数理方程课件2-1
合集下载
高中数学 2-1-2由曲线求它的方程、由方程研究曲线课件 新人教B版选修2-1
• 容易证明，如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种， 那么它一定还具有另一种对称性．例如，如果曲线关于x 轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称，事实上，设点 P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x， －y)必在曲线上，因为曲线关于原点对称，所以P1关于 原点的对称点P2(－x，y)必在曲线上，因为P(x，y)， P2(－x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．
• [说明] 在求轨迹方程时，要注意： • ① 全面、准确地理解题意，弄清题目中的已知和结论， 发现已知和未知的关系，进行知识的重新组合． • ②合理的进行数学语言间的转换，数学语言包括文字语 言、符号语言和图形语言，通过审题画出必要的图形和 示意图， 将不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学 处理的关系式，将不便于进行数学处理的语言化为便于 处理的数学语言． • ③注意挖掘问题中的隐含条件． • ④注意解题过程中的信息反馈，作出恰当的处理．
• • • • • •
3．利用方程研究曲线的性质： (1)曲线的组成； (2)曲线与坐标轴的交点； (3)曲线的对称性质； (4)曲线的变化情况； (5)画出方程的曲线．
• [ 例 1] 已知直角坐标平面上点 Q(2,0) 和圆 O ： x2 ＋ y2 ＝ 1 ， 动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0)，求动 点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线． • [分析] 用直接法可求动点M的轨迹方程，并通过讨论λ 的取值范围来确定轨迹方程表示的曲线．
• 3．由方程研究曲线的性质与图象，主要从曲线的范围、 对称性、截距几个方面可确定曲线的大致形状，画方程的 曲线时，要保持方程变形的等价性．
• • • • • • • •
1．解析几何主要讨论下面的两个基本问题： (1)由曲线求它的方程； (2)利用方程研究曲线的性质． 2．求曲线方程的一般步骤： (1)建立适当的直角坐标系； (2)设动点M的坐标为(x，y)； (3)把几何条件转化为坐标表示； (4)证明．
新浙教版七年级数学下册2.1二元一次方程课件
作业布置
布置适量的练习题，要求学生独立完 成，并要求写出解题过程和答案，以 便教师检查和指导。
06
思考与探究
二元一次方程的解与一元一次方程的解之间的关系
总结词
一元一次方程的解是唯一的，而二元一次方程的解通常有无数个，这与其解与一元一次方程的解之间的关系密切 相关。
详细描述
二元一次方程的解通常表示为两个变量的值，而一元一次方程只有一个变量。因此，二元一次方程的解在某些情 况下可以转化为两个一元一次方程的解，即通过消元法或代入法将二元一次方程转化为两个一元一次方程，然后 求解。
如何运用二元一次方程解决更复杂的问题
总结词
二元一次方程是解决更复杂问题的基础，通过适当的方法和技巧，可以将其转化为更直观和易于解决 的问题。
详细描述
在解决实际问题时，经常需要将问题抽象为数学模型，即建立二元一次方程。然后，利用代数方法、 图解法等技巧求解。此外，对于更复杂的问题，可能需要引入更多的变量和方程，通过联立、消元、 代入等手段求解。
和供给之间的二元一次方程来分析市场均衡。此外，在经济学、统计学等领域中也有广泛的应用。
THANK YOU
感谢聆听
学习二元一次方程对于培养学生的逻辑思维、数学 应用能力和解决问题的能力具有重要意义。
教学目标与要求
理解二元一次方程的解 的意义和解法。
能够运用二元一次方程 解决实际问题，提高数 学应用能力。
培养学生对数学的兴趣 和热爱，鼓励学生积极 参与数学活动，提高自 主学习能力。
掌握二元一次方程的概 念、形式和特点。
详细描述
代入消元法的步骤包括将一个方程变形，使其中一个变量成为另一个变量的表达式，然后 将这个表达式代入另一个方程中，消去一个变量，得到一个一元一次方程。这种方法的关 键是选择一个容易处理的变量，使其成为另一个变量的表达式。
布置适量的练习题，要求学生独立完 成，并要求写出解题过程和答案，以 便教师检查和指导。
06
思考与探究
二元一次方程的解与一元一次方程的解之间的关系
总结词
一元一次方程的解是唯一的，而二元一次方程的解通常有无数个，这与其解与一元一次方程的解之间的关系密切 相关。
