2020秋高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.2定积分的概念课堂达标含解析新人教A版
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.6 微积分基本定理要点讲解素材 新人教A版选修2-2
定积分和微积分要点讲解一、定积分的概念教材上从求曲边梯形的面积和变速运动的路程出发引入了定积分的概念：如果函数()f x 在区间[],a b 上是连续的，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=L L 将区间[],a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ（1,2,,i n =L），作和式()()11nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()baf x dx ⎰，即()()1lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰． 对这个概念我们应从如下几个方面进行理解１．对区间[],a b 分割的绝对任意性：在定义中我们将区间[],a b 进行等分是为了计算上的方便，实际上对区间[],a b 的分割是任意的，这时只要这些区间中长度最大的区间的长度趋向于零即可．２．在每个小区间[]1,i i x x -上取点的绝对任意性：在教材上的两个例题是为了计算的方便将点取小区间[]1,i i x x -的端点，实际上我们可以在区间[]1,i i x x -上任意取点，如取中点等．３．当n →∞时，和式()()11nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑无限接近某个常数的唯一确定性．它不依赖于对区间[],a b 的分割方法，也不依赖于在每个小区间[]1,i i x x -上取点的方式．即()baf x dx ⎰是一个客观上存在的仅仅依赖于积分上下限和被积函数的唯一确定的常数．同时它也与积分变量无关，即()()b baaf x dx f t dt =⎰⎰．４．数学思想上的划时代意义．产生定积分概念的＂以直代曲＂＂以匀速代变速＂和＂无限逼近＂的数学思想，使人类在认识数学世界的观念上有了重大突破，在数学的发展史上具有重大意义．我们要仔细理解体会这种思想，可以说这才是我们在高中阶段学习定积分的真正目的．例如在求曲边梯形的面积的课本例１中，我们把区间[]0,1等分成n 个小区间，在每个小区间上＂以直代曲＂就将曲边问题转化为直边问题，随着n 的增大这些小区间的宽度越来越小，这时在每个小区间上直边形的面积已经和曲边形的面积非常接近，我们就可以以这些小直边形的面积之和近似代替曲边形的面积，而当n →∞时这些小直边形就几乎变成了线段，这时小直边形的面积几乎就等于小曲边形的面积，这无穷个几乎变成了线段的直边形的面积之和就是所求的曲边形的面积了．我们常说＂线动成面＂，对课本例１，我们也可以这样形象的理解：就将小直边形的宽度变成零，使其成为线段，这时小直边形和小曲边形的就完全重合了，而将这些线段从0到1运动就形成了()2f x x =，1x =， x 轴所围成的曲边形，将这些线段的＂面积＂积累起来就是所求的曲边形的面积． 二、微积分基本定理的应用作变速直线运动的物体如果其运动方程是()S t ，那么该物体在时间区间[],a b 内通过的路程是()()S b S a -，另一方面由导数的物理意义，该物体在任意时刻的瞬时速度为()()'S t s t =，我们把该物体运动的时间区间[],a b 无限细分，在每个小时间段上，将其速度看作匀速，就能求出该物体在每个小时间段上通过的路程，将这无限个小时间段上的路程加起来，就是该物体在时间区间[],a b 上通过的路程，由定积分的定义可知，这个数值是()bas t dt ⎰．由此可知()()()()'bbaaS t dt s t dt S b S a ==-⎰⎰．一般地有如下结论：如果()f x 是[],a b 上的连续函数，并且有()()F x f x '=，则()()()baf x dx F b F a =-⎰．这就是微积分基本定理，是微积分学最为辉煌的定理，是数学发展史的一个重要里程碑，利用这个定理可以很方便的计算定积分，其关键是找到一个函数使其导数等于被积函数，下面举例说明它在计算定积分上的应用．例１ 计算定积分()1xx ee dx --⎰分析：()'x x e e =，()'x x e e --=-，故()'x x x x e e e e --+=-．解：()()11'112xxxx xx eedx eedx ee e e---⎡⎤-=+=+=+-⎣⎦⎰⎰．点评：关键是找()F x ，使()'x xF x e e -=-，可以通过求导运算求探求．例２ 计算定积分220cos sin 22x x dx π⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰．分析：被积函数比较复杂，我们可以先化简，再探求．由于222cos sin cos 2cos sin sin 1sin 222222x x x x x x x ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭，而'1x =，()cos 'sin x x =-，故()2cos '1sin cos sin 22x x x x x ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭．解：()()[]2'2222000cos sin 1sin cos cos 2212x x dx x dx x x dx x x πππππ⎛⎫-=-=+=+ ⎪⎝⎭=-⎰⎰⎰点评：被积函数较为复杂时要先化简在求解． 掌握如下的定积分计算公式对解题是有帮助的．①111bm m ab x dx xa m +=+⎰（,1m Q m ∈≠-），②1ln bab dx x a x =⎰，③b x x a b e dx e a =⎰，④ln x n xm n a a dx ma =⎰，⑤cos sin bab xdx xa=⎰，⑥()sin cos babxdx x a=-⎰．例如 例３ 计算定积分()1223x x dx -⎰．分析：先展开再利用上面的定积分公式． 解：()1223xx dx -⎰=()104269xxxdx -⋅+⎰=146920ln 4ln 6ln 9x x x ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭ 3108ln 4ln 6ln 9=-+． 点评：根据定积分公式结合定积分的运算性质是计算定积分的根本．从上面不难看出利用微积分基本定理计算定积分比用定义计算要方便的多，在实际解题中要注意对被积函数的化简展开以及有意识的利用定积分的三条运算性质，以起到化难为易的作用．三、定积分的三条性质根据定积分的定义不难得到定积分的三条性质 性质1．常数因子可提到积分号前，即：()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰（k 为常数）；性质2．代数和的积分等于积分的代数和： 即：()()()()bb bx aa a f x g x dx f x d g x dx ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰；性质3．（定积分的可加性）如果积分区间[],a b 被点c 分成两个小区间[],a c 与[],c b ， 则：()()()bc daacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰。
(全国通用版)新2020-2020版高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.3 定积分的概念学案 新人
