2018版高中数学人教B版必修二学案2.3.1 圆的标准方程
高中数学必修二教案-2.3.1 圆的标准方程3-人教B版
教学设计表教学环节起止时间（’”- ’”）环节目标教学内容学生活动媒体作用及分析导入环节0’5”- 1’15”激发学生学习兴趣，创设学习情境。
了解圆在生活中的应用。
观看视频欣赏图片。
通过让学生们观看视频及图片，激发学生学习兴趣，让同学们尽快将思维走进圆的世界，并解决相关问题。
新课讲授1‘15“- 06‘30“理解并掌握圆的定义，尤其是圆的标准方程及其特点圆心和半径。
圆的定义，推导得出圆的标准方程，对圆的标准方程进行说明，尤其是圆心及半径。
学生与教师互动探究得出圆的标准方程，并进行与老师互动探究。
教师与学生互动，得出圆的定义，并对圆的标准方程探究通过手机遥控课件，并利用白板的书写圈画对圆的标准方程进行说明，尤其是圆心及半径。
互动探究06’30”- 08’40”掌握判断点和圆的位置关系通过和初中对比让学生们掌握点和圆的位置关系，通过数量关系进行判断。
让学生们通过计算，快速判断点和圆的位置关系。
教师通过标注，进行师生互动判断点和圆的位置关系。
巩固新知08’40”- 17’40”通过已知条件求出圆的标准方程的方法有很多种，根据具体条件寻找最优原则求圆的标准方程。
掌握根据具体条件寻求最优原则求圆的标准方程。
学生通过与白板互动，并将自己的答案与学生进行交流，下面的同学分组练习将自己的答案老师通过手机借助授课助手上传到大屏幕，在座位上对自己的答案进行讲解，与学生互动和老师互动。
学生通过与白板的人机互动，并将自己的解答与学生互动，分组练习的答案老师通过手机借助授课助手上传到大屏幕，在座位上对自己的答案进行讲解，实现人机互动与生生互动和师生互动。
这种教学得到了学生们的高度认可，并锻炼了孩子们的语言表达能力及信息素养的提升，体会信息技术创新教学带来的乐趣。
同时教师运用白板的小黑板分析题中两种情况的讲解。
及使用白板的书写标注功能。
应用提升17’40”- 27’20”对给定已知条件确定圆的标准方程。
对给定已知条件快速求出圆的标准方程进一步巩学生通过人机互动及学生的答案上传实现无缝对接，实现了人机学生通过人机互动，在白板上进行书写答案，之后与学生进行互。
高中数学_2.3.1圆的标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思
.高中数学必修2 新授课导学案2.3.1圆的标准方程（一）学习目标：1.知识与技能目标:（1）理解并掌握圆的标准方程,会根据不同条件求得圆的标准方程，并从圆的标准方程中熟练地求出圆心和半径；（2）运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。
2.过程与方法目标：（1）通过对圆的标准方程的推导，渗透数形结合、待定系数法等数学思想，进一步提高学生的观察、比较、分析、概括等思维能力；（2）学会借助实例分析探究数学问题 3.情感、态度与价值观目标：（1）通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神； （2）树立事物之间相互联系、相互转化的辩证唯物主义的观点。
（二）学习重点和难点：1．重点：圆的标准方程的推导以及根据已知条件求圆的标准方程。
2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。
(三)学习过程： 一、课前准备复习回顾： 1.已知点),(),,(2211y x B y x A ，两点间的距离AB =___________ 。
2.已知点,直线,点A 到直线l 的距离为3.圆的定义：平面内到一_____的距离等于_____的点的轨迹是圆，_____是圆心，___是半径。
二、新课导学探究1：在平面直角坐标系中，求圆心为点C 、半径为r 的圆的方程。
( 思考:如何建立平面直角坐标系? )MC r新知1：圆的标准方程： _______ ，圆心为C（，），半径为。
写出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径.说明：y探究2：点与圆的位置关系试一试：写出圆心为C（0,0）半径为2的圆的方程，在平面直角坐标系中,画出此圆, 2并判断点与圆的位置关系。
1-2 -10 1 2 x新知2：判断点A(与圆C：()()222rbyax=-+-（r>0）的位置关系的方法：（1）点A在圆内 |CA| rA A A（2）点A在圆上 |CA| rC.（3）点A在圆外 |CA| r 三、新知应用例1：根据下列条件，求圆的标准方程：（1）圆心在点C(-2,1)，并过点A(2,-2)。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修2 2.3.1 圆的标准方程》
第课时圆的标准方程一三维目标:1知识与技能:掌握圆的标准方程,会根据不同条件选择合适的方法几何法或待定系数法求圆的标准方程;能从圆的标准方程中直接读取它的圆心和半径;会判断点和圆的位置关系;能运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题2过程与方法:经历圆的标准方程的探究过程,体验数形结合、化归等数学思想方法在问题解决中的运用;培养学生的观察、比较、分析、概括、批判等思维品质;借助实例体会科学的探究方法3情感、态度与价值观通过合作交流,自主探究,提高数学学习的兴趣,激发求知欲,培养科学精神,让学生懂得追求真理是人成长的内在需要二知识生发:1问题情境1如何用轨迹的观点描述圆平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆定点是圆心,定长为半径P,rCa,bO2如何建立以Ca,b为圆心,r为半径的圆的方程2圆的标准方程图11以Ca,b为圆心,r为半径的圆的标准方程为_________________-a2-b2=r2①如何求曲线方程轨迹问题②22−1−2=0是以原点为圆心,半径为1的圆的方程吗一个方程是圆的方程,需明确两点:其一,…;其二,…③圆的标准方程的特点2圆心在坐标原点,半径为r的圆的标准方程为2=r23点和圆的位置关系图1、2、3问题:研究,圆拱高为ab m,其中正数a,b是常数建立适当的坐标系,求这座圆拱桥的拱圆方程注:赵州桥坐落于河北省赵县洨河,建于隋炀帝大业年间,至今已有1400年的历史,是今天世界上最古老、最著名的单孔空腹式石拱桥实测的数据是2错误!