14.3.1因式分解——提供因式法
14.3.1因式分解-提公因式法
( 3x2y )
25a b 15a b 5a b
3 2 2
3 3
( 5 a 2b )
用心观察，找到答案
多项式 8x+12y 8ax+12ay 公因式
4 4a
8a
3
bx+12a2b2y
4 a 2b
9x2-6xy+3x
3x
指出下列各多项式中各项的公因式, 并试着分解因式。
①ax+ay+a 2 ②3mx-6nx ③4a2b+10ab2 4 3 3 3 ④x y +x y ⑤12x2yz-9x3y2
一个整数写成什么形式？ 把一个整数写成几个整数的乘积的 形式叫做因数分解。
因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的乘积
的形式，叫做把这个多项式因式分解
(分解因式)。
ma mb m(a b)
因式分解
公因式的定义： 一个多项式的各项都有的公共的 因式，叫做这个多项式的公因式。
ma mb mc
公因式
a 3x 2ab 3 3 xy 2 3x y
例1: 找出3 x
2
– 6 x 的公因式。并分解因式。
指数：相同字母 1 的最低次幂 3 x 系数：各项系数的 想一想 字母：各 最大公约数。 项的相同 另一个因式x-2是 字母 如何得到的？ 所以，公因式是3x
3x2-6x=3x（x-2）
提公因式法—因式分解的步骤：
计算：
2 2 97 96 2 2
99 98
已知:a+b=5，ab=4， 求:ab2+a2b-a-b的值. 解： ab2+a2b-a-b =ab(b+a)-(a+b) =(a+b)(ab-1) =5×(4-1) =15
数学人教版八年级上册14.3.1 提取公因式法
15.4 因式分解一、教学目标知识与技能目标：1.理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解2.熟练运用提公因式法分解因式数学思考：在教学过程中，体会类比思想，逐渐形成独立思考、主动探索的习惯解决问题：能熟练运用提供因式法解决现实生活中的问题以及数学问题情感态度通过现实情境让学生认识到数学的应用价值，激发学习数学的浓厚兴趣。
二、教学重点与难点重点：理解因式分解得含义及运用提供因式法分解因式（正确理解因式分解的含义是进行因式分解的前提；提公因式法是因式分解得基本方法，故确定为重点）难点：正确确定多项式的公因式，运用提取公因式法分解因式（学生确定因式有时不全面，提供因式提不净，只能在实践中获取经验，故确定为难点）三、教学方法与教学手段教法：类比，探究式教学方法教学过程中渗透类比的数学思想方法，形成新的知识，结构体系；设置探究式教学，让学生经历知识的形成，从而达到对知识的深刻理解与灵活运用。
学法：自主、合作探究的学习方式在教学活动中，既要提高学生独立解决问题的能力，又要培养团结协作精神，拓展学生探究问题的深度与广度，体现“用”数学的意识。
本课将利用多媒体演示和丰富的教学活动激发学生学习的积极性，更好地达成教学目标，突出重点、突破难点。
五、板书设计六、教学设计说明教学过程不仅是知识传授的过程，更是掌握良好的学习方法、锻炼思维能力、培养创新能力、感受数学思想的过程。
本课就教学过程作以下几点说明：1.教材所选的地位和作用“因式分解（提公因式法）”是人教版八年数学（上）第十五章第四节内容，本课安排在“整式乘法”后，明确了因式分解和整式乘法的联系，起到知识的链接与开拓作用，提公因式法是因式分解得基本方法，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解一元二次方程打下坚实的基础。
2.知识结构安排本课以“问题情境——获取知识——应用与拓展”的模式展开，符合学生的认知规律3.教学方法与设置教学过程中采用类比、探索式教学，辅以讲练结合、师生互动，引导学生获得自主、合作、探索的学习方式，符合新课标确立的学习方式的要求，本课以现实问题引入，以新旧知识的链接结束，让学生认识到数学源于生活，应用于生活，生活中处处有数学，又通过数字与字母的转换引入因式分解，运用类比的数学思想理清因式分解与整式乘法的关系，在寻找公因式游戏、递进练习与实践等环节中，引导学生主动探索，合作交流并动手实践，培养团结协作精神和创新意识，形成灵活开放与生成发展的课堂教学，营造出平等、轻松、活泼的教学氛围。
14.3.1因式分解(提公因式法)八年级数学上册课件(人教版)
拓展训练
人教版数学八年级上册
3.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请 判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并 说明理由． 解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab-c-2bc＝0，
(a-c)＋2b(a-c)＝0，(a-c)(1＋2b)＝0，
∴a-c＝0或1＋2b＝0，
解：原式=-（a2-ab+ac）=-2a（a-2b+3c） （6）-2x3+4x2-2x
解：原式=-（2x3-4x2+2x）=-2x（x2-2x+1）
人教版数学八年级上册
拓展训练
人教版数学八年级上册
1.已知m-4n=-2，mn=5，求-m3n+8m2n2-16mn3的值. 解：-m3n+8m2n2-16mn3=-mn(m2-8mn+16n2)=-mn(m-4n)2 .