1.5.3 定积分的概念学习目标1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．知识点一 定积分的概念思考 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．梳理 一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃbaf (x )d x ，即ʃb af (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1nb －anf (ξi )，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 知识点二 定积分的几何意义思考1 根据定积分的定义求得ʃ21(x ＋1)d x 的值是多少？ 答案 ʃ21(x ＋1)d x ＝52.思考2 ʃ21(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形面积有何关系？ 答案 相等．梳理 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分ʃba f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分ʃb a f (x )d x 的几何意义．注意：f (x )<0(图象在x 轴的下方)时，ʃba f (x )d x <0，－ʃba f (x )d x 等于曲边梯形的面积． 知识点三 定积分的性质思考 你能根据定积分的几何意义解释ʃba f (x )d x ＝ʃca f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x (其中a <c <b )吗？ 答案 直线x ＝c 把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S 是两个小曲边梯形的面积S 1，S 2之和，即S ＝S 1＋S 2.梳理(1)ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x(k为常数)．(2)ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x.(3)ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．1．ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.( √)2．ʃb a f(x)d x的值一定是一个正数．( ×)3．ʃb a⎣⎢⎡⎦⎥⎤x3＋⎝⎛⎭⎪⎫12x d x＝ʃba x3d x＋ʃba⎝⎛⎭⎪⎫12x d x.( √)类型一利用定积分的定义求定积分例1 利用定积分的定义，计算ʃ21(3x＋2)d x的值．考点定积分的概念题点定积分的概念解令f(x)＝3x＋2.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n＋i－1n，n＋in(i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.(2)近似代替、求和取ξi＝n＋i－1n(i＝1,2，…，n)，则S n＝∑i＝1nf⎝⎛⎭⎪⎫n＋i－1n·Δx＝∑i＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(n＋i－1)n＋2·1n＝∑i＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(i－1)n2＋5n＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5＝32×n2－nn2＋5＝132－32n.(3)取极限ʃ21(3x ＋2)d x ＝lim n →∞ S n ＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132－32n ＝132. 反思与感悟 利用定义求定积分的步骤跟踪训练1 利用定积分的定义计算ʃ32(x ＋2)d x . 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 解 令f (x )＝x ＋2.将区间[2,3]平均分为n 个小区间，每个小区间的长度为Δx i ＝1n，[x i －1，x i ]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋i －1n ，2＋i n ，i ＝1,2，…，n . 取ξi ＝x i ＝2＋i n ，则f (ξi )＝2＋i n ＋2＝4＋i n.则∑ni ＝1f (ξi )Δx i ＝∑ni ＝1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋i n·1n＝∑ni ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋i n 2＝n ·4n＋1＋2＋…＋n n2＝4＋n ＋12n. ∴ʃ32(x ＋2)d x ＝lim n →∞⎝⎛⎭⎪⎫4＋n ＋12n ＝92. 类型二 利用定积分的性质求定积分例2 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求下列各式的值． (1)ʃ20(3x 3)d x ； (2)ʃ41(6x 2)d x ； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x . 考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用 解 (1)ʃ20(3x 3)d x ＝3ʃ20x 3d x＝3()ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12. (2)ʃ41(6x 2)d x ＝6ʃ41x 2d x＝6()ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ21(3x 2)d x －ʃ21(2x 3)d x ＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154＝－12. 反思与感悟 若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在[－a ，a ]上连续，则 (1)若函数f (x )为奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0. (2)若函数f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x .跟踪训练2 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <0，e －x，0≤x ≤1，且ʃ0－1(2x －1)d x ＝－2，ʃ10e －xd x ＝1－e －1，求ʃ1－1f (x )d x . 考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃ10f (x )d x ＝ʃ0－1(2x －1)d x ＋ʃ10e －xd x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1)．类型三 利用定积分的几何意义求定积分 例3 用定积分的几何意义求下列各式的值． (1)ʃ1－14－x 2d x ； (2)π2π-2sin d x x ⎰.考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用解 (1)由y ＝4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图所示．ʃ1－14－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和，S 弓形CED ＝12×π3×22－12×2×3＝2π3－3， S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝23，∴ʃ1－14－x 2dx ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. (2)∵函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是奇函数， ∴π2π-2sin d x x ⎰＝0.