广义正定阵和正稳定矩阵及其相互关系
H矩阵,正定矩阵,正稳定矩阵,P矩阵之关系
H矩阵,正定矩阵,正稳定矩阵,P矩阵之关系
永学荣
【期刊名称】《西安交通大学学报》
【年(卷),期】1997(031)004
【摘要】研究了Ｈ矩阵、正定矩阵、正稳定矩阵及Ｐ矩阵之间的一些关系，并获得关于这些矩阵的一些新信息。
【总页数】5页(P103-107)
【作者】永学荣
【作者单位】西安交通大学
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.两类分块矩阵的性质与矩阵正稳定和亚正定判定 [J], 游兆永;黄廷祝
2.稳定矩阵、正定矩阵和M-矩阵的新判定 [J], 王大飞;耿宏瑞;刘静
3.广义正定矩阵与稳定矩阵的关系 [J], 袁开明
4.广义正定矩阵与稳定矩阵,M—矩阵的关系 [J], 唐先华
5.一些正定矩阵类及正稳定矩阵类之间的关系 [J], 邢伟
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数值代数主要知识点
20世纪最好的十个算法( Computing in Science & Engineering 评选)1.1946.Los Alamos的Von Neumann,Stan Vlam,Nick Metropolis编的Metropolis算法,即Monte Carlo方法2.1947兰德公司的Grorge Dantzig创造的线性规划的单纯性算法3.1950.美国国家标准局数值分析所的Magnus Hestenes,Edward Stiefel, Cornelius Lanczos的Krylovz空间迭代法4.1951 橡树岭国家实验室的Alston Householder矩阵计算的分解方法5.1951 John Backus在IBM领导的小组研制的Fortron最优编译程序6.1959-61 伦敦的Ferranti Ltd的J.G.F.Francis的称为QR的算法的计算机本征值的稳定的算法7.1962London的Elliot Brothers Ltd的Tony Hoare提出的快速(按大小)分类法8.1965 IBM的Cooley与Princeton及Bell的Turkey的FFT算法9.1977 Brighham Young大学的Helaman Ferguson和Rodney Forcede的整数关系侦察算法10.1987 Yale的Leslie Greengard和Vladinimir Rokhlin发明的快速多级算法数值代数上课内容：一、预备知识（基础）1）误差分析2）范数理论3）初等变换与矩阵分解二、线性方程组的求解1）直接法2）迭代法3）最小二乘问题与矩阵广义逆三、矩阵特征值问题1）普通特征值问题a)幂法和反幂法b)QR方法2）对称特征值问题各部分的主要知识要点：（主要看上课笔记）一、预备知识（基础）§1 误差分析基本要求：1）了解数值代数的研究对象与特点及主要研究内容2）了解误差的基本知识及误差来源、误差种类3）了解浮点运算和舍入误差分析4）了解算法的评价及算法的向后稳定§2范数理论基本要求：1）熟练掌握向量范数的定义，会判断给定的某个函数是否是向量范数（范数的三个条件正定性、齐次性和三角不等式）2）了解常用向量范数、范数等价定理3）熟练掌握矩阵范数的定义，会判断给定的某个函数是否是矩阵范数（范数的三个条件正定性、齐次性和三角不等式）4）熟练掌握几个特殊的矩阵范数－算子范数、相容范数、酉不变范数的定义5）掌握常用矩阵范数1－范数，2－范数， －范数，F－范数的定义，并清楚且会证明它们分别属于算子范数、相容范数、酉不变范数的那一种范数6）会证明常用的范数不等式7）了解矩阵的谱和谱半径的定义二、初等变换与矩阵分解§1初等变换（主要看上课笔记）基本要求：1）了解初等变换的一般形式和一般初等变换的性质2）熟练掌握两种特殊的初等变换－Gauss消元变换、Household变换a)熟练掌握Gauss消元变换的定义和性质，特别是消元性质，会利用Gauss消元变换对向量进行消元b) 熟练掌握Householder变换/初等Hermit阵的定义和性质，特别是变换性质和消元性质，会利用Householder变换对向量进行消元，会求Householder变换矩阵3)熟练掌握Givens旋转变换的定义和性质，特别是消元性质即消元特点，会灵活运用Givens 旋转变换对向量进行消元（消调某一个变量）4）了解交换阵的定义即性质§2 矩阵分解1、基于Gauss消元阵的分解基于Gauss消元阵的分解，包括无主元LU分解、列主元LU分解、对称正定阵的Cholesky 分解基本要求：1）熟练掌握无主元LU分解的具体过程，会写出相应的程序，给定一个矩阵，会计算它的LU 分解矩阵2） 了解LU 分解的不稳定性和LU 分解的唯一性及存在条件det()0(1,2,,).1n n k k n A R D A k n A L U A LU ⨯∈=≠== 若阶方阵的顺序主子式则可唯一地分解为一个单位下三角阵和非奇异的上三角阵的乘积。
