2012数学单元复习训练算数平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数(一)
算术平均数与几何平均数（一）1. 简介算术平均数和几何平均数是常见的统计学概念，用于描述一组数据的集中趋势。
在统计学中，平均数是最常用的描述集中趋势的指标之一。
在本文档中，我们将讨论算术平均数和几何平均数的定义、计算方法以及它们的特点和用途。
通过了解这两种平均数的性质，我们可以更好地理解和应用它们。
2. 算术平均数2.1 定义算术平均数（或简称平均数）是一组数据的所有数值之和除以数据的个数。
它描述了这组数据的集中趋势，是一种典型值。
2.2 计算方法计算算术平均数的方法是将一组数据的所有数值相加，然后除以数据的个数。
用数学公式表示为：平均数= (x₁ + x₂ + ... + xn) / n其中，x₁, x₂, …, xn代表数据中的每个数值，n代表数据的个数。
2.3 特点和应用算术平均数的特点有：•算术平均数是一种对数据集中趋势的概括，它能够反映数据的大致水平。
•算术平均数对异常值（极大值或极小值）比较敏感，会使得平均数产生明显的偏差。
•算术平均数可以用于比较不同数据集之间的集中趋势，以及进行数据的综合分析。
算术平均数在实际应用中有广泛的用途，例如：•统计某一地区的平均气温、平均收入等指标。
•确定商品的平均价格。
•分析学生成绩的平均水平等。
3. 几何平均数3.1 定义几何平均数是一组数据的连乘积的n次方根。
它描述了这组数据的平均变化率，是一种典型比率。
3.2 计算方法计算几何平均数的方法是将一组数据的所有数值相乘，然后取n次方根。
用数学公式表示为：几何平均数= (x₁ * x₂ * ... * xn) ^ (1/n)其中，x₁, x₂, …, xn代表数据中的每个数值，n代表数据的个数。
3.3 特点和应用几何平均数的特点有：•几何平均数是一种对数据集变化率的概括，它能够反映数据的平均相对大小。
•几何平均数对异常值的影响较小，不会使得平均数产生明显的偏差。
•几何平均数可以用于比较不同数据集之间的平均变化率，以及进行数据的综合分析。
算术与几何平均值的性质练习题
算术与几何平均值的性质练习题1. 问题描述算术平均值和几何平均值是数学中常见的概念。
本练习题旨在巩固你对这两个概念的理解，并帮助你掌握它们的性质和应用。
2. 算术平均值的性质算术平均值是一组数的所有数值之和除以数的个数。
下面是算术平均值的一些性质：性质1：若将所有数增加（或减少）相同的常数，它们的算术平均值也将增加（或减少）相同的常数。
性质2：若将所有数乘以相同的非零常数，它们的算术平均值也将乘以该常数。
性质3：若将一组数分为两个子集，分别计算它们的算术平均值，然后再计算这两个平均值的算术平均值，结果与原始的一组数的算术平均值相同。
3. 几何平均值的性质几何平均值是一组数的所有数值的乘积的n次方根，其中n是数的个数。
下面是几何平均值的一些性质：性质1：若将所有数增加（或减少）相同的常数，它们的几何平均值不会改变。
性质2：若将所有数乘以相同的非零常数，它们的几何平均值也将乘以该常数的绝对值。
性质3：若将一组数分为两个子集，分别计算它们的几何平均值，然后再计算这两个平均值的几何平均值，结果与原始的一组数的几何平均值相同。
4. 练习题现在我们来进行一些练习题，以加深对算术平均值和几何平均值的理解。
题目1：已知数a, b, c, d是一组正数，且它们的算术平均值为10，则四个数的几何平均值应为多少？题目2：已知一个数的算术平均值是20，几何平均值是4，则该数可能是多少？题目3：一组正数的几何平均值为25，若每个数都增加了5，则新的几何平均值将是多少？题目4：一组正数的几何平均值为9，若每个数都减少了2，新的几何平均值将是多少？5. 解答题目1：设四个数的几何平均值为x，则根据几何平均值的性质3，有(x+a)/2和(x+b)/2分别为a, b的几何平均值。
由此可得方程[(x+a)/2 *(x+b)/2]^2 = ab。
根据已知条件可得[(10+a)/2 * (10+b)/2]^2 = ab。
解这个方程，得到a=5，b=20。
算术平均数与几何平均数(一)
算术平均数与几何平均数（一）一． 知识点回顾1． 重要公式：如果a 、b_____，那么22b a +_____2ab ，当且仅当_____取等号。
2． 如果a 、b_____，那么2ba +_____ab ，当且仅当_____取等号。
3．推广：如果n a a a ,,,21⋅⋅⋅___，那么na a a n ⋅⋅⋅++21_____n n a a a ⋅⋅⋅21，当且仅当____取等号。
二． 例题讲解 例1．0>≥b a ，试比较,,2,2,22ab ba b a a ++b a ab +2，b 的大小，并利用不等号将它们连接起来。
例2．已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1，求证：（1）（11-a）8)11)(11(≥--c b ，（2）31222≥++c b a（3）27111222≥++c b a 例3．（1）求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++，（2）已知22)1(112:,02≥++⋅++≥x xxx 求证三． 巩固练习 1．0,0""2">>≥+b a ab b a 是的（ ）条件。