跟踪训练3 求定积分：ʃ20(4－(x －2)2－x )d x . 考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用解 ʃ204－(x －2)2d x 表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的14，即ʃ204－(x －2)2d x ＝14×π×22＝π.ʃ20x d x 表示底和高都为2的直角三角形的面积， 即ʃ20x d x ＝12×22＝2.∴原式＝ʃ204－(x －2)2d x －ʃ20x d x ＝π－2.1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑i ＝1ni 3n 3·1n ；②ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n(i －1)3n 3·1n ； ③ʃ10x 3d x ＝lim n →∞ ∑i ＝1ni 3n 3·1n . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 C解析 ②③成立．2．关于定积分a ＝ʃ2－1(－2)d x 的叙述正确的是( ) A ．被积函数为y ＝2，a ＝6 B ．被积函数为y ＝－2，a ＝6 C ．被积函数为y ＝－2，a ＝－6D．被积函数为y＝2，a＝－6考点定积分的几何意义及性质题点定积分的几何意义答案 C解析由定积分的概念可知，ʃ2－1(－2)d x中的被积函数为y＝－2，由定积分的几何意义知，ʃ2－1(－2)d x等于由直线x＝－1，x＝2，y＝0，y＝－2所围成的图形的面积的相反数，∴ʃ2－1(－2)d x＝－2×3＝－6.3．已知定积分ʃ60f(x)d x＝8，且f(x)为偶函数，则ʃ6－6f(x)d x等于( )A．0 B．16C．12 D．8考点定积分的几何意义及性质题点定积分性质答案 B解析ʃ6－6f(x)d x＝2ʃ60f(x)d x＝16.4．由函数y＝－x的图象，直线x＝1，x＝0，y＝0所围成的图形的面积可表示为( ) A．ʃ10(－x)d x B．ʃ10|－x|d xC．ʃ0－1x d x D．－ʃ10x d x考点定积分的几何意义及性质题点定积分的几何意义答案 B解析由定积分的几何意义可知，所求图形的面积为S＝ʃ10|－x|d x.5．计算ʃ3－3(9－x2－x3)d x.考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用解如图所示，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2，ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2.1．定积分ʃb af (x )d x 是一个和式∑i ＝1nb －anf (ξi )的极限，是一个常数． 2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．一、选择题1．根据定积分的定义，ʃ20x 2d x 等于( )A.∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n B ．lim n →∞∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1nC.∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2i n 2·2nD ．lim n →∞∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 D解析 根据定积分的定义，ʃ20x 2d x ＝lim n →∞∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n.2．下列定积分的值等于1的是( ) A ．ʃ101d xB ．ʃ10(x ＋1)d x C ．ʃ1012d xD ．ʃ10x d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 A解析 D 项，ʃ10x d x ＝12，C 项，ʃ1012d x ＝12，B 项，ʃ10(x ＋1)d x ＝32，A 项，ʃ101d x ＝1，故选A.3．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa－a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则ʃba f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且ʃba f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正 考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 D解析 A 项，因为f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 项正确；B 项，因为f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故y 轴两侧的图象都在x 轴上方或下方且面积相等，故B 项正确；由定积分的几何意义知，C 项显然正确；D 项，f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大． 4．与定积分3π2x ⎰相等的是( )A.3π20sin d x x ⎰B.3π2sin d x x ⎰C ．ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰D.π3π22π02sin d sin d x x x x +⎰⎰考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 C解析 当x ∈[0，π]时，sin x ≥0； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π，3π2时，sin x <0. ∴由定积分的性质可得，3π2sin d x x ⎰＝ʃπ0|sin x |d x ＋3π2πsin d x x ⎰＝ʃπ0sin x d x ＋()3π2πsin d x x -⎰＝ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰.5．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝ʃba [f (x )－g (x )]d x 求出的是( )考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 B解析 定积分S ＝ʃba [f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间的阴影部分的面积，必须注意f (x )的图象要在g (x )的图象上方．对照各选项可知，B 项中f (x )的图象不全在g (x )的图象上方，故选B.6．由直线y ＝x ，y ＝－x ＋1及x 轴围成的平面图形的面积为( ) A ．ʃ10[(1－y )－y ]d y B ．()121d x x x -+-⎡⎤⎣⎦⎰ C ．()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰D ．ʃ10[x －(－x ＋1)]d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 C解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12. 由图知阴影部分的面积可表示为()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰.7．