=,ab=法1按左图方式建立坐标系,设圆心C0,c设圆的方程为2−c2=r2把B错误!,0及D0,ab代入此方程 c=b,r=a得拱圆方程为2−b2=a2法2按图2方式建立坐标系,圆心在原点O 设圆的方程为22=r21BDCO跨度拱高DA BODA BOC PCO 图1PCO图3 PCO图2把B错误!,r−a−b及D0,ab代入此方程⇒r=a得拱圆方程为22=a2四精练掌控:,b,c,d,λ都是常数,若a−b2c−d2=λ是某个圆的方程,则CAa=c=1,且λ>0Ba=c≠0,且λ≠0C|a|=|c|≠0,且λ>0Dacλ≠04下列圆其中a,b是常数,ab≠0中,经过坐标原点的是DA−a2−b2=a2B−a2−b2=b2C−a2−b2=错误!D−a2−b2=a2b2,圆心在第四象限,并且与坐标轴都相切的圆是BA−r2−r2=r2B−r2r2=r2Cr2−r2=r2Dr2r2=r2 3,−6到圆32−22=25上各点的距离为d,则d的最大值是CA5B10C15D5错误!的方程是错误!−2−错误!3=0,则曲线C的长度为BA10πB错误!πC5πD错误!π五课堂小结:________________________________六作业回馈:−7,5,B1,−1,以线段AB为直径的圆的方程是________32−22=25−6,6,B1,−1,C0,−2三点的圆的方程是________32−22=25过点0,6且与直线1:=2和2:=−3都相切,若使圆C的半径最小,则圆C的方程是________32−22=25:−2232=25,圆C ′与圆C 关于直线:−=0对称,则圆C ′的方程是________32−22=25 −3,2,一底角顶点B 2,2,则另一底角顶点C ,的轨迹方程为________32−22=25≠2且≠−8 −6,0,点为线段的轨迹方程 32−22=25O−32=2 =−3CO−32P 3,−6CAA 1A 2O−3 2AB2C ,−8A −6,0P 0,0 M ,2−42=100。
高中数学2.3.1圆的标准方程教案新人教B版必修2
《圆的标准方程》教学设计一、教材分析1、教学内容人教B版教科书《数学》必修2第二章平面解析几何初步中2﹒3节圆的方程。
本节主要研究圆的标准方程、一般方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，以及他们在生活中的简单运用。
2、教材的地位与作用圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直线之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备。
同时有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法。
应此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的知识和方法。
本课是单元的第一课，和直线方程一样，教学中先设计一个问题情景，让学生讨论，并引导学生观察圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的本质，突破难点。
3、三维目标（1）知识与技能：掌握圆的标准方程的形式；能够根据题目给定条件求圆的标准方程；能够根据圆的标准方程找到圆心和半径。
（2）过程与方法：加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强应用数学的意识。
（3）情感、态度、价值观：培养主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学习兴趣，从而培养勤于思考、勤于动手的良好品质。
4．教学重点圆的标准方程的推导以及根据条件求圆的标准方程5. 教学难点根据条件求圆的标准方程。
二．教法分析高一学生，在老师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力。
所以在设计问题时应考虑周全和灵活性，采用启发式探索式教学，师生共同探讨，共同研究，让学生积极思考，主动学习。
在教学过程中采用讨论法，向学生提供具备启发式和思考性的问题。
因此，要求学生在课上讨论，提高学生的探索，推理，想象，分析和总结归纳等方面的能力。
三、学法分析从高考发展的趋势看，高考越来越重视学生的分析问题、解决问题的能力。
因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，涉及到转化思想，数形结合的思想，应用平面解析几何的相关知识。
学案2：2.3.1 圆的标准方程
