第8章 功率谱估计-第1讲

[rx2 (k ) rx (k m)rx (k m)][ N m k ]
一般观测数据量N很大， N m k
mk N m k N (1 )N N
N ˆx (m)] var[来自 ( N m )2N m 1 k 1 m N

[rx2 (k ) rx (k m)rx (k m)]
估计量的方差：
ˆx (m)] E{r ˆx (m) E[r ˆx (m)])2} E[r ˆx2 (m)] rx2 (m) var[r
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8.2.1 经典方法
1. BT法 可以证明，
1 ˆx (m)] var[r ( N m )2
N m 1 k 1 m N

2 N m 1 k 1 m N

[rx2 (k ) rx (k m)rx (k m)]
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8.2.1 经典方法
1. BT法
ˆx(m)] 0 ，并且 当 N 时，var[r
ˆx(m)] var[r ˆx (m)] var[r ˆx(m) 虽然是有偏估计，但是渐近一致估计，估计 r ˆx (m) 的方差。实际应用中多用这种有 量的方差小于 r ˆx (m) 表示。 偏自相关估计。也用符号 r
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8.2.1 经典方法
1. BT法
此式表明，只有当 N m, N 时，估计量的方差才趋于 0，此估计是渐近一致估计。但是当 m N 时，方差将很大， 因此，这种方法在一般情况下不是一种好的估计方法。虽然是 无偏的，但不能算是一致的。
有偏自相关函数的估计 ˆx(m) 表示，估计器为 有偏自相关函数用 r
2. 周期图法 周期图法都是用获得的 N个数据对随机信号进行谱估 计可利用FFT 进行计算，因而有计算效率高的优点， 在谱分辨率要求不高的地方可用这种方法进行谱估计 ，但它又一个突出的缺点就是谱分辨率低。因为周期 图法隐含着对无限长数据在时域加了一个长度为N的 矩形窗。时域中与矩形窗函数的相乘对应于频域中与 矩形窗频谱相卷积，所以估计谱就相当于真实谱与矩 形窗频谱相卷积的结果。矩形窗频谱为
WR ( )
n
RN ( n )e

jn
e jn
n 0 N 1 2
N 1
1 e jN sin N 2 j e j 1 e sin 2
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8.2.1 经典方法
2. 周期图法 它的频谱图如图所示。得到的功率谱估计是它 与真实功率谱的卷积，由于它与 函数比较有二 方面的差别，一是主瓣不是无限窄、二是有旁瓣 ，因此卷积的结果必然造成失真。
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8.2.1 经典方法
1. BT法 BT法功率谱估计采用有偏自相关函数估计法，
1 N m 1 ˆx (m) r x(n) x( n m) N n 0
对上式进行傅里叶变换，得到BT法的功率谱估计 值为
jm ˆ (e ) r ˆ P ( m ) e , M N 1 BT x j m M M