设a ＝ʃ113x d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．a ＝b >cD ．c >a >b考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 答案 A解析 根据定积分的几何意义，易知ʃ10x 3d x <ʃ10x 2d x <ʃ1013x d x ，即a >b >c ，故选A.8．若ʃa－a |56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为( ) A ．6 B ．56 C ．36D ．2 016考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 答案 A解析 由ʃa －a |56x |d x ＝56ʃa－a |x |d x ≤2 016， 得ʃa－a |x |d x ≤36，∵ʃa －a |x |d x ＝a 2，∴a 2≤36，即0<a ≤6. 故正数a 的最大值为6. 二、填空题9．若ʃ1012f (x )d x ＝1，ʃ0－13f (x )d x ＝2，则ʃ1－1f (x )d x ＝________.考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用答案 83解析 ∵ʃ1012 f (x )d x ＝12ʃ10f (x )d x ＝1， ∴ʃ10 f (x )d x ＝2.又ʃ0－13f (x )d x ＝3ʃ0－1 f (x )d x ＝2，∴ʃ0－1f (x )d x ＝23. ∴ʃ1－1 f (x )d x ＝ʃ0－1 f (x )d x ＋ʃ10 f (x )d x ＝23＋2＝83. 10．如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．考点 定积分的几何意义及性质题点 定积分的几何意义答案 ʃ2－4x 22d x11．定积分ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝________.考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 2＋π4解析 原式＝ʃ102d x ＋ʃ101－x 2d x . 因为ʃ102d x ＝2，ʃ101－x 2d x ＝π4， 所以ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝2＋π4. 12．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且ʃ10f (x )d x ＝1，则f (x )的解析式为________． 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 f (x )＝65x ＋25解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝a ʃ10x d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.三、解答题13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ∈[0，2)，4－x ，x ∈[2，3)，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用解 如图画出函数f (x )的图象．由定积分的几何意义得ʃ20x d x ＝12×2×2＝2， ʃ32(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ʃ53⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1. 所以ʃ50f (x )d x ＝ʃ20x d x ＋ʃ32(4－x )d x ＋ ʃ53⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92. 四、探究与拓展14．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用答案 A解析 根据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成的图形的面积．y ＝－x 2－2x 是一个以(－1,0)为圆心，1为半径的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，所以m ＝－1. 15.如图所示，抛物线y ＝12x 2将圆x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为14＋16π，求ʃ20⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x 2－12x 2d x .考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2，得x ＝±2.∴阴影部分的面积为ʃ2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x 2－12x 2d x .∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是 8π·⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋16π＝2π＋43.由定积分的几何意义得， ʃ20⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x 2－12x 2d x＝12ʃ2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x 2－12x 2d x ＝π＋23.。
高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念知识梳理素材新人教A版选修2-2课件
定积分的概念知识梳理1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n x x ==-=D =邋 如果x D 无限接近于0（亦即n ??）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =ò，其中-ò积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量，[,]a b －积分区间，()f x dx －被积式。
说明：（1）定积分()ba f x dx ò是一个常数，即nS 无限趋近的常数S （n ??时）记为()baf x dxò，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x x -Î；③求和：1()ni i b af n x =-å；④取极限：()1()l i mnb i n a ib af x dx f nx =-=åò （3）曲边图形面积：()baS f x dx =ò；变速运动路程21()t tS v t dt =ò；变力做功()baW F r dr =ò2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ³，那么定积分()ba f x dx ò表示由直线,(),0x a x b a b y==?和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()ba f x dx ò的几何意义。
(全国通用版)新2020-2020版高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2
t 的速度为
v(
t
)
＝
t
2
＋
2(
单位：
km/h)
，那么它在
1≤ t ≤2( 单位： h) 这段时间
行驶的路程是多少？
考点 变速运动的路程问题
题点 变速运动的路程问题
解 将区间 [1,2] 等分成 n 个小区间，
i －1
i
第 i 个小区间为 1＋ n ， 1＋ n .