2.3.1 圆的标准方程基础梳理1．圆的标准方程：圆心为C (a ，b )、半径为r 的圆的标准方程为 ． 练习1： (1)圆心在原点，半径是3的圆的标准方程为： ． (2)圆心在x 轴上，半径为1，且过点(－1，1)的圆的标准方程为： ． 2．点与圆的位置关系．设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，则点与圆的位置有如下表所示的对应关系：练习2：圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝32的圆心为 ，半径为 ． ►思考应用下列几种特殊位置的圆的方程是什么？自测自评1．圆心是O(－3，4)，半径为5的圆的方程为() A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝5 B ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝25 C ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝5 D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25 2．点P(m ，5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定 3．圆的一条直径的两个端点是(2，0)、(2，－2)，则此圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9 D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1 4．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离是( ) A.12 B.32 C.1 D.3 基础达标1．已知点P(a ，a ＋1)在圆x 2＋y 2＝25内部，那么a 的取值范围是( ) A ．－4<a <3 B ．－5<a <4 C ．－5<a <5 D ．－6<a <4 2．方程y ＝－25－x 2表示的曲线是( )A ．一条射线B ．一个圆C ．两条射线D ．半个圆 3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为( )A(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5 D ．x 2＋(y ＋2)2＝5 4．已知圆上三点A (0，4)，B (3，0)，C(0，0)，则该圆的方程为________________． 5．过点A (1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________．6．圆x 2＋y 2＝4上的点到点A (3，4)的距离的最大值是________，最小值是________． 巩固提升7．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半径为3.6 m 的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )A ．1.4 mB ．3.5 mC ．3.6 mD ．2.0 m 8．已知点P 是圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的任意一点，点A (－1，0)、B (1，0)， 试求|P A |2＋|P B |2的最大值和最小值．9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＝3a ＋1，y ＝4a }，集合B ＝{(x ，y )|(x －2)2＋y 2<25a 2}，且A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围．参考答案基础梳理1．(x－a)2＋(y－b)2＝r2练习1：x2＋y2＝9(2)(x＋1)2＋y2＝1练习2：(1，－2)，3．►思考应用下列几种特殊位置的圆的方程是什么？自测自评1．【答案】D【解析】直接代入圆的标准方程可得．2．【答案】A【解析】：m2＋52＝25＋m2≥25>24，点在圆外．3．【答案】B【解析】∵所求圆的圆心为(2，－1)，半径r＝（2－2）2＋（0＋2）22＝1，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 4．【答案】A【解析】圆心C(1，0)，再利用点到直线的距离公式得d ＝12.基础达标 1．【答案】A【解析】由a 2＋(a ＋1)2<25可得2a 2＋2a －24<0，解得－4<a <3. 2．【答案】D【解析】当y ≤0时，平方得x 2＋y 2＝25，表示下半圆． 3．【答案】A【解析】(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心为(－2，0)，圆心关于原点的对称点为(2，0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5. 4．【解析】利用待定系数法或利用几何性质求解． 【答案】⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝2545．【解析】由图形可知点A (1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部，圆心为O(2，0)，要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l ⊥O A ，所以k ＝－1k OA ＝－1－2＝22. 【答案】226．【答案】7 3 巩固提升 7．【答案】B【解析】下图所示为隧道与卡车的横截面，以半圆的直径为x 轴，圆心为原点建立直角坐标系，则半圆的方程为x 2＋y 2＝3.62(y ≥0)，点A 的坐标为(0.8，h)，设M(0.8，y )在半圆上，则y ＝ 3.62－0.82≈3.5，∴h≤y ＝3.5(m )．