A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分又不必要2．设2,,,=+≠∈b a b a R b a 且则必有（ ）A 、2122b a ab +≤≤B 、2122b a ab +<<C 、1222<<b a abD 、222ba +1<<ab3．已知0<a<b<1，,2log 21b a P +=Q )(log 21),log (log 21212121b a M b a +=+=，则P 、Q 、M 三个数的大小关系是（ ） A 、P>Q>MB 、Q> P>MC 、Q >M>PD 、M>Q>P4．下列不等式：①21≥+x x ②|2|1≥+xx ③若0<a<1<b ，则2log log -≤+a b b a ④若0<a<1<b ，则2log log ≥+a b b a 其中正确的是（ ）A 、②④B 、①②C 、②③D 、①②④5．在下列结论中，错用算术平均数与几何平均数不等式作依据的是（ ） A 、2,,≥+xy y x y x 则均为正数 B 、4)1)(1(,≥++aa a a 则为正数C 、1,210log lg >≥+x x x 其中D 、21222≥++x x6．x 成立的是则下列不等式中等号不且,00>>y （ ）A 、211≥+++xx x x B 、4)1)(1(≥++y y x x C 、4)11)((≥++y x y x D 、2lg lg )2lg lg (222y x y x +≤+ 7．已知>x ，则由不等式+x ⋅⋅⋅≥+≥34,212xx x 成立；推广为一般情况有*)(,1N n n x ax n∈+≥+，则常数a 为（ ） A 、2nB 、n 2C 、2)1(2+n D 、n n8．若b a R b a ≠∈且,在下列式子中，恒成立的个数为（ ） ①2223b ab a>+②322355b a b a b a +>+③)1(222--≥+b a b a ④2>+abb a A 、4B 、3C 、2D 、19．已知a>0,b>0，且a+b=4,则下列各式恒成立的是（ ） A 、211≥abB 、111≥+baC 、2≥abD 、41122≤+ba 10．若实数a,b 满足a+b=2，则b a33+的最小值为（ ）A 、18B 、6C 、32D 、24311．设2221,12,0,0b a b a b a +=+≥≥则的最大值为_____________。
算术和几何平均数练习题
算术和几何平均数练习题在数学中，算术平均数和几何平均数是两个常用的概念。
算术平均数是一组数值的平均值，而几何平均数是一组数值的连乘积的平方根。
这两个概念在许多实际应用中都有重要的作用。
本文将提供一些算术和几何平均数练习题，以帮助读者深入理解和应用这两个概念。
题目1：考试成绩小明参加了五门考试，他的成绩分别为85、91、78、89和92。
请计算小明这五门考试的算术平均数和几何平均数。
解答1：算术平均数等于所有数值的和除以数值的个数。
在这个例子中，小明的五门考试成绩的算术平均数可以通过以下计算得出：(85 + 91 + 78 + 89 + 92) / 5 = 87因此，小明的五门考试的算术平均数为87。
几何平均数等于所有数值的连乘积的平方根，然后再四舍五入到最接近的整数。
在这个例子中，小明的五门考试成绩的几何平均数可以通过以下计算得出：sqrt(85 * 91 * 78 * 89 * 92) ≈ 87因此，小明的五门考试的几何平均数也约等于87。
题目2：股票投资假设你购买了一只股票，三年后的年化收益率分别为5%、10%和15%。
请计算这三年的算术平均年化收益率和几何平均年化收益率。
解答2：算术平均年化收益率等于所有年化收益率的和除以年化收益率的个数。
在这个例子中，三年的算术平均年化收益率可以通过以下计算得出：(5% + 10% + 15%) / 3 = 10%因此，这三年的算术平均年化收益率为10%。
几何平均年化收益率等于所有年化收益率的连乘积的平方根，然后再减去1。
在这个例子中，三年的几何平均年化收益率可以通过以下计算得出：sqrt((1 + 5%) * (1 + 10%) * (1 + 15%)) - 1 ≈ 9.67%因此，这三年的几何平均年化收益率约为9.67%。
通过以上两个练习题，我们可以看到算术平均数和几何平均数在不同情境下的应用。
无论是统计考试成绩还是计算投资收益率，这两个概念都有助于我们得出客观结果。
算术平均数和几何平均数2
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
巩固练习
调和平均数，几何平均数， 算术平均数，加权平均数．
例1：求下列函数的最值：
(1)若x 0,求y 2 x 4的最大值. x
(2)求y x2 5 的最小值. x2 4
(2)若x
2, 求y
x
x
1
的最小值. 2
(3)若0 x 1 ,求y 1 x(1 2x)的最大值.
2
2
例2：求下列函数的最值： (1) y x 4r 2 x2 (0 x 2r). (2) y x2 3x 1(x 1).
x 1
例3：
(1)求y
sin
2
x
4 sin 2
x
的最小值.
主讲:王毅
一、复习： 几个重要的不等式:几个重要的不等式: 1. a R，b R a2 b2 2ab
(当且仅当a b时取“”) .
