高中数学必修五北师大版 2.1一元二次不等式的解法 作业(含答案)1
北师大版数学高二 必修5一元二次不等式 第1课时 一元二次不等式的解法
【成才之路】2016年春高中数学 第3章 不等式 2 一元二次不等式第1课时 一元二次不等式的解法同步练习 北师大版必修5一、选择题1．不等式(x ＋3)(1－x )≤0的解集为( ) A ．{x |x ≥3或x ≤－1} B ．{x |－1≤x ≤3} C ．{x |－3≤x ≤1} D ．{x |x ≤－3或x ≥1}[答案] D[解析] (x ＋3)(1－x )≤0⇔(x ＋3)(x －1)≥0⇔x ≤－3或x ≥1，∴选D. 2．不等式12x ≥4x 2＋9的解集为( ) A ．∅ B ．R C ．{x |x ＝32}D ．{x |x ≠32}[答案] C[解析] 原不等式化为4x 2－12x ＋9≤0， 即(2x －3)2≤0，∴原不等式的解集为{x |x ＝32}．3．不等式x 2－3x ＋2<0的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1,2) [答案] D[解析] 原不等式化为(x －1)(x －2)<0， 解得1<x <2.因此不等式解集为(1,2)．4．集合M ＝{x |x 2－3x －4≥0}，N ＝{x |1<x <5}，则集合(∁R M )∩N ＝( ) A ．(1,4) B ．(1,4] C ．(－1,5] D ．[－1,5][答案] A[解析] 由x 2－3x －4≥0得(x ＋1)(x －4)≥0， ∴x ≥4或x ≤－1， ∴M ＝{x |x ≥4或x ≤－1}，∴∁R M ＝{x |－1<x <4}，而N ＝{x |1<x <5}， ∴(∁R M )∩N ＝{x |1<x <4}．5．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．14D ．－14[答案] D[解析] 由题意知，－12，13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，由韦达定理⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13＝2a 解得a ＝－12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－14.6．若0<t <1，则不等式(x －t )(x －1t)<0的解集为( )A ．{x |1t<x <t }B ．{x |x >1t或x <t }C ．{x |x <1t或x >t }D ．{x |t <x <1t}[答案] D[解析] ∵0<t <1，∴1t >1，∵(x －t )(x －1t )<0，∴t <x <1t，故选D.二、填空题7．若集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}．且A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |3<x ≤4}．则a ＝________，b ＝________.[答案] －3，－4[解析] A ＝{x |x >3或x <－1}， ∵A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |3<x ≤4}，∴B ＝{x |－1≤x ≤4}，∴－1,4是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根． ∴a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4.8．若不等式－4<2x －3<4与不等式x 2＋px ＋q <0的解集相同，则p q＝________. [答案]127[解析] 由－4<2x －3<4，得－12<x <72.由题意，得72－12＝－p ，(－12)×72＝q ，∴p q ＝127. 三、解答题9．解下列关于x 的不等式： (1)(5－x )(x ＋1)≥0； (2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－12x 2＋3x －5>0；(4)－2x 2＋3x －2<0.[解析] (1)原不等式化为(x －5)(x ＋1)≤0， ∴－1≤x ≤5.∴故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}． (2)原不等式化为4x 2－18x ＋814≤0， 即(2x －92)2≤0，∴x ＝94.故所求不等式的解集为{x |x ＝94}．(3)原不等式化为x 2－6x ＋10<0， 即(x －3)2＋1<0，显然不等式无解． 故所求不等式的解集为∅. (4)原不等式化为2x 2－3x ＋2>0， 即2(x －34)2＋78>0.∴x ∈R .故所求不等式的解集为R .10．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，求不等式bx 2＋2ax －c －3b <0的解集．[解析] ∵ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}， ∴a <0且－3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＋4＝－b a－3×4＝ca，解得⎩⎪⎨⎪⎧b＝－ac＝－12a.∴不等式bx2＋2ax－c－3b<0可化为－ax2＋2ax＋15a<0，即x2－2x－15<0，∴－3<x<5，∴所求不等式的解集为{x|－3<x<5}.一、选择题1．下列四个不等式：①－x2＋x＋1≥0；②x2－25x＋5>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.其中解集为R的是( )A．①B．②C．③D．④[答案] C[解析]①④显然不可能．②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R.③中Δ＝62－4×10<0.故选C.2．函数y＝log12x2－1的定义域是( ) A．[－2，－1)∪(1，2]B．[－2，－1)∪(1，2)C．[－2，－1)∪(1,2]D．(－2，－1)∪(1,2)[答案] A[解析]∵log12(x2－1)≥0，∴0＜x2－1≤1，∴1＜x2≤2，∴1＜x ≤2或－2≤x ＜－1.3．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥92}B ．{x |－1≤x ≤92}C ．{x |x ≤－92或x ≥1}D ．{x |－92≤x ≤1}[答案] D[解析] 因为不等式(x ＋5)(3－2x )≥6可化为2x 2＋7x －9≤0，分解因式，得(2x ＋9)(x －1)≤0，解得－92≤x ≤1，所以不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是{x |－92≤x ≤1}．故选D.4．x ＝2是方程x 2＋kx ＋2＝0的一根，则不等式x 2＋kx ＋2<0的解集为( ) A ．{x |x ≠2} B ．{x |1<x <2} C ．{x |x <1或x >2} D ．∅[答案] B[解析] 方程x 2＋kx ＋2＝0的一根为x ＝2，则由根与系数关系知另一根为1，所以x 2＋kx ＋2<0的解集为{x |1<x <2}． 二、填空题5．不等式 ax 2＋bx ＋3>0的解集为{x |x >3或x <1}，则a －b 等于________． [答案] 5[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b a＝43a ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－4.∴a －b ＝5.6．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x)>0的解集为________．[答案] {x |x <－lg2}[解析] 由条件知f (x )>0的解集为{x |－1<x <12}，又已知f (10x)>0，∴－1<10x <12，∴x <－lg2.三、解答题7．解关于x 的不等式4≤x 2－3x －6≤2x ＋8. [解析] 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －6≥4x 2－3x －6≤2x ＋8，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －10≥0x 2－5x －14≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5或x ≤－2－2≤x ≤7，解得5≤x ≤7或x ＝－2.∴原不等式的解集为{x |5≤x ≤7或x ＝－2}． 8．解关于x 的不等式：56x 2－ax －a 2>0. [解析] 56x 2－ax －a 2＞0可化为 (7x －a )(8x ＋a )＞0， ①当a ＞0时，－a 8＜a7，∴x ＞a 7或x ＜－a8；②当a ＜0时，－a 8＞a7，∴x ＞－a 8或x ＜a7；③当a ＝0时，x ≠0.综上所述，当a >0时，原不等式的解集为{x |x >a 7或x <－a8}，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}， 当a <0时，原不等式的解集为{x |x >－a 8或x <a7}．。