8 .【解析】设P(x ，y )，则有P 是圆上任一点，|P A |2＋|P B |2＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2＝2x 2＋2y 2＋2＝2(x 2＋y 2)2＋2 ＝2[（x －0）2＋（y －0）2]2＋2＝2|OP|2＋2. 则O 在圆C 外．由题意得|OP|的最大值是|OC|＋r ＝5＋1＝6，最小值是|OC|－r ＝5－1＝4. 所以|P A |2＋|P B |2的最大值是2×62＋2＝74，最小值是2×42＋2＝34.9．【解析】集合A 表示点M(3a ＋1，4a )，集合B 表示圆N ：(x －2)2＋y 2＝25a 2的内部部分． A ∩B ≠∅表示点M(3a ＋1，4a )在圆N 内部，∴(3a ＋1－2)2＋(4a )2<25a 2，解得a >16，∴a 的取值范围是⎩⎨⎧a ⎪⎪⎭⎬⎫a>16.。
人教B版高中数学必修二教案2.3.1圆的标准方程
《圆的标准方程》教课方案一、教材剖析1、教课内容人教 B 版教科书《数学》必修 2 第二章平面分析几何初步中2﹒3 节圆的方程。
本节主要研究圆的标准方程、一般方程，直线与圆的地点关系，圆与圆的地点关系，以及他们在生活中的简单运用。
2、教材的地位与作用圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直线以后，学习三大圆锥曲线以前，旨在熟习曲线和方程的理论为后继学习作好准备。
同时有关圆的问题，特别是直线与圆的地点问题，也是分析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决供给了基本的思想方法。
应此教课中应增强练习，使学生的确掌握这单元的知识和方法。
本课是单元的第一课，和直线方程同样，教课中先设计一个问题情形，让学生议论，并指引学生察看圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的实质，打破难点。
3、三维目标（1）知识与技术：掌握圆的标准方程的形式；可以依据题目给定条件求圆的标准方程；可以依据圆的标准方程找到圆心和半径。
（2）过程与方法：加深对数形联合思想和待定系数法的理解；增强应用数学的意识。
（3）感情、态度、价值观：培育主动研究知识、合作沟通的意识，在体验数学美的过程中激发学习兴趣，从而培育勤于思虑、勤于着手的优秀质量。
4．教课要点圆的标准方程的推导以及依据条件求圆的标准方程5.教课难点依据条件求圆的标准方程。
二．教法剖析高一学生，在老师的指引下，已经具备必定研究与研究问题的能力。
所以在设计问题时应试虑周到和灵巧性，采纳启迪式研究式教课，师生共同商讨，共同研究，让学生踊跃思虑，主动学习。
在教课过程中采纳议论法，向学生供给具备启迪式和思虑性的问题。
所以，要修业生在课上议论，提升学生的研究，推理，想象，剖析和总结概括等方面的能力。
三、学法剖析从高考发展的趋向看，高考愈来愈重视学生的剖析问题、解决问题的能力。
所以，要求学生在学习中碰到问题时，不要急于求成，而要依据问题供给的信息回想所学知识，波及到转变思想，数形联合的思想，应用平面分析几何的有关知识。
人教B版高中数学必修二学案：2.3.1 圆的标准方程
2.3.圆的方程2.3.1.圆的标准方程[学习目标].1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.能准确判断点与圆的位置关系.[知识链接]1.平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.2.确定一个圆的基本要素是圆心和半径.3.平面上两点间的距离公式d[预习导引]1.圆的定义及圆的标准方程(1)圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.定点→圆的圆心；定长→圆的半径.(2)圆的标准方程设圆的圆心是C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，当圆的圆心在坐标原点时，圆的半径为r，则圆的标准方程是x2＋y2＝r2.2.点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|＝r，则点M在圆上；若|CM| ＞r，则点M在圆外；若|CM|＜r，则点M在圆内.(2)可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：点M(m，n)在圆C上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M(m，n)在圆C外⇔(m－a)2＋(n－b)2＞r2；点M(m，n)在圆C内⇔(m－a)2＋(n－b)2＜r2.要点一.点与圆的位置关系例1.已知点A (1,2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围.解.由题意，点A 在圆C 上或圆C 的外部，∴(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2，∴2a ＋5≥0，∴a ≥－52，又a ≠0， ∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－52，0∪(0，＋∞). 规律方法.判断点P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小.