3.1 第1课时 平行投影
九年级数学下册《平行投影》教案、教学设计
5.培养学生将数学知识应用于实际生活的意识，使学生认识到数学在现实生活中的重要作用，提高学生的数学素养。
二、学情分析
九年级的学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了较为扎实的几何基础，对空间图形有一定的认识和理解。在此基础上，学生对平行投影的学习具备以下特点：
4.学生对数学学科的兴趣和热情存在差异，教师应关注学生的情感态度，激发学生的学习积极性，使其更好地投入到平行投影的学习中。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.教学重点：
-平行投影的概念及其性质的理解。
-平行投影作图方法的掌握。
-应用平行投影知识解决实际问题的能力。
2.教学难点：
-对平行投影性质的深入理解和应用。
-在实际问题中，如何将平行投影的知识与其他几何知识综合运用。
（二）教学设想
为了有效突破教学重难点，我设想采取以下教学策略和方法：
1.利用直观教具和多媒体演示，帮助学生形成直观的平行投影概念。通过观察动态的投影过程，让学生理解投影线、投影面和投影图形之间的关系，从而加深对平行投影性质的理解。
2.采用分步骤、循序渐进的教学方法，引导学生掌握平行投影的作图技巧。首先，通过简单的图形练习，让学生熟悉基本的作图方法；其次，逐步增加难度，让学生在解决复杂图形的投影问题时，能够灵活运用所学知识。
7.创设反思环节，让学生在学习过程中不断总结经验，形成系统的知识体系。引导学生从错误中学习，培养批判性思维和自我纠错能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：
-利用多媒体展示一组生活中常见的平行投影现象，如树影、建筑物的影子等，引导学生观察并思考这些现象背后的数学原理。
平行投影与中心投影电子教案
平行投影与中心投影电子教案平行投影和中心投影是绘画或绘图中常用的两种投影方法，它们分别适用于不同的绘制需求。
本教案将介绍平行投影和中心投影的概念、基本原理以及使用方法，并通过实例进行说明。
一、平行投影1.概念：平行投影是指物体的投影线与视平面平行的投影方法。
在平行投影中，物体的真实形状、大小和各个部分的比例都能够准确地表现出来。
2.基本原理：平行投影的基本原理是物体与投影面之间固定的相对位置关系，即物体与投影面平行，使得投影线与视平面的相交角度为90度。
3.使用方法：平行投影可以通过绘制辅助投影线来实现。
首先，选择一个指定的投影方向，通常选择从正前方、正后方或侧面的一些角度进行观察。
然后，通过画出与物体平行的投影线，将物体的各个部分的投影点连接起来，以得到物体在投影面上的平行投影。
4.实例：以盒子为例进行平行投影的绘制。
首先，在纸上绘制正视图和平面图，确定盒子的长、宽、高。
然后，选择一个投影方向，如从正前方进行观察。
根据盒子的长、宽、高，在视图上绘制平行投影线，然后连接各个投影点，得到盒子在投影面上的平行投影。
二、中心投影1.概念：中心投影是指物体的投影线通过一个中心点，与视平面相交的投影方法。
在中心投影中，物体的远近、大小和形状会因为视角的不同而发生变化。
2.基本原理：中心投影的基本原理是物体与投影面之间的相对位置关系，即物体与投影中心点的连线与视平面的相交点为投影点。
3.使用方法：中心投影可以通过绘制辅助投影点来实现。
首先，选择一个指定的中心点，通常选择物体的中心点或者重心。
然后，通过画出物体与中心点相连的投影线，并确定视角，将投影线与视平面的相交点连接起来，以得到物体在投影面上的中心投影。
4.实例：以立方体为例进行中心投影的绘制。
首先，在纸上绘制正视图和平面图，确定立方体的长、宽、高。
然后，选择一个中心点，并画出从中心点到立方体各个顶点的线段，在画纸上确定视角，将线段延长至投影面上，然后连接各个投影点，得到立方体在投影面上的中心投影。
《平行投影》初中数学的优秀教案
《平行投影》初中数学的优秀教案一、教学目标1.让学生理解平行投影的概念及其在实际生活中的应用。
2.培养学生运用平行投影的性质解决实际问题的能力。
3.激发学生对几何学的兴趣，提高学生的空间想象力和逻辑思维能力。
二、教学重点与难点1.重点：平行投影的概念、性质及在实际生活中的应用。
2.难点：运用平行投影的性质解决实际问题。
三、教学过程1.导入新课（1）展示生活中的平行投影现象，如建筑物、树木、电线杆等在阳光下的影子。
（2）引导学生观察这些现象，思考影子与物体之间的位置关系。
2.新课讲解（1）讲解平行投影的概念：当光线与投影面平行时，物体在投影面上的影子称为平行投影。
（2）讲解平行投影的性质：平行投影的影子大小与物体大小成正比，影子的方向与光线方向相同。
（3）通过实例讲解平行投影在实际生活中的应用，如设计图纸、摄影、测量等。
3.课堂练习（1）让学生在纸上画出给定物体的平行投影，如立方体、圆柱体等。