2020-2021学年北师大版高中数学必修五《一元二次不等式的解法》课时作业及解析
（新课标）最新北师大版高中数学必修五课时作业18 一元二次不等式的解法时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．已知集合A ＝{x|x 2－x －2<0}，B ＝{x|－1<x<1}，则( ) A ．ABB ．BAC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅【答案】 B【解析】 由题意可得，A ＝{x|－1<x<2}， 而B ＝{x|－1<x<1}，故BA.2．不等式(x ＋3)(1－x)≤0的解集为( ) A ．{x|x ≥3或x ≤－1} B ．{x|－1≤x ≤3} C ．{x|－3≤x ≤1} D ．{x|x ≤－3或x ≥1}【答案】 D【解析】 (x ＋3)(1－x)≤0⇔(x ＋3)(x －1)≥0⇔x ≤－3或x ≥1，故选D.3．不等式12x ≥4x 2＋9的解集为( ) A ．∅ B ．R C ．{x|x ＝32}D ．{x|x ≠32}【答案】 C【解析】 原不等式化为4x 2－12x ＋9≤0，即(2x －3)2≤0，故原不等式的解集为{x|x ＝32}．4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．14D ．－14【答案】 D【解析】 由题意知，－12，13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，故⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12×13＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，因此a ＋b ＝－14.5．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1， x<0，x －1， x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f(x ＋1)≤1的解集是( )A ．{x|－1≤x ≤2－1}B ．{x|x ≤1}C ．{x|x ≤2－1}D ．{x|－2－1≤x ≤2－1} 【答案】 C【解析】 x ＝1时，1＋2f(2)＝3≤1矛盾，故排除B ，x ＝－3时，－3＋(－2)f(－2)＝－3＋(－2)×3＝－9≤1，故排除A 、D ，故选C.6．已知集合A ＝{x|－x 2＋3x ＋10≥0}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∩B ≠∅，则m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，4B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，12∪(4，＋∞)C ．[2,4]D ．(2,4) 【答案】 C【解析】 本题考查一元二次不等式的解法和集合的有关运算．解集合A 中的不等式可得－2≤x ≤5，结合数轴，要使A ∩B ≠∅，应满足⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≤5，2m －1≥－2，解得2≤m ≤4.7．若a<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解是( ) A ．x>5a 或x<－a B ．x>－a 或x<5a C ．5a<x<－a D ．－a<x<5a【答案】 B【解析】 不等式化为：(x ＋a)(x －5a)>0，相应方程两根x 1＝－a ，x 2＝5a.∵a<0，∴x 1>x 2，∴不等式解为x<5a 或x>－a. 二、填空题(每小题5分，共20分)8．已知集合A ＝{x ∈R|3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R|(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝________.【答案】 (3，＋∞)【解析】 由题意知A ＝{x|x>－23}，B ＝{x|x<－1或x>3}，所以A∩B ＝(3，＋∞)．9．不等式2－xx ＋4>0的解集是________．【答案】 {x|－4<x<2}【解析】 本题考查了分式不等式的解法及不等式解集的表示方法．原不等式⇔x －2x ＋4<0⇔(x －2)(x ＋4)<0⇒{x|－4<x<2}．10．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(x ∈R)的部分对应值如下表：则不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集是________． 【答案】 {x|x<－2或x>3}【解析】 由表知x ＝－2时y ＝0，x ＝3时y ＝0 ∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 可化为y ＝a(x ＋2)(x －3)，又当x＝1时，y＝－6，∴a＝1.∴不等式ax2＋bx＋c>0的解为x<－2或x>3.11．若不等式x2－2mx＋(m2－m)>0的解集为R，则m的取值范围是________．【答案】m<0【解析】∵Δ＝(－2m)2－4(m2－m)＝4m<0，∴m<0.三、解答题(共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(14分)求下列一元二次不等式的解集：(1)x2－5x>14；(2)－x2＋7x>6.【解析】(1)先将14移到左边，把不等式化为x2－5x－14>0.因为方程x2－5x－14＝0的两解为－2,7.结合对应二次函数图像易得原不等式解集为{x|x<－2或x>7}．(2)先将不等式化为x2－7x＋6<0，因为方程x2－7x＋6＝0的两解为1,6.所以利用对应二次函数图像可得原不等式解集为{x|1<x<6}．【点评】把不等式先等价变形为标准形式再求解．13．(15分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|12x2－31x＋20>0}，求A∩B，(∁R A)∪B.【解析】由x2－2x－3≤0得(x－3)(x＋1)≤0.即－1≤x≤3，故A＝{x|－1≤x≤3}，于是∁R A＝{x|x<－1或x>3}．由12x 2－31x ＋20>0得(3x －4)(4x －5)>0，即⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －43⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －54>0.故x<54或x>43.因此B ＝{x|x<54或x>43}．故A ∩B ＝{x|－1≤x<54或43<x ≤3}；(∁R A)∪B ＝{x|x<54或x>43}．14．(16分)已知a ∈R ，解关于x 的不等式x －1x ≥a(x －1)．【解析】 当a ≠1时，原式可化为1－a·x －1x －1a －1x≥0.①若a<1，则a －1<0，1a －1<1.解得1a －1≤x<0，或x ≥1；②若1<a ≤2，则1a －1≥1,1－a<0，解得x<0或1≤x ≤1a －1；③若a>2，则a －1>1，1a －1<1,1－a<0.解得x<0或1a－1≤x≤1.故，当a＝1时，不等式的解集为{x|x<0或x≥1}，当a≠1时，若a<1，原不等式解集为{x|1a－1≤x<0或x≥1}；若1<a≤2，原不等式解集为{x|x<0或1≤x≤1a－1}；若a>2，原不等式的解集为{x|x<0或1a－1≤x≤1}．。
北师大数学必修五课时分层作业 一元二次不等式的解法 含解析