对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：①当(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2时，点在圆内，②当(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2时，点在圆上，③当(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2时，点在圆外.跟踪演练1.点P (m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是(..)A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定答案.A解析.把点P (m 2,5)代入圆的方程x 2＋y 2＝24得m 4＋25>24，故点P 在圆外.要点二.求圆的标准方程例2.求过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的标准方程.解.方法一.设点C 为圆心，∵点C 在直线x ＋y －2＝0上，∴可设点C 的坐标为(a,2－a ).又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |. ∴(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2，解得a ＝1.∴圆心坐标为C (1,1)，半径长r ＝|CA |＝2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.方法二.由已知可得线段AB 的中点坐标为(0,0)，k AB ＝1－(－1)－1－1＝－1，所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1，所以AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)，即y ＝x .则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即圆心为(1,1)，圆的半径为(1－1)2＋[1－(－1)]2＝2， 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.规律方法.直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.跟踪演练2.以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是(..)A.(x －1)2＋(y －2)2＝10B.(x －1)2＋(y －2)2＝100C.(x －1)2＋(y －2)2＝5D.(x －1)2＋(y －2)2＝25答案.D解析.∵点A (－3，－1)和B (5,5)的中点坐标为(1,2)，∴以A 、B 为直径的圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝12(5＋3)2＋(5＋1)2＝5. ∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25.要点三.圆的方程的综合应用例3.已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1,0)，B (5,0)，(1)求此圆的标准方程；(2)设P (x ，y )为圆C 上任意一点，求P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值. 解.(1)由已知，得C (3,0)，r ＝|AB |2＝2， ∴所求方程为(x －3)2＋y 2＝4.(2)圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝2 2. ∴P 到直线的最大距离为2＋22，最小距离为22－2.规律方法.解答本题应用了圆的性质，即圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解此题. 跟踪演练3.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)，设P 是圆C 上的动点，令d ＝|P A |2＋|PB |2，求d 的最大值及最小值.解.设P (x ，y )，则d ＝|P A |2＋|PB |2＝2(x 2＋y 2)＋2.∵|CO |2＝52＝25，∴(5－1)2≤x 2＋y 2≤(5＋1)2.即16≤x 2＋y 2≤36.∴d 的最小值为2×16＋2＝34.最大值为2×36＋2＝74.1.圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝2的圆心和半径分别是(..)A.(－2,3)，1B.(2，－3)，3C.(－2,3)， 2D.(2，－3)， 2答案.D2.以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是(..)A.x 2＋y 2＝2B.x 2＋y 2＝4C.(x －2)2＋(y －2)2＝8D.x 2＋y 2＝ 2 答案.B3.已知两圆C 1：(x －5)2＋(y －3)2＝9和C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为________.答案.5解析.C 1圆心为(5,3)，C 2圆心为(2，－1)，则d ＝(5－2)2＋(3＋1)2＝5.4.圆的直径端点为A (2,0)，B (2，－2)，则此圆的标准方程为________.答案.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析.圆心C (2，－1)，半径r ＝12(2－2)2＋(0＋2)2＝1，∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5.若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________. 答案.x 2＋(y －1)2＝1解析.由题意知圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a ，b ，r 的方程组求a ，b ，r 或直接求出圆心(a ，b )和半径r .另依据题意适时的运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.。