脚中，萧洒地涌出二十片摇舞着∈万变飞影森林掌←的仙翅枕头镐状的气缸，随着蘑菇王子的晃动，仙翅枕头镐状的气缸像牙签一样，朝着双兽怪影人工树上面悬浮 着的旋转物怪踢过去！紧跟着蘑菇王子也转耍着功夫像犀牛般的怪影一样朝双兽怪影人工树上面悬浮着的旋转物怪踢过去…………随着∈万变飞影森林掌←的搅动调 理，五群蚂蚁瞬间变成了由密如飞蝗的怪影雪花组成的串串褐黄色的，很像小子般的，有着阴森怪影质感的瀑布状物体。随着瀑布状物体的抖动旋转……只见其间又 闪出一组亮橙色的溪水状物体……接着蘑菇王子又用自己充满活力的幼狮肩膀敲打出墨蓝色秀丽漫舞的插座，只见他灵快如风的神脚中，萧洒地涌出二十片摇舞着∈ 万变飞影森林掌←的仙翅枕头镐状的气缸，随着蘑菇王子的晃动，仙翅枕头镐状的气缸像牙签一样飘舞起来……只听一声飘飘悠悠的声音划过，四只很像刚健轻盈的 身形般的瀑布状的串串闪光物体中，突然同时射出三缕奇妙无比的暗红色鸟影， 这些奇妙无比的 暗红色鸟影被光一窜，立刻变成星月飞光的泡泡，不一会儿这些泡泡 就跃动着奔向巍峨仙柱的上空……很快在海月光色的庞然丝绸上面形成了地银色的 ，醒目的标题是：《时代马尾表演体系的七种演变》，而全部文字正好一万字， 这时丝绸上面的文字颜色开始不断的闪烁变化，越来越亮突然，只见丝绸顶部猛然射出一片海蓝色的霞光，这片神光很快化作漫天飞舞的深邃辽阔的精灵，以飘然飞 向每个ｌ官和所有在场的学生，随着声声奇妙的声响，这些精灵都变成了一份份 ｌ题的答卷……与此同时，闪亮的文字纷纷变成光闪闪的深白色宝石从上面纷纷落下 ，顷刻间在七只巨碗之上变成了清晰可见的跳动自由的团体操……蘑菇王子：“哇！有点吃力哦！”知知爵士：“不用担心，有我呢？！”蘑菇王子：“你也弄两套 独家功夫表现一下！知知爵士：“好的好的！”这时，蘑菇王子忽然富于变化的手指整个狂跳蜕变起来……灵快如风的神脚跃出墨紫色的缕缕弧云……灵敏小巧的薄 耳朵闪出纯黄色的丝丝怪热！接着转动充满智慧的亮眼睛一挥，露出一副迷离的神色，接着耍动直挺滑润的鼻子，像紫葡萄色的八蹄森林狗般的一转，发光的闪着荧 光的薄耳朵猛然伸长了四十倍，神秘变幻的、像飞云瀑布般的海沙色月光风衣也顿时膨胀了五十倍！紧接着像亮白色的紫肾圣地雁一样长喘了一声，突然来了一出曲 身蠕动的特技神功，身上顷刻生出了五十只犹如鱼尾似的火橙色眼睛。最后颤起矫健刚劲的手臂一旋，猛然从里面流出一道粼光，他抓住粼光高雅地一扭，一套黄澄 澄、绿莹莹的兵器∈追云赶天鞭←便显露出来，只见
简述算术平均数、几何平均数、调和平均数的适用范围
简述算术平均数、几何平均数、调和平均数的适用范围在数学中，平均数是一组数据的代表值，常用来描述数据的集中趋势。
而在平均数中，算术平均数、几何平均数和调和平均数是最常见的三种平均数。
它们分别适用于不同的情况和数据类型，下面我们将对这三种平均数的适用范围进行简要介绍。
1. 算术平均数算术平均数是最为常见的平均数，它可以简单地通过将一组数据相加，然后除以数据的个数来计算得到。
算术平均数适用于对数据的集中趋势进行描述，特别是对数值型数据。
当我们需要了解一组数据的平均水平时，通常会使用算术平均数。
我们可以通过计算学生的平均成绩来了解班级的学习情况，或者通过计算某个地区的平均温度来了解该地区的气候情况。
2. 几何平均数几何平均数是一组数据的乘积的n次根，其中n为数据的个数。
几何平均数适用于描述数据的增长率、比率或倍数关系，特别是对正数的乘积进行平衡处理。
当我们需要计算连续几年的增长率时，就可以使用几何平均数。
另外，几何平均数还常用于计算财务投资的平均收益率，以平衡不同年份的收益率水平。
3. 调和平均数调和平均数是一组数据的倒数的算术平均值的倒数，它适用于描述速度、工作量和时间等方面的平均值。
在实际应用中，调和平均数常用于计算多个数据量的平均值，且数据不受限制，这时调和平均数能够有效地平衡数据的差异性。
在物流行业中，我们通常会使用调和平均数来计算车辆的平均行驶速度，或者计算工人完成某项工作的平均时间。
算术平均数适用于描述数据的集中趋势，几何平均数适用于描述数据的增长率与比率，而调和平均数则适用于平衡数据的差异性。
在实际应用中，我们需要根据不同的情况和数据类型，选择适合的平均数进行分析和描述，以确保得到准确和合理的结论。
个人观点：平均数在日常生活和各行各业中都扮演着重要的角色，它能够帮助人们更好地理解和分析数据，从而做出科学的决策。
懂得不同类型平均数的适用范围，能够更好地应用数学知识于实际工作和生活中。
对平均数的理解和运用至关重要。
2012届高考数学(理)一轮经典例题——算术平均数与几何平均数(福建版)1
典型例题一例1 已知R c b a ∈,,，求证.222ca bc ab c b a ++≥++ 证明：∵ ab b a 222≥+， bc c b 222≥+，ca a c 222≥+， 三式相加，得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++，即.222ca bc ab c b a ++≥++说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握．典型例题二例2 已知c b a 、、是互不相等的正数，求证：abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ 证明：∵0222>>+a bc c b ，， ∴abc c b a 2)(22>+同理可得：abc b a c abc c a b 2)(2)(2222>+>+，． 三个同向不等式相加，得abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ ①说明：此题中c b a 、、互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立．特别地，b a =，c b ≠时，所得不等式①仍不取等号．典型例题三例3 求证)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式ab b a 222≥+，并能由)(2c b a ++这一特征，思索如何将ab b a 222≥+进行变形，进行创造”．证明：∵ab b a 222≥+，两边同加22b a +得222)()(2b a b a +≥+．即2)(222b a b a +≥+．∴)(222122b a b a b a +≥+≥+．同理可得：)(2222c b c b +≥+，)(2222a c a c +≥+． 三式相加即得)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．典型例题四例4 若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ． 