典例精析
例1 把8a3b2+12ab3c分解因式.
分析：找公因式
1.系数的最大公约数 4
2.找相同字母
ab
3.相同字母的最低指数 a1b2
公因式为：4ab2
解：8a3b2+12ab3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc)
人教版数学八年级上册
典例精析
人教版数学八年级上册
复习引入
人教版数学八年级上册
单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
p(a+b+c)=pa+pb+pc
多项式与多项式相乘的法则: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个 多项式的每一项,再把所得的积相加.
14.3因式分解(1)——提公因式法+课件+2023-2024学年人教版数学八年级上册
知识点 2 提公因式法分解因式 (1)公因式：多项式中每项都有的__因__式__； (2)一般地，如果多项式的各项有_公__因__式___，可以把这个公因式提取出 来，将多项式写成公因式与另一个因式的__乘__积__的形式，这种分解因 式的方法叫做提公因式法.
多项式2a2b3＋4ab2c的公因式是_2_a_b_2__. 多项式m(a－x)－mn(a－x)的公因式是_m__(_a_－__x_) _.
计算： 3×24＋6×24＋4×22. 解：原式＝3×24＋6×24＋24
＝(3＋6＋1)×24 ＝160.
计算： 42×20.23＋72×20.23－20.23×14. 解：原式＝(42＋72－14)×20.23
＝100×20.23 ＝2 023.
如图，长方形的长、宽分别为a，b，周长为10，面积为6， 则a2b＋ab2的值为( B ) A．60 B．30 C．15 D．16
5．确定下列多项式的公因式，并分解因式． (1)ax＋ay； 解：ax，ay的公因式为a， 原式＝a(x＋y)． (2)3mx－6nx2； 解：3mx，－6nx2的公因式为3x， 原式＝3x(m－2nx)．
(3)4a2b＋10ab－2ab2. 解：4a2b，10ab，－2ab2的公因式为2ab， 原式＝2ab(2a＋5－b)．
八年级上册 人教版数学
第十四章 整式的乘法与因式分解 因式分解(1)——提公因式法
复习导入
计算： (1)2(x＋y)＝__2_x_＋__2_y_； (2)(x＋1)(x－1)＝__x_2_－__1_； (3)(a＋b)2＝__a_2_＋__2_a_b_＋__b_2_.
新知探究
知识点 1 因式分解的概念 把一个多项式化成了几个整式的_积___的形式，像这样的式子变形叫做 这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
14.3.1提公因式法 四环节
=3a(a-3b)
温馨提示
3a 3a a
2
9ab 3a 3b
分两步 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ， (即将多项式化为两个因式的 乘积)
小颖解的有误吗？
把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.