课时分层作业(十六)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．(x －2)(3x ＋5)<0的解集为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，2D [由(x －2)(3x ＋5)<0，得－53＜x ＜2，故选D.] 2．若不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12，则a ，c 的值为( )A ．a ＝6，c ＝1B ．a ＝－6，c ＝－1C ．a ＝1，c ＝6D ．a ＝－1，c ＝－6B[易知a ＜0，且⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＝12＋13，c a ＝13×12，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，c ＝－1.] 3．若不等式a 2x －2a －3＜0的解集是M ，且1∈M ，则a 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B [由题意得a 2－2a －3＜0，即(a －3)(a ＋1)＜0，解得－1＜a ＜3，故选B .] 4．若0＜t ＜1，则不等式(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t ＜0的解集为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t ＜x ＜1B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1t 或x ＜1C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1t 或x ＞1D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜1tD [因为0＜t ＜1，所以1t ＞1，故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1t .]5．已知2a ＋1<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是( ) A ．{x |x >5a 或x <－a } B ．{x |x <5a 或x >－a } C ．{x |－a <x <5a } D ．{x |5a <x <－a }B [因为x 2－4ax －5a 2>0，所以(x －5a )(x ＋a )>0.因为a <－12，所以5a <－a ．所以不等式的解为x >－a 或x <5a ．故选B.]二、填空题6．不等式2x 2＜2－3x －2的解集是________．(－2，－1) [原不等式可化为x 2＜－3x －2，即x 2＋3x ＋2＜0，故(x ＋1)(x ＋2)＜0，故解集为(－2，－1)．]7．若不等式4x 2＋9x ＋2<0的解集与不等式ax 2＋bx －2>0的解集相同，则a －b ＝________.5 [由4x 2＋9x ＋2<0，得－2＜x ＜－14，由题意得方程ax 2＋bx －2＝0有两根－2，－14，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2－14＝－ba ，－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－2a ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－9，∴a －b ＝5.] 8．已知关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是________．(－1,3) [由不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)，可知a <0，且a ＝b ，则不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集等价于不等式(x ＋1)(x －3)<0的解集，即不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集为(－1,3)．]三、解答题 9．解下列不等式： (1)2＋3x －2x 2>0； (2)x 2－2x ＋3>0.[解] (1)原不等式可化为2x 2－3x －2<0， 所以(2x ＋1)(x －2)<0.故原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <2. (2)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0， 故原不等式的解集是R .10．设ƒ(x )＝(m ＋1)x 2－mx ＋m －1. (1)当m ＝1时，求不等式ƒ(x )>0的解集；(2)若不等式ƒ(x )＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，求m 的值．[解] (1)当m ＝1时，不等式ƒ(x )>0为2x 2－x >0， 因此所求解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)不等式ƒ(x )＋1>0，即(m ＋1)x 2－mx ＋m >0， 由题意知32，3是方程(m ＋1)x 2－mx ＋m ＝0的两根，因此⎩⎨⎧32＋3＝m m ＋132×3＝mm ＋1⇒m ＝－97.[能力提升练]1．设A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b 等于( )A ．7B ．－1C ．1D ．－7D [A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， ∵A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，∴B ＝[－1,4]，∴a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4，∴a ＋b ＝－7.] 2．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)B [由题意知x ⊙(x －2)＝x 2＋x －2， ∴x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.]3．若不等式x 2＋ax ＋b >0的解集为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则不等式bx 2＋ax ＋1<0的解集为_____________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12 [由题意得x 2＋ax ＋b ＝0有两根－2，－12，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －2－12＝－a ，－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝b ，得⎩⎨⎧a ＝52，b ＝1.∴bx 2＋ax ＋1<0可化为x 2＋52x ＋1<0. 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x ＋2)<0.得－2<x <－12.] 4．不等式x 2－3|x |＋2≤0的解集是________．[－2，－1]∪[1,2] [原不等式可化为|x |2－3|x |＋2＝(|x |－1)(|x |－2)≤0， 故1≤|x |≤2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2x ≥1或x ≤－1，则－2≤x ≤－1或1≤x ≤2.]5．关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0的解集中的整数恰有3个，求a 的取值范围．[解] 原不等式等价于(ax －1)(x －1)＜0，分类讨论： (1)当a ＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)，整数不止3个； (2)当a ≠0时，方程(ax －1)(x －1)＝0的两根为1a 和1.①当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ，当4＜1a ≤5时满足条件，得15≤a＜14；②当a ＝1时，不等式的解集为∅；③当a ＞1时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1，显然不满足题意；④当a ＜0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(1，＋∞)整数不止3个．综上所述，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，14.。
高中数学必修五北师大版 一元二次不等式的应用 作业(含答案)
