基本不等式002
第9讲 基本不等式
第9讲基本不等式【知识点梳理】1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号；基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号.注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.【方法技巧与总结】1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a R ≥∈≥≥∈（2）基本不等式：如果,ab R +∈，则2a b+≥(当且仅当“a b =”时取“”).特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）.（3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)2,112a ba b R a b++≤≤≤∈+即调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件).2.均值定理已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.3.常见求最值模型模型一：)0,0(2>>≥+n m mn xnmx ，当且仅当mnx =时等号成立；模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当mna x =-时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当acx =时等号成立；模型四：)0,0,0(421)()(22m n x n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成立.【典型例题】题型一直接利用基本不等式求最值【例1】若正实数y x ,满足12=+y x .则xy 的最大值为（）A ．14B ．18C ．19D ．116【例2】已知01x <<，则)(33x x -的最大值为（）A ．12B ．14C ．23D ．34【题型专练】1.若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（）A ．18B ．27C ．54D ．902.已知二次函数()22f x ax x c =++（R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（）A ．4-B ．4C ．8D ．8-题型二“1”的代换，乘1法1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．【例1】设b a ,为正数，且1a b +=，则ba 11+的最小值为_______.【例2】已知0,0x y >>，且350x y xy +-=，则34x y +的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．9【例3】已知0,0a b >>，122a b+=，则a b +的最小值为（）A ．3222-B ．3222+C ．3-D ．3+【例4】0a >，0b >，且21a b +=，不等式1102m b a b+-≥+恒成立，则m 的范围为_______.【例5】当104x <<时，不等式11014m x x+-≥-恒成立，则实数m 的最大值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【例6】若1,0m n >>，3m n +=，则211m n+-的最小值为__________．【例7】若b a ,是正实数，且1a b +=，则11a ab+的最小值为．【例8】设2=+b a ，0>b ，则ba a ||||21+的最小值是．【题型专练】1.已知正实数x ，y 满足211x y+=，则436xy x y --的最小值为（）A ．2B ．4C ．8D ．122.若实数a ，b 满足123,12a b a b ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，则2211a b a b +--的最小值为（）A ．6B ．4C ．3D ．23.已知0a >，0b >且1a b +=，则1811a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是()A ．49B ．50C ．51D ．524.已知正数a ，b 满足0ab a b --=，则4a b +的最小值为___________.5.设0x >，0y >，1x y +=，则212x xy+的最小值为______．6．已知0a >，0b >，且2233a b ab a b ++，则3a b +的最小值为___________.题型三常规凑配法【例1】已知(3,)x ∈+∞，函数43y x x =+-的最小值为（）A ．4B ．7C ．2D ．8【例2】函数19()(1)41f x x x x =+>-的最小值为（）A ．134B ．3C ．72D ．94【例3】若对任意0>x ，a x x x≤++132恒成立,则a 的取值范围是__________.【例4】设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是（）（A ）2（B ）4（C ）（D ）5【例5】若11x -<<，则22222x x y x -+=-有（）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【题型专练】1.函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（）A ．4B ．3C ．D ．32.若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（）A ．3B ．52C ．3D ．3+3.若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.题型四换元法【例1】函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（）A ．B ．3+C ．2+D ．5【例2】函数2y =___________.题型五消参法消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！【例1】已知22451()x y y x y +=∈R ，，则22x y +的最小值是．