数值分析各种求积公式的应用
数值积分的插值求积公式
数值积分的插值求积公式（原创版）目录1.数值积分的概念和背景2.插值求积公式的定义和原理3.插值求积公式的实际应用4.插值求积公式的优缺点分析正文一、数值积分的概念和背景数值积分是数值分析中的一种重要方法，它是求解连续函数在某一区间上的定积分的一种近似方法。
在实际应用中，有些函数的积分无法求出解析解，这时就需要借助数值积分方法来求解。
数值积分的方法有很多种，其中插值求积公式是一种常用的方法。
二、插值求积公式的定义和原理插值求积公式是一种基于插值原理的数值积分方法。
其基本思想是先对被积函数进行插值，然后在插值点上求和，最后得到积分结果。
插值求积公式的具体步骤如下：1.选择插值函数，如拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值等；2.对被积函数进行插值，得到一系列插值点上的函数值；3.在插值点上求和，得到积分的近似值。
三、插值求积公式的实际应用插值求积公式在实际应用中具有广泛的应用，例如在计算机图形学中，可以用插值求积公式来计算曲线下的面积；在物理学中，可以用插值求积公式来计算物体的质心；在金融学中，可以用插值求积公式来计算投资组合的期望收益等。
四、插值求积公式的优缺点分析插值求积公式具有以下优点：1.适用范围广，可以应用于各种类型的函数；2.计算精度较高，随着插值点数的增加，计算结果的误差会逐渐减小；3.具有较好的稳定性，对于一些具有奇点的函数，插值求积公式仍能得到较好的结果。
然而，插值求积公式也存在一些缺点：1.插值求积公式的计算复杂度较高，需要进行多次插值和求和操作；2.对于一些非线性函数，插值求积公式的精度可能会受到影响。
综上所述，插值求积公式是一种实用的数值积分方法，具有一定的优点和缺点。
数值分析学习公式总结
数值分析学习公式总结数值分析是数学的一个分支，研究如何利用计算机求解数学问题。
数值分析学习过程中会遇到许多公式，下面对其中一些重要的公式进行总结。
1.插值公式：-拉格朗日插值公式：设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。
则对于任意x∈[a,b]，可使用拉格朗日插值公式来估计f(x)，公式如下：-牛顿插值公式：牛顿插值公式是通过差商的方法来构造插值多项式的公式。
设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为 x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。
则对于任意x∈[a,b]，可使用牛顿插值公式来估计f(x)，公式如下：2.数值积分公式：-矩形公式：矩形公式是用矩形面积来估计曲线下的面积，主要有左矩形公式、右矩形公式和中矩形公式。
以左矩形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间左端点的函数值作为矩形的高，子区间长度作为矩形的宽，则曲线下的面积可以近似为各个矩形面积的和，公式如下：-梯形公式：梯形公式是用梯形面积来估计曲线下的面积，主要有梯形公式和复合梯形公式。
以梯形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间两个端点对应的函数值作为梯形的底边的两个边长，子区间长度作为梯形的高，则曲线下的面积可以近似为各个梯形面积的和，公式如下：-辛普森公式：辛普森公式是用抛物线面积来估计曲线下的面积，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间三个端点对应的函数值作为抛物线的三个顶点，则曲线下的面积可以近似为各个抛物线面积的和，公式如下：3.线性方程组求解公式：- Cramer法则：Cramer法则适用于 n 个线性方程、n 个未知数的线性方程组。
数值分析课程设计报告求积公式的实际应用
数值分析课程设计报告求积公式的实际应用数值分析课程设计报告：求积公式的实际应用一、引言求积公式是数值分析中的一种核心算法，用于计算函数的定积分近似值。
在实际应用中，求积公式有着广泛的应用，比如在物理、工程、金融等领域中求解积分问题。
本文将介绍求积公式的基本概念及其实际应用。
二、求积公式的基本概念1. 求积公式的定义求积公式是将函数f(x)在一定区间上的积分表示为一组有限个数的和的公式。
常见的求积公式有梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。
2. 梯形公式梯形公式是一种最简单的求积公式。
其基本思想是将区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为(h = b - a) / n。
设xi = a + ih (i = 0,1,...,n)，则在小区间[i-1,i]上的积分近似为∫i-1,i f(x)dx ≈ (f(xi-1) + f(xi)) * h/2整个区间[a,b]上的积分近似为∫a,b f(x)dx ≈ h/2 [f(a) + 2∑f(xi) + f(b)]3. 辛普森公式辛普森公式是一种更加精确的求积公式。
它的基本思想是将区间[a,b]平均分成n个小区间，每个小区间的长度为(h = b - a) / n。