（2）让学生观察并分析给定物体的平行投影，判断其形状、大小、位置关系。
4.小组讨论（1）将学生分成若干小组，每组选一个代表进行汇报。
（2）讨论平行投影在实际生活中的应用，如如何利用平行投影测量物体的高度、如何设计投影图案等。
（2）布置课后作业：让学生观察生活中的平行投影现象，拍摄照片并分析其特点。
四、课后作业1.复习平行投影的概念、性质及其应用。
2.完成课后作业：拍摄生活中的平行投影照片，分析其特点。
五、教学反思本节课通过导入生活中的平行投影现象，引导学生理解平行投影的概念和性质，培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。
在教学过程中，注重课堂练习和小组讨论，让学生在实践中掌握平行投影的应用。
课后作业的布置旨在让学生将所学知识运用到实际生活中，提高学生的实践能力。
1.导入新课（1）展示生活中的平行投影现象，如建筑物、树木、电线杆等在阳光下的影子。
（2）引导学生观察这些现象，思考影子与物体之间的位置关系。
2.新课讲解（1）讲解平行投影的概念：当光线与投影面平行时，物体在投影面上的影子称为平行投影。
典型考点：平行投影初中数学教案知识点解析
典型考点：平行投影初中数学教案知识点解析】平行投影作为初中数学中的一个重要知识点，是考试中经常出现的一个考点。
掌握好这个知识点不仅有助于我们在考试中得高分，也能帮助我们在现实生活中更加灵活地运用数学知识。
本文将对平行投影这一重要的数学知识点进行一番解析，旨在帮助大家更好地掌握和学习这一知识点。
一、平行投影的定义平行投影是指，将一个立体图形沿着一个与它垂直的平面，投影到另一个平面上的一种方法。
在平行投影中，被投影体与投影平面是平行的。
因此，我们可以根据图像的大小和比例得出被投影体的准确形状和大小。
二、平行投影的种类在初中数学中，平行投影分为正投影和斜投影两种。
其中正投影又分为顶视图、正视图和侧视图。
我们来逐一解析一下这几种投影：1、顶视图顶视图是指，将一个图形在一个与它平行的平面上投影的图形。
在顶视图中，被投影体从视点正上方观察，并将其在平面上向下垂直投影。
顶视图的投影平面一般为水平方向。
2、正视图正视图是指，将一个图形在一个与它平行的平面上投影的图形。
在正视图中，被投影体从视点正前方观察，并将其在平面上向后垂直投影。
正视图的投影平面一般为垂直方向。
3、侧视图侧视图是指，将一个图形在一个垂直于它的平面上投影的图形。
在侧视图中，被投影体从视点侧面观察，并将其在平面上向左或向右垂直投影。
侧视图的投影平面一般为垂直方向。
4、斜投影斜投影是指，将一个图形在一个与它不平行的平面上投影的图形。
在斜投影中，被投影体与投影平面不平行，因此需要根据具体情况选择适当的投影方式。
三、平行投影的应用平行投影在生活中有着广泛的应用，尤其是在工程设计和制图方面。
例如，在建筑设计中，利用平行投影技术可以得出建筑物的立体形态和大小，为设计和施工提供重要的依据。
在机械设计中，平行投影可以帮助我们准确地得出零件的形状和尺寸，为机械制造提供精确的数据。
四、平行投影的练习方法为了更好地掌握平行投影这一知识点，我们需要进行反复练习，加深对知识点的理解和掌握。
初中平行投影教案
初中平行投影教案一、教学目标知识与技能：1. 了解平行投影的概念，知道平行投影的特点。
2. 能够确定物体在平行投影下的影子的特征。
3. 知道在不同时间物体在平行投影下形成的影子的大小和方向的变化规律。
过程与方法：1. 通过观察、实践、探索，提高空间想象能力，发展空间观念。
2. 学会观察生活中的平行投影现象，培养学生的观察能力和解决问题的能力。
情感、态度与价值观：1. 培养学生对数学的兴趣，提高学生学习的积极性。
2. 培养学生理论联系实际的能力，增强学生的应用意识。
二、教学重点与难点教学重点：理解平行投影的概念和特点。
教学难点：掌握平行投影下物体影子的大小和方向的变化规律。
三、教学过程1. 导入新课利用课件展示生活中常见的平行投影现象，如太阳光下的影子、电影院里的投影等，引导学生关注这些现象，激发学生的学习兴趣。
2. 自主探究让学生观察课件中的平行投影现象，引导学生发现并总结平行投影的特点。
学生通过观察、思考，得出平行投影的定义和特点。
3. 课堂讲解讲解平行投影的定义，明确平行投影是指光线从一个方向照射物体，形成的影子。
讲解平行投影的特点，如影子的大小和方向与物体的位置和形状有关，不同时间的影子大小和方向会发生变化等。
4. 实践操作让学生拿出准备好的模型或用手势表示，进行平行投影的实践操作。
让学生观察自己在不同位置、不同时间下的影子，总结影子的大小和方向的变化规律。
5. 总结提升通过讨论、交流，引导学生总结平行投影的特点和影子变化规律。
强调平行投影在生活中的应用，提高学生的应用意识。
6. 巩固练习布置一些有关平行投影的练习题，让学生课后独立完成，巩固所学知识。