详细描述
二元一次方程的解通常表示为两个变量的值，而一元一次方程只有一个变量。因此，二元一次方程的解在某些情 况下可以转化为两个一元一次方程的解，即通过消元法或代入法将二元一次方程转化为两个一元一次方程，然后 求解。
如何运用二元一次方程解决更复杂的问题
总结词
二元一次方程是解决更复杂问题的基础，通过适当的方法和技巧，可以将其转化为更直观和易于解决 的问题。
详细描述
在解决实际问题时，经常需要将问题抽象为数学模型，即建立二元一次方程。然后，利用代数方法、 图解法等技巧求解。此外，对于更复杂的问题，可能需要引入更多的变量和方程，通过联立、消元、 代入等手段求解。
和供给之间的二元一次方程来分析市场均衡。此外，在经济学、统计学等领域中也有广泛的应用。
THANK YOU
感谢聆听
学习二元一次方程对于培养学生的逻辑思维、数学 应用能力和解决问题的能力具有重要意义。
教学目标与要求
理解二元一次方程的解 的意义和解法。
能够运用二元一次方程 解决实际问题，提高数 学应用能力。
培养学生对数学的兴趣 和热爱，鼓励学生积极 参与数学活动，提高自 主学习能力。
掌握二元一次方程的概 念、形式和特点。
详细描述
代入消元法的步骤包括将一个方程变形，使其中一个变量成为另一个变量的表达式，然后 将这个表达式代入另一个方程中，消去一个变量，得到一个一元一次方程。这种方法的关 键是选择一个容易处理的变量，使其成为另一个变量的表达式。
新人教B版高中数学2.1.1曲线与方程的概念课件11选修2-1
（2）方程 ax2 by2 25所表示的曲（1，1），则a=
,b=
.
典例分析巩固定义
例3、如果曲线C上的点坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解，
那么（ ） D
A、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。 B、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，有些不在曲线上。 C、不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解。 D、坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线C上。
（2）、如果M (x0, y0 )是方程(x a)2 ( y b)2 r2 的解，那么以它为坐标
的点一定在圆上。
分析特例归纳定义
（3）、说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系 ①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2 ②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上
结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2
练习：1、已知直角三角形ABC中A（2,0） B（-1,2），则直角顶点C的轨迹方程为 _________________。 2、方程 y 1 x2 所表示的曲线__________。
典例分析巩固定义
例2：解答下列问题，并说明理由： （1）判断点A（-4，3），B (3 2, 4) ，C ( 5, 2 5) 是 否在方程 x2 y2 25(x 0) 所表示的曲线上。
归纳总结
本节，我们学习了曲线的方程.方程的曲线 的概念.利用这两个重要概念，就可以借助 于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满 足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上 点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示 曲线，通过研究方程的性质间接地来研究 曲线的性质.即几何问题化为代数问题，以 数助形正是解析几何的思想，本节课正是 这一思想的基础。
数学2--1课件2.1.1
x
)
x2
规 范 警 示 提 升
基 础 自 主 演 练 课 后 巩 固 作 业
（B）y=
y
与y=10lgx
x
（D）x =1与 y =1
课 堂 互 动 探 究
课 前 新 知 初 探
【解析】选D.A中x2=y2 |y|=|x|与y=|x|不同，不表 示相同的曲线，B中y= x 2 与y=10lgx中x的取值范围不
规 范 警 示 提 升
基 础 自 主 演 练 课 后 巩 固 作 业
课 堂 互 动 探 究
定满足曲线方程概念的纯粹性，因此选项A、B、C是错误的.