解：∵+∈R b a ,， ∴323+≥++=ab b a ab ，令ab y =，得0322≥--y y ，∴3≥y ，或1-≤y （舍去）．∴92≥=ab y ，∴ ab 的取值范围是[).,9+∞说明：本题的常见错误有二．一是没有舍去1-≤y ；二是忘了还原，得出[)+∞∈,3ab ．前者和后者的问题根源都是对ab 的理解，前者忽视了.0≥ab 后者错误地将2y 视为ab ．因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之．典型例题五例5 （1）求41622++=x x y 的最大值． （2）求函数1422++=x x y 的最小值，并求出取得最小值时的x 值． （3）若0,0>>y x ，且2=+y x ，求22y x +的最小值．解：（1）41622++=x x y 13163)1(162222+++=+++=x x x x .3326=≤即y 的最大值为.3 当且仅当13122+=+x x 时，即22=x 2±=x 时，取得此最大值．（2）1141142222-+++=++=x x x x y 3142=-⋅≥ ∴ y 的最小值为3，当且仅当11422+=+x x ，即4)1(22=+x ，212=+x ，1±=x 时取得此最小值．（3）∴ xy y x 222≥+ ∴222)()(2y x y x +≥+即2)(222y x y x +≥+∵2=+y x ∴222≥+y x 即22y x +的最小值为2． 当且仅当4==y x 时取得此最小值．说明：解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件．典型例题六例6 求函数xx y 321--=的最值． 分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件．如：0≠x ，应分别对0,0<>x x 两种情况讨论，如果忽视+∈Rx 的条件，就会发生如下错误：∵6213221)32(1321-=⋅-≤+-=--=xx x x x x y ，.621max -=y 解：当0>x 时，03,02>>x x ，又632=⋅xx ， 当且仅当x x 32=，即26=x 时，函数x x 32+有最小值.62 ∴ .621max -=y 当0<x 时，03,02>->-x x ，又6)3()2(=-⋅-xx ， 当且仅当x x 32-=-，即26+=x 时，函数)32(x x +-最小值.62 ∴ .621min +=y典型例题七例7 求函数91022++=x x y 的最值．分析：291991)9(2222≥+++=+++=x x x x y ．但等号成立时82-=x ，这是矛盾的！于是我们运用函数xx y 1+=在1≥x 时单调递增这一性质，求函数)3(1≥+=t tt y 的最值．解：设392≥+=x t ，∴t t x x y 191022+=++=．当3≥t 时，函数tt y 1+=递增．故原函数的最小值为310313=+，无最大值．典型例题八例8 求函数4522++=x x y 的最小值．分析：用换元法，设242≥+=x t ，原函数变形为)2(1≥+=t t t y ，再利用函数)2(1≥+=t tt y 的单调性可得结果．或用函数方程思想求解．解：解法一： 设242≥+=x t ，故).2(14522≥+=++=t t t x x y212121212121121)()11()(2t t t t t t t t t t y y t t --=-+-=-≥>，设．由202121><-t t t t ，，得：0121>-t t ，故：21y y <． ∴函数)2(1≥+=t t t y 为增函数，从而25212=+≥y ． 解法二：设242≥=+t x ，知)2(1≥+=t tt y ，可得关于t 的二次方程012=+-yt t ，由根与系数的关系，得：121=t t ．又2≥t ，故有一个根大于或等于2，设函数1)(2+-=yt t t f ，则0)2(≤f ，即0124≤+-y ，故25≥y ． 说明：本题易出现如下错解：2414452222≥+++=++=x x x x y ．要知道，41422+=+x x 无实数解，即2≠y ，所以原函数的最小值不是2．错误原因是忽视了等号成立的条件． 当a 、b 为常数，且ab 为定值，b a ≠时，ab ba >+2，不能直接求最大（小）值，可以利用恒等变形ab b a b a 4)(2+-=+，当b a -之差最小时，再求原函数的最大（小）值．典型例题九例9 ,4,0,0=+>>b a b a 求2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值．分析：此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值． 解：由,4=+b a ，得.2162)(222ab ab b a b a -=-+=+ 又,222ab b a ≥+得ab ab 2216≥-，即4≤ab ．21111222⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b b a a b b a a .225244444422=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ab 故2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值是225．说明：本题易出现如下错解：8441212112222=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b b a a b b a a ，故2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值是8． 错误的原因是，在两次用到重要不等式当等号成立时，有1=a 和1=b ，但在4=+b a 的条件下，这两个式子不会同时取等号（31==b a 时，）．排除错误的办法是看都取等号时，与题设是否有矛盾．典型例题十例10 已知：+∈R c b a ,,，求证：c b a cabb ac a bc ++≥++． 分析：根据题设，可想到利用重要不等式进行证明．证明：.2,222c bac a bc c ab abc b ac a bc ≥+=≥+即同理：a cab b ac b c ab a bc 2,2≥+≥+ ).(22c b a c ab b ac a bc ++≥⎪⎭⎫⎝⎛++∴.c b a cab b ac a bc ++≥++∴说明：证明本题易出现的思维障碍是：(1)想利用三元重要不等式解决问题；(2)不会利用重要不等式ab ba ≥+2的变式；(3)不熟练证明轮换对称不等式的常用方法．因此，在证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式．