四、教学反思本节课通过生活中的平行投影现象，引导学生关注数学与生活的联系，激发学生的学习兴趣。
在教学过程中，注重让学生观察、实践、探索，培养学生的空间想象能力和观察能力。
通过讨论、交流，让学生总结平行投影的特点和影子变化规律，提高学生的数学思维能力。
3.1 第1课时 平行投影 浙教版数学九年级下册同步课件
A D
B
C
甲旗杆的影子甲旗杆
E
乙旗杆
解：（1）确定太阳光线：过点A，B作直线（虚线），太阳光线如 虚线AB所示.
A D
B
C
甲旗杆的影子甲旗杆
F
E
乙旗杆
（2）确定乙旗杆的影子：过点D作虚线AB的平行线，交 地面于点F, 线段EF即为乙旗杆DE的投影.
例2 地面上直立一根标杆AB如图，杆长为2cm. (1)当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是什么图形？ (2)当阳光与地面的倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是什
固定投影面，改变三角形纸片的摆放位置和方向， 它的影子分别发生了什么变化？
（1）当三角形纸片与太阳光线平行时，它们的影子形成一条线. （2）当三角形纸片与投影面平行时，它们的影子的大小和形状 与原三角形全等.
例题讲解 例1 已知竖直立在地面的甲旗杆和在太阳光线下形成的投影如图，在 图中画出太阳光线，并画出此时竖直立在地面的乙旗杆的投影.
四边形A’B’C’D’即为正 方形ABCD的投影.
归纳总结 1.因为不同物体在同一时刻，物体、太阳光线、与其影子组 成的三角形相似，所以物体的高度之比与对应的影子的长 度之比相等。
2. 同一时刻、同一地点、垂直于地面的不同物体的顶点及 其影子的顶点的连线是平行的。
随堂演练
1.下列四幅图形中，表示两颗小树在同一时刻阳光下的 影子的图形可能是（ C ）
第3章 三视图与表面展开图
3.1 第1课时 平行投影
观察下列图片你发现了什么共同点？
获取新知 观察与思考 投影的概念
你知道物体与影子有什么关系吗？
上面晷针的影子、窗户的影子、遮阳 伞的影子都是在太阳光下形成的。
投影的概念
2019浙教版九年级下册数学第3章31投影第1课时平行投影随堂练习(解析版)语文
第3章三视图与表面展开图__投影__第1课时平行投影1．下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是(A)【解析】在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．故选A.2．如图3－1－1，从左面看圆柱，则图中圆柱的投影是(B)A．圆B．矩形C．梯形D．圆柱图3－1－1图3－1－23．[2019·南宁]把一个正六棱柱如图3－1－2摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的投影是(A)A B C D4．[2019·贺州]小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影不可能是(B)A B C D【解析】竖直向下看可得到线段，沿与平面平行的方向看可得到C，沿与平面不平行的方向看可得到D，不论如何看都得不到一点．5．如图3－1－3是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排列正确的是(C)图3－1－3A．③①④②B．③②①④C．③④①②D．②④①③【解析】在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是西→西北→北→东北→东，影子由长变短，再变长．西为③，西北为④，东北为①，东为②，∴将它们按时间先后顺序排列为③④①②.故选C.6．小亮在上午8时，9时30分，10时，12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为__上午8时__．7．如图3－1－4，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1＝__30°__．图3－1－48．如图3－1－5，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6 m的小明落在地面上的影长为BC＝2.4 m.(1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG；(2)若小明测得此刻旗杆落在地面的影长EG＝16 m，请求出旗杆DE的高度．图3－1－5解：(1)影子EG如答图所示；第8题答图(2)∵DG∥AC，∴∠G＝∠C，∴Rt△ABC∽Rt△DEG，∴ABDE＝BCEG，即1.6DE＝2.416，解得DE＝323.∴旗杆DE的高度为323m.9．如图3－1－6，太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是10 3 cm，则皮球的直径是(B)A．