高中数学2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程学案新人教B版必修2
2.3.1 圆的标准方程1．能根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程；能根据圆的标准方程求出圆的圆心和半径，并运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．2．掌握利用待定系数法求圆的标准方程的方法，并能借助圆的几何性质处理与圆心及半径有关的问题．1．圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的______是圆，定点是______，定长是圆的______．设M(x，y)是⊙C上的任意一点，点M在⊙C上的条件是|CM|＝r.圆的常用几何性质如下：(1)圆心在过切点，且与切线垂直的直线上；(2)圆心必是两弦中垂线的交点；(3)不过圆心的弦，弦心距d，半弦长m及半径r满足r2＝d2＋m2；(4)直径所对的圆周角是90°，即圆的直径的两端点与圆周上异于端点的任意一点的连线互相垂直．【做一做1】已知圆O的一条弦长为2，且此弦所对圆周角为60°，则该圆的半径为__________．2．圆的方程(1)圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为__________．(2)圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为__________．几种特殊形式的圆的标准方程【做一做2－1】圆心是(－3,4)，半径为5的圆的方程为( )．A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25【做一做2－2】(2010·课标全国卷)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．3．点与圆的位置关系设点P(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则：点P在圆____⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔|PC|＝r；点P在圆____⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔|PC|＞r；点P在圆____⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔|PC|＜r.【做一做3－1】下面各点在圆(x－1)2＋(y－1)2＝2上的是( )．A．(1,1) B．(2,1) C．(0,0) D．(2，2)【做一做3－2】点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )．A．在圆外 B．在圆内C．在圆上 D．不确定圆的图形不是函数的图象剖析：根据函数知识，对于平面直角坐标系中的某一曲线，如果垂直于x轴的直线与此曲线至多有一个交点，那么这条曲线是函数的图象，否则，不是函数的图象．对于平面直角坐标系中的圆，垂直于x轴的直线与其至多有两个交点，因此圆不是函数的图象．但是存在图象是圆弧形状的函数．例如：函数y＝b＋r2－x－a2(r＞0)的图象是以(a，b)为圆心，半径为r的位于直线y＝b上方的半圆弧；函数y＝b－r2－x－a2(r＞0)的图象是以(a，b)为圆心，半径为r的位于直线y＝b下方的半圆弧．题型一求圆的标准方程【例1】求下列圆的方程．(1)圆心在直线y＝－2x上，且与直线y＝1－x相切于点(2，－1)；(2)圆心C(3,0)，且截直线y＝x＋1所得弦长为4.分析：利用圆的标准方程，把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解．反思：在解决与圆相关的问题时，如果涉及圆心和半径，或者截得的弦长等问题，一般选用圆的标准方程来解题．题型二圆的直径式方程【例2】求经过点P1(4,9)和P2(6,3)，且以P1P2为直径的圆的标准方程．分析：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，圆心为线段P1P2的中点C，半径为|CP1|.反思：一般地，以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y －y1)(y－y2)＝0，此结论被称为圆的直径式方程．若本例改为选择题、填空题，可直接得(x －4)(x－6)＋(y－9)(y－3)＝0.题型三求轨迹问题【例3】设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．分析：本题关键是找出点P与定点M及已知动点N之间的联系，再用平行四边形对角线互相平分这一定理解决．