北师大版九年级数学上册 反比例函数重点题型归纳 教学案

第六章 反比例函数【学习目标】1.会判断一个函数是否是反比例函数.(重点)2.会求反比例函数的表达式．（难点）3.掌握反比例函数图象的特征.（重点）4.会利用反比例函数图象解决相关问题.（难点）【知识点内容】知识点一：反比例函数的概念：一般地，如果两个变量y 与x 的关系可以表示成()0≠=k xky ，的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数.形如xky =、1-=kx y 、)0≠=k k xy （的函数称为y 关于x 的反比例函数。

例题1：在下列关系式中，x 均为自变量，哪些式反比例函数？每个反比例函数相应的k 值是多少？x y 51=）（10.42-=x y ）（ 23xy =）（ 24=xy ）（ 365+=x y ）（ 76-=xy ）（ 257x y =）（ x y 518=）（1．已知22)1(-+=mx m y 是反比例函数，则m ＝ ．2．已知函数32)1(--+=k k x k y 是反比例函数，则k ＝ ．②确定反比例函数解析式：用待定系数法求反比例函数例题2：已知反比例函数y ＝（k ≠0）的图象经过点A （﹣3，﹣6）． （1）求这个函数的表达式；（2）点B （4，），C （2，﹣5）是否在这个函数的图象上？3．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（ ） A ．（2，﹣3）B ．（﹣3，﹣3）C ．（2，3）D ．（﹣4，6）4．若反比例函数y ＝的图象经过点（﹣1，2），则这个函数的图象一定经过点（ ） A ．（﹣2，﹣1） B ．（﹣，2）C ．（2，﹣1）D ．（，2）知识点二：反比例函数图像与性质反比例函数 ()0≠=k xky k 的符号k ＞0k ＜0图象性质①0,0≠≠y x②函数图象经过一、三象限，在每个现象内，y 随x 的值增大而减少①0,0≠≠y x②函数图象经过二、四象限，在每个现象内，y 随x 的值增大而增大反比例函数图象是轴对称图形，也是中心对称图形，关于原点对称5．关于反比例函数y ＝图象，下列说法正确的是（ ） A ．点（﹣2，1）在它的图象上 B ．它的图象经过原点C ．它的图象在第一、三象限D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大6．已知反比例函数y ＝﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y 随x 的增大而增大；④当x ＞﹣1时，则y ＞8．其中错误的结论有（ ）个 A ．3B ．2C ．1D ．07．已知反比例函数，下列说法中正确的是（ ）A ．该函数的图象分布在第一、三象限B ．点（﹣4，﹣3）在函数图象上C ．y 随x 的增大而增大D ．若点（﹣2，y 1）和（﹣1，y 2）在该函数图象上，则y 1＜y 2②利用反比例函数图像解决比大小问题例题3：已知点A （﹣2，y 1）、B （﹣1，y 2）、C （3，y 3）都在反比例函数y ＝的图象上，则（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 38．反比例函数y＝图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y19．函数（a为常数）的图象上有三点（﹣4，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y110．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y＝﹣图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x1＜x3D．x2＜x3＜x1③通过图像性质求未知数取值范围例题4．反比例函数y＝的图象有一支位于第一象限，则常数a的取值范围是．11．在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＞1B．k＞0C．k≥1D．k＜112．已知A（﹣1，y1），B（2，y2）两点在双曲线y＝上，且y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＜0B．m＞0C．m＞﹣D．m＜﹣13．已知反比例函数的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是．④通过图像解决一次函数与反比例函数大小问题（找交点分成四部分、谁大谁在上）例题5．如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象交于A，B两点，观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是．(例题5) （14题图）14．如图，已知一次函数y＝mx+n与反比例函数的图象交于A（3，1）、B（﹣1，﹣3）两点．观察图象，可知不等式的解集是．15．如图，一次函数y1＝x﹣1与反比例函数的图象交于点A（2，1）、B（﹣1，﹣2），则使y1＞y2的x的取值范围是．（题15图）（题16图）16．如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是．变式17．如图，正比例函数y1＝k1x与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，根据图象可直接写出当y1＞y2时，x的取值范围是．（题17图）（题18图）变式18．如图，一次函数的图象y＝﹣x+b与反比例函数的图象y＝交于A（2，﹣4），B（m，2）两点．当x 满足条件时，一次函数的值大于反比例函数值．⑤一次函数与反比例函数的大致图像（理解好一次函数b kx y +=中k 、b 的意义、反比例函数xky =中k 的意义） 一次函数b kx y +=反比例函数xk y =0>k0<k0>k 0<k0>b0<b例题6．在同一个直角坐标系中，函数y ＝kx 和的图象的大致位置是（ ）A ．B ．C ．D ．19．在同一坐标系中（水平方向是x 轴），函数y ＝和y ＝kx +3的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．20．若ab ＜0，则正比例函数y ＝ax 与反比例函数y ＝在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．21．已知k 1＜0＜k 2，则函数y ＝k 1x ﹣1和y ＝的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．22．若ab ＞0，则一次函数y ＝ax +b 与反比例函数y ＝在同一坐标系中的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．23．已知关于x 的函数y ＝k （x +1）和y ＝﹣（k ≠0），它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．24．在同一直角坐标系中，函数y ＝kx ﹣k 与y ＝（k ≠0）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．知识点三：反比例函数解析式中k 的几何意义过双曲线x ky =(0k ≠) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . 过双曲线x ky =(0k ≠) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三 角形的面积为2k.要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.例题7．如图，点A是反比例函数y＝图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足点分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k＝．（例题7）（题25图）（题26图）25．如图，点A是反比例函数y＝图象上的一点，AB垂直x轴于点B，若S△ABO＝2.5，则k的值为（）A．2.5B．5C．﹣5D．﹣2.526．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为．27．已知反比例函数在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，连接AO、AB，且AO＝AB，则S△AOB＝．（题27图）（题28图）28．如图，直线x＝2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△P AB 的面积是．29．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为．（题29图）（题30图）30．如图，点A是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数y ＝的图象于点C，则△OAC的面积为．31．双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB＝1，则y2的解析式是．四：解答题①相加最小型1．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使P A+PB最小．2．如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A点坐标为（2，1），C点坐标为（0，3）（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）在x轴上找一点P，使得△P AB的周长最小，请求出点P的坐标．②求围成面积3．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4）、点B（﹣4，n）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．4．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；（3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．③已知面积反推点坐标5．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．与x轴交于点C．（1）求一次函数的表达式；（2）若点M在x轴上，且△AMC的面积为6，求点M的坐标．（3）结合图形，直接写出kx+b﹣＞0时x的取值范围．（4）在y轴上找一点P，使P A+PB的值最小，直接写出满足条件的点P的坐标是．6．如图，矩形ABOD的顶点A是函数y＝与函数y＝﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，AB⊥x轴于B，AD⊥y 轴于D，且矩形ABOD的面积为3．（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A、C的坐标．（3）若点P是y轴上一动点，且S△APC＝5，求点P的坐标．7．如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x 轴交于点C．（1）求a，k的值及点B的坐标；（2）若点P在x轴上，且S△ACP＝S△BOC，直接写出点P的坐标．8．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．（1）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；（2）求这两个函数的表达式；（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．。