课 前 新 知 初 探
【例】判断下列命题是否正确： (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为|x|=3； (2)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为︱xy︱
规 范 警 示 提 升
基 础 自 主 演 练 课 后 巩 固 作 业
课 堂 互 动 探 究
=1；
(3)△ABC的顶点A（0，-3），B（1，0），C（-1，0），D
为BC中点，则中线AD的方程为x=0．
课 前 新 知 初 探
规 范 警 示 提 升
【审题指导】本题主要考查曲线与方程之间的对应关系， 分清给出的“曲线”是何种曲线，给出的“方程”是什么
规 范 警 示 提 升
基 础 自 主 演 练 课 后 巩 固 作 业
【审题指导】（1）中的方程是关于x,y的二元二次方程，
课 堂 互 动 探 究
可考虑配方或因式分解；（2）中的方程是平方与根式和的 形式，可直接转化成方程组求解．
【规范解答】（1）原方程可转化为（x+y)(x-1)=0，
课 前 新 知 初 探
)
x2
规 范 警 示 提 升
基 础 自 主 演 练 课 后 巩 固 作 业
（B）y=
y
与y=10lgx
x
（D）x =1与 y =1
课 堂 互 动 探 究
课 前 新 知 初 探
【解析】选D.A中x2=y2 |y|=|x|与y=|x|不同，不表 示相同的曲线，B中y= x 2 与y=10lgx中x的取值范围不
规 范 警 示 提 升
基 础 自 主 演 练 课 后 巩 固 作 业
课 堂 互 动 探 究
定满足曲线方程概念的纯粹性，因此选项A、B、C是错误的.
课 前 新 知 初 探
【例】判断下列命题是否正确： (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为|x|=3； (2)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为︱xy︱
规 范 警 示 提 升
基 础 自 主 演 练 课 后 巩 固 作 业
课 堂 互 动 探 究
=1；
(3)△ABC的顶点A（0，-3），B（1，0），C（-1，0），D
为BC中点，则中线AD的方程为x=0．
课 前 新 知 初 探
规 范 警 示 提 升
【审题指导】本题主要考查曲线与方程之间的对应关系， 分清给出的“曲线”是何种曲线，给出的“方程”是什么
规 范 警 示 提 升
基 础 自 主 演 练 课 后 巩 固 作 业
【审题指导】（1）中的方程是关于x,y的二元二次方程，
课 堂 互 动 探 究
可考虑配方或因式分解；（2）中的方程是平方与根式和的 形式，可直接转化成方程组求解．
【规范解答】（1）原方程可转化为（x+y)(x-1)=0，
课 前 新 知 初 探
数理方程-第1章第2章-研究生ppt课件
张力为 F T(x,t),F T(x d x,t)与x轴夹角为 1 , 2 . 用 表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
数理方程第二章(1)
特点：方程和边界条件都是线性齐次的. 特点：方程和边界条件都是线性齐次的.
(2.1) (2.2) ( 2.3)
思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 叠加原理 (2.1) 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式( (2.2)的足够多个具有简单形式 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式(变量被 分离)的特解, 分离)的特解, 再对它们作线性组合使得线性组合 满足初始条件(2.3) (2.3)。 满足初始条件(2.3)。 思路的物理背景：乐器发出的声音可以分解成不同 思路的物理背景： 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线， 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线，其 振幅依赖于时间 t ，即每个单音可表示为
∫ ∫
π π
－π
1 ⋅ cos nxdx = ∫ 1⋅ sin nxdx =0, n = 1, 2,L ,
－π
π
－π
cos nx ⋅ sin mxdx = ∫
π
－π
cos nx ⋅ cos mxdx = n ≠ m.
∫
π
－π
sin nx ⋅ sin mxdx =0,
f ( x) 为 [−π , π］ 上可积的以 2π 为周期的函数。
令 y = e λ x 代入方程有 λ 2 + pλ + q = 0,
−p+ p 2 − 4q − p − p 2 − 4q , λ2 = 2 2
λ1 =
λ 2 + pλ + q = 0
(1) p 2 − 4q > 0 时，y = C1e λ1 x + C 2e λ2 x ; (2) p 2 − 4q = 0 时，y = (C1 + C 2 x )e λ1 x ;
(2.1) (2.2) ( 2.3)
思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 叠加原理 (2.1) 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式( (2.2)的足够多个具有简单形式 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式(变量被 分离)的特解, 分离)的特解, 再对它们作线性组合使得线性组合 满足初始条件(2.3) (2.3)。 满足初始条件(2.3)。 思路的物理背景：乐器发出的声音可以分解成不同 思路的物理背景： 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线， 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线，其 振幅依赖于时间 t ，即每个单音可表示为
∫ ∫
π π
－π
1 ⋅ cos nxdx = ∫ 1⋅ sin nxdx =0, n = 1, 2,L ,
－π
π
－π
cos nx ⋅ sin mxdx = ∫
π
－π
cos nx ⋅ cos mxdx = n ≠ m.