i －1 1
所以 Δ si ＝ v 1＋ n
B．只能是右端点的函数值 f ( xi ＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值 f ( ξi )( ξi ∈［xi ， xi ＋1])
D．以上答案均正确
考点 求曲边梯形的面积问题
题点 求曲边梯形的面积问题
答案 C
3．一物体沿直线运动， 其速度 v( t ) ＝ t ，这个物体在 t ＝0 到 t ＝ 1 这段时间内所走的路程为 ( )
n
n
4i 2 2 10
(3) 求和： sn＝ Δ si ＝
i＝1
i＝1
－ n2 · n＋ n
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最新人教版小学试题
11
1
＝－ 8· 3 1＋n 1＋ 2n ＋ 10.
(4) 取极限： s＝ lim sn n→∞
11
1
22
＝
lim
n→∞
－ 8· 3
1＋ n
1＋ 2n
＋10
＝
. 3
1．把区间 [1,3] n 等分，所得 n 个小区间的长度均为 (
i ＝1
A．( x1＋ 1) ＋ ( x5＋ 1) B．x1＋ x2＋ x3＋ x4＋ x5＋ 1
高中数学 第1章 导数及其应用 1.5.2 定积分课件 苏教版选修2-2.pptx
1.5.2 定积分
1
学习目标
1.了解定积分的概念，会用定义求定积分. 2.理解定积分的几何意义.
2
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
3
问题导学
4
知识点一 定积分的概念
思考
分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的 共同点. 答案 两个问题均可以通过“分割、以直代曲、作和、逼近” 解决，都可以归结为一个特定形式和的逼近.
9
题型探究
10
类型一 利用定积分的定义求定积分 例1 利用定积分的定义，计算ʃ 21(3x＋2)dx的值.
11 解答
利用定义求定积分的步骤
反思与感悟
15
跟踪训练1 利用定积分的定义计算ʃ 32(x＋2)dx.
16 解答
类型二 利用定积分的几何意义求定积分 例2 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值. (1)ʃ 102dx； 解 ʃ 102dx 表示的是图①中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个 长方形的面积为 2，所以 ʃ 102dx＝2.
2
3
由定积分的几何意义，得
2
sin
xdx ＝0.
2
所以
3
2
(2－5sin
x)dx ＝
3
2
2dx－
5
3
2
sin
xdx ＝2π.
2
2
2
12345
34 解答
规律与方法
n
1.定积分 ʃ baf(x)dx 是一个和式
b－a n f(ξi)的极限，是一个常数.
12345
解析 32 答案
4.ʃ 502(x－2)dx＝__5_. 解析 ʃ 50(x－2)dx＝S2－S1＝12×32－12×22＝52，故 ʃ 502(x－2)dx＝5.
2020版人教A版数学选修2-2___第一章 导数及其应用 定积分的概念
知识梳理
【做一做 1】
在定积分的概念中,定积分
������ ������
������(x)dx 的大小(
)
A.与f(x)和积分区间[a,b]有关,与ξi的取法无关 B.与f(x)有关,与区间[a,b]以及ξi的取法无关 C.与f(x)以及ξi的取法有关,与区间[a,b]无关 D.与f(x)、积分区间[a,b]和ξi的取法都有关 解析:根据定积分的概念可知,选项A正确,选项B,C,D都不正确,故
2×2sin
π 3
=
2π 3
−
3,
S 矩形=AB·BC=2 3,
所以 1
-1
4-������2dx=2
3 + 2π −
3
3 = 2π +
3
3.