然后，在每个小区间中选取两个等距的点，并在它们之间插入一个新的点，这样就得到了n个等距的点，即x0=a,xn=b,xi=a+ih(i=1,2,...,n)。
在每三个点上，使用2次插值多项式，将区间[i-1,i]上的积分f(x)dx表示为∫i-1,i f(x)dx ≈ h / 3 [f(xi-1) + 4f(xi-1 + xi) + f(xi)]整个区间[a,b]上的积分近似为∫a,b f(x)dx ≈ h / 3 [f(a) + 4∑f(xi-1 + xi) + 2∑f(xi) + f(b)]4. 龙贝格公式龙贝格公式是一种数值积分方法，是一种递归算法。
它的基本思想是通过对梯形公式和辛普森公式的迭代计算，得到更高精度的积分值。
数值分析常用公式及示例
数值分析常用公式及示例数值分析是用数值方法研究数学问题的一种方法。
在数值分析中，我们经常会用到一些常用的公式和方法，下面是一些常用的公式和示例。
1.插值公式：插值是用已知数据点来估计未知数据点的一种方法。
常用的插值公式有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。
拉格朗日插值公式：对于给定的n+1个数据点(x0, y0), (x1,y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为P(x) = y0·l0(x) + y1·l1(x) + ... + yn·ln(x)其中li(x) = Π(j≠ i)((x - xj) / (xi - xj))。
2.数值积分公式：数值积分是用数值方法计算函数积分的一种方法。
常用的数值积分公式有梯形公式、辛普森公式和高斯公式等。
梯形公式：对于一个区间[a,b]上的函数f(x)，梯形公式的积分近似值为∫(a, b) f(x)dx ≈ (b - a) / 2 · (f(a) + f(b))。
辛普森公式：对于一个区间[a,b]上的函数f(x)，辛普森公式的积分近似值为∫(a, b) f(x)dx ≈ (b - a) / 6 · (f(a) + 4f((a + b) / 2) + f(b))。
3.数值解方程公式：数值解方程是通过数值计算方法找到方程的根的一种方法。
常用的数值解方程公式有二分法和牛顿法等。
二分法：对于一个在区间[a,b]上连续的函数f(x)，如果f(a)·f(b)<0，则函数在该区间内存在一个根。
二分法的基本思想是将区间不断二分，直到找到根。
具体步骤为：1)如果f(a)·f(b)>0，则输出“区间[f(a),f(b)]上不存在根”；2)否则，计算c=(a+b)/2；3)如果f(c)≈0，则输出c为方程的一个根；4)否则，如果f(a)·f(c)<0，则更新b=c，并返回第2步进行下一次迭代；5)否则，更新a=c，并返回第2步进行下一次迭代。
数值分析19Gauss积分
数值分析
上式共有 r +1个 等式，2n+2个待定系数(变元),要想如 上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数, 即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是 2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1.
事实上,取 2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(x-
数值分析
可查表得到ti和Ai ,(i 0,1, 2, 3)
原积分
1
11
f ( x)dx F (t)dt
0
2 1
1 2
(
A0F (t0
)
A1F
(t1 )
A2F
(t2
)
A3F
(t3
))
1
1
1
1
2
( A0
f
( 2
(1
t0 ))
A1
f
(
2
(1
t1 ))
A2
f
( 2
(1
t2 ))
1
A3 f ( 2 (1 t3 )))
为Gauss型求积公式。
解：先作变量代换
x 1 (a b) 1 (b a)t 1 (1 t), dx 1 dt
2
2
2
2
于是
1 f ( x)dx 1
1
f
(
1
(1
t
))dt
1
1
F (t)dt
0
2 1 2
2 1
由两点Gauss Legendre求积公式
1
F(t)dt F(0.577) F(0.577)
2
)
5
利用两点gauss-legendre求积公式
利用两点Gauss-Legendre求积公式一、概述在数值分析中，求积公式是一种用数值方法来计算定积分的技术。
Gauss-Legendre求积公式是一种求积公式，它利用节点和权重的组合来逼近定积分的计算值。
而两点Gauss-Legendre求积公式则是其中一种特定的求积公式，它利用两个节点和对应的权重来进行定积分的逼近计算。
二、求积公式的基本原理Gauss-Legendre求积公式的基本原理是通过在特定的节点上取得函数值，并将这些值进行线性组合，来逼近定积分的计算值。
对于一个给定的定积分\[I = \int_{-1}^{1} f(x) dx\]Gauss-Legendre求积公式的一般形式可以表示为\[Q_n(f) = \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i)\]其中，\(w_i\)为权重，\(x_i\)为节点，\(n\)为节点数。