第3章 2.2(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是( ) A.⎣⎡⎦⎤－3，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，3 C.⎣⎡⎭⎫12，1∪(1,3) D.⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1,3] 解析： 易知x ≠1排除B ；由x ＝0符合可排除C ；由x ＝3排除A ，故选D. 答案： D2．不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13＜x ＜12，则a ，c 的值为( ) A ．a ＝6，c ＝1B ．a ＝－6，c ＝－1C ．a ＝1，c ＝1D ．a ＝－1，c ＝－6解析： 方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根为13和12， 且a ＜0，∴⎩⎨⎧ 13＋12＝－5a 13×12＝c a，解得a ＝－6，c ＝－1.答案： B 3．关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的一个根比1大，另一根比1小，则有( )A ．－2<a <1B ．a <－2或a >1C ．－1<a <1D ．a <－1或a >2解析： 设f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)．则f (1)<0⇔a 2＋a －2<0，∴－2<a <1，故选A.答案： A4．关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞C ．(－∞，0]D ．(－∞，0]∪⎝⎛⎭⎫－43，＋∞ 解析： 原不等式等价于mx 2＋mx ＋m －1＜0对x ∈R 恒成立，当m ＝0时，0·x 2＋0·x －1＜0对x ∈R 恒成立．当m ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0Δ＝m 2－4m (m －1)＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＜03m 2－4m ＞0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0m ＜0或m ＞43⇔m ＜0. 综上，m 的取值范围为(－∞，0]．答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析： 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝(－a )2－4a ＜0，∴0＜a ＜4. 当a ＝0时，A ＝{x |1＜0}＝∅，符合题意．答案： [0,4)6．若关于x 的不等式x －a x ＋1＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________. 解析： 注意到x －a x ＋1＞0等价于(x －a )(x ＋1)＞0， 而解为x ＜－1或x ＞4，从而a ＝4.答案： 4三、解答题(每小题10分，共20分)7．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围． 解析： (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)万元．依题意：y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝150a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)．依题意得：150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%， 化简得，x 2＋40x －84≤0，∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2.∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．8．解关于x 的不等式mx 2mx －1－x ＞0. 解析： 原不等式可化为x mx －1＞0， 即x (mx －1)＞0.当m ＞0时，解得x ＜0或x ＞1m； 当m ＜0时，解得1m＜x ＜0； 当m ＝0时，解得x ＜0.综上，当m ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜0或x ＞1m ； 当m ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m ＜x ＜0； 当m ＝0时，不等式的解集为{}x |x ＜0.尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)设0＜b ＜1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2＞(ax )2的解集中的整数恰有3个，求a 的取值范围．解析： 由(x －b )2＞(ax )2，得(x －b )2－(ax )2＞0，即[(1＋a )x －b ][(1－a )x －b ]＞0.若－1＜a ＜0，则x ＞b 1＋a 或x ＜b 1－a ，可知不止3个整数解；若0＜a ＜1，则x ＞b 1－a或x ＜b 1＋a，可知不止3个整数解； 若a ＞1，则(x －b )2＞(ax )2，即[(1＋a )x －b ][(a －1)x ＋b ]＜0，则－b a －1＜x ＜b 1＋a. 又0＜b ＜1＋a ，所以不等式的解集中的整数为－2，－1,0，故－3≤－b a －1＜－2，则2a －2＜b ≤3a －3， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2＜b ＜a ＋13a －3≥b ＞0，解得1＜a ＜3.。
高中数学北师大版高二必修5_第三章2.1_一元二次不等式的解法_作业2_word版含解析
,[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．不等式－x 2－x ＋2≥0的解集是( )A ．{x |x ≤－2或x ≥1}B ．{x |－2＜x ＜1}C ．{x |－2≤x ≤1}D ．∅解析：选C.－x 2－x ＋2≥0⇔x 2＋x －2≤0⇔(x ＋2)(x －1)≤0⇔－2≤x ≤1.2．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－13B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤13 C ．∅ D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－13 解析：选D.不等式可化为(3x ＋1)2≤0，因此只有x ＝－13，即解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－13，故选D. 3．设集合S ＝{x ||x |＜5}，T ＝{x |x 2＋4x －21＜0}，则S ∩T ＝( )A ．{x |－7＜x ＜－5}B ．{x |3＜x ＜5}C ．{x |－5＜x ＜3}D ．{x |－7＜x ＜5}解析：选C.因为S ＝{x |－5＜x ＜5}，T ＝{x |－7＜x ＜3}，所以S ∩T ＝{x |－5＜x ＜3}．4．关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＞0B.⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＜0 C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＞0 D.⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＜0 解析：选D.由于不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为全体实数，所以，与之相对应的二次函数y ＝ax 2＋bx＋c 的图像恒在x 轴下方，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.5．已知0＜a ＜1，关于x 的不等式(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 或x ＞1a B ．{x |x ＞a } C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1a 或x ＞a D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1a 解析：选A.因为0＜a ＜1，所以1a ＞1，即a ＜1a， 所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1a 或x ＜a . 6．不等式x (3－x )≥x (x ＋2)＋1的解集是________．解析：原不等式即为3x －x 2≥x 2＋2x ＋1，可化为2x 2－x ＋1≤0，由于判别式Δ＝－7＜0，所以方程2x 2－x ＋1＝0无实数根，因此原不等式的解集是∅.答案：∅7．若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x ＜－2或x ＞4}，对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则比较f (－1)，f (2)，f (5)的大小为________．解析：因为ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x ＜－2或x ＞4}，所以a ＞0，且对应方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1＝－2，x 2＝4.所以x 1＋x 2＝－b a ＝2，所以对称轴方程x ＝－b 2a＝1，所以f (－1)＝f (3)且f (2)＜f (3)＜f (5)，所以f (2)＜f (－1)＜f (5)．