于6．此题可解．【解答】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，∴AB＝6，∴AP的长不能大于6．故选：D．7．（3分）如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．12B．16C．20D．24【分析】根据平移的性质易得AD＝BE＝2，那么四边形ABFD的周长即可求得．【解答】解：∵将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，∴AD＝BE＝2，各等边三角形的边长均为4．∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BE+FE+DF＝16．故选：B．8．（3分）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据三角形ABC的面积为2，可知三角形的底边长为4，高为1，或者底边为2，高为2，可通过在正方形网格中画图得出结果．【解答】解：C点所有的情况如图所示：故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则△ABC的外角∠BCD＝110度．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，根据三角形的内角和定理求出∠B，∠根据三角形的外角性质即可求出答案．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝70°，∴∠BCD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，故答案为：110．10．（3分）如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE＝150°，则∠C的度数为120°．【分析】先利用邻补角可计算出∠BDC＝30°，再利用平行线的性质得∠ABD＝∠BDC ＝30°，接着根据角平分线定义得∠CBD＝∠ABD＝30°，然后根据三角形内角和计算∠C的度数．【解答】解：∵∠CDE＝150°，∴∠BDC＝180°﹣150°＝30°，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC＝30°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝30°，∴∠C＝180°﹣∠BDC﹣∠CBD＝180°﹣30°﹣30°＝120°．故答案为120°．11．（3分）如图，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝95度．【分析】运用全等求出∠D＝∠C，再用三角形内角和即可求．【解答】解：∵△OAD≌△OBC，∴∠OAD＝∠OBC；在△OBC中，∠O＝65°，∠C＝20°，∴∠OBC＝180°﹣（65°+20°）＝180°﹣85°＝95°；∴∠OAD＝∠OBC＝95°．故答案为：95．12．（3分）某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是6．【分析】先根据多边形的外角和为360°求出其内角和，再根据多边形内角和定理即可求出多边形的边数．【解答】解：∵多边形内角和与外角和共1080°，∴多边形内角和＝1080°﹣360°＝720°，设多边形的边数是n，∴（n﹣2）×180°＝720°，解得n＝6．故答案为：6．13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若BD＝5，BD：CD＝5：3，AB＝10，则△ABD的面积是15．【分析】过D作DE⊥AB于E，由BD＝5，BD：CD＝5：3，即可求得CD的长，然后由角平分线的性质，求得DE的长，继而求得答案．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝DC，∵BD＝5，BD：CD＝5：3，∴CD＝3，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，∴DE＝CD＝3，∵AB＝10，∴△ABD的面积是：AB•DE＝×10×3＝15．故答案为：15．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为8cm．【分析】由于DE为AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到CD＝BD，由此推出△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+AD+BD＝AC+AB，即可求得△ACD的周长．【解答】解：∵DE为BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+AD+BD＝AC+AB，而AC＝3cm，AB＝5cm，∴△ACD的周长为3+5＝8cm．故答案为：8．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝5cm，则EF＝5cm．【分析】已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB＝2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，∴CD＝AB，又∵EF是△ABC的中位线，∴AB＝2CD＝2×5＝10cm，∴EF＝×10＝5cm．故答案为：516．（3分）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB＝30°．有以下四个结论：①AF丄BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：DE＝：4，其中正确结论的序号是①②③④．【分析】①根据已知得出∠CAF＝30°，∠GAF＝60°，进而得出∠AFB的度数；②利用ASA证明△ADG≌△ACF得出答案；③利用△AGO≌△AFO，得出AO＝CO＝AC，进而得出BO＝CO＝AO，即O为BC的中点；④利用假设DG＝x，∠DAG＝30°，得出AG＝x，GE＝3x，进而得出答案．【解答】解：∵两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB＝30°．