∫
π
－π
sin nx ⋅ sin mxdx =0,
f ( x) 为 [−π , π］ 上可积的以 2π 为周期的函数。
令 y = e λ x 代入方程有 λ 2 + pλ + q = 0,
−p+ p 2 − 4q − p − p 2 − 4q , λ2 = 2 2
λ1 =
λ 2 + pλ + q = 0
(1) p 2 − 4q > 0 时，y = C1e λ1 x + C 2e λ2 x ; (2) p 2 − 4q = 0 时，y = (C1 + C 2 x )e λ1 x ;
数理方程课件
详细描述
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
数理方程第讲市公开课一等奖百校联赛特等奖课件
f(x)=a+0b+2aco1ssi2nxx++b1cosx+a2sin2x 其中无穷多个函数1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, …, 也组成了级数展开一个函数系.
3第3页
所以, 普通而言, 一个函数f(x)能够在一个函数 系f(xv)=0(ax0)v,0v(1x()x+)a, 1vv21((xx)),+…a2下v2(展x)开+成级数形式为 那么, 一个二元函数u(x,t), 将t固定住视为常数, 看作x函数, 则也能够在函数系v0, v1, v2, …下 展开成级数形式
A B 0, Ae -ll Be- -ll 0, 解出A,B得 A=B=0
即X(x)0, 不符合非零解要求, 所以l不能小于
零.
第1111页
2º设l=0, 此时方程(2.5)通解为
X(x)=Ax+B,
由条件(2.6)还是得A=B=0, 所以l也不能等于
零
第1122页
设l>0, 并令l=2, 为非零常数. 此时方程(2.5) 通解为 X(x) = A cos x+B sin x,
复习高等数学中周期为2l傅立叶级数: 假如周期为2l周期函数f(x)为奇函数, 则有
f
(x)
bn
n1
sin
n
l
x
其中系数bn为:
bn
2 l
l f (x)sin n x d x (n 1, 2,3,
0
l
).
第1188页
因为(x),(x)是定义在[0,l]上的函数, 所以只
要选取 Cn 为(x)的傅立叶正弦级数展开式的
t
a2
2u x2
3第3页
所以, 普通而言, 一个函数f(x)能够在一个函数 系f(xv)=0(ax0)v,0v(1x()x+)a, 1vv21((xx)),+…a2下v2(展x)开+成级数形式为 那么, 一个二元函数u(x,t), 将t固定住视为常数, 看作x函数, 则也能够在函数系v0, v1, v2, …下 展开成级数形式
A B 0, Ae -ll Be- -ll 0, 解出A,B得 A=B=0
即X(x)0, 不符合非零解要求, 所以l不能小于
零.
第1111页
2º设l=0, 此时方程(2.5)通解为
X(x)=Ax+B,
由条件(2.6)还是得A=B=0, 所以l也不能等于
零
第1122页
设l>0, 并令l=2, 为非零常数. 此时方程(2.5) 通解为 X(x) = A cos x+B sin x,
复习高等数学中周期为2l傅立叶级数: 假如周期为2l周期函数f(x)为奇函数, 则有
f
(x)
bn
n1
sin
n
l
x
其中系数bn为:
bn
2 l
l f (x)sin n x d x (n 1, 2,3,
0
l
).
第1188页
因为(x),(x)是定义在[0,l]上的函数, 所以只
要选取 Cn 为(x)的傅立叶正弦级数展开式的
t
a2
2u x2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
方程与边界条 件都是齐次的
23:32
u ( x , t ) ( A n cos
n 1
n at l
B n sin
n at l
) sin
n x l
以上级数中每一项都满足问题(2.1)-(2.3)。 因此只需证明：φ(x), ψ(x) 满足一定条件时，无穷级 数收敛，并且关于 x，t 逐项求导两次后仍旧一致收 敛，则和式 u(x,t) 即是问题的解。 如果以上函数 u(x,t)不具备古典解的要求，则 称为问题(2.1)-(2.3)的形式解.
特点：方程和边界条件都是线性齐次的.