通过选择合适的节点和权重，可以使得对于特定的\(n\)，求积公式的计算值与实际定积分值非常接近。
三、两点Gauss-Legendre求积公式两点Gauss-Legendre求积公式是通过选择两个节点和对应的权重来进行定积分的逼近计算。
通常情况下，两点Gauss-Legendre求积公式的节点和权重可以通过一些特定的计算公式来得到，具体如下：1. 节点和权重的获取我们需要根据Gauss-Legendre求积公式的规则来选取节点和权重。
对于两点求积公式来说，节点和权重的获取可以通过以下方式进行：节点的获取：通过解Legendre多项式的根来得到节点的值。
在两点Gauss-Legendre求积公式中，节点的值通常为\(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)和\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)。
权重的获取：通过Legendre多项式的导数来得到权重的值。
在两点Gauss-Legendre求积公式中，权重的值通常为1。
2. 求积公式的应用得到节点和权重之后，就可以利用两点Gauss-Legendre求积公式来进行定积分的逼近计算了。
数值分析学习公式总结
数值分析学习公式总结数值分析是以计算机为工具，对数学问题进行数值计算和近似方法的研究。
在数值分析中，有许多重要的数学公式和算法被广泛应用。
下面是一些数值分析中常用的公式和算法的总结。
1.插值公式：-拉格朗日插值公式：假设有给定的n个点(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)，则对于任意一个x，可以通过拉格朗日插值公式计算出相应的y值。
-牛顿插值公式：利用差商构造的插值公式，对给定n个点进行插值，得到一个多项式函数。
2.数值积分公式：-矩形法：将区间分割成若干小矩形，计算每个矩形的面积然后求和。
-梯形法：将区间分割成若干个梯形，计算每个梯形的面积然后求和。
-辛普森法则：将区间分割成若干个小区间，通过对每个小区间应用辛普森公式计算出近似的定积分值。
3.数值微分公式：-前向差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。
-后向差分公式：类似于前向差分公式，但是利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。
-中心差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点两侧的值之间的差异，通过近似计算导数的值。
4.数值解线性方程组方法：-直接法：高斯消元法，LU分解法等。
-迭代法：雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法等。
5.最小二乘拟合法：-线性最小二乘拟合：通过线性回归的方法，寻找最佳的拟合直线。
-非线性最小二乘拟合：通过非线性回归的方法，寻找最佳的非线性拟合曲线。
6.数值求解常微分方程方法：-欧拉法：将微分方程离散化，通过迭代计算得到近似解。
-改进欧拉法：利用欧拉法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。
- 二阶龙格-库塔法：利用四阶Runge-Kutta法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。
7.插值法的误差估计：-真实误差：插值函数与原函数之间的差异。
-误差界：对于给定的插值公式，通过计算条件和边界限制，得到误差的上限。
8.特殊函数的数值计算：-常用特殊函数的近似计算方法，如阶乘函数，指数函数，对数函数等。
数值求积公式
数值求积公式数值求积公式（Numerical Integration Formula），是数值分析中的重要概念，是指通过数学方法把一个连续函数在一个给定区间内的积分值近似计算出来的方法。
由于很多实际问题中的积分式是难以求解的，在计算机计算中，采取数值求积公式可以减少工作量，提高计算精度。
数值求积公式还有一个别名——数值积分。
相对于解析积分，数值积分的特点是可以对任何函数进行积分。
只要你能够用程序对函数进行求值，就可以计算相应的数值积分。
本文将在介绍数值求积公式的基本概念、计算方法、误差分析等方面进行详细的阐述。
一、基础概念1. 定义数值求积公式就是在求解一个确定积分的同时，用近似值代替积分值。
如果一个函数是在一个已知积分区间内可积的，那么我们就可以用数值积分的方法对该函数进行计算，并得到其数值积分值。
2. 积分区间能够进行数值积分的函数，必须在一个已知的积分区间内是可积的。
所谓积分区间，就是指一个确定的区间，该区间内的函数在数学上是成立的，可以进行积分。
3. 数值积分的目的数值积分的主要目的是求出积分函数在某个区间内的近似值，而这个近似值是通过一系列的数值计算所得的。
虽然这种方法无法完全解决所有的积分问题，但是它能够有效地求解一些特殊积分或者是一些无法用解析方法求解的积分。
4. 数值积分的特点数值积分的计算方法是基于一定的近似方法进行的，所以它其实是属于一种“近似计算”的方式。
和解析积分不同的是，数值积分从本质上来讲并不是“精确的”，因为不管采用何种数值积分方法，都需要一定的近似误差。
