2.3.1三垂线定理

心；
(4)若点 P 到 ∆ABC 三边距离相等，且 O 在 ∆ABC 的内 部，则点 O 是 ∆ABC 的 心．
几个常见的问题： 几个常见的问题：
已知三棱锥P—ABC，顶点P在底面的射影为 ，顶点 在底面的射影为 在底面的射影为O 已知三棱锥
(1)若 PA ⊥ BC ， PB ⊥ CA ，则点 O 是 ∆ABC 的 心；
(2)若 PA, PB, PC 两两垂直，则点 O 是 ∆ABC 的 心；
(3)若 PA = PB = PC ，则点 O 是 ∆ABC 的
P
A1
D1
C1 B1
C B P
A
A
D
B
C
P
A B C
D O A a三垂线定理：来自三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和 平面内的一条直线， 这个平面的一条斜线的射影垂直 射影垂直， 这个平面的一条斜线的射影垂直，那 斜线垂直。 么它也和这条斜线垂直 么它也和这条斜线垂直。 P
O A a
三垂线逆定理： 三垂线逆定理：
α
A
a
课堂练习： 课堂练习： 1．下列命题正确的序号是 ①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直； ②过空间一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过空间一点有且只有一个平面与已知直线垂直； 2．下列条件中，能使直线 m ⊥ 平面 α 的是（ ） (A) m ⊥ b, m ⊥ c, b ⊥ α , c ⊥ α (C) m ∩ b = A, b ⊥ α (D) m // b, b ⊥ α (B) m ⊥ b, b // α
A′ D′
底面四边形 ABCD 对角 线相互垂直． 线相互垂直．
B′
A
C′
D
B
C
Rt 例 3. 已知 PA ⊥ 平面 ABC， ∆ABC 的斜边为 AB， ， ， AD ⊥ PB 于 D，AE ⊥ PC 于 E ， 求证： （1） 求证： ）BC ⊥ 平面 PAC （ （2）PB ⊥ 平面 AED ）
3、已知 Rt∆ABC 所在平面外一点 P ，满 足 PA = PB = PC ， D 是斜边中点 ⑴求证： PD ⊥ 面 ABC ； ⑵若直角边 BA = BC ， P 求证： BD ⊥ 面 PAC ．
B
C
A
D
例 3、已知 PA ⊥ 平面 ABC，Rt ∆ABC 的 斜边为 AB， 、 ， ， AD ⊥ PB 于 D，AE ⊥ PC 于 E ， 求证： ） （ 求证： 1）BC ⊥ 平面 PAC （ 2）PB ⊥ 平面 AED ）
在平面内的一条直线，如果它和 平面内的一条直线， 这个平面的一条斜线垂直 斜线垂直， 这个平面的一条斜线垂直，那么它也 和这条斜线在平面内的射影垂直 射影垂直。 和这条斜线在平面内的射影垂直。
P
P
O
A a B P
A1
A C
D1
D
C1 B1
C B
A
A
D
B
C
如图， 如图，直四棱柱 A′B′C ′D′ − ABCD （侧棱与底面垂直 的棱柱成为直棱柱）中，底面四边形 ABCD 满足什么 的棱柱成为直棱柱） 条件时， 条件时，A′C ⊥ B′D′ ？
第二课时
复习： 复习： 1、直线与平面垂直的概念： 直线与平面垂直的概念： 性质： 性质：a ⊥ α , b ⊂ α ⇒ a ⊥ b 2、直线与平面垂直的判定定理： 直线与平面垂直的判定定理：
l ⊥a l ⊥b a ⊂α ⇒l ⊥α b ⊂α a ∩b = A
l
b
(1) BC ⊥ PC 定理 (2) PB ⊥ DE 逆定理
例4、如图，三棱锥P—ABC，顶点P在底 、如图， 的垂心， 面的射影O是底面三角形ABC的垂心， P 求证： 求证：PA ⊥ BC
A
C O B
思考： 思考：若 PA ⊥ BC , PC ⊥ AB
射影O是否是三角形的垂心？ 射影 是否是三角形的垂心？ 是否是三角形的垂心 此时PB、AC 什么关系? 此时 、 什么关系? 试问：此时四面体的顶点A在对面三角形的射影又如何 在对面三角形的射影又如何？ 试问：此时四面体的顶点 在对面三角形的射影又如何？