另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性．典型例题十一例11设R e d c b a ∈、、、、，且8=++++e d c b a ，1622222=++++e d c b a ，求e 的最大值．分析：如何将22b a +与b a +用不等式的形式联系起来，是本题获解的关键．算术平均数与几何平均数定理ab b a 222≥+两边同加22b a +之后得222)(21b a b a +≥+． 解：由222)(21b a b a +≥+，则有 ,)(41])()[(212222222d c b a d c b a d c b a +++≥+++≥+++.5160)8(411622≤≤⇒-≥-∴e e e.51656＝时，当最大值e d c b a ====说明：常有以下错解：abcd cd ab d c b a e 4)(21622222≥+≥+++=-， 448abcd d c b a e ≥+++=-．故abcd e abcd e ≥-≥-4222)48(,4)16(． 两式相除且开方得516014)8(1622≤≤⇒≥--e e e ．错因是两不等式相除，如211,12>>，相除则有22>． 不等式222)(21b a b a +≥+是解决从“和”到“积”的形式．从“和”到“积”怎么办呢？有以下变形：222)(21b a b a +≥+或)(21222b a b a +≥+．典型例题十二例12 已知：0>y x ＞，且：1=xy ，求证：2222≥-+yx y x ，并且求等号成立的条件．分析：由已知条件+∈R y x ，，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有y x -，无法利用xy y x 2≥+，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现)(1)(y x y x -+-型，再行论证．证明：,1.0,0=>-∴>>xy y x y x 又yx xyy x y x y x -+-=-+∴2)(222 yx y x -+-=2)( .22)(2)(2=-⋅-≥y x y x等号成立，当且仅当)(2)(y x y x -=-时．.4,2,2)(222=+=-=-∴y x y x y x ,6)(,12=+∴=y x xy.6=+∴y x由以上得226,226-=+=y x 即当226,226-=+=y x 时等号成立． 说明：本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式．本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意灵活运用均值不等式．典型例题十三例13 已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值． 分析：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x xxy ， 故)300(2302<<+-=x x x x xy ，令xx x t +-=2302．利用判别式法可求得t （即xy ）的最大值，但因为x 有范围300<<x 的限制，还必须综合韦达定理展开讨论．仅用判别式是不够的，因而有一定的麻烦，下面转用基本不等式求解．解法一：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x xxy ． xx x x x x xy +-+++-=+-=264)2(34)2(23022⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=264)2(34x x注意到16264)2(2264)2(=+⋅+≥+++x x x x ． 可得，18≤xy ． 当且仅当2642+=+x x ，即6=x 时等号成立，代入302=++xy y x 中得3=y ，故xy 的最大值为18．解法二：+∈R y x , ，xy xy y x ⋅=≥+∴22222， 代入302=++xy y x 中得：3022≤+⋅xy xy 解此不等式得180≤≤xy ．下面解法见解法一，下略．说明：解法一的变形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二则是抓住了问题的本质，所以解得更为简捷．典型例题十四例14 若+∈R c b a 、、，且1=++c b a ，求证：8111111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-c b a ．分析：不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式所得三个“2”连乘而来，而abca cb a a a 2111≥+=-=-． 证明：ac b a a a +=-=-111，又0>a ，0>b ，0>c ， a bc a c b 2≥+∴，即a bca a 21≥-． 同理b ca b 211≥-，cab c 211≥-， 8111111≥⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴c b a ．当且仅当31===c b a 时，等号成立． 说明：本题巧妙利用1=++c b a 的条件，同时要注意此不等式是关于c b a 、、的轮换式．典型例题十五例15 设+∈R c b a 、、，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．分析：本题的难点在于222222a c c b b a +++、、不易处理，如能找出22b a +与b a +之间的关系，问题可得到解决，注意到：b a b a b a b a ab b a +≥+⇒+≥+⇒≥+)(2)()(222222222，则容易得到证明．证明：2222222)(2)(22b a ab b a b a ab b a +≥++≥+∴≥+， ，于是．)(222222b a b a b a +=+≥+ 同理：)(2222c b c b +≥+，)(2222a c a c +≥+． 三式相加即得：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．说明：注意观察所给不等式的结构，此不等式是关于c b a 、、的轮换式．因此只需抓住一个根号进行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性．典型例题十六例16 已知：+∈R b a 、（其中+R 表示正实数）求证：．