正定矩阵及其应用
正定矩阵及其应用一、简介正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程领域中都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、判定方法以及应用等方面进行详细介绍。
二、定义正定矩阵是指对于任意非零向量x，都有x^T Ax > 0，其中A为n阶实对称矩阵，x为n维列向量，x^T为x的转置。
三、性质1. 正定矩阵的特征值均大于0。
2. 正定矩阵的行列式大于0。
3. 正定矩阵是可逆矩阵，且其逆仍然是正定矩阵。
4. 正定矩阵可以进行Cholesky分解。
四、判定方法1. Sylvester判据：对于n阶实对称矩阵A，当且仅当A的各个主子式均大于0时，A为正定矩阵。
2. 特征值判据：对于n阶实对称矩阵A，当且仅当A的所有特征值均大于0时，A为正定矩阵。
3. 等价判据：对于n维向量b和n*n实对称矩阵A，当且仅当对于任意非零向量x，都有b^T x > 0和x^T Ax > 0时，A为正定矩阵。
五、应用1. 矩阵分解：正定矩阵可以进行Cholesky分解，即将正定矩阵表示为一个下三角矩阵和其转置的乘积。
这种分解可以用于求解线性方程组、矩阵求逆以及随机向量生成等问题。
2. 优化问题：正定矩阵可以用于求解最小二乘问题、线性规划问题以及二次规划问题等。
其中，最小二乘问题可以通过正定矩阵的Cholesky分解来求解。
3. 特征值计算：正定矩阵的特征值均大于0，因此可以用于计算特征值和特征向量。
在信号处理、图像处理以及物理学中都有广泛应用。
4. 概率论：正定矩阵在多元高斯分布中具有重要作用。
多元高斯分布的协方差矩阵是一个正定矩阵，它描述了不同变量之间的相关性和方差。
六、总结本文介绍了正定矩阵的定义、性质、判定方法以及应用等方面。
正定矩阵在数学和工程领域中都有广泛的应用，特别是在矩阵分解、优化问题、特征值计算以及概率论等方面具有重要作用。
正定复矩阵的几个性质
正定矩阵的定义与性质[1]在线性代数里，正定矩阵(positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。
在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。
与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。
正定矩阵（1）广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有z T Mz> 0，其中z T表示z的转置，就称M为正定矩阵。
例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。
在a充分大时，aE+B为正定矩阵。
（B必须为对称阵）（2）狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z T Mz> 0。
其中z T表示z的转置。
对称正定矩阵设，若，对任意的，都有，则称A为对称正定矩阵。
Hermite正定矩阵设，若，对任意的，都有，则称A为Hermite正定矩阵正定矩阵有以下性质 [1]：（1）正定矩阵的行列式恒为正；（2）实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；（3）若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；（5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：（1）A是正定矩阵；（2）A的一切顺序主子式均为正；（3）A的一切主子式均为正；（4）A的特征值均为正；（5）存在实可逆矩阵C，使A=C′C；（6）存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B；（7）存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R [3]。