5 3 cm B．15 cmC．10 cm D．8 3 cm图3－1－6 第9题答图【解析】如答图，由题意，得DE＝10 3 cm，∠CED＝60°，∠DCE＝∠BAE ＝90°，∴DC＝DE sin60°＝15(cm)，即皮球的直径是15 cm.故选B. 10．[2019·河南模拟]如图3－1－7，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2 m，且AC＝14.5 m，NF＝0.2 m．设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝56.3°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10 m，现有一只小猫睡在台阶的NF这层上晒太阳．(1)求楼房的高度约为多少米？(2)过了一会儿，当α＝45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由(参考数据：sin56.3°≈0.83，cos56.3°≈0.55，tan56.3°≈1.50)．图3－1－7 第10题答图解：(1)当α＝56.3°时，在Rt△ABE中，tan56.3°＝ABAE≈1.50，AB＝10·tan56.3°＝15(m)，即楼房的高度约为15 m；(2)当α＝45°时，小猫不能再晒到太阳．理由：如答图，假设没有台阶，当α＝45°时，从点B射下的光线与地面AD交于点P，此时的影长AP＝AB≈15 m，设MN的延长线交AD于点H，∵AC＝14.5 m，NF＝0.2 m，∴PH＝AP－AC－CH≈0.3(m)，设直线MN与BP交于点Q，则HQ＝PH≈0.3 m，∴点Q在MN上，∴大楼的影子落在MN这个侧面上，∴小猫不能晒到太阳．11. 在阳光下，小东测得一根长为1 m的竹竿的影长为0.4 m.(1)求同一时刻2 m的竹竿的影长；(2)同一时刻小东在测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在操场的第一级台阶上，如图3－1－8，测得落在第一级台阶上的影子长为0.1 m，第一级台阶的高为0.3 m，落在地面上的影子长为4.3 m，求树的高度．图3－1－8第11题答图解：(1)设同一时刻2 m的竹竿的影长为x m.由题意，得x2＝0.41，解得x＝0.8；答：同一时刻2 m的竹竿的影长为0.8 m.(2)如答图，设除台阶高度以外的大树的高度为y(m)，此部分大树的影长为4.3＋0.1＝4.4(m)．由题意，得y4.4＝10.4，解得y＝11，∴树的高度为11＋0.3＝11.3(m)．12．某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图3－1－9①，已测出树AB的影长AC为12 m，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．(1)求出树AB的高；(2)因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变．求树的最大影长(用图②解答)．图3－1－9解：(1)AB＝AC tan30°＝12×33＝43(m)．答：树AB的高约为4 3 m；(2)如答图，当树与地面成60°角时影长最大为AC2(或树与光线垂直时影长最大，或光线与半径为AB的⊙A相切时影长最大)，AC2＝2AB2＝83(m)．第12题答图。
3.1.1 投影与平行投影
知2－讲
(3)物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位
置关系的改变而改变． ①当线段与投射线平行时， 投影为一个点；当线段
与投影面平行时， 投影长与线段长度相等.
②当平面图形与投射线平行时， 投影为一条线段； 当平面图形与投影面平行时，所形成的 影子与原 图形全等．
（来自教材）
知2－讲
例2 如图,已知竖直立在地面的甲旗杆和在太阳光线下 形成的 投影，在图中画出太阳光线，并画出此时 竖直立在地面的乙旗杆的投影.
A
（来自教材）
知2－讲
如图,过点A，B作直线（虚线），太阳光线如图中 解： 的虚线所示.过点D作AB的平行线，交地平线于点F. 线段EF就是乙旗杆DE的投影.
（来自教材）
知2－讲
总 结
解答类似问题的关键是根据已知的影子做出太
阳光线，注意投射线要画成虚线.
（来自《点拨》）
知2－讲
例3 中午小明在操场上练习双杠，在练习过程中他发现
双杠的两横杠在地面上的影子(
A．相交 C．垂直
B )
B．平行 D．无法确定
解析： 因为双杠的两横杠平行，所以双杠的两横杠在地面 上的影子也平行．
（来自教材）
2．画法：连结物体顶端与影子顶端得到形成影子的光 线，过物体顶端作已知光线的平行线得到物体的影 子.