ba ab b a b a b a 112222222+≥≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+≥+ 分析：要证明的这一串不等式非常重要，222b a +称为平方根，2b a +称为算术平均数，ab 称为几何平均数，ba 112+称为调和平均数．证明：()．0412222222≥-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+b a b a b a ．222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b a b a +∈R b a 、∴2222ba b a +≥+，当且仅当“b a =”时等号成立． ．0)(412222≥-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+b a b a b a ∴222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≥+b a b a ，等号成立条件是“b a =” ，0)(41222≥-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ab b a ∴ab b a ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22，等号成立条件是“b a =”．ba abab b a b a ab ab ba ab +-+=+-=+-2)(2112 ．0)()2(2≥+-=+-+=ba b a ab b a ab b a ab∴ba ab 112+≥，等号成立条件是“b a =”．说明：本题可以作为均值不等式推论，熟记以上结论有利于处理某些复杂不等式的证明问题．本例证明过程说明，不等式性质中的比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法．典型例题十七例17 设实数1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 满足021>a a ，2111b c a ≥，2222b c a ≥，求证2212121)())((b b c c a a +≥++．分析：由条件可得到1a ，2a ，1c ， 2c 同号．为方便，不妨都设为正．将求证式子的左边展开后可看出有交叉项21c a 和12c a 无法利用条件，但使用均值不等式变成乘积后，重新搭配，可利用条件求证．证明：同号．2121,,0a a a a ∴>同理，由22222111b c a b c a ≥≥，知1a 与1c 同号，2a 与2c 同号 ∴1a ，1c ，2a ，2c 同号．不妨都设为正．122122112121))((c a c a c a c a c c a a +++=++∴122122212c a c a b b ⋅++≥221122212c a c a b b ⋅++=222122212b b b b ⋅++≥||2212221b b b b ++=221212221)(2b b b b b b +=++≥，即2212121)())((b b c c a a +≥++．说明：本题是根据题意分析得1a ，1c ，2a ，2c 同号，然后利用均值不等式变形得证．换一个角度，由条件的特点我们还会联想到使用二次方程根的判别式，可能会有另一类证法．实际上，由条件可知1a ，1c ，2a ，2c 为同号，不妨设同为正．又∵2111b c a ≥，2222b c a ≥，∴211144b c a ≥，222244b c a ≥．不等式021121≥++c x b x a ，022222≥++c x b x a 对任意实数x 恒成立（根据二次三项式恒为正的充要条件），两式相加得0)()(2)(2121221≥+++++c c x b b x a a ，它对任意实数x 恒成立．同上可得：2212121)())((b b c c a a +≥++．典型例题十八例18 如下图所示，某畜牧基地要围成相同面积的羊圈4间，一面可利用原有的墙壁，其余各面用篱笆围成，篱笆总长为36m ．问每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？分析：可先设出羊圈的长和宽分别为x ，y ，即求xy 的最大值．注意条件3664=+y x 的利用． 解：设每间羊圈的长、宽分别为x ，y ，则有3664=+y x ，即1832=+y x ．设xy S =,623223218xy y x y x =⋅≥+=227,227≤≤∴S xy 即 上式当且仅当y x 32=时取“＝”．此时⎩⎨⎧===,1832,32y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧==∴.3,29y x ∴羊圈长、宽分别为29m ，3m 时面积最大． 说明：(1)首先应设出变量（此处是长和宽），将题中条件数学化（即建立数学模型）才能利用数学知识求解；(2)注意在条件1832=+y x 之下求积xy 的最大值的方法：直接用不等式y x y x 3223218⋅≥+=，即可出现积xy ．当然，也可用“减少变量”的方法：22218261)218(261)218(31)218(31⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅≤-⋅⋅=-⋅==→-=x x x x x x xy S x y ，当且仅当x x 2182-=时取“=”．典型例题十九例19 某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/m 2，房屋侧面的造价为800 元/m 2，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：这是一个求函数最小值的问题，关键的问题是设未知数，建立函数关系．从已知条件看，矩形地面面积为12m 2，但长和宽不知道，故考虑设宽为x m ，则长为x12m ，再设总造价为y ．由题意就可以建立函数关系了．解：设矩形地面的正面宽为x m ，则长为x12m ；设房屋的总造价为y ．根据题意，可得： 5800280012312003+⨯⋅⋅+⋅=x x y 5800576003600++=xx580016236005800)16(3600+⋅⨯≥++=xx x x )(34600580028800元=+=当xx 16=，即4=x 时，y 有最小值34600元． 因此，当矩形地面宽为4m 时，房屋的总造价最低，最低总造价是34600元．说明：本题是函数最小值的应用题，这类题在我们的日常生活中经常遇到，有求最小值的问题，也有求最大值的问题，这类题都是利用函数式搭桥，用均值不等式解决，解决的关键是等号是否成立，因此，在解这类题时，要注意验证等号的成立．