(1)n 元实二次型正定它的正惯性指数为n；(2) 一个实对称矩阵A 正定A 与E 合同，即可逆矩阵C，使得；(3) 实二次型是正定的A的顺序主子式全大于零；(4) 一个实对称矩阵A 正定A 的特征值全大于零；(5) 一个实对称矩阵A 正定A 的顺序主子式全大于零；(6)A ，B 是实对称矩阵，则正定A，B均正定；(7)A 实对称矩阵，A 正定正定矩阵B，使得，（k 为任意正整数）。
正定矩阵地性质和判定方法及应用
正定矩阵地性质和判定方法及应用正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在优化问题、最小二乘问题、信号处理、机器学习等领域中都有广泛应用。
在本文中，我将介绍正定矩阵的性质、判定方法以及一些应用。
一、正定矩阵的性质：1.定义：设A是n×n矩阵，如果对于任意非零向量x，都有x^TAx>0，则A是正定矩阵。
2.特征值：正定矩阵的特征值都大于0。
3.对称性：正定矩阵一定是对称矩阵。
4.非奇异性：正定矩阵一定是非奇异矩阵，即其行列式不为0。
5.可逆性：正定矩阵一定是可逆矩阵，即存在逆矩阵A^(-1)，使得AA^(-1)=I。
6.二次型：正定矩阵可以表示为二次型的矩阵形式。
二、正定矩阵的判定方法：1.主子式判定法：设A是n×n矩阵，如果A的所有n阶主子式都大于0，则A是正定矩阵。
2.特征值判定法：设A是对称矩阵，如果A的所有特征值都大于0，则A是正定矩阵。
3.正定矩阵的条件：设A是对称矩阵，则A是正定矩阵的充分必要条件是存在n阶非奇异矩阵B，使得A=B^TB。
三、正定矩阵的应用：1.优化问题：正定矩阵在优化问题中应用广泛。
例如，在最小二乘问题中，正定矩阵可用于求解线性方程组的最优解。
正定矩阵还可以用于确定函数的极小值点。
2.信号处理：正定矩阵在信号处理中有重要应用。
例如，在信号滤波中，通过构造正定矩阵，可以设计出有效的滤波器，对信号进行去噪或增强。
3.机器学习：正定矩阵在机器学习中也起到关键作用。
例如，在支持向量机中，可以使用正定矩阵的核函数来进行非线性分类。
正定矩阵还可以用于降维算法中的线性判别分析，提高分类的准确性。
4.最小二乘问题：正定矩阵可以用于解决最小二乘问题，即寻找一组关系最紧密的数据的最优拟合线。
通过构造正定矩阵，可以求得最小二乘问题的闭合解，提高计算效率。
综上所述，正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，具有许多重要的性质和判定方法。
正定矩阵在优化问题、最小二乘问题、信号处理、机器学习等领域中都有广泛应用。
正定矩阵与性质
17
例 用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性.
6 2 2
A
2
5
0
.
2 0 7
解| A1 | 6 0,
6 2
| A2 | 2
30 4 26 0, 5
6 2 2
| A3 | 2 5 0 210 20 28 162 0. 2 07
故A正定.
18
实对称矩阵A正定的充分必要条件是
12
1 2
(
x12
x22
)
48
1 2
( x12
x32
)
60
1 2
( x22
x32
)
99x12 130x22 71x32 6(x12 x22 ) 24(x12 x32 ) 30(x22 x32 ) 69x12 94x22 17x32 0, (x1, x2 , x3) 0.
21
例 t在什么范围取值时二次型
正定矩阵 一、基本概念 二、正定矩阵的充分必要条件 三、正定矩阵的性质
1
一、基本概念
定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非 零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次 型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵.
定义 如果对于任意向量X，二次型f=XTAX均为 非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的， 其矩阵A 称为半正(负)定矩阵.
定义 如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为 正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二 次型是不定的.
2
二、正定矩阵的充分必要条件
定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其 特征值都是正数.