题型一
题型二
(2)函数y=1+sin x的图象如图所示,
5π
所以
2 π
(1+sin
x)dx=2S
矩形
ABCD=2π.
2
典例透析
������
·1 =
������
∑
������ ������=1
3(������-1) ������ 2
+
5 ������
=
3 ������ 2
[0+1+2+…+(n-1)]+5
3 ������2-������ = 2 · ������2 + 5
13 3
= 2 − 2������.
(3)取极限
2 1
−
������+������-1 = 1.
������
������
全国通用版版高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程学案新人
1．5.1 曲边梯形的面积 1．5.2 汽车行驶的路程学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．知识点一曲边梯形的面积思考1 如何计算下列两图形的面积？答案①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．思考2 如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．梳理曲边梯形的概念及面积求法(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限．知识点二 求变速直线运动的(位移)路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .1．求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( × ) 2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值，只能用⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2近似代替．( × )3．利用求和符号计算∑i ＝14i (i ＋1)＝40.( √ )类型一 求曲边梯形的面积例1 求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积．⎣⎢⎡⎦⎥⎤参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲线梯形的面积问题 解 令f (x )＝x 2＋1. (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n，…，x n －1＝2(n －1)n，x n ＝2.第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －2n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n .(2)近似代替、求和取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δx ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2i n 2＋1·2n ＝8n 3∑i ＝1ni 2＋2＝8n3(12＋22＋…＋n 2)＋2＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2 ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3n ＋1n 2＋2.(3)取极限S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤43⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3n ＋1n 2＋2＝143，即所求曲边梯形的面积为143.反思与感悟 求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． (5)求和时可用一些常见的求和公式，如 1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6，13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22.跟踪训练1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2所围成的图形的面积． 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 解 (1)分割将区间[0,1]等分为n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，3n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1，其中i ＝1,2，…，n ，每个小区间的长度为 Δx ＝i n －i －1n ＝1n.过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上，以i －1n 处的函数值⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2为高，小区间的长度Δx ＝1n 为底边的小矩形的面积作为第i 个小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n.(3)求和∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n ＝0·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2·1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n 2·1n ＝1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝13－12n ＋16n 2. (4)取极限曲边梯形的面积S ＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋16n 2＝13.类型二 求变速运动的路程例2 当汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程s ＝vt .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t ≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？ 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题解 将区间[1,2]等分成n 个小区间， 第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in . 所以Δs i ＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ·1n. s n ＝∑ni ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 1n ＝1n ∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 2＋2 ＝1n ∑ni ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(i －1)2n 2＋2(i －1)n ＋3 ＝1n ⎩⎨⎧ 3n ＋1n2[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋⎭⎬⎫1n[0＋2＋4＋6＋…＋2(n －1)]＝3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n. s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n ＝133. 所以这段时间行驶的路程为133km. 引申探究本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果是否一样？解 将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in . 所以Δs i ＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n.s n ＝∑ni ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 1n＝3＋1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2]＋1n2[2＋4＋6＋…＋2(n －1)＋2n ]＝3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n. s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋(n ＋1)n ＝133. 所以这段时间行驶的路程为133km. 所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的．反思与感悟 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．跟踪训练2 一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)． 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题解 (1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入n －1个点，将区间分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，Δt ＝2n .则汽车在时间段⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，4n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(n －1)n ，2n n 上行驶的路程分别记为：Δs 1，Δs 2，…，Δs i ，…，Δs n ，有s n ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替：取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n2＋5·2n＝－4i 2n 2·2n＋10n(i ＝1,2，…，n )．