反思：(1)如果动点P (x ，y )的轨迹依赖于另一动点Q (a ，b )的轨迹，而Q (a ，b )又在已知曲线上，则可先列出关于x ，y ，a ，b 的方程组，利用x ，y 表示出a ，b ，把a ，b 代入已知曲线方程便可得动点P 的轨迹方程，此法称为相关点法(亦称代入法或转移法或中间量法)．(2)本题容易忽视两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285，其原因是求出轨迹方程后没有验证这两点与点O ，M 共线，不能构成平行四边形．避免出现此类错误的方法是验证是否满足轨迹方程的点都符合条件．题型四 圆的标准方程的实际应用【例4】如图所示，一座圆拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？分析：建立平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的标准方程，再利用方程解决相关问题． 反思：建系不同，圆的方程不同，但建系时，要尽量使方程简单，并有利于目标实现．本题若选择其他方法建系也不影响结论．题型五 易错辨析【例5】已知圆C 的半径为2，且与y 轴和直线4x －3y ＝0都相切，试求圆C 的标准方程．错解：由题意可设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝4，又圆C 与y 轴相切，可知a ＝2，又圆C 与4x －3y ＝0相切，可知|4×2－3b |42＋－32＝2，得b ＝6，或b ＝－23. ∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －6)2＝4或(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＝4.错因分析：圆C 与y 轴相切意味着|a |＝2，而不是a ＝2.1以点A (－5,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为( )．A ．(x ＋5)2＋(y －4)2＝16B ．(x －5)2＋(y ＋4)2＝16C ．(x ＋5)2＋(y －4)2＝25D ．(x －5)2＋(y ＋4)2＝252圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )．A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝53经过圆(x ＋3)2＋(y －5)2＝36的圆心，并且与直线x ＋2y －2＝0垂直的直线方程为______________．4圆心在直线y ＝x 上且与x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为__________．5已知点P 是曲线x 2＋y 2＝16上的一动点，点A 是x 轴上的定点，坐标为(12,0)．当点P 在曲线上运动时，求线段PA 的中点M 的轨迹方程．答案：基础知识·梳理1．轨迹 圆心 半径 【做一做1】2332．(1)x 2＋y 2＝r 2(2)(x －a )2＋(y －b )2＝r 2【做一做2－1】D【做一做2－2】x 2＋y 2＝2 圆心(0,0)到直线x ＋y －2＝0的距离R ＝|－2|12＋12＝ 2.∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.3．上 外 内 【做一做3－1】C 【做一做3－2】A 典型例题·领悟【例1】解：(1)设圆心为(a ，－2a )，则圆的方程为(x －a )2＋(y ＋2a )2＝r 2.由⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1a －2·－1＝－1，r ＝a －22＋－2a ＋12，解得⎩⎨⎧a ＝1，r ＝2，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)设圆的方程为(x －3)2＋y 2＝r 2，利用点到直线的距离公式可以求得d ＝|3－0＋1|1＋1＝22，∴r ＝222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝2 3. ∴所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝12.【例2】解：由题意可知，圆心C 为P 1P 2的中点，即坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋62，9＋32，为(5,6)．半径r ＝|CP 1|＝5－42＋6－92＝10.故圆的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10.【例3】解：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，即N (x ＋3，y －4)．又点N 在圆x 2＋y 2＝4上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此点P 的轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.【例4】解：以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知得A (6，－2)．设圆的半径为r ，则C (0，－r )，即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2，①将点A 的坐标(6，－2)代入方程①，得36＋(r －2)2＝r 2， ∴r ＝10.