23:32
寻找方程的可以分离变量的非平凡（不恒为零）特解
u( x , t ) X ( x )T ( t )
代入方程和边界条件中：
u( x , t ) 0
XT '' a 2 X ''T 0 ①
由 u( x , t )不恒为零，有：
第二章 分离变量法
23:32
分离变量法是求解偏微分方程最基本和常用 的方法 理论依据：线性方程的叠加原理和SturmLiouville 理论 基本思想：将偏微分方程的求解化为对常微 分方程的求解
23:32
回顾：常微分方程的解
y py qy 0 ( p, q 是常数 )
l
0
C1 =C 2=0 从而 X ( x ) 0 ， 0无意义.
(ii) 0 时，通解 X ( x ) C1 x C 2 由边值条件
C 2 0 C1 l C 2 0
C1 C 2 0 X ( x ) 0, 0 无意义
23:32
2
…..…….. ③
思考：先解哪一个方程？
X ( 0 )T ( t ) 0 ④ X ( l )T ( t ) 0
④ 成立 X (0) 0, X ( l ) 0
23:32
T ( t ) 不恒等于零
则
X '' X 0 ⑤ X ( 0 ) 0, X ( l ) 0
23:32
3 2 ( x ) C , ( x ) C [ 0 , l ] 结论：若在区间 上， ，且
满足相容性条件：
(0) ( l ) "(0) "( l ) 0, (0) ( l ) 0
则无穷级数解
n at n at n x u( x , t ) ( An cos Bn sin )sin l l l n 1
u ( x , t ) ( A n cos
n 1 n at l
B n sin
n at l
) sin
n x l
A 2 l ( ) sin n d l 0 l n l n 2 Bn ( ) sin d na l 0
23:32
二、解的物理意义
x un ( x , t ) ( An cos nalt Bn sin nalt ) sin n l
振幅
N n cos( n t Sn )sin nl x
2 n 2 n
1 2
初位相
n a l
频率
n 其中 N n ( A B ) , S n arctg B An , n
y e x (C1 cos x C2 sin x ).
23:32
2
Sturm-Liouville 理论（§2.6） 特征值问题： [k ( x ) y] q( x ) y ( x ) y 0 (a x b ) 1 y(a ) 2 y '(a ) 0 y(b ) y '(b ) 0 2 1
23:32
n1
l
A n s in n l
x
(x)
x
0
n1
A n s i n n l
s in
m x l
dx
l
( x ) s in
0
l
m x l
dx
n1
An
l
0
s in n l
l
x
s in
m x l
dx
( x ) s in
nπ X n (x ) C nsin x , n 1, 2, l
总结得到： 无意义 0 时， X ( x ) 0，
0 时，求得特征值与特征函数：
n2 2 n 2 , n 1， 2, 3, l
nπ X n (x ) C nsin x , n 1, 2, l
(1)振动波在任意时刻的外形是正弦曲线 (2)弦上各点的频率 n和初位相 Sn 都相同，因而没有 波形的传播现象。
23:32
二、解的物理意义
x un ( x , t ) ( An cos nalt Bn sin nalt ) sin n l
振幅
N n cos( n t Sn )sin nl x
X ( x ) T (t ) 2 X ( x ) a T (t )
'' ''
这个式子的左端是x的函数, 右端是t的函数，何时恒等？
取参数 使得
23:32
'' T a 2T
'' X X
X ( x ) X ( x ) 0 ②
''
T a T 0
利用边界条件
''
( 2 n 1 ) l l 3l 2 n , 2 n ,... 2 n
，振幅最大,为 N n , 称为腹点
23:32
二、解的物理意义
x un ( x , t ) ( An cos nalt Bn sin nalt ) sin n l
振幅
N n cos( n t Sn )sin nl x
2 n 2 n
1 2
初位相
n a l
频率
n 其中 N n ( A B ) , S n arctg B An , n
nx | | N sin (3)弦上各点振幅 n 因点而异 l
当 x 0, ,
l n
2l n
,...