典型例题二十例20 某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m 长造价40元，两侧墙砌砖，每1m 长造价45元，顶部每1m 2造价20元．计算：(1)仓库底面积Ｓ的最大允许值是多少？(2)为使Ｓ达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 分析：用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意翻译数量关系． 解：设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有xy S =.由题意得(*).32002045240=+⨯+xy y x应用算术平均数与几何平均数定理，得,201202012020904023200S S xy xy xyy x +=+=+⋅≥,1606≤+∴S S即：.0)10)(10(≤--S S,010,016≤-∴>+S S从而：.100≤S因此S 的最大允许值是2100m ，取得此最大值的条件是y x 9040=，而100=xy ，由此求得15=x ，即铁栅的长应是m 15． 说明：本题也可将xSy =代入（*）式，导出关于x 的二次方程，利用判别式法求解． 典型例题二十一例21 甲、乙两地相距km s ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过km/h c ，已知汽车每小时的．．．．运输成本．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度km/h v 的平方成正比，且比例系数为b ；固定部分为a 元．（1）把全程运输成本y 元表示为速度km/h v 的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：这是1997年的全国高考试题，主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题．解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为h vs，全程运输成本为 )(2bv vas v s bv v s a y +=⋅+⋅=．故所求函数为)(bv bas y +=，定义域为)0(c v ，∈．（2）由于v b a s 、、、都为正数， 故有bv bas bv v a s ⋅⋅≥+2)(， 即ab s bv vas 2)(≥+． 当且仅当bv v a =，即ba v =时上式中等号成立． 若c b a ≤时，则bav =时，全程运输成本y 最小；当c ba≤，易证c v <<0，函数)()(bv v a s v f y +==单调递减，即c v =时，)(min bc c a s y +=．综上可知，为使全程运输成本y 最小， 在c b a ≤时，行驶速度应为b av =； 在c ba≤时，行驶速度应为c v =．。
算术平均数与几何平均数(一)
教学目标（1）掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理；（2）能运用定理证明不等式及求一些函数的最值；（3）能够解决一些简单的实际问题；（4）通过对不等式的结构的分析及特征的把握掌握重要不等式的联系；（5）通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观；教学建议1．教材分析（1）知识结构本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式：，根据这个结论，又得到了一个定理：，并指出了为的算术平均数，为的几何平均数后，随后给出了这个定理的几何解释。
（2）重点、难点分析本节课的重点内容是掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；掌握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值．为突破重难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，注意到平均值定理中等号成立的条件，发现使用定理求最值的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．㈠定理教学的注意事项在公式以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：（1）和成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数。
例如成立，而不成立。
（2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚。
教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：当时取等号，其含义就是：仅当时取等号，其含义就是：综合起来，其含义就是：是的充要条件。
（二）关于用定理证明不等式当用公式，证明不等式时，应该使学生认识到：它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法（将在下一小节学习）证出的。
因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明。
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算数平均数与几何平均数
【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟. 一、选择题（每小题6分，共42分）
1.log a b+log b a ≥2成立的必要条件是（ ）
A.a ＞1,b ＞1
B.0＜a,b ＜1
C.(a-1)(b-1)＞0
D.以上全不对 答案：C
解析：log a b+log b a ≥2成立的充要条件是log a b ＞0，故A 、B 是充分条件，C 是必要条件. 2.下列各等式中正确的个数是（ ） ①a 2+1＞2a;②|x+
x 1|≥2;③ab
b a +≤2; ④x 2+112+x ≥1. A.0 B.1 C.2 D.3
答案：C
解析：②④正确.
3.(2010广东中山一模，9)设a 、b ∈R +,且a+b=4,则有（ ）
A.ab 1≥21
B.b
a 11+≥1 C.a
b ≥2 D.2
21b a +≥41
答案：B
解析：由a,b ∈R +,a+b=4,知ab ≤(
2b a +)2=4,故b a 11+=ab
ab b a 4
=+≥1.