∴∠CAF＝30°，∴∠GAF＝60°，∴∠AFB＝90°，∴AF丄BC故①正确；∵AD＝AC，∠DAG＝∠CAF，∠D＝∠C＝60°，∴△ADG≌△ACF故②正确；∵△ADG≌△ACF，∴AG＝AF，∵AO＝AO，∠AGO＝∠AFO＝90°，∴△AGO≌△AFO（HL），∴∠OAF＝30°，∴∠OAC＝60°，∴AO＝CO＝AC，BO＝CO＝AO，∴O为BC的中点故③正确；假设DG＝x，∵∠DAG＝30°，∴AG＝x，∴GE＝3x，④∵DE＝DG+GE＝4x∴AG：DE＝：4故④正确；故答案为：①②③④．三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，AE＝EC，CF∥AB．求证：AD＝CF．【分析】求证边相等，要先想到利用全等三角形的性质，这是一般思路．根据ASA证明△AED≌△CEF求解．【解答】证明：∵AB∥CF，∴∠A＝∠ECF．又∵∠AED＝∠CEF，AE＝CE，∴△AED≌△CEF．∴AD＝CF．18．（6分）如图，AB∥CD．（1）用直尺和圆规作∠C的平分线CP，CP交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）中作出的线段CE上取一点F，连接AF．要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）．【分析】（1）本题首先作出图形．（2）要使△ACF≌△AEF，添加AF⊥CE或∠CAF＝∠EAF后可分别根据AAS判定△ACF ≌△AEF．【解答】解：（1）作图如右；（2）取点F和画AF正确（如图）；添加的条件可以是：添加AF⊥CE，可根据AAS判定△ACF≌△AEF；添加∠CAF＝∠EAF，可根据AAS判定△ACF≌△AEF等．（选一个即可）19．（6分）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明：猜想：BE∥DF，BE＝DF；证明：连接BD，交AC于点O，连接DE，BF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，AO＝CO，又∵AF＝CE，∴AE＝CF，∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE∥DF，BE＝DF．【分析】首先连接BD，交AC于点O，连接DE，BF．由四边形ABCD是平行四边形，可得BO＝OD，AO＝CO，又由CE＝AF，可得OE＝OF，即可证得四边形BEDF是平行四边形，则可得BE∥DF，BE＝DF【解答】答：猜想：BE∥DF，BE＝DF．证明：证法一：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形．∴BC＝AD，∠1＝∠2，∵在△BCE和△DAF中，，∴△BCE≌△DAF（SAS），∴BE＝DF，∠3＝∠4，∴BE∥DF．证法二：如图2，连接BD，交AC于点O，连接DE，BF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，AO＝CO，又∵AF＝CE，∴AE＝CF，∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE∥DF，BE＝DF．故答案为：BE∥DF，BE＝DF；连接BD，交AC于点O，连接DE，BF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，AO＝CO，又∵AF＝CE，∴AE＝CF，∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE∥DF，BE＝DF．四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【分析】（1）ED是AC的垂直平分线，可得AE＝EC；∠A＝∠C；已知∠A＝36，即可求得；（2）△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，可得∠B＝72°又∠BEC＝∠A+∠ECA＝72°，所以，得BC＝EC＝5；【解答】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5．答：（1）∠ECD的度数是36°；（2）BC长是5．21．（8分）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．【分析】（1）因为这两个三角形是直角三角形，BC＝BD，因为AD∥BC，还能推出∠ADB ＝∠EBC，从而能证明：△ABD≌△ECB．（2）因为∠DBC＝50°，BC＝BD，可求出∠BDC的度数，进而求出∠DCE的度数．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC．∵CE⊥BD，∠A＝90°，∴∠A＝∠CEB，在△ABD和△ECB中，∵∠A＝∠CEB，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠BCE，又∵BC＝BD∴△ABD≌△ECB；（2）解：∵∠DBC＝50°，BC＝BD，∴∠EDC＝（180°﹣50°）＝65°，又∵CE⊥BD，∴∠CED＝90°，∴∠DCE＝90°﹣∠EDC＝90°﹣65°＝25°．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．【分析】（1）由OB＝OC，即可求得∠OBC＝∠OCB，又由，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三角形的内角和等于180°，即可证得△ABC是等腰三角形；（2）首先连接AO并延长交BC于F，通过证△AOB≌△AOC（SSS），得到∠BAF＝∠CAF，即点O在∠BAC的角平分线上．【解答】（1）证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，∴∠BEC＝∠CDB＝90°，∵∠BEC+∠BCE+∠ABC＝∠CDB+∠DBC+∠ACB＝180°，∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE＝180°﹣∠CDB﹣∠CBD，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：点O在∠BAC的角平分线上．理由：连接AO并延长交BC于F，在△AOB和△AOC中，∴△AOB≌△AOC（SSS）．∴∠BAF＝∠CAF，∴点O在∠BAC的角平分线上．23．（9分）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC+CD．