( n 1)l n
, l ，振幅为0 , 称为节点
当 x
也可以由Sturm-Liouville理论直接得到特征值列 的非负性质，只讨论 0
23:32
再求解T： 其解为
n Tn ( t ) a Tn ( t ) 0 2 l
2 2 " 2
n at n at Tn ( t ) An cos l Bn sin l
两端 固定 弦的 特征 振动
23:32
将φ(x), ψ(x) 展开为Fourier正弦级数，比较系数得
A 2 l ( ) sin n d l 0 l n l n Bn 2 ( ) sin d na 0 l
sin n x, l 或直接根据 n 1,2,... 的正交性去计算
0
m x l
dx
Am
2 l
sin
( x ) s in
0 m x l
m x l
dx
0 sin
l
n x l
dx
sin nt sin m t d t 0
l
23:32
0, n m , l , n m. 2
m , n 为自然数
最后得到问题(2.1)-(2.3)的一个解：
2 2u u 2 0, 0 x l , t 0 2 a 2 x t t0 u x 0 0, u x l 0, u ( x ), u ( x ), 0 x l t 0 t t 0
(2.1) (2.2) ( 2.3)
Lui f i ,
i 1, 2, , n,
则它们的线性组合 u
c u
i 1 i
i
必满足方程（或定解条件） Lu
c
i 1
i
fi
其中当出现无限求和时，则要求级数收敛，且满足“L 中 出现的求导与求和可交换”的条。
23:32
§2.1 有界弦的自由振动
研究两端固定弦的自由振动. 定解问题为：
n 1
cn ( f , f n
)
( x ) f ( x ) f n ( x )dx a
2 ( x ) f ( x )dx n a b
b
, n 1,2,...
（以上结论对连续函数也成立）
23:32
叠加原理 设 L 是线性微分算子，若 ui 满足线性方程（或 线性定解条件）
2 n 2 n
1 2
初位相
n a l
频率
n 其中 N n ( A B ) , S n arctg B An , n
u( x , t ) n 1 un ( x , t )
u(x,t )是由一系列频率成倍增长、振幅、初位相各不相同
的驻波叠加而成。 分离变量法又称驻波法。
所以
n at un ( x , t ) ( An cos l
n at n x Bn sin l )sin l
未必满足初始条件(2.3) 由叠加原理
23:32
n 1,2,3,
u( x , t )
n1
( An cos
23:32
u ( x , t ) ( A n cos
n 1
n at l
B n sin
n at l
) sin
n x l
以上级数中每一项都满足问题(2.1)-(2.3)。 因此只需证明：φ(x), ψ(x) 满足一定条件时，无穷级 数收敛，并且关于 x，t 逐项求导两次后仍旧一致收 敛，则和式 u(x,t) 即是问题的解。 如果以上函数 u(x,t)不具备古典解的要求，则 称为问题(2.1)-(2.3)的形式解.
特点：方程和边界条件都是线性齐次的.
23:32
寻找方程的可以分离变量的非平凡（不恒为零）特解
u( x , t ) X ( x )T ( t )
代入方程和边界条件中：
u( x , t ) 0
XT '' a 2 X ''T 0 ①
由 u( x , t )不恒为零，有：
第二章 分离变量法
23:32
分离变量法是求解偏微分方程最基本和常用 的方法 理论依据：线性方程的叠加原理和SturmLiouville 理论 基本思想：将偏微分方程的求解化为对常微 分方程的求解
23:32
回顾：常微分方程的解
y py qy 0 ( p, q 是常数 )
l
0
C1 =C 2=0 从而 X ( x ) 0 ， 0无意义.
(ii) 0 时，通解 X ( x ) C1 x C 2 由边值条件
C 2 0 C1 l C 2 0
C1 C 2 0 X ( x ) 0, 0 无意义
23:32
2
…..…….. ③
思考：先解哪一个方程？
X ( 0 )T ( t ) 0 ④ X ( l )T ( t ) 0
④ 成立 X (0) 0, X ( l ) 0
23:32
T ( t ) 不恒等于零
则
X '' X 0 ⑤ X ( 0 ) 0, X ( l ) 0
23:32
3 2 ( x ) C , ( x ) C [ 0 , l ] 结论：若在区间 上， ，且
满足相容性条件：
(0) ( l ) "(0) "( l ) 0, (0) ( l ) 0
则无穷级数解
n at n at n x u( x , t ) ( An cos Bn sin )sin l l l n 1
u ( x , t ) ( A n cos
n 1 n at l
B n sin
n at l
) sin
n x l
A 2 l ( ) sin n d l 0 l n l n 2 Bn ( ) sin d na l 0
23:32
二、解的物理意义
x un ( x , t ) ( An cos nalt Bn sin nalt ) sin n l
振幅
N n cos( n t Sn )sin nl x
2 n 2 n
1 2
初位相
n a l
频率
n 其中 N n ( A B ) , S n arctg B An , n
y e x (C1 cos x C2 sin x ).