【例2】若实数x ，y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为．【题型专练】1.若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-的最大值为___________.2.设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A ．0B ．3C ．94D ．13.已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）A ．2B ．2C ．2D ．6题型六双换元若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．【例1】若00a b >>，，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为．【例2】已知0x y >，，求44x yx y x y+++的最大值为．A ．3B ．C ．1+D ．2【题型专练】1.若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a b a b c+++的最小值为______．2.已知0a >，0b >，21a b +=，则11343a b a b+++取到最小值为________．3.若,x y R +∈，且21x y +=，则22212x y x y +++的最小值为_________4.若正实数x ，y 满足22x y +=，则224122x yy x +++的最小值是__________．题型七齐次化齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．【例1】已知0x >，0y >，22x y +=，则223524x y x y xy+++的最小值为．【例2】若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A ．12B ．14C ．2D 【题型专练】1.已知三次函数32()()f x ax bx cx d a b =+++<在R 上单调递增，则a b cb a++-最小值为（）A B ．53C ．72+D 2.已知0a >，0b >，且21a b +=，则12bb a b++的最小值为____________.3.已知x ，y ，z 为正实数，且240x y z +-=，则2xyz 的最大值为______．4．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x yxy+的最小值为（）A ．3-B ．1+C 1-D ．1+题型八和、积、平方和的转化若出现c nab b a m =++)(，其中a 、b 、m 、n 、c *∈R 因为4)(22b a ab ab b a +≤⇒≥+，可以转化为c nab ab m ≤+2或c b a nb a m ≥+++4)()(2，从而求出b a +及ab 的取值范围．若出现求nb ma +取值范围，先将式子c nab b a m =++)(因式分解成为z y b x a =++))((形式，再用基本不等式求出nb ma +最值．【例1】设0a >，0b >，24a b ab ++=，则()A ．a b +有最大值8B ．a b +有最小值8C ．ab 有最大值8D ．ab 有最小值8【例2】设,1,0,0ab b a b a =++>>求b a 23+最小值．【例3】设y x ,为实数，若1422=++xy y x ，则y x +2的最大值是．【题型专练】1．已知a ，()0,b ∈+∞，且22347a ab b ++=，则2+a b 的最大值为（）A ．2B ．3C ．D ．2.已知正实数x ，y 满足：222xx xy y ++=，则232x y y++的最小值为_________．题型九多选题【例1】已知,x y +∈R ，x y m +=（m 是常数），则下列结论正确的是（）A ．若141x y ++的最小值为1m +，则3m =B ．若(1)x y +的最大值为4，则3m =C 的最大值为m ，则2m =D ．若4m =，则29y x+的最小值为2【例2】已知220,0,2a b a b >>+=，则以下不等式成立的是（）A ．2a b +>B ．332a b +≥C ．114a b b a ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．112a b+≥【例3】设a ，b 为两个正数，定义a ，b 的算术平均数为()2a bA a b +=,，几何平均数为()G a b ,．上个世纪五十年代，美国数学家D ．H.Lehmer 提出了“Lehmer 均值”，即()11,p pp p p a b L a b a b --+=+，其中p 为有理数．下列结论正确的是（）A ．()()0.51,,L a b L a b ≤B ．()()0,,L a b G a b ≤C ．()()2,,L a b A a b ≤D ．()()1,,n n L a b L a b +≤【例4】对任意x ，y ，221+-=x y xy ，则（）A.1x y +≤B.2x y +≥- C.222x y +≤ D.221x y +≥【题型专练】1.（多选题）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（）A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a ba b+≥+D ．22a b a b+≥+2．（多选题）设1,1a b >>，且()1ab a b -+=，那么（）A ．+a b 有最小值)21+B ．+a b 有最大值)21+C ．ab 有最大值3+D ．ab 有最小值3+。
基本不等式知识点
基本不等式知识点基本不等式知识点探究导语：基本不等式作为数学中的一个重要知识点，广泛应用于数学中的各个领域。
掌握基本不等式的性质和运用方法，对于学生提高数学素养具有重要意义。
本文将就基本不等式的定义、证明、应用以及一些特殊情况进行介绍，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一. 基本不等式的定义基本不等式是指对于一般的实数x和y，有以下不等式成立：1. 数字不等式：若x > y，则有 x+a > y+a，其中a为任意实数。
2. 绝对值不等式：若x > a，则有 |x| > |a|，其中a为任意实数。
二. 基本不等式的证明基本不等式的证明可通过数学归纳法进行。
以数字不等式为例，我们可以将其分为两个步骤进行证明：1. 首先证明当a > 0时，x > y推出x+a > y+a。