答案：f (2)＜f (－1)＜f (5)8．下列不等式中：①4x 2＋4x ＋1≥0；②x 2－5x ＋6＞0；③(a 2＋1)x 2＋ax －1＞0.其中解集是R 的是________(把正确的序号全填上)．解析：①⇔(2x ＋1)2≥0⇔x ∈R ；②Δ＝25－4×6＝1＞0.所以②的解集不是R .③Δ＝a 2－4(a 2＋1)×(－1)＝5a 2＋4＞0，所以③的解集不是R ，故填①.答案：①9．解下列不等式：(1)2＋3x －2x 2＞0；(2)x 2－2x ＋3＞0.解：(1)原不等式可化为2x 2－3x －2＜0，所以(2x ＋1)(x －2)＜0.故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜2. (2)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，故原不等式的解集是R .10．已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x ＞b }．(1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x ＞b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，b ＞1且a ＞0.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (2)由(1)知不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0可化为x 2－(2＋c )x ＋2c ＜0，即(x －2)(x －c )＜0.当c ＞2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为{x |2＜x ＜c }；当c ＜2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}；当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )＜0的解集为∅.[B.能力提升]1．不等式x 2－|x |－2＜0的解集是( )A ．{x |－2＜x ＜2}B ．{x |x ＜－2或x ＞2}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x ＜－1或x ＞1}解析：选A.令t ＝|x |，则原不等式可化为t 2－t －2＜0，即(t －2)(t ＋1)＜0.因为t ＝|x |≥0，所以t －2＜0，所以t ＜2.所以|x |＜2，得－2＜x ＜2.2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a ＜0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1＜x ＜2}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选D.由题意知，－b a ＝1，c a＝－2， 所以b ＝－a ，c ＝－2a ，又因为a ＜0，所以x 2－x －2≤0，所以－1≤x ≤2.3．已知2a ＋1＜0，关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＜0的解集是________．解析：因为方程x 2－4ax －5a 2＝0的两个根为x 1＝－a ，x 2＝5a ，又因为2a ＋1＜0，即a ＜－12， 所以x 1＞x 2.故原不等式的解集为{x |5a ＜x ＜－a }．答案：{x |5a ＜x ＜－a }4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________． 解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，2x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞2x ，2x ≥0， 解得－1＜x ＜0或0≤x ＜2－1，所以所求x 的取值范围为(－1，2－1)．答案：(－1，2－1)5．解关于x 的不等式：x 2－2ax ＋2≤0.解：因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ＜0，即－2＜a ＜2时，原不等式对应的方程无实根，原不等式的解集为∅；当Δ＝0，即a ＝±2时，原不等式对应的方程有两个相等实根．当a ＝2时，原不等式的解集为{x |x ＝2}，当a ＝－2时，原不等式的解集为{x |x ＝－2}；当Δ＞0，即a ＞2或a ＜－2时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x 1＝a －a 2－2，x 2＝a ＋a 2－2，且x 1＜x 2，所以原不等式的解集为{x |a －a 2－2≤x ≤a ＋a 2－2}．6．已知不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m }．(1)求t ，m 的值；(2)若函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4在区间(－∞，1]上是增加的，求关于x 的不等式log a (－mx 2＋3x ＋2－t )＜0的解集．解：(1)因为不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m }，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝3，m ＝t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，t ＝2. (2)因为f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋4＋a 24在(－∞，1]上是增加的， 所以a 2≥1，即a ≥2. 又log a (－mx 2＋3x ＋2－t )＝log a (－2x 2＋3x )＜0.由a ≥2，可知0＜－2x 2＋3x ＜1.由2x 2－3x ＜0，得0＜x ＜32， 由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＜12或x ＞1. 所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12或1＜x ＜32.。
北师大版高中数学必修5第三章《不等式》一元二次不等式的解法(一)
3或 x 2
时，原函数的值是正数。 3
3）函数值是负数，即x2-4x+1<0，解得： ，即，当 {x | 2 3 x 2 3}
2 3 x 2 3 时，原函数的值是负数。
13
课堂练习3. 是什么实数时,
x x 12
2
有意义?
2 解：要想原式有意义，即要使 x x 12 0 ， 解这个不等式得：{x|x<-4或x>3} 所以，原式当x<-4或x>3时有意义。
2
准备知识
1、一元一次函数y=ax+b(a≠0） 函数图像是一条直线 2、一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 当a>0时图象开口 向上 ； 当a<0时图象开口 向下 ； b 4ac b ( 其顶点坐标为 2a , 4a ) ； 对称轴为直线 x= -b/2a 。 2.不等式|x|<a的解集是 {x|-a<x<a} ； |x|>a的解集是 {x|x<-a或x>a}。
2
3
探析新课
一、一元一次方程、一元一次不等式与一次函数 的关系
x y 2 -3 2.5 -2 3 -1 3.5 0 4 1 4.5 2 5 3 y y=2x-7
1、作一元一次函数y=2x-7的图象。它的对应值表 与图 像如下：
由对应值表与图像可以知道：
当x=3.5时，y__0， = 即2x-7__0； = > 即2x-7__0； > 当x<3.5时，y__0， < 即2x-7__0； < 当x>3.5时，y__0， 不等式2x-7>0的解即为 ﹛x|x>3.5﹜ 不等式2x-7<0的解即为 ﹛x|x<3.5﹜
高中数学必修五北师大版 2.2一元二次不等式的应用 作业(含答案)2
答案：(－∞，－1)
9．关于x的不等式ax＋b＞0的解集为{x|x＞1}，则关于x的不等式＞0的解集为__________．
解析：ax＋b＞0的解集为x＞1，可知a＞0，且x＝1是方程ax＋b＝0的根，即a＋b＝0，∴b＝－a，则＞0，
∴＞0.当x＞1时，(x＋1)(x－6)＞0，x＜－1或x＞6，取x＞6；当x＜1时，(x＋1)(x－6)＜0，－1＜x＜6，取－1＜x＜1.综上，解集为{x|x＞6或－1＜x＜1}．
答案：{x|x＞6或－1＜x＜1}
10．若关于x的不等式＜2对任意的x恒成立，求实数m的取值范围．
解析：方法一：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
C．(1,2)
D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析：由ax－b＞0的解集为(1，＋∞)，得
＞0⇔＞0⇔x＜－1或x＞2.