（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED＝∠C，ED＝CD，又由∠AED＝∠ACB，∠ACB＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，即∠B＝∠BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC+CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED＝CD，∠AED＝∠ACD，又由∠ACB＝2∠B，易证DE＝EB，则可求得AC+AB＝CD．【解答】解：（1）猜想：AB＝AC+CD．证明：如图②，在AB上截取AE＝AC，连接DE，∵AD为∠BAC的角平分线时，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠AED＝∠C，ED＝CD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，∵∠AED＝∠B+∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴EB＝ED，∴EB＝CD，∴AB＝AE+DE＝AC+CD．（2）猜想：AB+AC＝CD．证明：在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED．∵AD平分∠F AC，∴∠EAD＝∠CAD．在△EAD与△CAD中，AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△EAD≌△CAD（SAS）．∴ED＝CD，∠AED＝∠ACD．∴∠FED＝∠ACB，又∵∠ACB＝2∠B∴∠FED＝2∠B，∠FED＝∠B+∠EDB，∴∠EDB＝∠B，∴EB＝ED．∴EA+AB＝EB＝ED＝CD．∴AC+AB＝CD．六、（本小题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使P A+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则P A+PB＝A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图2，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图3，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求P A+PC的最小值是2；（3）如图4，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝5，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．【分析】（1）由题意易得PB+PE＝PD+PE＝DE，在△ADE中，根据勾股定理求得即可；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，求A′C的长，即是P A+PC 的最小值；（3）作出点P关于直线OA的对称点M，关于直线OB的对称点N，连接MN，它分别与OA，OB的交点Q、R，这时三角形PEF的周长＝MN，只要求MN的长就行了．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB＝PD，由题意易得：PB+PE＝PD+PE＝DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE＝＝；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，P A+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC＝60°∴∠A′OC＝120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD＝60°∵OA′＝OA＝2∴A′D＝，∴A′C＝2，即P A+PC的最小值是2；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB 于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM＝ON＝OP＝5，∠MOA＝∠POA，∠NOB＝∠POB，∴∠MON＝2∠AOB＝2×45°＝90°，在Rt△MON中，MN＝＝＝5．即△PQR周长的最小值等于5．故答案为：；2．25．（10分）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【分析】（1）因为点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，所以AP＝BQ．AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，因而运用边角边定理可知△ABQ≌△CAP．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得CQM 的度数．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t．分别就①当∠PQB＝90°时；②当∠BPQ ＝90°时利用直角三角形的性质定理求得t的值．（3）首先利用边角边定理证得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性质定理得到∠BPC＝∠MQC．再运用三角形角间的关系求得∠CMQ的度数．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°。
2019-2020年九年级数学第一轮复习《三角形》过关测试题
2019-2020年九年级数学第一轮复习《三角形》过关测试题班级： 姓名：【知识梳理】三角形1、三角形基础知识三边关系边角关系2、三角形的分类3、等腰三角形4、三角形的全等5、三角形的相似6、直角三角形与锐角三角函数《三角形》1 基础知识部分 【知识重温】4、等腰三角形的性质性质1：等边等角性质2：等腰三角形三线合一【能力训练】1、（07浙江义乌）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=6cm，则BC=_____cm.2、（07年娄底市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝40º，AC∥BD，则∠ABD＝__________。
3、如图（5）BC⊥ED于点M，∠A=27°，∠D=20°，则∠B= °，∠ACB= °4、已知三角形三边长为3，4，则第三边为，若该边为偶数有个。