根据a > 0，可知存在实数b，使得a = b^2。
将x、y分别加上b^2，得到 (x + b^2) - (y +b^2) > 0，即(x - y) + b^2 > 0。
由于b^2 > 0，因此(x - y) + b^2 > 0，即x + b^2 > y + b^2，即x+a > y+a。
2. 其次证明当a < 0时，x > y推出x+a > y+a。
与前一步骤相似，我们令a = -b^2，b为任意实数。
同样可以得到 (x - y) + (-b^2) > 0，即 (x + (-b^2)) - (y + (-b^2)) > 0，即x + (- b^2) > y + (- b^2)，即x+a > y+a。
三. 基本不等式的应用基本不等式在数学中有广泛的应用，尤其在代数和不等式解题中常被使用。
以下列举几个典型的应用情况：1. 求绝对值不等式的解集：通过运用绝对值不等式可以求解关于绝对值的不等式，例如 |2x + 1| > 3，可以转化为2x + 1 > 3或2x + 1 < -3的形式，然后求出解集即可。
2.2基本不等式
2.2基本不等式【知识清单】1.重要不等式对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立.2.基本不等式（1）.定义：如果a >0，b >0，则ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立，其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．（2）．常用变形①ab ，a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．②a ＋b ≥2ab ，a ，b 都是正数，当且仅当a ＝b 时，等号成立．（3）利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”.①一正：各项必须为正或者负.②二定：各项之和或各项之积为定值.③三相等：必须验证取等号时条件是否具备.3.基本不等式的两种应用已知a ，b 都是正数，(1)如果积ab 是定值P ，那么当a ＝b 时，和a ＋b 有最小值2P ；(2)如果和a ＋b 是定值S ，那么当a ＝b 时，积ab 有最大值14S 2．【常见题型】一．利用基本不等式求最小值（直接型）1.若x ＞0，求f (x )＝12x＋3x 的最小值2.函数420y x x x的最小值为__________．3.已知2nm ，则22m n 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二．利用基本不等式求最大值1.已知0,0,42a b a b ，则ab 的最大值为（）A ．14B ．12C ．1D ．22.已知52x ，求)(x x 52 的最大值___________3.设x >0,则133y x x的最大值为（）Ａ．3Ｂ．3 Ｃ．3 Ｄ．－14.已知0x ，则1x x的最大值为（）A ．2B ．12C ．2D ．12三．构造基本不等式求最值1.若2a ，则162a a 的最小值为（）A ．8B ．6C ．4D ．22.函数 2230x x f x x x 的最大值为________.3.已知1x ，则函数241x x y x的最小值是______．4.函数224xy x x 的值域是__________．四．对“1”的利用1.已知正数,x y 满足1x y ,则14x y的最小值是___________.2.若x ,y 是正数，且141x y，则xy 有（）Ａ．最大值16Ｂ．最小值116Ｃ．最小值16Ｄ．最大值1163.已知0a ，0b ，2a b ，则14y a b的最小值是（）A ．72B ．4C ．92D ．54.已知x ，*R y ，x ＋2y ＝1，则12x y的最小值（）A ．8B ．9C ．10D ．11五．不等式的大小关系1.若x >0,y >0,且x +y 4,则下列不等式中恒成立的是（）A ．114x yB ．111x yC 2D ．11xy2.a ,b 是正数，则2,2a baba b三个数的大小顺序是（）Ａ．22a b aba b 22a b aba bＣ．22ab a ba b Ｄ．22ab a ba b3.设a ,b ,c (0,), 且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c六．应用题中的运用求最值1.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件2.建造一个容积为18m 3,深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元.3.某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x 米，写出泳池的总造价 f x ，问泳池的长为多少米时，可使总造价 f x 最低，并求出泳池的最低造价．【巩固练习】1.已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．2.函数y 的最大值为.3.若0n ，则9n n的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．84.a>0,b>0,ba tb a 11,12求的最小值5.若x ,y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x的值恒为正，对吗？答.6.若a、b R ，1)( b a ab ，则b a 的最小值是（）A.222 B.25 C.222 D.227.已知0x ，0y ，且211x y，若2x y m 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．,9 B ． 7, C ． 9, D ． ,7 8.已知正数a ,b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab的最小值.。
基本不等式(课件)
比较大小
学习如何比较不等式中的数值大小。
证明基本不等式的方法
数学归纳法
使用数学归纳法证明基本 不等式。
反证法
使用反证法证明基本不等 式。
代入法
使用代入法证明基本不等 式。
基本不等式形式讲解
1
三角不等式
学习三角函数中常用的不等式。
2
均值不等式
介绍均值不等式及其不同形式。
3
柯西-施瓦兹不等式
探讨柯西-施瓦兹不等式及其几何和向量形式。
基本不等式的推广
绝对值不等式
学习利用基本不等式解决绝对值不等式。
积分不等式
探讨基本不等式在积分中的运用。
幂不等式
介绍基本不等式在幂函数中的应用。
