山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试(数学理)

2013年济宁市高三模拟考试 数学(理工类)试题参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)． 如果事件A 、B 独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)．第I 卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共l2小题．每小题5分。

共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的． 1．复数21i z ()i=-，则复数1z +在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U=R ，集合A={21y |y ln(x ),x R =+∈}，集合B={21x ||x |-≤}，则如图所示的阴影部分表示的集合是A ．{01>3x |x x ≤<或}B ．{|0<1x x ≤}C ．{|>3x x }D ．{|13x x ≤≤} 3．下列命题中正确的有①设有一个回归方程 y =2—3x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加3个单位；②命题P ：“2000,--1>0x R x x ∃∈”的否定⌝P ：“,102x R x -x-∀∈≤”；③设随机变量X 服从正态分布N(0，1)，若P(X>1)=p ，则P(-1<X<0)=12-p ；④在一个2×2列联表中，由计算得k 2=6．679，则有99％的把握确认这两个变量间有关系． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 本题可以参考独立性检验临界值表4．平面四边形ABCD 中+=0,(-)=0A B C D A B A D A C，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．梯形5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若对于x ≥0，都有f (x +2)=()f x ，且当[0,2]x ∈时，()=-1x f x e ，则(2013)+(-2014)f f =A ．1-eB ．e-1 ．C ．-l-eD ．e+l6．如果右边程序框图的输出结果是6，那么在判断框中①表示的“条件”应该是A ．i≥3B ．i ≥4C ．i≥5D ．i ≥67．设x ，y 满足约束条件23-1+1x x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，若目标函数=+(>0,>0)z ax by a b 的最小值为2，则ab 的最大值为 A ．1 B ．12C ．14D ．168．已知m ，n 是空间两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n B ．若=,=,//m n m n αγβγ ，则//αβ C ．若,,m βαβ⊂⊥则m α⊥ D ．若,//,m m βα⊥则αβ⊥9．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。

每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有 A ．24种 B ．18种 C ．48种 D ．36种 10．关于函数()=2()f x sin x -cos x cos x 的四个结论： P 1P 2：把函数21f (x )x =-的图象向右平移4π个单位后可得到函数2f (x )(sin x cos x )cos x=-的图象；P 3：单调递增区间为[71188k ,k ππππ++]，k Z ∈；P 4：图象的对称中心为(128k,ππ+-)，k Z ∈．其中正确的结论有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．现有四个函数：①y x sin x = ②y x cos x = ③y x |cos x |= ④2xy x = 的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是A ．④①②③B ．①④③②C ．①④②③D ．③④②① 12．过双曲线22221x y ab-=(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线于点P ，O 为原点，若12O E (O F O P )=+，则双曲线的离心率为A 2B 3C ．2D 2第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题．每小题4分．共16分．13、如图，长方形的四个顶点为O(0，0)，A(2,0)，B(2,4)，C(0,4)，曲线2y ax =经过点B ．现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ▲14．251(ax+的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中常数项为 ▲15．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解式： 22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+7... 23=3+5 33=7+9+11 (24)=7+9…此规律，54的分解式中的第三个数为 ▲16．函数f (x )的定义域为D ，若存在闭区间[a ，b]⊆D ，使得函数f (x )满足：(1) f (x )在[a ，b]内是单调函数；(2)f (x )在[a ，b]上的值域为[2a ，2b]，则称区间[a ，b]为y=f (x )的“和谐区间”．下列函数中存在“和谐区间”的是 ▲ (只需填符合题意的函数序号) ①20f (x )x (x )=≥；②x f (x )e (x R )=∈； ③10f (x )(x )x=>；④2401x f (x )(x )x =≥+。

三、解答题：本大题共6小题。

共74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知A=4π，5cos B =．(I)求cosC 的值；(Ⅱ)若D 为AB 的中点，求CD 的长．18．(本小题满分l2分)中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母，“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为34、23、12。

指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分；若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响． (I)求该项技术量化得分不低于8分的概率；(II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望． 19．(本小题满分12分)如图1，O 的直径AB=4，点C 、D 为O 上两点，且∠CAB=45°，∠DAB=60°，F 为弧BC的中点．沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直，如图2。

(I)求证：OF //平面ACD ；(Ⅱ)求二面角C —AD —B 的余弦值；(Ⅲ)在弧BD 上是否存在点G ，使得FG //平面ACD?若存在，试指出点G 的位置；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和1122n *n n S a ()(n N )-=--+∈，数列{n b }满足n b =2nn a ． (I)求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设2n nn c log a =，数列{22n n c c +}的前n 项和为T n ，求满足2521*n T (n N )<∈的n 的最大值。