23:32
2
Sturm-Liouville 理论（§2.6） 特征值问题： [k ( x ) y] q( x ) y ( x ) y 0 (a x b ) 1 y(a ) 2 y '(a ) 0 y(b ) y '(b ) 0 2 1
23:32
n1
l
A n s in n l
x
(x)
x
0
n1
A n s i n n l
s in
m x l
dx
l
( x ) s in
0
l
m x l
dx
n1
An
l
0
s in n l
l
x
s in
m x l
dx
( x ) s in
nπ X n (x ) C nsin x , n 1, 2, l
总结得到： 无意义 0 时， X ( x ) 0，
0 时，求得特征值与特征函数：
n2 2 n 2 , n 1， 2, 3, l
nπ X n (x ) C nsin x , n 1, 2, l
(1)振动波在任意时刻的外形是正弦曲线 (2)弦上各点的频率 n和初位相 Sn 都相同，因而没有 波形的传播现象。
23:32
二、解的物理意义
x un ( x , t ) ( An cos nalt Bn sin nalt ) sin n l
振幅
N n cos( n t Sn )sin nl x
X ( x ) T (t ) 2 X ( x ) a T (t )
'' ''
这个式子的左端是x的函数, 右端是t的函数，何时恒等？
取参数 使得
23:32
'' T a 2T
'' X X
X ( x ) X ( x ) 0 ②
''
T a T 0
利用边界条件
''
( 2 n 1 ) l l 3l 2 n , 2 n ,... 2 n
，振幅最大,为 N n , 称为腹点
23:32
二、解的物理意义
x un ( x , t ) ( An cos nalt Bn sin nalt ) sin n l
振幅
N n cos( n t Sn )sin nl x
2 n 2 n
1 2
初位相
n a l
频率
n 其中 N n ( A B ) , S n arctg B An , n
nx | | N sin (3)弦上各点振幅 n 因点而异 l
当 x 0, ,
l n
2l n
,...
( n 1)l n
, l ，振幅为0 , 称为节点
当 x
也可以由Sturm-Liouville理论直接得到特征值列 的非负性质，只讨论 0
23:32
再求解T： 其解为
n Tn ( t ) a Tn ( t ) 0 2 l
2 2 " 2
n at n at Tn ( t ) An cos l Bn sin l
两端 固定 弦的 特征 振动
23:32
将φ(x), ψ(x) 展开为Fourier正弦级数，比较系数得
A 2 l ( ) sin n d l 0 l n l n Bn 2 ( ) sin d na 0 l
sin n x, l 或直接根据 n 1,2,... 的正交性去计算
0
m x l
dx
Am
2 l
sin
( x ) s in
0 m x l
m x l
dx
0 sin
l
n x l
dx
sin nt sin m t d t 0
l
23:32
0, n m , l , n m. 2
m , n 为自然数
最后得到问题(2.1)-(2.3)的一个解：
2 2u u 2 0, 0 x l , t 0 2 a 2 x t t0 u x 0 0, u x l 0, u ( x ), u ( x ), 0 x l t 0 t t 0
(2.1) (2.2) ( 2.3)
Lui f i ,
i 1, 2, , n,
则它们的线性组合 u
c u
i 1 i
i
必满足方程（或定解条件） Lu
c
i 1
i
fi
其中当出现无限求和时，则要求级数收敛，且满足“L 中 出现的求导与求和可交换”的条。
23:32
§2.1 有界弦的自由振动
研究两端固定弦的自由振动. 定解问题为：
n 1
cn ( f , f n
)
( x ) f ( x ) f n ( x )dx a
2 ( x ) f ( x )dx n a b
b
, n 1,2,...
（以上结论对连续函数也成立）
23:32
叠加原理 设 L 是线性微分算子，若 ui 满足线性方程（或 线性定解条件）
2 n 2 n
1 2
初位相
n a l
频率
n 其中 N n ( A B ) , S n arctg B An , n
u( x , t ) n 1 un ( x , t )
u(x,t )是由一系列频率成倍增长、振幅、初位相各不相同
的驻波叠加而成。 分离变量法又称驻波法。
所以
n at un ( x , t ) ( An cos l
n at n x Bn sin l )sin l
未必满足初始条件(2.3) 由叠加原理
23:32
n 1,2,3,
u( x , t )
n1
( An cos