解： 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab
=ab•8a2 b-ab • 12 b2 c+ab • 1
☞
把下列各式分解因式
(1) x(x+y)-y(x+y) (2) am+an+bm+bn
把下列各式分解因式： 1．2a－4b; 2．ax2+ax－4a; 3．3ab2－3a2b; 4．2x3+2x2－6x; 5．7x2+7x+14; 6．－12a2b+24ab2; 7．xy－x2y2－x3y3; 8．27x3+9x2y．
2)3 x +9xy
3) a2 b – 2a b2 + ab
4) 4xy2-6xy+8x3y
ab
2xy
（2）多项式中的公因式是如何确定的？ (交流探索）
过关秘密武器：
正确找出多项式各项公因式的关键是：
公因式的系数是多项式各项系数的 定系数： 最大公约数。 定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同 的字母。
3
2
当多项式第一项系 数是负数，通常先 提出“-”号，使 括号内第一项系数 变为正数，注意括 号内各项都要变号。
练一练
把下列各多项式因式分解
1)
-4a3b3+6a2b-2ab 2） -9a2b3-12ab4+15ab5 3) -4x3y+2x2y2+xy3 4 ) -x4y2-2x2y-xy
八年级数学上册14.3因式分解14.3.1提公因式法说课稿(新版)新人教版
八年级数学上册 14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法说课稿（新版）新人教版一. 教材分析《八年级数学上册》第14.3节是关于因式分解的内容，其中14.3.1节是提公因式法。
这一节内容是在学生已经掌握了多项式乘法、完全平方公式和平方差公式的基础上进行教学的。
教材通过引入提公因式法，使学生能够更好地理解和掌握因式分解的方法，为后续学习更复杂的因式分解方法打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于多项式乘法和完全平方公式等概念有一定的了解。
但是，学生在学习过程中可能会对因式分解的方法和思路感到困惑，特别是对于提公因式法的应用可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的困惑进行解答和指导。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握提公因式法的概念和步骤，能够灵活运用提公因式法进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探究和合作交流，培养学生的解决问题的能力和合作意识。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握提公因式法的概念和步骤，能够灵活运用提公因式法进行因式分解。
2.教学难点：如何引导学生理解和掌握提公因式法的应用，以及如何解决因式分解过程中的关键步骤。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板和教学卡片等辅助教学。
六. 说教学过程1.引入新课：通过一个具体的例子，让学生观察和分析，引导学生思考如何将一个多项式进行因式分解。
2.讲解提公因式法：讲解提公因式法的概念和步骤，通过示例进行讲解，让学生理解和掌握提公因式法的应用。
3.练习与讨论：给出一些练习题，让学生独立进行因式分解，然后进行小组讨论，共同解决问题。
4.总结与拓展：对提公因式法进行总结，引导学生思考如何解决更复杂的因式分解问题。
14.3.1提公因式法
解：原式=
= =
3 2 24 x ( 12x 28 x )
4 x (24x3÷4x+12x2÷4x-28x÷4x)
4 x (6x2+3x-7)
当多项式第一项系数是 负数，通常先提出“-” 号，使括号内第一项系 数变为正数，注意括号 内各项都要变号。
利用因式分解简化运算
14.3.1
提供因式法
14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法
(1) x 2 x x( x 1) ( 2) x 1 ( x 1)(x 1)
2
(3)ma+mb+mc= m(a+b+c) (4) x2-6x+9= (x-3)2
因式分解定义
把一个多项式化成几个整式的积 的形式,这种变形叫做把这个多项 式因式分解（也叫分解因式）.
14.3.1
提供因式法
分解因式： (1)ax－ay； (2)－3ax ＋12ax －15ax； (3)2m(m－n) ＋6(n－m) ； (4)4x
n＋ 1 3 2 3 2
－12x ＋32x
n
n－ 1
.
1、什么叫因式分解？ 2、确定公因式的方法： 一看系数 二看字母 三看指数
3、提公因式法分解因式步骤(分两步)：
说出下列各多项式的公因式： m (1)ma + mb ； 4k (2)4kx - 8ky ； 5y2 (3)5y3+20y2 ； (4)a2b-2ab2+ab . ab
最大公约数 一看系数
相同字母 二看字母
最低指数
三看指数
例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.