例题和练习
例题
通过例题加深对基本不等式的理解。
练习
加强基本不等式的应用能力。
基本不等式的应用
实际应用
了解基本不等式在实际生活中的应用，如经济学、 物理学等领域。
最优化问题
学习如何使用基本不等式解决最优化问题。
概率
探索基本不等式在概率论中的应用。
基本不等式与均值不等式的关系
深入研究基本不等式与均值不等式之间的联系，包括均值不等式是基本不等式的特殊情况，以及它们在 数学推导和证明中的应用。
基式的概念、证明方法以及各种形式的基 本不等式。我们还将探讨基本不等式的应用、与均值不等式的关系以及推广 内容，并提供例题和练习。
不等式的概念
符号表达
学习不等式中的符号表示以及它们在数学中的含 义。
数轴表示
了解如何使用数轴来可视化不等式并确定不等式 的解集。
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式完整版(非常全面) 基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$3、基本不等式的两个重要变形1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$5) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{1}{a^2+b^2}\leq\frac{1}{2ab}\leq \frac{1}{a+b}$特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6、柯西不等式1) 若 $a,b,c,d\in R$，则 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$2) 若 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\in R$，则$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$3) 设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 与 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是两组实数，则有$(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2$二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设 $a,b$ 均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{1}{2}(a+b)^2$2、已知 $a,b,c$ 为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$3、已知 $a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$4、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$(1-a)(1-b)(1-c)\geq 8abc$5、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq\frac{9}{2(a+b+c)}$题型二：利用柯西不等式证明不等式1、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$2、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$3、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $abc=1$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$4、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$5、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$题型三：求最值1、已知 $a,b$ 均为正数，且 $a+b=1$，求 $ab$ 的最大值和最小值。
基本不等式ppt课件
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
基本不等式 课件
[解析] (1)因为 a>2，所以 a－2>0，又因为 m＝a＋a－1 2＝
(a－2)＋a－1 2＋2，所以 m≥2 a－2·a－1 2＋2＝4，由 b≠0， 得 b2≠0，所以 2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知 m>n.
(2)因为 a>b>1，所以 lg a>lg b>0， 所以 Q＝12(lg a＋lg b)> lg a·lg b＝P； Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lg a＋2 b＝R. 所以 P<Q<R. [答案] (1)A (2)P<Q<R
∴xy＋9yx＋10≥2 xy·9yx＋10＝16， 当且仅当3x， 由1x＋9y＝1，
得xy＝＝142，，
即当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取得最小值 16.
(1)应用基本不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相 等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相 等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一 个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决 定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键．
2 时，等号成立．
(3)变形：ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2，a＋b≥2 ab(其中 a＞0，b ＞0，当且仅当 a＝b 时等号成立)．
[点睛] 基本不等式成立的条件：a＞0 且 b＞0；其中等
号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号，即若 a≠b 时，
则 ab≠a＋2 b，即只能有 ab＜a＋2 b.