1.必做: 完成教材P60作业题T1-T5
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
知2－讲
总 结
根据平行投影的特征，即在同一时刻，平行物
体的平行投影仍然平行．
（来自《点拨》）
知2－讲
例4 如图是一木杆在一天中不同时刻阳光下的影子，按时间顺 序排列正确的是( D ) A．①③②④ B．④①③② C．④②①③ D．②③①④ 太阳从东方升起最后从西方落下，木杆的影子最先应该在 解析： 西面，随着时间的变化影子逐渐向北偏西，北偏东，东方 移动，故按时间先后顺序排列为②③ ①④.故选D.
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1．投影及有关概念：物体在光线的照射下，在某个平面 内形成的影子叫做投影．这时，光线叫做投影线，投 影所在的平面叫做投影面．
2．平行投影：由平行的投射线所形成的投影叫做平行投 影．
思考 在平行投影下，投影与图形本身、投影面、投射 线之间有什么关系？
课堂讲解
1. 投影、投射线、投影面的概念
【点拨】 根据平行投影的特点，利用两小树的影子的 方向相反可对 A，B 进行判断；利用在同一时刻阳光下， 树高与影子成正比可对 C，D 进行判断． 【解析】 A，B 选项中两棵小树的影子的方向相反，不 可能为同一时刻阳光下的影子，所以 A，B 选项错误． 在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以 C 选项错 误，D 选项正确． 【答案】 D
【典例 1】 如图 3.11，放在桌子上的茶 杯在灯光下有影子，说出其中的投射 线和投影面． 【点拨】 解题的关键是理解投影的有关 概念．
图3.11 【解析】 茶杯被灯光照射，在桌面形成 投影，因此投射线是灯光的光线，投影面是桌面．
2. 平行投影
【典例 2】 在下列四幅图象中，能表示两棵小树在同一 时刻阳光下影子的图象的是 ( )
按时完成B本课后训练相关内容
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【典例 3】 小明和小丽在操场上玩， 小丽突然高兴地对小明说：“我 踩到你的‘脑袋’了．”如图 3.12 表示小明和小丽在操场上的 图 3.12 位置． (1)请画出此时小丽在阳光下的影子． (2)已知小明的身高为 1.60 m，小明与小丽之间的距 离为 2 m．若小丽的影长为 1.75 m，求小丽的身 高． 【点拨】 (1)同一时刻的太阳光线是平行的，不同物体 的高度与影子长度的比是相同的． (2)本题中，小明到小丽间的距离即为小明在太阳光线下 的影子．
【解】 矩形木框在地面上形成的投影应是平行四边形 或一条线段，即对边平行或重合，故只有 A 不可能． 【答案】 A
2．从早上太阳升起的某一时刻开始到晚上，旭日广场的 旗杆在地面上的影子的变化规律是 ( ) A．先变长，后变短 B．先变短，后变长 C．方向改变，长短不变 D．以上都不正确 【解】 平行投影的特点和规律：在不同时刻，同一物 体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳 光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言， 从早晨到傍晚物体的指向是：西－西北－北－东北－东， 影子先由长变短，再由短变长． 【答案】 B
【解析】 (1)如解图，DE 即为小 丽在太阳光下的影子． (2)由 AD∥CE，AB⊥BE， CD⊥BE，得△ABD∽△CDE，
∴ AB BD 1.6 2 ＝ ，∴ ＝ ， CD DE CD 1.75
(典例3解)
∴CD＝1.4(m)， 即小丽的身高为 1.4 m.
随堂练习
1．小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上 形成的投影不可能是下图中的 ( )
3．如图是小树的影子，图中反映的这一时刻大约是这一 天的 (填“上午”“中午”或“下午”)．
(第 3 题 ) 【解】 观察图象，可知太阳是从东边照射过来，根据 太阳东升西落，可知这一时刻大约是这一天的上午．
【答案】 上午
要点小结
1．平行投影的画法： (1)已知投射线时，过物体顶部作投射线的平行线，交 投影面于一点，则连结这点到物体底部的线段就是 物体的投影． (2)已知一个物体的投影，画另一个物体的投影：先连 结物体顶端与影子顶部这两点，过另一个物体的顶 端作连线的平行线，交投影面于一点，则连结该点 与该物体底部的线段就是该物体的投影． (3)作图时，平行光线要画成虚线． 2．投影随着物体与投影面的位置关系的改变而改变． 3． 平行投影的实际问题可以利用相似三角形的性质解决.