(3)求和：s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫－4i 2n 2·2n ＋10n＝－8·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋10.(4)取极限：s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－8·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋10＝223.1．把区间[1,3] n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1n B.2n C.3n D.12n 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 B解析 区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n.2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C3．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12 C ．1 D.32 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题 答案 B4.∑i ＝1ni n＝________.考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求和符号的表示答案n ＋12解析∑i ＝1ni n ＝1n (1＋2＋…＋n )＝1n ·n (n ＋1)2＝n ＋12. 5．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 1.02解析 将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75，⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95，⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2， 于是所求平面图形的面积近似等于110⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤 (1)分割：n 等分区间[a ，b ]； (2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；(3)求和：∑i ＝1nf (ξi )·b －an； (4)取极限：s ＝lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an. “近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．一、选择题1．和式∑i ＝15(x i ＋1)可表示为( )A ．(x 1＋1)＋(x 5＋1)B ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋1C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5D ．(x 1＋1)(x 2＋1)…(x 5＋1) 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求和符号的表示 答案 C解析∑i ＝15(x i ＋1)＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＋(x 4＋1)＋(x 5＋1)＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5.2．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x ) (f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入(n －1)个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( ) ①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定． A ．1 B ．2 C ．3D ．4考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 A解析 n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S . ∴①正确，②③④错误．3．在求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i nB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1n C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i n，2(i ＋1)n考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C解析 将区间[0,2]等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为2n，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n .4．在求由曲线y ＝1x与直线x ＝1，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积时，若将区间n 等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替每个小曲边梯形的高，则第i 个小曲边梯形的面积ΔS i 约等于( ) A.2n ＋2i B.2n ＋2i －2C.2n (n ＋2i )D.1n ＋2i考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 A解析 每个小区间的长度为2n，第i 个小曲边梯形的高为11＋2i n， ∴第i 个小曲边梯形的面积为2n ×11＋2i n＝2n ＋2i .5．在等分区间的情况下f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( )A.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·2n B.lim n →∞ ∑n i ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n C.lim n →∞ ∑ni ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 2·1nD.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·n 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 B解析 ∵Δx ＝2－0n ＝2n，∴和式为∑ni ＝1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n .故选B.6．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( ) A.130 B.125 C.127D.19考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 D解析 将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，各小矩形的面积和为S ＝03×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＝19. 7．设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf(ξi )Δx (其中Δx 为小区间的长度)，那么S n 的大小( ) A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关 B ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n 有关，与ξi 的取法无关 C ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n ，ξi 的取法都有关 D ．与f (x )和区间[a ，b ]的ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C解析 用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf (ξi )·Δx .若对和式求极限，则可以得到函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成的区域的面积，在求极限之前，和式的大小与函数式、分点的个数和变量的取法都有关．8.lim n →∞∑ni ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫15i n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫5n 的含义可以是( )A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x围成的图形的面积 考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 C解析 将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为5n ，各区间右端点对应函数值为y ＝15i n， 因此∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫15i n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫5n 可以表示由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值．9．若直线y ＝2x ＋1与直线x ＝0，x ＝m ，y ＝0围成图形的面积为6，则正数m 等于( )A ．1B ．3C ．2D ．