答案：A
5．不等式＜0的解集为()
A．{x|x＜－2或0＜x＜3}
B．{x|x＜－2或x＞0}
C．{x|－2＜x＜0}
D．{x|x＜0或x＞3
解析：不等式＜0⇔x(x＋2)(x－3)＜0，由“穿针引线法”得解集为{x|x＜－2或0＜x＜3}．
答案：A
6．不等式(x2－4)(x－6)2≤0的解集为()
A．{x|－2≤x≤2}
B．{x|x≥2或x≤－2}
C．{x|－2≤x≤2或x＝6}
D．{x|x≥2}
解析：(x2－4)(x－6)2≤0⇒(x－2)(x＋2)(x－6)2≤0.
课时作业(十八)一元二次不等式的应用
2022-2021学年高二数学北师大版必修5学案：3.2.1 一元二次不等式的解法
2．1一元二次不等式的解法明目标、知重点 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.把握图像法解一元二次不等式的方法.3.培育应用数形结合、分类争辩思想方法的力气．1．一元二次不等式的有关概念(1)一元二次不等式：形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．(2)一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不等式的解．(3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的全部解组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式的解集设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根x1、x2，且x1<x2，则ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|x<x1或x>x2}；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}．3．不等式的恒成立问题(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是a>0且Δ<0；(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R的等价条件是a<0且Δ<0.(3)分别参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立k≤f(x)min.[情境导学]对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若令y＝0，就得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若令y>0或y<0，就得到不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0.如何解不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0？这就是本节所要学习的主要内容．探究点一一元二次不等式的概念问题1甲、乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇，弯道限制车速在40 km/h以内，由于突发状况，两车相撞了，交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12 m，乙车的刹车距离刚刚超过10 m，又知这两辆汽车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有以下函数关系：s甲＝0.01x2＋0.1x；s乙＝0.005x2＋0.05x，谁的车速超过了40 km/h，谁就违章了．试问：哪一辆车违章行驶了？思考1你能想出一种方法找出哪一辆车违章行驶吗？答只需分别解出不等式0.01x2＋0.1x≤12和不等式0.005x2＋0.05x>10，确认甲、乙两车的行驶速度，就可以推断哪一辆车违章超速行驶．思考2在思考1中得到的不等式有什么特点？答(1)含有一个未知数x；(2)未知数的最高次数为2.小结形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．探究点二一元二次不等式的解法问题2如何解一元二次不等式x2－2x－3<0?思考1一元二次方程x2－2x－3＝0的根与一元二次函数y＝x2－2x－3的零点有怎样的关系？答二次方程有两个实数根x1＝－1，x2＝3，二次函数有两个零点：x1＝－1，x2＝3.于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点．思考2画出二次函数y＝x2－2x－3的图像，你能通过观看图像，确定满足不等式x2－2x－3<0的x的取值范围吗？答画出二次函数y＝x2－2x－3的图像，如图，观看函数图像可知：当－1<x<3时，函数图像位于x轴下方，此时，y<0，即x2－2x－3<0，所以满足不等式x2－2x－3<0的x的取值范围是－1<x<3.思考3依据思考2确定满足不等式x2－2x－3<0的x的取值范围的思路，怎样确定满足一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0(a>0)的x的取值范围？答先求出一元二次方程的根，再依据函数图像与x轴的相关位置，确定满足一元二次不等式的x的取值范围．小结(1)一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解．(2)一元二次不等式的全部解组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．思考4设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，依据以上争辩，请将下表填充完整.Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或 x >x 2} ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅∅小结 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集的记忆口诀：大于取两边，小于取中间． (2)当一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0的二次项系数a <0时，可以转化为a >0. 思考5 一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间存在怎样的联系？答 二次函数的图像与x 轴交点的横坐标为相应一元二次方程的根，也就是一元二次方程的根为相应二次函数的零点；二次函数的图像在x 轴上方或下方的部分所对应x 的范围是不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集． 例1解不等式：3x 2＋5x －2>0.解 方程3x 2＋5x －2＝0的两解是x 1＝－2，x 2＝13.函数y ＝3x 2＋5x －2的图像是开口向上的抛物线，与x 轴有两个交点(－2,0)和⎝⎛⎭⎫13，0(如图所示)．观看图像可得，不等式的解集为{x |x <－2或x >13}．思考6 依据不等式3x 2＋5x －2>0的解集，你能得出不等式3x 2＋5x －2≤0的解集吗？答 集合{x |x <－2或x >13}在实数集中的补集{x |－2≤x ≤13}，即为不等式3x 2＋5x －2≤0的解集．反思与感悟 在具体求解一元二次不等式的过程中，要亲热结合一元二次方程的根的状况以及二次函数的图像来确定不等式的解集．跟踪训练1 解不等式9x 2－6x ＋1>0.解 方程9x 2－6x ＋1＝0有两个相同实数解：x 1＝x 2＝13.函数y ＝9x 2－6x ＋1的图像是开囗向上的抛物线，与x轴仅有一个交点(13，0)．所以不等式的解集是{x |x ≠13}．例2 解不等式：－2x 2＋x ＋1<0.解 方法一 方程－2x 2＋x ＋1＝0的解为x 1＝－12，x 2＝1.函数y ＝－2x 2＋x ＋1的图像是开口向下的抛物线，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－12，0和(1,0)，如图所示．观看图像可得，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－12或x >1.方法二 在不等式两边同乘－1，可得2x 2－x －1>0. 方程2x 2－x －1＝0的解为x 1＝－12，x 2＝1.画出函数y ＝2x 2－x －1的图像简图(如图所示)．观看图像，可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－12或x >1.反思与感悟 当所给一元二次不等式为非一般形式时，应先化为一般形式，对于二次项系数a <0的一元二次不等式，一般有两种解法，通常接受方法二，即通过对不等式两边同乘－1将二次项系数变为正数再解． 跟踪训练2 解不等式－x 2＋4x －4>0.解 不等式可化为x 2－4x ＋4<0. 方程x 2－4x ＋4＝0的解为x 1＝x 2＝2.而y ＝x 2－4x ＋4的图像开口向上，函数的值域为y ≥0，所以原不等式的解集是∅. 探究点三 含参数的一元二次不等式的解法 例3 解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a <0.解 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a . 函数y ＝x 2＋(1＋a )x －a 的图像开口向上，所以 (1)当a <－1时，原不等式的解集为(a ，－1)； (2)当a ＝－1时，原不等式的解集为∅； (3)当a >－1时，原不等式的解集为(－1，a )． 反思与感悟 含参数的一元二次不等式的求解步骤：(1)争辩二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向； (2)争辩判别式的符号，即相应二次函数图像与x 轴交点的个数；(3)当Δ>0时，争辩相应一元二次方程两根的大小；(4)最终依据系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集． 跟踪训练3 设m ∈R ，解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3<0. 解 (1)m ＝0时，－3<0恒成立，所以x ∈R . (2)m >0时，不等式变为(mx ＋3)(mx －1)<0， 即⎝⎛⎭⎫x ＋3m ⎝⎛⎭⎫x －1m <0，解得－3m <x <1m . (3)m <0时，原不等式变为⎝⎛⎭⎫x ＋3m ⎝⎛⎭⎫x －1m <0， 解得1m <x <－3m.综上，m ＝0时，解集为R ；m >0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －3m <x <1m； m <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1m<x <－3m . 探究点四 不等式的恒成立问题 例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，明显－1<0.若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.∴－4<m ≤0.(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立． 就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， ∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6， ∴m <0. 综上所述：m <67.方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立， 即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立． ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可．反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有二：①考虑能否进行参变量分别，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式；②若参变量不能分别，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解．跟踪训练4 当x ∈[1,2]时，不等式x 2＋mx ＋4≤0恒成立．则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－5]解析 由于当x ∈[1,2]时，不等式x 2＋mx ＋4≤0恒成立．则有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0f (2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤04＋2m ＋4≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5m ≤－4⇔m ≤－ 5.1．不等式2x 2－x －1>0的解集是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 答案 D解析 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)， ∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0， 解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 2．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32答案 B解析 ∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.3．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 由题意可知－7和－1为ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根． ∴－7×(－1)＝21a，故a ＝3.4．不等式x 2＋x －2<0的解集为________． 答案 {x |－2<x <1}解析 由x 2＋x －2<0得－2<x <1， 故其解集为{x |－2<x <1}．5．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0的解集为R ，求实数a 的取值范围．解 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0， 所以a ＝2时解集为R .当a －2≠0时，由题意得⎩⎨⎧a －2<0，Δ<0.即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，4(a －2)2－4(a －2)(－4)<0.解得－2<a <2.综上所述，a 的取值范围为－2<a ≤2. [呈重点、现规律]1．解一元二次不等式的常见方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的简图；③由图像得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m <n 时，若(x －m )(x －n )>0，则可得x >n 或x <m ； 若(x －m )(x －n )<0，则可得m <x <n . 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． 2．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类争辩，为了做到分类“不重不漏”，争辩需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的争辩：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的争辩：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的争辩：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2.一、基础过关1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( ) A ．{x |x <－1或x >2} B ．{x |x ≤－1或x ≥2} C ．{x |－1<x <2} D ．{x |－1≤x ≤2}答案 D解析 由题意知，－b a ＝1，ca ＝－2，∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a <0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2.2．若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )(x －1t)>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1t 或x <tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1t 或x >tD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t <x <1t答案 D解析 ∵0<t <1，∴1t >1，∴1t>t .∴(t －x )(x －1t )>0⇔(x －t )(x －1t )<0⇔t <x <1t .3．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}答案 A解析 原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．4．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2} 答案 D解析 由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.5．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是________． 答案 {x |－3≤x <－2或0<x ≤1}解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0，∴－3≤x <－2或0<x ≤1.6．若不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________． 答案 －2<m <2解析 由题意知，不等式x 2＋mx ＋1>0对应的函数的图像在x 轴的上方， 所以Δ＝(m )2－4×1×1<0， 所以－2<m <2.7．解不等式：x 2－3|x |＋2≤0. 解 x 2－3|x |＋2≤0⇔|x |2－3|x |＋2≤0 ⇔(|x |－1)(|x |－2)≤0⇔1≤|x |≤2. 当x ≥0时，1≤x ≤2； 当x <0时，－2≤x ≤－1.∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}． 二、力气提升8．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2)B ．(－2,2]C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2) 答案 B解析 ∵mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ， ∴(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0. 当m ＝2时，4>0，x ∈R ；当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0， 解得－2<m <2.此时，x ∈R . 综上所述，－2<m ≤2.9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0. 所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．10．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________． 答案 k ≤2或k ≥4解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2. 11．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，∴⎩⎨⎧－13＋2＝－b a－13×2＝c a，∴b ＝－53a ，c ＝－23a .所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0.又由于a <0，所以2x 2－5x －3<0，解得－12＜x ＜3，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3.12．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0. 解 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为 (x －a )(x －a 2)>0.∵a 2－a ＝a (a －1)．∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}． 当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }． 当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }． 综上知，当a <0或a >1时， 不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0或1时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }． 三、探究与拓展13．解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0.解 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0，解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}． (2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2.①当0<a <1时，2a>2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； ②当a ＝1时，2a ＝2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；③当a >1时，2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a .(3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a <x <2.。
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§2一元二次不等式
2.1一元二次不等式的解法
双基达标(限时20分钟)
1．不等式x2＜3x的解集是()．A．{x|x＞3} B．{x|x＜0或x＞3}
C．R D．{x|0＜x＜3}
解析∵x2＜3x，∴x2－3x＜0⇒x(x－3)＜0
∴0＜x＜3，故选D.