4.(2010浙江高三联考，2)已知xy ＜0,则代数式xy
y x 2
2+（ ）
A.有最小值2
B.有最大值-2
C.有最小值-2
D.不存在最值 答案：B
解析：因x 2
+y 2
≥2|xy|=-2xy ，又xy ＜0,故xy
y x 2
2+≤-2.
5.(2010重庆万州区一模，5)若实数x 、y 满足x 2+y 2=1,则（1-xy ）(1+xy)的最小值为( ) A.1 B.2
1 C.43 D.41
答案：C
解析：∵2|xy|≤x 2+y 2=1,∴|xy|≤
21. (1-xy)(1+xy)=1-x 2y 2≥1-(2
1)2=43
.
6.当点（x,y ）在直线x+3y-2=0上移动时，表达式3x +27y +1的最小值是( ) A.339 B.1+22 C.6 D.7 答案：D
解析：3x +27y +1=3x +33y +1≥2y x 333∙+1=2y x 33++1=7.
7.甲、乙两个同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )
A.甲先到教室
B.乙先到教室
C.两人同时到教室
D.谁先到教室不确定 答案：B
解析：设甲用时T ，乙用时2t ，步速为a ，跑步速度为b ，距离S.则
T=ab
b
a S
b S a S b S
a S 22222+⨯=+=+, ta+tb=s ⇒2t=
b a s +2,∴T-2t=ab b a s 2)(+-b a s +2=s ×)
(2)()(24)(22b a ab b a s b a ab ab b a +-=
+-+＞0， 故T ＞2t.
二、填空题（每小题5分，共15分） 8.已知a 、b ∈R +,且a+b=1,则b
a 1
1+≥m,恒成立的实数m 的最大值是________________. 答案：4
解析：
b a 11+=(b a 11+)(a+b)=2+b a
a b +≥4. 所以b a 11+的最小值为4，m ≤b
a 1
1+恒成立，m 的最大值是4.
9.在下面等号右侧两个分数的分母括号处，各填上一个自然数，并且使两个自然数的和最小.1=
)
(
9)
(
1+
.
答案：4 12
解析：设所求数为m,n 故求μ=m+n 的最小值，且n m 91+=1.又μ=(m+n)·1=(m+n)·(n
m 9
1+) =10+
n
m
m n 9+≥16,此时m=4,n=12. 10.已知双曲线（x-h ）(y-k)=a(a ≠0)的水平渐近线为y=k,垂直渐近线为x=h ，双曲线中心为（h,k ），若双曲线y=
1
-x x
上的点到它的水平渐近线、垂直渐近线、中心的距离分别为d 1,d 2,d 3，则d 1+d 2+d 3的最小值为___________________. 答案：2+2
解析：设点P 为（x 0,y 0），易知水平渐近线为x=1时，垂直渐近线为y=1，中心为（1，1）， 故d 1=|y 0-1|,d 2=|x 0-1|,d 3=2
02
0)1()1(-+-y x , ∴d 1+d 2+d 3=|
110-x |+|x 0-1|+|1||1
1
|00-+-x x ≥2+2.等号当且仅当|110-x |=|x 0-1|即x 0=0或x 0=2时成立.
三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）
11.（1）求函数y=x+x
21
(x ＜0)的最大值； （2）求函数y=
3
1
-x +x(x ＞3)的最小值. 解析：（1）x ＜0, ∴y=x+
x 21=-［(-x)+)2(1x -］≤-2)
2(1
)(x x -∙-=-2. 当且仅当x=-2
2
时，取等号.∴y max =-2. (2)∵x ＞3,
∴y=31-x +x=3
1-x +(x-3)+3≥5. 当且仅当x-3=3
1
-x ,即x=4时，取等号.
∴y min =5.
12.设a 、b 、c ∈R +,求证：22b a ++22c b ++22a c +≥2(a+b+c). 证明：∵
a 2+
b 2
≥2ab,∴
2(a 2+b 2)
≥
(a+b)2
① 于是
2
2b a +≥
2
2
|a+b|=
2
2(a+b).
② 同理：
2
2c b +≥
2
2(b+c),
2
2a c +≥
2
2(c+a).
③
①+②+③式相加得：22b a ++22c b ++22a c +≥2(a+b+c).
13.某单位决定投资3 200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方米造价20元，试计算：
（1）仓库面积S 的最大允许值是多少？
（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 解析：（1）设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则S=xy ，由题意得40x+2×45y ＋20xy=3 200,应用二元均值不等式，得3 200≥2y x 9040∙+20xy,即S+6S ≤160,而（S +16）（S -10）≤0. ∴S ≤10⇒S ≤100.
因此S 的最大允许值是100米2.
（2）当⎩⎨
⎧==.
9040,
100y x xy
即x=15米，即铁栅的长为15米. 14.是否存在常数c ，使得不等式y x y y x x 22+++≤c ≤y
x y
y x x 22++
+对任意正实数x,y 恒成立？证明你的结论. 解析：存在常数c=
3
2
. 证明：令⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+.
32,
3
2,2,2m n y n m x n y x m y x
故有y x y y x x 22+++=
)33(343232n
m m n n m
n m n m +-=-+-≤34-32=32, 同理可证y x y
y x x 22+++≥3
2.。