证明 设实对称矩阵A的特征值 1,L ,n 都是正数. 存在正交矩阵Q,使得 QTAQ= , 为对角矩阵, 其对角线元素为1,L ,n , 对于X O, 令Y Q1X ,
正定矩阵知识点总结
正定矩阵知识点总结1. 正定矩阵的定义在线性代数中，一个矩阵被称为正定矩阵，如果它是一个对称矩阵，并且对于任意非零向量x，都有x^T * A * x > 0，其中A是这个矩阵。
这个定义可以进一步推广到Hermitian矩阵（对于复数域）和实对称矩阵（对于实数域）上，即一个Hermitian矩阵或者实对称矩阵被称为正定矩阵，如果对于任意非零复数向量x，都有x^H * A * x > 0或者对于任意非零实数向量x，都有x^T * A * x > 0。
2. 正定矩阵的性质正定矩阵具有许多重要的性质，其中一些是：（1）正定矩阵是非奇异（即可逆）的，因为它的特征值都是正数。
（2）正定矩阵的所有主子式都是正数。
（3）正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
（4）对称矩阵A是正定的当且仅当它的所有特征值都是正数。
（5）正定矩阵的行列式是正数。
3. 判断一个矩阵是否为正定矩阵判断一个矩阵是否为正定矩阵有多种方法，以下是其中一些常用的方法：（1）特征值判据：判断一个对称矩阵A是否为正定矩阵可以通过它的特征值来判断，如果A的所有特征值都是正数，则A是正定的。
（2）Sylvester判据：判断一个实对称矩阵A是否为正定矩阵可以使用Sylvester判据，即判断A的所有主子式都是正数。
（3）正定矩阵的定义：直接使用正定矩阵的定义来判断一个矩阵是否为正定矩阵，即对于任意非零向量x，都有x^T * A * x > 0。
4. 正定矩阵的应用正定矩阵在许多数学和工程领域都有广泛的应用，以下是一些重要的应用：（1）在优化理论中，正定矩阵被广泛应用于二次优化问题的求解。
（2）在信号处理领域，正定矩阵被用于设计滤波器和信号处理算法。
（3）在机器学习和统计学中，正定矩阵被用于协方差矩阵的估计和模型参数的拟合。
（4）在工程领域，正定矩阵被用于结构分析和控制系统设计。
5. 结论正定矩阵是线性代数中的重要概念，它具有许多重要的性质和应用。
广义正定矩阵的研究
ｏｆｃｏｍｐｌｅｘ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｒｏｕｎｄｌｙ．
ａｍｏｎｇ Ｉｎ Ｓｕｍｍａｒｙ，ｗｅ ｄｉＳＣＵＳＳ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ
ｒｅａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ
ｍａ慨ｓ，Ｈｃｒｍｉｔｉａｎ ｐｏｓｉｔｉｖ和Ｋｒｏｎｅｅｋｅｒ积，研究了它的行列式界限，特征值 分布与估计，讨论了它的分解理论及标准型问题等等。实正定矩阵和亚正定矩阵 这两个定义实际是等价的（参见本论文第二章亚正定矩阵的充分必要条件一节）， 国内外近年来也出现了关于这方面研究的大量文章。亚正定矩阵这种较为广义的 正定矩阵在投入产出的矩阵理论中，现代经济管理中，数学规划的最优算法中， 在严格凸向量的检验中，以及在各种线性回归模型结构的基本理论中都得到了重 要的应用。
阵（注意这里的Ａ不一定是Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵），但未对这类广义正定矩阵作进一步
电子科技大学硕士学位论文
的深入论证与研究。１９９５年，李俊杰在文献【１２】中对复正定矩阵的基本性质，特