最大公约数
4
14.3.1 提公因式法
第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.1 提公因式法学习目标：1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.重点：理解理解因式分解的意义和概念.难点：掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.一、知识链接1.计算：x（x+1）= 3a(a+2)= m(a+b+c)=2.乘法的分配律：a(b+c)=_________________.二、新知预习议一议：观察上面式子的计算结果，x2,x有什么共同点？3a2,6a 有什么共同点？ma,mb,mc有什么共同点？多项式x2+x中有共同的因式，多项式3a2+6a中有共同的因式，多项式ma+mb+mc中有共同的因式，要点归纳：多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的____________.想一想：根据等式的性质填空，观察计算结果，这些式子的右边有什么共同点？x2+x=_________，3a2+6a=____________, ma+mb+mc=_____________.要点归纳：把化成的形式，叫作.如果多项式的各项有_______，可以把这个_______提取出来，将多项式写成_______与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.三、自学自测下列等式中，哪些从左到右的变形是乘法运算，哪些是因式分解.①1＋2x+3x2=1+x(2+3x) ②3x(x+y)=3x2+3xy③6a2b+3ab2－ab=ab(6a+3b－1) ④3xy－4x2y+5x2y2=xy(3－4x+5xy)四、我的疑惑___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________一、要点探究探究点1：因式分解例1：下列从左到右的变形中是因式分解的有()①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．A．1个B．2个C．3个D．4个方法总结:因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．辩一辩：在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有___________，不是的，请说明为什么？①am+bm+c=m(a+b)+c ____________________________________;②24x2y=3x ·8xy ____________________________________;③x2-1=(x+1)(x-1) ____________________________________;④(2x+1)2=4x2+4x+1 ____________________________________;⑤x2+x=x2(1+1x) ____________________________________;⑥2x+4y+6z=2(x+2y+3z) ____________________________________.探究点2：公因式问题1：如何确定一个多项式的公因式？找一找：3x 2- 6 xy的公因式.(1)多项式3x 2- 6 xy有____项，分别为__________、_________，它们的系数分别是______、_______，最大公约数是____________，它们含有的共同字母是___________，该字母的指数分别为____、_____. (2)该多项式的公因式为______________.方法归纳：正确找出多项式的公因式的步骤：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的_______________.2.定字母：字母取多项式各项中都含有的________的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项中______的一个，即字母最_____次数.填一填：下列各多项式的公因式是什么？将其填在横线上.(1) 3x+6y ___________; (2)ab-2ac ___________;(3) a2 - a3 ___________ ; (4)4 (m+n) 2 +2(m+n) ___________;(5)9m2n-6mn ___________; (6)-6x2y-8 xy 2 ___________;探究点3：用提公因式法分解因式例2：把下列各式分解因式(1)8a3b2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；(3)(a＋b)(a－b)－a－b.方法总结：提公因式法步骤（分两步）第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.辩一辩：下列同学分解因式的结果正确吗？不正确的话，请说明理由，并改正.(1)分解因式12x2y+18xy2=3xy(4x + 6y). ____________（填“正确”或“错误”）理由：_______________________________正解：________________________________(2)分解因式3x2 - 6xy+x =x(3x-6y).____________（填“正确”或“错误”）理由：_______________________________正解：________________________________(3)- x 2+xy-xz= - x(x+y-z)____________（填“正确”或“错误”）理由：_______________________________正解：________________________________易错归纳：(1)提取公因式后，多项式中各项还含有公因式．(2)提取公因式后，漏掉另一个因式中商是1的项；(3)找底数互为相反数的幂的公因式时符号出错；例3：计算：(1)39×37－13×91；(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．例4： 已知a ＋b ＝7，ab ＝4，求a 2b ＋ab 2的值．方法总结：含a ±b ，ab 的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a ±b 和ab 表示的式子，然后将a ±b ，ab 的值整体带入即可.1.