另外，数值积分通常需要输入整个积分区间的求积函数，这需要求积函数满足一定的数学条件，例如必须是一个连续函数，而且必须在整个积分区间上是有限的。
二、计算方法数值求积公式的计算方法主要有以下几种。
1. 复合梯形公式所谓复合梯形公式，就是对积分区间进行分割，对每一小段积分采用梯形法则进行微积分近似，然后对所有子积分区间的积分近似值求和。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第4章习题2．请用复合辛普森公式计算下列积分： (1)dx 4102⎰+x x , n=8; (2)dx x ⎰91,n=8; (3) φφπd ⎰-6/02sin 4，n=8. 分析：辛普森（Simpson ）公式是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形，也称为三点公式。
辛普森公式是利用区间二等分的三个点来进行积分插值。
其科特斯系数分别为1/6，4/6，1/6.相应的求积公式可表示为： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=)()2(4)(6b f b a f a f a b s （1），复化的辛普森公式讲区间[a ,b]分为n 等份，在每个子区间[xk,xk+1],上采用辛普森公式（1）,将每个小区间2等份∑⎰∑⎰-=-=++++++===1001)()]1()2/1(4)([6)()(n k b a i n k xk xk f Rn xk f xk f xk f h dx x f dx x f I 记 ∑∑∑-=-=-=++++=++++=101110)]()(2)2/1(4)([6)]1()2/1(4)([6n k n k n k b f xk f xk f a f h xk f xk f xk f h Sn叫做复合的辛普森公式。
Rn （f ）为余项。
解：在MATLAB 中用辛普森求积分的函数paud 求积分，以及在编程用复合辛普森公式求解各题如下：（1） 用求定积分的函数int 求积分的值：在命令窗口中键入如下的命令：sym xint(x./(4+x.^2),0,1)I=vpa(int(x./(4+x.^2),0,1))回车后输出积分结果为：I =0.1115717用变步长辛普森求积分函数paud 求积分在m 文件中编写如下函数：function y=myfun(x)y=x./(4+x.^2);在命令窗口中输入如下指令：S=quad('myfun',0,1)回车后输出积分结果：S= 0.1116编写求复合辛普森公式的m 文件如下：function Simpson1x=0:1/16:1;f= x./(4+x.^2);a=0,b=1;%f(1)=1;h=(b-a)/8;s=f(1)+f(17);for k=1:1:8s=s+4*f(2*k);endfor k=2:1:8s=s+2*f(2*k-1);ends=(h/6)*s运行上述程序：s = 0.1116从上面的结果可以看出，两个结果的误差为0.0000283（2）用求定积分的函数int求积分的值：在命令窗口中键入如下的命令：sym xint(sqrt(x),1,9)I=vpa(int (sqrt(x),1,9))回车后输出积分结果为：I =17.3333用变步长辛普森求积分函数paud求积分在m文件中编写如下函数：function y=myfun1(x)y=sqrt(x);在命令窗口中输入如下指令：S=quad('myfun1',1,9)回车后输出积分结果：S=17.3333编写求复合辛普森公式的m文件如下：function Simpson2x=1:1/2:9;f= sqrt(x);a=1,b=9;%f(1)=1;h=(b-a)/8;s=f(1)+f(17);for k=1:1:8s=s+4*f(2*k);endfor k=2:1:8s=s+2*f(2*k-1);ends=(h/6)*s运行上述程序：s=17.3332（3）用求定积分的函数int求积分的值：在命令窗口中键入如下的命令：sym xint(sqrt(4-sin(x).^2),0,pi/6)I=vpa(int (sqrt(4-sin(x).^2),0,pi/6))回车后输出积分结果为：I =1.03576用变步长辛普森求积分函数paud求积分在m文件中编写如下函数：function y=myfun2(t)y=sqrt(4-sin(t).^2);在命令窗口中输入如下指令：S=quad('myfun2',0,pi/6)回车后输出积分结果：S= 1.0358编写求复合辛普森公式的m文件如下：function Simpson3x=0:pi/96:pi/6;f=sqrt(4-sin(x).^2);a=0,b=pi/6;%f(1)=1;h=(b-a)/8;s=f(1)+f(17);for k=1:1:8s=s+4*f(2*k);endfor k=2:1:8s=s+2*f(2*k-1);ends=(h/6)*s运行上述程序：s= 1.0358 误差为0.00004由上述三个小题可以知道，复合辛普森公式的编程只是积分上下限、被积函数以及等分点数的不同，所以我们可以编一个程序，只是改变上面的三个内容，编一个可以普遍使用的程序。