征值分布，行列式估计，＋相合意义下的标准型以及它们的Ｈａｄａｍａｒｄ积和 Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ积的正定性等作了较深入的讨论。研究复正定矩阵和研究亚正定矩阵 有一些类似的方法，这两者在性质和充分必要条件上也有一些类似之处。实际上， 复正定矩阵是本论文讨论的四类正定矩阵中概念最广泛的一类正定矩阵，它既可 以看作是Ｈｅｒｍｉｔｅ正定矩阵的推广，也可以看作是亚正定矩阵的推广，实对称正 定矩阵、Ｈｅｒｍｉｔｅ正定矩阵、亚正定矩阵都是它的特例，因此它的性质完全适用 于这三类正定矩阵，详情可以参看本论文第三章和全文小结。 ２．本论文的主要工作
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ ｍａｔｒｉｘ，Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｍａｔｒｉｘ，ｒｅａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｍａｔｒｉｘ，ｍｅｔａｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｍａｔｒｉｘ，ｃｏｍｐｌｅｘ ｐｏｓｉｔｉｖｅ
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０ 引 言
对广 义正 定矩 阵 和正稳 定矩 阵 的研究 侧 重于 它们 自身 的性 质和 等价 条件 ，在 此基础 上 ，笔者研 究 了它 们 的性 质 ，并 给 出了两类 矩 阵之 间 的关 系 ，把这 两类 矩 阵更 紧密 地联 系在 一起 ．另外 ，还 给 出了证 明结论 的新 方法 ．对文 中的符号 做如 下说 明 ，ｃ 表 示 ｍｘ ｎ复数矩 阵集 ，尺 表示 ｍＸｔ ｒ 实数 矩阵集 ， 表示 ｎ阶
第２ ９卷
第 ２期
新 乡学院 学报 ： 自然科 学版
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｉ ｎ ｉ ｅ ｓ ｙ Ｎａｕ ａ ｃ ｅ ｃ ｄ ｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｘ ａ ｇ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ： ｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅ Ｅ ｉ ｏ ｏ Ｘｉ ｔ Ｓ ｉ
２１ ０ ２年 ４月
Ａｐ． ｒ ２０１ ２
、０ ＿ ９ Ｎｏ ２ ，ｌ ２ ．
广义正定 阵和正稳定矩 阵及其相互 关系
赵 燕 ，石 巧 连
（ 乡医学 院 计 算机 教研 室 ，河 南 新 乡 ４ ３ ０ 新 ５ ０ ３）
摘 要 ：在 以往研 究的基 础上 ，研 究 了广 义正 定矩 阵和 正稳 定 矩 阵的性 质和 等价 条件 ，并得 出了它们之 间
定义 １和 ２是 等价 的 ，即 Ａ为 实正 定矩 阵 的充 要 条件是 Ａ为 亚正定 矩 阵．事实 上 ， Ｘ Ｒ（ Ｘ＝Ｘ 【 Ａ） （ Ａ
＋ ／ｉ Ａ ） ｘ＝２ Ｘ Ａ ２ Ｘ Ａ Ｘ＝Ｘ Ａ ． ２ 一 Ｘ＋ 一
定义 ３ ：设 Ａ∈Ｒ ，若对 任意 的 ０≠Ｘ∈Ｒ 都 存在 正对 角 阵 Ｄ ，使 得 Ｄ Ａ ＞０，则称 Ａ为乘 正 Ｘ 对角 阵 型 的广 义正 定矩 阵 ，记为 Ａ∈ ．若 Ｄ 与 无关 ，则 称 Ａ∈ ［． ３ １ 定义 ４ ：设 Ａ∈Ｒ ，若 对任 意 的 ０ ≠Ｘ∈Ｒ 都 存在 Ｓ ，使 得 ∈ 型 的广 义正定 矩 阵 ，记 为 Ａ∈ ． 若 与 无 关 ，则称 Ａ∈ Ｍ． 