21．(本小题满分13分)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，短轴长为.(I)求椭圆C 的标准方程；(II)直线x =2与椭圆C 交于P 、Q 两点,A 、B 是椭圆O 上位于直线PQ 两侧的动点，且直线AB 的斜率为12。

①求四边形APBQ 面积的最大值；②设直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，判断1k +2k 的值是否为常数，并说明理由． 22．(本小题满分l3分)已知函数3f (x )a ln x ax (a R )=--∈． (I)若a=-1，求函数f (x )的单调区间；(Ⅱ)若函数y f (x )=的图象在点(2,f (2))处的切线的倾斜角为45o，对于任意的t ∈ [1，2]，函数322m g (x )x x [f '(x )](f '(x )=++是f (x )的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围；(Ⅲ)求证：23412234*ln ln ln ln n ...(n ,n N )nn⨯⨯⨯⨯<≥∈2013年济宁市高三模拟考试数学（理工类）试题参考答案及评分标准一 、选择题：每小题5分，共60分.1～5 DACCB 6～10 DDDAB 11～12 CA 13. 32 14. 10 15. 125 16. ①③④三、解答题：共74分. 17．解：（Ⅰ）552cos=B 且(0,180)B ∈，∴55cos1sin2=-=B B …………2分)43cos()cos(cos B B A C -=--=ππ ……………………………………………4分1010552255222sin 43sin cos 43cos -=⋅+⋅-=+=B B ππ …………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得10103)1010(1cos 1sin22=--=-=C C ……………………8分由正弦定理得sin sin =BCABA C，即101032252AB =，解得6=AB． ………………………………10分在∆BCD 中，55252323)52(222⨯⨯⨯-+=CD 5=，所以5=CD18.解：（Ⅰ）该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A 、B 、C ， 则事件“得分不低于8分”表示为ABC+C B A .ABC与C B A 为互斥事件，且A、B 、C 为彼此独立∴(P ABC+C B A )=P （ABC）+P （C B A ） =P （A）P （B ）P （C ）+P （A）P （B ）P（C ==⨯⨯+⨯⨯21314321324383. ……………………4分（Ⅱ）该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数X 的取值为0,1,2,3.)0(=X P =P（C B A ）=213141⨯⨯=241,)1(=X P =P （C B A +C B A +C B A ）=213143⨯⨯+213241⨯⨯+213141⨯⨯=41, ……………6分 )2(=X P =P （C AB +BC A +C B A ）=213243⨯⨯+213241⨯⨯+213143⨯⨯=2411,)3(=X P =P （ABC ）=213243⨯⨯=41, …………………………………………………………8分随机变量X 的分布列为EX∴=2410⨯+411⨯+24112⨯+413⨯=1223. ………………………………………………………12分19.（方法一）：证明：（Ⅰ）如右图，连接CO ，45=∠CAB ，AB CO ⊥∴. …1分 又F 为弧BC 的中点，45=∠∴FOB ，AC OF //∴. ………⊄OF 平面ACD ，⊂AC 平面ACD ，∴//O F 平面ACD ． …解：（Ⅱ）过O 作AD OE ⊥于E ，连CE ．AB CO ⊥ ，平面ABC ⊥平面ABD ．∴CO ⊥平面ABD ．又⊂AD 平面ABD ，AD CO ⊥∴， ⊥∴AD 平面C E O ，CE AD ⊥，则∠CEO 是二面角C -A D -B 的平面角．…60=∠OAD ，2=OA ， 3=∴OE . 由CO ⊥平面ABD ，⊂OE 平面ABD ，得CEO ∆为直角三角形， 2=CO ，∴7=CE ∴CEO ∠cos =73=721． ………8分（Ⅲ）取弧BD 的中点G ，连结OG 、FG ，则==60BOG BAD ∠∠ADOG //∴… //O F 平面ACD ，∴平面//OFG平面ACD FG //平面ACD . ……………因此，在弧BD 上存在点G ，使得FG //平面ACD ，且点G 为弧BD 的中点．…12分（方法二）：证明：（Ⅰ）如图，以AB 所在的直线为y 轴，以OC 所在的直线为z 轴，以O 为原点，建立空间直角坐标系xyz O -则()0,20A ,-()200,,C ．…… 1分)2,2,0()0,2,0()2,0,0(=--=AC ，点F 为弧BC 的中点，∴点F 的坐标为(，)2,2,0(=OF ．2O F AC ∴=解：（Ⅱ）60DAB ∠= ，∴点D的坐标()013,,D -，0)AD =．设二面角--C A D B 的大小为θ，()1,,n x y z =为平面ACD 的一个法向量．由110,0,n A C n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩有()()()),,0,2,20,,,00,x y zx y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,0.y z y +=⎧⎪+=取1=x ，解得3-=y ，3=z ． 