5、等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为．6、（08重庆）已知一等腰三角形两内角之比为1∶4，则其顶角的度数为（）A）200 B）1200 C）200或1200 D）3607、等腰△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠A＝_____8、 07年长沙）△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，当BC=10cm时，DE= cm。
9、现有2cm、4cm、4cm、8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）.A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个10、如图，中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD= 。
11、如图，在△ABC中, AB=AC,点D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：DE=DF．CA D12、如图，已知的中垂线交于点，交于点，有下面4个结论： ①射线是的角平分线； ②是等腰三角形； ③∽； ④≌。
（1）判断其中正确的结论是哪几个？（2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明。
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（三角形3）
9、如图，点A、E、B、D在同一条直线上，AE=DB，AC=DF，AC∥DF.请探索BC与EF有怎样的位置关系？并说明理由。
10、如图，河流的两岸PQ，MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN的A处测的∠DAN=35°，然后沿河岸走了120米到达B处，测的∠CBN=70°，求河流的宽度CE（结果保留两个有效数字）。
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70， Sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
11、如果两个相似三角形的一组对应边分别为3cm和5cm，且较小三角形的周长为15cm，则较大三角形的周长为__________cm．
12、云南2009年秋季以来遭遇百年一遇的全省性特大旱灾，部分坝塘干涸，小河、小溪断流，更为严重的情况是有的水库已经见底，全省库塘蓄水急剧减少，为确保城乡居民生活用水，有关部门需要对某水库的现存水量进行统计，以下是技术员在测量时的一些数据：水库大坝的横截面是梯形ABCD（如图7所示），AD BC
∥，EF为水面，点E在DC上，测得背水坡AB的长为18米，倾角30
B
∠=°，迎水坡CD上线段DE的长为8
米，120
ADC
∠=°．
（1）请你帮技术员算出水的深度（精确到0.01 1.732）；
（2）就水的深度而言，平均每天水位下降必须控制在多少米以内，才能保证现有水量至少能使用20天？（精确到0.01米）
13、在Rt ABC △中，90C ∠=︒，若10BC AD =，平分BAC ∠交BC 于点D ，且32BD CD =∶∶，则点D 到线段AB 的距离为_______.
14、如图，小明家所住楼房的高度10AB =米，到对面较高楼房的距离20BD =米，当阳光刚好从两楼房的顶部射入时，测得光线与水平线的夹角为40︒.据此，小明便知楼房CD 的高度.请你写出计算过程。
（结果精确到0.1米.参考数据：sin 400.6400.77tan 400.84︒≈︒≈︒≈，cos4，）.
14题图 15题图
15、如图，有一块等腰梯形的草坪，草坪上底长48米，下底长108米，上下底相距40米，现要在草坪中修建一条横、纵向的“H ”型甬道，甬道宽度相等，甬道面积是整个梯形面积的
2
13
.设甬道的宽为x 米.（1）求梯形ABCD 的周长；（2）用含x 的式子表示甬道的总长；（3）求甬道的宽是多少米？
16、如图，点D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，若DE ＝6，则BC ＝ ．
第13题图
D
C
B
A
B
P A
C
D
A
D
C
F
E
B
17、已知△ABC∽△C
B
A'
'
'，且
ABC
S
∆
∶
C
B
A
S
'
''
'
∆
＝16∶9，若AB＝2，则B
A'
'= ．
18、某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上探测点A、B相距4m，探测线
与地面的夹角分别是30º和60º，试确定生命所在点C的深度(结果精确到0.1m，参考数据：2≈1.414，：3≈1.732)．
18题图
19题图
19、如图，OP平分∠AOB，且OA＝OB。
（1）写出图中三对你认为全等的三角形（注：不添加任何辅助线）；（2）从（1）中任选一个结论进行证明。
20、如图，一幢楼房前有一棵竹子，楼底到竹子的距离CB为2米，阵风吹过，竹子的顶端恰好到达楼顶，此时测
得竹子与水平地面的夹角为75°,求这棵竹子比楼房高出多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin75°=0.996 , cos75°=0.259 , tan75°=3.732）
A
D E
B C
20．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？
16．如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．（1）你添加的条件是．
（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．
20.如图，某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端B 处的俯角为30︒，荷塘另一端D 处与C 、B 在同一条直线上，
BD
已知32AC =米，16CD =米，求荷塘宽
为多少米？( 1.73≈，结果保留整数)
16.如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒ ，点D 是AB 边上的一点，DM AB ⊥，
且DM AC =， 过点M 作ME BC ∥交AB 于点E 。
求证：ABC MED ∆≅∆
5.如图，在∆ABC 中，∠︒B=67，∠︒C=33，AD 是∆ABC 的角平分线，则AD ∠C 的度数为
.A 40︒ B. 45︒
C. 50︒
D. 55︒。