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8.2.1 经典方法
1. BT法
x
x
x
1 N m 1 ˆx (m) r x(n) x(n m) N m n 0
自身估计的需要，功率谱估计的需要。
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8.2.1 经典方法
1. BT法 利用观测到的实随机序列 x(n)(n 0,1, , N 1) ，估计 自相关函数的两种方法是：无偏和有偏自相关函数 估计。 无偏自相关函数的估计 估计器为
(5)
Px (e j ) 是随机变量，必须对其取统计平均值，得到
2 N 1 j j n Px (e ) lim E x(n)e N n N 2 N 1
(6)
上式被认为是功率谱的另一定义。
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8.1 总述
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8
8.1 总述
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9
经典谱估计方法大多 属于非参数化的谱估 计方法
(4)
将(4)式代入(1)式，得到
Px (e ) rx (m)e jm
j m
N 1 * j m lim x ( n ) x ( n m ) e N m 2 N 1 n N N 1 * j n j ( n m ) lim [ x ( n ) e ][ x ( n m ) e ] N m 2 N 1 n N
矩形窗频谱的幅度函数
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8.2.1 经典方法
由于主瓣不是无限窄的，与主瓣卷积后使功率向附近 频域扩散，使信号模糊，降低了分辨率，主瓣愈宽分辨率 愈差，如下图所示。图（a）是真实谱的两个峰；（b）矩 形窗谱与真实谱得卷积结果；（c）是两个峰离得比较远的 情况，此时原峰还能分辨；（d）是两个峰离得比较近的情 况，此时无法分辨出两个峰的位置。
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8.2 功率谱估计的非参数化方法
经典方法 经典方法的改进算法
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8.2.1 经典方法
1. BT法 由R.Blackman J.Tukey 1958年提出，又称自相关 函数法或间接法。
Px (e ) rx ( m)e jm
j m j m ˆ = rx (m)e m
8.2.1 经典方法
1. BT法 估计量的方差： 由两种估计的关系式
Nm ˆx(m) ˆx (m) r r N
(m) 的方差为 ˆxx 知估计量 r
Nm 2 ˆx(m)] ( ˆx (m)] var[r ) var[r N
Nm N ˆx(m)] var[r 2 N ( N m )
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8.2.1 经典方法
2. 周期图法 由于矩形窗谱存在旁瓣，也将产生两个结果，其 一是PSD主瓣内的能量，一是功率谱主瓣内的能 量“泄漏”到旁瓣使谱估计的方差增大，二是与 旁瓣卷积后得到的功率谱完全属于干扰。严重情 况下，强信号与旁瓣的卷积可能大于弱信号与主 瓣的卷积，使弱信号淹没在强信号的干扰中而无 法检测出来。
X N ( )= x(n)e jn
n 0 N 1
是周期函数
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8.2.1 经典方法
2. 周期图法
N 1 1 j j n ˆ (e ) P x ( n ) e PER N n0 2
上式的绝对值符号内的部分可以用FFT计算，这样 周期图法的计算框图如下图所示。
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8.2.1 经典方法
（N 1 ） m N 1
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8.2.1 经典方法
1. BT法 估计性能分析： 估计量的偏差：
ˆx (m)] rx (m) B E[r
1 N m 1 ˆx (m)] E[r E[ x(n) x(n m)] rx (m) N m n 0
B 0 ，这是一种无偏估计。
基本思想：以傅立叶变换为基础，附以加窗、平均、平 滑等预处理或后处理。 优缺点 优点：简单易行、计算效率高 缺点：分辨率低、旁瓣效应，数据短时缺点更突出 适用范围：长数据 主要方法：自相关法（B－T法）、周期图法 两种方法相互关系 － 二者存在联系，均采用加窗(加窗平均)来改善特性 － FFT的出现使二者获得新生，并引入细化FFT － 都存在致命缺点：分辨率(区分2个邻近谱峰的能力)低
1 N m 1 ˆx (m) r x ( n ) x ( n m) 0 m N 1 N m n 0 （N 1 ） m0 ˆx (m) r ˆx (m) r
也可写成一个表达式
1 N m 1 ˆx (m) r x(n) x(n m) N m n 0
rx (m) E[ x* (n) x(n m)]
(3)
对于平稳随机信号，服从各态历经性，集合平均可 以用时间平均代替，可推出功率谱的另一个定义。
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8.1 总述
将(3)式中的集合平均用时间平均代替，得
N 1 * rx (m) lim x (n ) x (n m ) N 2 N 1 n N
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第8章 功率谱估计
8.1 总述 8.2 谱估计的非参数化方法 8.3 AR模型功率谱估计
8.4 ARMA模型功率谱估计 8.5 最小方差谱估计
8.6 多重信号分类法 8.7 扩展Prony方法
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8.1 总述
信号和系统进行分析方法：
1.时域 维纳-卡尔曼滤波和自适应滤波 2.频域方法。 确定性信号利用傅里叶变换，随机信号，其傅里叶变 换不存在，因此研究它的功率谱。在实际应用中，通常只能 采集或观测到平稳随机过程的一个抽样序列的一段(有限个) 数据，如果根据这有限个已知数据来估计随机过程的功率谱 的问题，简称谱估计(谱分析)问题。
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8.1 总述
图a BT法
图b 最大熵法
图c Pisarenko谐波分解法
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第8章 功率谱估计
8.1 总述 8.2 谱估计的非参数化方法 8.3 AR模型功率谱估计
8.4 ARMA模型功率谱估计 8.5 最小方差谱估计
8.6 多重信号分类法 8.7 扩展Prony方法
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8.2 功率谱估计的非参数化方法

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8.1 总述
令 l n m ，则
j N 1 j n * jl Px (e ) lim [ x ( n ) e ] [ x ( l ) e ] N l 2 N 1 n N
N 1 j n lim x ( n ) e N 2 N 1 n N 2
m ˆx(m)] B rx (m) E[r rx (m) N
ˆx(m)] E[r Nm rx (m) N