程序代码如下：function s=Simpson()%辛普生法求积分clear;clc;options={'积分下限a','积分上限b' ,'插入点相关的值M'};topic='seting';lines=1;def={'-5','5','1000'};h=inputdlg(options,topic,lines,def);a=eval(h{1});%积分下限b=eval(h{2});%积分上限M=eval(h{3});%子区间个数的一半 ，这些变量根据具体的积分而设置 %********************************************f='func';%用f 来调用被积函数funch=(b-a)/(2*M);s1=0;s2=0;for k=1:Mx=a+h*(2*k-1);s1=s1+feval(f,x);endfor k=1:(M-1)x=a+h*2*k;s2=s2+feval(f,x);ends=h*(feval(f,a)+feval(f,b)+4*s1+2*s2)/3;%s 是辛普生规则的总计end%定义被积函数funcfunction y=func(x)y=sqrt(x); %不同的积分在程序中只需该这里。
% y=x./(4+x.^2);%y=sqrt(4-sin(t).^2);end运行程序后，会出现一个设置积分上下限，还有等分点的对话框，在相应的位置填上相应的信息即可。
运行结果和上述结果是一样的，因为程序编写方法不同，但完成的任务是一样的。
12. 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆的周长的计算公式是θθπd a c a s ⎰-=2/022s i n )/(14，这里a 是椭圆的半长轴，c 是地球中心与轨道中心的的距离，记h 为近地点距离，H 为远地点距离，R=6371（km ）为地球半径，则a =(2R+H+h)/2,c=(H-h)/2.我国第一课人造地球卫星近地点距离h=439km,远地点距离H=2384km,试求卫星轨道的周长。
分析：本题是求解定积分的问题，可以采用复化的辛普森公式求解。
根据题中的条件可以计算出c,a 的值。
解：用matlab 求解才c,a 如下：a =(2R+H+h)/2 ,c=(H-h)/2. c=972.5, a=7782.5用求定积分的函数int求积分值：在命令窗口中键入如下的命令：sym xint(4*7782.5*sqrt(1-(972.5/7782.5)^2*sin(x).^2),0,pi/2)I=vpa(int (4*7782.5*sqrt(1-(972.5/7782.5)^2*sin(x).^2),0,pi/2))回车后输出积分结果为：I =48707.60111用变步长辛普森求积分函数paud求积分建立M文件：function y=myfun4(x)f=4*7782.5*sqrt(1-(972.5/7782.5)^2*sin(x).^2);在命令窗口中输入：S=quad('myfun4',0,pi/2)然后回车，可以看到周长为：S=4.870743851190015e+004km下面编写M文件用复合的辛普森公式计算周长：function Simpson4e=7782.5 ; %因为下面要用到a，为了避免变量冲突，所以这里将c=972.5; %a改成e了。
x=0:pi/16:pi/2;f=4*e*sqrt(1-(c/e)^2*(sin(x)).^2);a=0,b=pi/2;h=(b-a)/4;s=f(1)+f(9);for k=1:1:4s=s+4*f(2*k);endfor k=2:1:4s=s+2*f(2*k-1);ends=(h/6)*s运行上述程序得出周长为：4.870743851190015e+004km.用梯形求积分函数trapz求积分在命令行输入下列程序：d=pi/16;x=0:d:pi/2;T=d*trapz(4*7782.5*sqrt(1-(972.5/7782.5)^2*sin(x).^2))回车后，可见T= 4.870743851190014e+004km用复化的梯形公式求解该题：Matlab程序如下：function t=tixing()%梯形法求积分clear;clc;options={'积分下限a','积分上限b' ,'插入点相关的值n'};topic='seting';lines=1;def={'0','1','1000'};h=inputdlg(options,topic,lines,def);a=eval(h{1});%积分下限b=eval(h{2});%积分上限n=eval(h{3});%子区间个数%********************************************f='func';%用f来调用被积函数funch=(b-a)/(n);t=0;for k=1:1:n-1x=a+h*(k);t=t + feval(f,x);endformat longt=h*( feval(f,a) +feval(f,b)+2*t)/2;%s是梯形规则的总计end%定义被积函数funcfunction y=func(x)y=4*7782.5*sqrt(1-(972.5/7782.5)^2*sin(x).^2);end运行上面的程序得周长为：4.870743851190014e+004。
由上述计算结果可知编程计算与用积分函数计算的结果是一样的。
与精确值之间的误差也在允许的范围内。
终上所述，卫星轨道的周长约为48707km.。