下列各式变形中，是因式分解的是（ ）A.a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1 Ｂ.)11(22222xx x x +=+ C ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－4 D.x 4－1＝（x 2＋1）（x ＋1）（x －1）2.多项式6ab 2c －3a 2bc ＋12a 2b 2中各项的公因式是( )A ．abcB ．3a 2b 2C ．3a 2b 2cD ．3ab3.把a 2-4a 多项式分解因式，结果正确的是（ ）A ．a （a-4）B ．（a+2）（a-2）C ．a （a+2）（a-2）D ．（a-2）2-44.当a ，b 互为相反数时，代数式a 2+ab-2的值为（ ）A ．2B ．0C ．-2D ．-15.分解因式(1)a 2b –2ab 2+ab ； (2)2（a-b ）-4(b-a)；(3)a 2b （a －b ）＋3ab （a －b ）； (4)y 2（2x ＋1）＋y （2x ＋1）2.A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn22.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，余下的部分是（）A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+33.下列多项式的分解因式，正确的是（）A．12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz）B．3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2）C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z）D．a2b+5ab-b=b（a2+5a）4.把下列各式分解因式：(1)8 m2n+2mn=_____________；(2)12xyz-9x2y2=_____________；(3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )=_____________；(4) -x3y3-x2y2-xy=_______________；(5)(x-y)2+y(y-x)=_____________.5.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于_____________.6.简便计算：(1) 1.992+1.99×0.01 ; (2)20132+2013-20142; (3)(-2)101+(-2)100.7.(1)已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值.(2)化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中x=12. .拓展提升8.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．。
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3）应用新知 把下列各式因式分解 （1） x 4
2
（2） x 2 xy y
2 2
（3） mx nx ax
（4） 8mn 4m
城关镇中心学校课堂路线图 三、合作探究 探究点一 把下列各式因式分解 （1） 8a b 12ab c
3 2 3
八年级数学上册
城关镇中心学校课堂路线图
八年级数学上册
14.4.1 因式分解——提公式法
年级：八年级 学科：数 学 课型：新授课 时间： 年 月 日 二 次 备 课
执笔：孙丽(马集中心校)
审核：蒋振华
【励志语录】 拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 【学习目标】 1、知道因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系． 2、知道公因式概念和提取公因式的方法． 3、会用提取公因式法分解因式． 【重点】会用提公因式法分解因式． 一、激趣明标 1、叙述同底数幂的乘法运算法则．
2、问题：一种数码照片的文件大小是 2 K，一个存储量为 2 M（1M=2 K）•的移动 存储器能存储多少张这样的数码照片？
8
6
10
二、教材预习 1、预习内容：自学教材第 114 页———第 115 内容并完成 P115 练习 1、2、3
2、预习检测： 1）因式分解（分解因式）把一个 化成 的形式的变形叫做把 这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式． 注意：可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向思维． 2）①多项式 ma mb mc 的公因式是 ② 8a b 与 12ab c 的公因式是 ③什么叫提公因式分解因式？
导学反思：
2 3 3 2 2 2
（3） 6 x 10x 2 x
3 2
（4） a y z 4bz y
C、拓展与提高 1、 先因式分解再求值： 5xm 2 4 x2 m ，其中 x 0.4 ， m 5.5
2、 证明： 5
23
5 21 能被 120 整除
（2） 75x 3 y 5 35x 2 y 4
（3） 10m n 8m n 2m n
4 2 4 3
（4）
1 3 2 a b 2a 2 b 3 4
探究点二 整体思想的运用 （1） 5aa 2b 2ab2b a
2 2
（2） 7m n 21 m n 28m n
3 2
（3） 2aa b c 3ba b c 5cc a b
探究点三 巧用分解因式 （1）计算（1） 2
2010
2 2009
（2） 7.6 200 .9 4.3 200 .9 1.9 200 .9
（3） 证明 6
23Leabharlann 6 21 能被 35 整除
四、小结提升 通过本节课的学习，你有什么收获？你还有什么困惑？
五、达标测试
城关镇中心学校课堂路线图 A、基础达标 教材 P119 习题 14.3 第 1 题
八年级数学上册
1、下列各式从左到右的变形为因式分解的是（ A、 a 2a 2 a 4
2 2 2
）
C、 8x 8 8x 1
3 2
B、 m 1 n m 1n 1 D、 x 2 2 x 1 xx 2 1
2、多项式 8a b 12ab c 16ab 的公因式是
3
B、能力测试 把下列各式因式分解 （1） aa 3 23 a （2） 9a b 6a b 3a b