求实际问题中最值的解题 4 步骤 (1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式． (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑 基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数 的单调性． (4)正确写出答案．
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数学 科学案 序号 4-5 002 高二 年级 6 班 教师 王德鸿 学生
§1.1.2基本不等式（1） 姓名 ☆学习目标： 1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的条件; 2. 初步掌握不等式证明的方法 ☻知识情景：
1. 不等式的基本性质：
10
. 对称性：b a >⇔ ；
20. 传递性：⇒>>c b b a ,
；
30
. 同加性：⇒>b a ；
推论：同加性：⇒>>d c b a , ；
30
. 同乘性：⇒>>0,
c b a ，⇒<>0,c b a ；
推论1：同乘性：⇒>>>>0,0d c b a ； 推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,
0 ；
推论4：可倒性：⇒>>0b a . 2. 比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数时)． ☻建构新知：
1．定理1 如果,a b R ∈, 那么22
2a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.
证明: ∵222
2()0a b ab a b +-=-≥,当且仅当a b =时, 等号成立.
∴22
2a b ab +≥,当且仅当a b =时, 等号成立.
2. 定理2(基本不等式) 如果,a b R ∈,
那么
2
a b
+≥ 当且仅当a b =时, 等号成立. 讨论: 10. 比较定理1与定理2, 有哪些相同和不同?
20. 如何证明基本不等式?
30. 给出图形如右, 你能解析基本不等式的几何意义吗?
40
. 怎样用语言表述基本不等式?
☆案例学习：
例1在的条件下，，00>>b a 三个结论：其中正确的个数是（ ）
①22b a b a ab +≤+，②，2
222b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+22，
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
变式训练：设,a R ∈b ，求证：(1) 2
22
22a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
;
(2) 222a b c ab bc ac ++≥++．
例2、 (1) 设.1
1120,0的最小值，求
且y
x y x y x +=+>> ； (2) 设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________.
变式训练： 若正数b a ,满足3++=b a ab ，求ab 的取值范围
例3、已知0＜x ＜3
4，求x(4-3x)的最大值；
变式训练：求函数29()12f x x x
=+-（1
(0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．
阅读课本例3、例4
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课后作业
1、若a,b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lga ·lgb 的最大值是 ( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 2
5 2、已知a ＞0,b ＞0，
a 1+b
3
=1，则a+2b 的最小值为( ) A.7+26 B.23 C.7+23
D.14
3、设a ＞0,b ＞0,下列不等式中不成立的是( ) A.
b
a
a b +≥2 B.a 2+b 2
≥2ab
C.
b
a
a b 2
2+
≥a+b D.b
a
11
+≥2+
b
a +2
4、已知x ＞0,y ＞0，x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则()cd
b a 2
+的最小值是( )
A.0
B.1
C.2
D. 4 5、x+3y-2=0，则3x +27y +1的最小值为 ( ) A.7 B.339 C.1+22 D.5
6、若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( ) A.[)+∞,0 B.[)+∞-,4 C.[)+∞-,5
D.[]4,4-
7、在下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是( ) A.y=x+
x
4
B.y=x
x lg 1lg +
C.y=1
1122++
+x x D.y=x 2-2x+3
8、已知0＜x ＜1，则x(3-3x)取得最大值时x 的值为( )
A.3
1
B.2
1
C.4
3
D.32
9、若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b
1
的最小值是( )
A.1
B.5
C.42
D.3+22
10、函数221()1
x x f x x ++=
+的值域为 ．
11、（1）已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y
9
=1,求x+y 的最小值；
（2）已知x ＜45,求函数y=4x-2+5
41
-x 的最大值；
12、某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四
周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.
（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.
13、甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/小时）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a 元.
（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v(千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？。