∴圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100.②当水面下降1米后，可设点A ′的坐标为(x 0，－3)(x 0＞0)，将A ′的坐标(x 0，－3)代入方程②，得x 0＝51， ∴水面下降1米后，水面宽为2x 0＝251(米)．【例5】正解：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝4，又由题意可得|a |＝2即a ＝±2. 当a ＝2时，再由圆C 与4x －3y ＝0相切，得 |4×2－3b |5＝2，解得b ＝－23或b ＝6； 当a ＝－2时，由|4×－2－3b |5＝2，解得b ＝－6或b ＝23.综上可知，满足条件的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －6)2＝4或(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＝4或(x ＋2)2＋(y ＋6)2＝4或(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＝4.随堂练习·巩固1．A ∵圆与x 轴相切，∴r ＝4.∴圆的标准方程为(x ＋5)2＋(y －4)2＝16. 2．A 求圆关于某点或直线的对称图形的方程，主要是求圆心关于点或直线的对称点．求出圆心(－2,0)关于(0,0)的对称点为(2,0)．3．2x －y ＋11＝04．(x －1)2＋(y －1)2＝1 设其圆心为P (a ，a )，而切点为A (1,0)，则PA ⊥x 轴，∴由PA 所在直线x ＝1与y ＝x 联立，得a ＝1.故方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.也可通过数形结合解决，若圆与x 轴相切于点(1,0)，圆心在y ＝x 上，可推知与y 轴切于(0,1)．5．解：设M (x ，y )，P (x 0，y 0)．由题意，得x 0＋122＝x ，y 0＋02＝y .∴x 0＝2x －12，y 0＝2y .又点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝16上， ∴x 20＋y 20＝16.∴(2x －12)2＋(2y )2＝16，即(x －6)2＋y 2＝4.。
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圆的方程
圆的标准方程
[学习目标].会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点.会根据已知条件求圆的标准方程.能准确判断点与圆的位置关系.
[知识链接]
定点
.
的距离等于
平面内，到
定长
.
的点的集合叫圆
确定一个圆的基本要素是
.
圆心
.
半径
和
.平面上两点间的距离公式＝.
[预习导引]
.圆的定义及圆的标准方程
()圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.
定点→圆的圆心；定长→圆的半径.
()圆的标准方程，半径为，则圆的标准方程是
(
)
－
(
设圆的圆心是
，
＝
，当圆的圆心在坐标原点时，
)
－
＋
(
)
圆的半径为，则圆的标准方程是
＋＝
.
.点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两
种方法：
()将所给的点与圆心的距离跟半径比较：
若＝，则点在
圆上
；
若＞，则点在
圆外
；
若＜，则点在
圆内
.
()可利用圆的标准方程(－)＋(－)＝来确定：
在
)
圆上
点
(
(
，
⇔
－
＝；
(
)
－
)
＋
在
圆外
)
(
⇔
点
，
)
)
＞；
(
－
(
－
＋
在
⇔
圆内
点
(
(
，
)
(
＜
.
)
－
)
＋
－
要点一点与圆的位置关系
例已知点()不在圆：(－)＋(＋)＝的内部，求实数的取值范围.
解由题意，点在圆上或圆的外部，
∴(－)＋(＋)≥，
∴＋≥，∴≥－，又≠，
∴的取值范围是∪(，＋∞).规律方法判断点(，)与圆(－)＋(－)＝的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要
是利用点与圆心的距离与半径比较大小.
对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：
①当(－)＋(－)<时，点在圆内，
②当(－)＋(－)＝时，点在圆上，
③当(－)＋(－)>时，点在圆外.
跟踪演练点()与圆＋＝的位置关系是()
.在圆外.在圆内
.在圆上.不确定
答案
解析把点()代入圆的方程＋＝得＋>，故点在圆外.
要点二求圆的标准方程
例求过点(，－)，(－)且圆心在直线＋－＝上的圆的标准方程.
解方法一设点为圆心，∵点在直线＋－＝上，
∴可设点的坐标为(－).
又∵该圆经过，两点，∴＝.
∴＝，
解得＝.
∴圆心坐标为()，半径长＝＝.
故所求圆的标准方程为(－)＋(－)＝.方法二由已知可得线段的中点坐标为()，＝＝－，所以弦的垂直平分线的斜率为＝，所以的垂直平分线的方程为－＝·(－)，即＝.则圆心是直线＝与＋－＝的交点，
由(\\(＝，＋－＝，))得(\\(＝，＝，))即圆心为()，圆的半径为＝，
故所求圆的标准方程为(－)＋(－)＝.规律方法直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标
和半径，然后直接写出圆的标准方程.
跟踪演练以两点(－，－)和()为直径端点的圆的方程是()
.(－)＋(－)＝.(－)＋(－)＝。