4 考点 求曲边梯形的面积问题题点 由曲边梯形的面积求参数答案 C解析 将区间[0，m ]n 等分，每个区间长为m n ，区间左端点函数值y ＝2·mi n ＋1＝2mi ＋n n， 作和S n ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎪⎫2mi ＋n n ·m n＝m ＋m n ·2m n(1＋2＋3＋…＋n ) ＝m ＋2m 2n 2·n (n ＋1)2 ＝m ＋m 2(n ＋1)n， ∵S ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋m 2(n ＋1)n ＝6， ∴m ＝2.故选C.二、填空题10．在区间[0,8]上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为________，第5个小区间是________．考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 45 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，4 解析 在区间[0,8]上插入9个等分点后，把区间[0,8]10等分，每个小区间的长度为810＝45，第5个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，4. 11．已知某物体运动的速度v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．考点 变速运动的路程问题题点 变速运动的路程问题答案 55解析 ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.12．当n 很大时，下列可以代替函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值有________个． ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n －12n . 考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 3解析 因为当n 很大时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的任意的取值都可以代替，又因为1n ∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i －1n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n ，i n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i n －12n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，故能代替的有②③④. 三、解答题13．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积．考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题解 将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n ，区间右端点函数值y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2·i n ＝i 2n 2＋2i n. 作和S n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2n 2＋2i n 1n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2n 3＋2i n 2 ＝1n 3∑i ＝1n i 2＋2n 2∑i ＝1n i ＝1n 3·16n (n ＋1)(2n ＋1)＋2n 2·n (n ＋1)2＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n ＝8n 2＋9n ＋16n 2，∴所求面积S ＝lim n →∞ 8n 2＋9n ＋16n 2 ＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋32n ＋16n 2＝43. 四、探究与拓展14．设函数f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n ，则y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积为________．考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 43解析 由于y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n， 则y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的面积为23. 而y ＝sin 3x 的周期为2π3， 所以y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积为23×2＝43. 15．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？考点 变速运动的路程问题题点 变速运动的路程问题解 (1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n .每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则显然有s ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替取ξi ＝2i n(i ＝1,2，…，n )，用小矩形的面积Δs ′i 近似地代替Δs i ，于是 Δs i ≈Δs ′i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2＋2·2n＝24i 2n 3＋4n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和s n ＝∑i ＝1n Δs ′i ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫24i 2n 3＋4n ＝24n 3(12＋22＋…＋n 2)＋4＝24n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋4＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4.(4)取极限s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4＝8＋4＝12. 所以这段时间内行驶的路程为12 km.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 第2课时 定积分的概念课件 新人教A版选修22
• 『规律总结』 若函数f(x)的图象是某些特殊的图形，其 面积运用几何方法容易求解，求定积分时还可以利用几何 意义求解．
〔跟踪练习 2〕
用定积分的几何意义求值：3 (3x＋1)dx＝___1_6____． -1
[解析] 由直线 x＝－1，x＝3，y＝0 以及 y＝3x＋1 所围
成的图形如图所示：
f(x)dx＋____c_______ (其中 a<c<b)．
a
a
• 定积分的性质③称为定积分对积分区间的可加性，其几何 意义是曲边梯形ABCD的面积等于曲边梯形AEFD与曲边 梯形EBCF的面积的和．
• 1．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的图形的面积时
，若选择x为积分B 变量，则积分区间为( )
C．πsinxdx＝πcosxdx
0
0
D．π|sinx|dx＝π|cosx|dx
0
0
[解析] 应选 C．
由定积分的几何意义知πsinxdx>0，πcosxdx＝0，所以 C 不成立，故
0
0
3．下列值等于 1 的是( C )
A．1xdx 0
B．1(x＋1)dx 0
•
[解析由 定]
积(1分)如的图几 ，何 意
义
得
3
-3
9－x2dx＝π×2 32＝92π，
3
x3dx＝03
(
9－x2－x3)dx＝3
9－x2
-3
-3
dx－3
x3dx＝92π．
-3
(2)由定积分的几何意义得2xdx＝12×2×2＝2， 0
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第一章 1.5 第2课时
1．设f (x )是[a ，b ]上的连续函数，则⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a
b f (t )d t 的值( B )
A ．小于零
B ．等于零
C ．大于零
D ．不能确定
[解析] ⎠⎛a
b f (x )d x 和⎠⎛a
b f (t )d t 都表示曲线y ＝f (x )与x ＝a ，x ＝b 及y ＝0围成的曲边梯形面积，
不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置．所以其值为0.
2．定积分⎠⎛01x d x 与⎠⎛0
1x d x 的大小关系是( C )
A ．⎠⎛01x d x ＝⎠⎛0
1x d x
B ．⎠⎛01x d x >⎠⎛0
1x d x
C ．⎠⎛01x d x <⎠⎛0
1x d x
D ．无法确定
[解析] 在同一坐标系中画出y ＝x 与y ＝x 的图象如图，由图可见，当x ∈[0,1]时，y ＝x 的图象在y ＝x 的图象上方，由定积分的几何意义知，⎠⎛01x d x <⎠⎛0
1x d x .
3．下列等式成立的是( C ) A ．⎠⎛a
b x d x ＝b －a
B ．⎠⎛a
b x d x ＝1
2
C ．⎠⎛－11|x |d x ＝2⎠⎛0
1|x |d x
D ．⎠⎛a
b (x ＋1)d x ＝⎠⎛a
b x d x
[解析] 由定积分的性质可知⎠
⎛－1
1|x |d x ＝⎠⎛－1
0|x |d x ＋⎠⎛01|x |d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛01|x |d x ＝2⎠⎛0
1|x |d x ，故
选C ．
4．简化下列各式，并画出各题所表示的图形面积的平面区域． (1)⎠⎛－3－2x 2d x ＋⎠⎛－2
1x 2d x ；
(2)⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛1
2(x －1)d x .
[解析] (1)原式＝⎠⎛－3
1x 2d x ，如图所示．
(2)⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x ＝⎠⎛0
2|1－x |d x ，如图所示．。