】 定义 ５ ：设 Ａ∈Ｒ ｎ ，若 对任 意 的 ０≠Ｘ∈Ｒ 都存 在 Ｇ ，使得 Ｇ Ａ ＞０，则 称 Ａ为 乘亚正 定 ∈ Ｘ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｂａ ｅ ｏ ｔ ｅ ｒ ｖ ｏ ｓ ｅ ｅ ｒ ｈ ｈ ｐ ｏ ｅ ｔｅ ａ ｄ ｃ ｎ ｉ ｏ ｏ ｑ ｉ ａ ｅ ｃ ｒ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ ｆ ｓ ｒ ｃ： ｓ ｄ ｎ ｈ ｐ ｅ ｉ ｕ ｒ ｓ ａ ｃ ，ｔ ｅ ｒ ｐ ｒｉ ｓ ｎ ｏ ｄ ｔ ｎｓ ｆ ｅ ｕ ｖ ｌ ｎ ｅ ａ ｅ ｉ ｃ ｓ ｅ ｏ ｉ ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ｏ ｉｉ ｅ ｄ ｆｎ ｔ ｔｉ ｎ ｏ ｉ ｖ ｔ ｂ ｅｍ ａ ｒｘ ａ ｄ ｔ ｅ ｒｉ ｔ ｒｅ ａ ｉ ｎ ｉ ｂ ａ ｎ ｄ ｅ ｅ ａ ｉ ｄ ｐ ｓｔｖ ｅ ｉ ｉ ｍａ ｒｘ ａ ｄ ｐ ｓ ｔ ｅ ｓａ ｌ ｔｉ ， ｎ ｈ ｉ ｅ ｒ ｌ ｔ ｓｏ ｔ ｉ ｅ ． ｚ ｅ ｉ ｎ ｏ Ｋｅ ｒ ｓ ｅ ｅ ａ ｉ ｅ ｏ ｉｉ ｅ ｄ ｆｎ ｔ ｔｉ ； ｙ ｗｏ ｄ ：ｇ ｎ ｒ ｌｚ ｄ ｐ ｓｔｖ ｅ ｉ ｉ ｍａ ｒｘ ｍｅ ａ ｐ ｓ ｔ ｅ ｄ ｆｎ ｔ ａ ｒｘ ｐ ｓ ｔ ｅ ｓａ ｌ ｔ ｘ ｅ ｔ － ｏ ｉｉ ｅ ｉ ｉｅｍ ｔｉ ； ｏ ｉ ｖ ｔ ｂ ｅ ｍａ ｒ ｖ ｉ ｉ
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（ ｅ ｃ ｉ ｇａ ｄＲ ｓ ａｃ ｅ ｔ ｎ ｏ ｏ ｕｅ ， ｎ ｉｎ ｄ ｃ ｌ ｉｅ ｓ ｙ Ｘｉ ｘａ ｇ４ ３ ０ ， ｈ ｎ ） Ｔ ａ ｈ ｎ ｎ ｅ ｅ ｒ ｈ Ｓ ｃｉ ｆ ｍｐ ｔｒ Ｘｉｘ ａ ｇＭｅ ｉａ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ， ｎ ｉｎ ５ ０ ３ Ｃ ｉ ａ ｏ Ｃ ｔ
实对 称正 定矩 阵集 ； 表 示正 对角 矩 阵集．
１ 广义 正 定矩 阵及其 性质
定义 １ ：设 Ａ∈Ｒ ，若 对任 意 的 ０≠Ｘ ∈Ｒ 都有 Ｘ Ａ ＞０，则 称 Ａ为实正 定矩 阵｝． Ｘ ｌ Ｊ
定义 ２ ：设 Ａ∈Ｒ ，若 Ａ的对称分支 ＲＡ ＝ Ａ Ａ ） 为对称正定矩阵，则称 Ａ为亚正定矩 阵【 ～ （） （ ＋ １ ２ ．
厂 ， ｎ１ ，
即使在一定条件下，可以和 无关， 但不能保证和Ａ 无关， 例如，当Ａ＝ ９时， Ｌ ｌ Ｉ Ｊ 取Ｄ＝ｌ Ｊ 使得 ４ Ｌ ｌ ０ ， ： １
ｒ ６－ １
对任意的０ Ｘ∈ ， Ａ ≠ Ｒ 有Ｘ Ｄ Ｘ一 ２１－ １ ＋Ｘ ＝ （ ２２ ＋ ＞ ， ∈ ｏ 但另取曰＝ ：， Ｘ ＂Ｘ２ ９２ ２ ８Ｘ ￣ ＋ Ｘ ０ 即Ａ Ｐ ， ） ｌ
的 关 系．
关 键 词 ： 广 义 正 定 矩 阵 ；亚 正 定 矩 阵 ；正 稳 定 矩 阵
中 图分 类 号 ：Ｏ１ １２ ５ ．１
文 献标 志 码 ：Ａ
文 章编 号 ：１ ７ — ３ ６ ２ １ ） ２ ０ ０ － ２ ６ ４ ３ ２ （０ ２ ０ － １３ ０
Ｇｅ ｅ ａ ｉｅ ｓｔｖ ｆｎ ｔ ａ ｒｘａ ｄ Ｐｏ ｉｉ ｅＳ ａ ｌ ａ ｒｘ ｎ ｒ ｌ ｄ Ｐｏ ｉｉｅＤｅｉ ｉｅＭ ｔ ｉ ｎ ｓｔｖ ｔ ｂ ｅＭ ｔ ｉ ｚ
阵 型的广 义正 定矩 阵 ，记 为 Ａ∈ ．若 Ｇ 与 无关 ，则 称 Ａ∈ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ】 ．
Ａ ＞０，则称 Ａ为乘 正定 阵
关 于 、
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，要 注 意 的问题 大致 相 同 ，下面 以 为 例 ，做 两点 说 明 ：１ Ｄ ） 与 Ａ 、
广１ ，］
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