答案 D
2．不等式－x2－x＋2≥0的解集是()．A．{x|x≤－2或x≥1} B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|－2≤x≤1} D．∅
解析原不等式可化为x2＋x－2≤0，对应方程的根为－2,1，因此解集为{x|－2≤x≤1}．答案 C
3．不等式x(x－a＋1)＞a的解集是{x|x＜－1或x＞a}，则()．A．a≥1 B．a＜－1 C．a＞－1 D．a∈R
解析x(x－a＋1)＞a⇔(x＋1)(x－a)＞0，
∵解集为{x|x＜－1或x＞a}，∴a＞－1.
答案 C
4．函数y＝log3(9－x2)的定义域为A，值域为B，则A∩B＝________.
解析由9－x2＞0得－3＜x＜3，∴A＝(－3,3)．
∵9－x2∈(0,9]∴log3(9－x2)∈(－∞，2]，
∴B＝(－∞，2]，∴A∩B＝(－3,2]．
答案(－3,2]
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)的部分对应值如下表：
解析由表中数据看出a＞0，ax2＋bc＋c＝0的二根为－2,3，∴ax2＋bx＋c＞0的解集为
{x |x ＜－2，或x ＞3}． 答案 {x |x ＜－2，或x ＞3} 6．解不等式－2x 2＋103x －1
3＞0.
解 不等式可化为6x 2－10x ＋1＜0.
因为Δ＝(－10)2－4×6×1＝76＞0，所以方程6x 2－10x ＋1＝0有两个实数根x 1＝5－19
6，
x 2＝5＋196
，
由二次函数y ＝6x 2－10x ＋1的图像(图略)，得不等式6x 2－10x ＋1＜0的解集为
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
5－196＜x ＜
5＋196. 所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫
x ⎪⎪⎪
5－196＜x ＜
5＋196. 综合提高（限时25分钟）
7．已知全集U ＝R 集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，则∁U A 等于 ( )． A ．{x |0≤x ≤2} B ．{x |0＜x ＜2} C ．{x |x ＜0或x ＞2} D ．{x |x ≤0或x ≤2} 解析 ∵A ＝{x |x ＜0或x ＞2}，∴∁U A ＝{x |0≤x ≤2}．故选A. 答案 A
8．不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
13
＜x ＜12，则a ，c 的值为 ( )． A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6
解析 由已知，得⎩⎨⎧
13＋12＝－5
a ，
13·12＝c
a
，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－6，
c ＝1.
答案 B
9．设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )＞0的解集为________． 解析 由f (－1)＝f (3)得出f (x )的对称轴方程为x ＝1. ∴x ＝－b
2＝1，b ＝－2，∴f (x )＝x 2－2x ＋1，
∴f (x )＞0的解为x ≠1的全体实数． 答案 {x |x ∈R ，且x ≠1}
10．不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集是⎝⎛⎭⎫－1
2，2，对于系数a ，b ，c ，则有下列结论： ①a ＞0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＞0；⑤a －b ＋c ＞0.
其中正确结论的序号是________(把你认为正确的结论的序号都填上)． 解析 由ax 2－bx ＋c ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－1
2，2知a ＜0， ∵c a ＜0，∴c ＞0.又b a ＝－1
2＋2＞0，∴b ＜0. ∵－1∉⎝⎛⎭
⎫－1
2，2，∴a ＋b ＋c ≤0， 又1∈⎝⎛⎭⎫－1
2，2，∴a －b ＋c ＞0，故③⑤正确． 答案 ③⑤
11．已知不等式ax 2－3x ＋2＞0的解集为{x |x ＜1，或x ＞b }． (1)求a 、b 的值；
(2)解不等式ax 2＋bn ＜(an ＋b )x .
解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋2＞0的解集为{x |x ＜1，或x ＞b }，所以x 1＝1，x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个根且a ＞0，b ≥1.由一元二次方程根与系数的关系式
⎩⎨⎧
1＋b ＝
3a
1×b ＝2a
，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝1
b ＝2，所以a ＝1，b ＝2.
(2)由(1)知a ＝1，b ＝2，故原不等式可化为x 2－(2＋n )x ＋2n ＜0，即(x －2)(x －n )＜0. ①当n ＞2时，原不等式的解集为{x |2＜x ＜n }． ②当n ＝2时，原不等式的解集为∅.
③当n ＜2时，原不等式的解集为{x |n ＜x ＜2}．
12．(创新拓展)已知不等式x 2＋x －6＜0的解集为A ，不等式x 2－2x －3＜0的解集为B . (1)求A ∩B .
(2)若不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋bx ＋3＜0的解集． 解 (1)由x 2＋x －6＜0得－3＜x ＜2.
∴A ＝(－3,2)．由x 2－2x －3＜0，得－1＜x ＜3， ∴B ＝(－1,3)．∴A ∩B ＝(－1,2)．
(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ＋b ＝04＋2a ＋b ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1
b ＝－2
. ∴－x 2－2x ＋3＜0即x 2＋2x －3＞0，解得x ＜－3或x ＞1. ∴原不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞1}．。