1n ∴=()331,,-． ………………………………5分取平面AD B 的一个法向量2n=()100,,， ………………………………………………………6分1212cos 7n n |n ||n |θ⋅∴===⋅． ……………………………8分（Ⅲ）设在弧BD 上存在点G )0,,(y x ,)2,2,(--=y x FG ,由（Ⅱ）知平面ACD 的一个法向量为n =()331,,-．⋅--=⋅)2,2,(y x n FG ()331,,-=036)2(3=-=---y x y x ① ……………9分又因为 422=+y x②由①②两式联立解得)0,1,3(G ， (11)分)10O G ,∴=，因为0)AD =，所以AD OG //,则G 为弧BD 的中点，因此，在弧BD 上存在点G ，使得FG //平面ACD ，且点G 为弧BD 的中点． ………12分 20. 解：（Ⅰ）在2)21(1+--=-n n n a S 中，令n=1，可得1121a a S n =+--=，即211=a .当2≥n 时，2)21(211+--=---n n n a S ∴111)21(---++-=-=n n n n n n a a S S a ， …∴11)21(2--+=n n n a a ，即12211+=--n n n n a a .∵n n n a b 2=，∴11+=-n n b b ，即当2≥n 时，11=--n n b b . ……又1211==a b ，∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.于是n n n a n n b 21)1(1==⋅-+=，∴nn n a 2=. …………………………………………6分（Ⅱ）∵nna nc 2log==nn=2log2,∴22211(2)2n n+==-c c n n +nn +, ……………………………………………………………8分∴)211()1111()5131()4121()311(+-++--++-+-+-=n n n n T n =2111211+-+-+n n . …10分由n T 2125<，得2111211+-+-+n n 2125<，即42132111>+++n n ，=)(n f 2111+++n n 单调递减，∵4213)5(,209)4(==f f ，∴n 的最大值为4. ……………………………………………………………………………………12分21.解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by ax . ………………………………1分由已知b=32 离心率222,21c b a ac e +===,得4=a所以，椭圆C 的方程为1121622=+yx. ……………………………………………………………4分（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P 、Q 的坐标为)3,2(P ，)3,2(-Q ，则6||=PQ ， ……………5分设A (),,11y x B(22,y x ),直线AB 的方程为t x y +=21，代人1121622=+yx得：01222=-++t tx x .由△>0,解得44<<-t ，由根与系数的关系得⎩⎨⎧-=-=+1222121t x x t x x ………………………7分 四边形APBQ 的面积2212212134834)(3621t x x x x x x s -=-+⨯=-⨯⨯=故当312,0max ==S t…②由题意知，直线PA 的斜率23111--=x y k ，直线PB 的斜率23222--=x y k则2321232123232211221121--++--+=--+--=+x t x x t x x y x y k k ………………………10分=2222122)2(2122)2(21212211--+--+=--+-+--+-x t x t x t x x t x=4)(2)4)(2(1212121++--+-+x x x x x x t ，由①知⎩⎨⎧-=-=+1222121t x x tx x 可得011828214212)4)(2(122221=-=-++--+=++----+=+t t t t t t t t k k所以21k k +的值为常数0. ……………………………………………………………………13分22.解：（Ⅰ）当1a =-时，(1)'() (0)x f x x x-=> 解'()0f x >得),1(+∞∈x ；解'()0f x <得)1,0(∈x )(x f 的单调增区间为()+∞,1，减区间为()1,0 . ………4分（Ⅱ） ∵)0()1()('>-=x xx a x f ∴12)2('=-=a f 得2-=a ，32ln 2)(-+-=x x x fx x m x x g 2)22()(23-++=，∴2)4(3)('2-++=x m x x g∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数，且()02'g =-∴⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g …………………7分由题意知：对于任意的]2,1[∈t ，'()0g t <恒成立，所以，'(1)0'(2)0'(3)0g g g <⎧⎪<⎨⎪>⎩，∴9337-<<-m . ………（Ⅲ）证明如下： 由（Ⅰ）可知当),1(+∞∈x 时)1()(f x f >，即01ln >-+-x x ，∴0ln 1x x <<-对一切),1(+∞∈x 成立．…………………………………………………10分 ∵2,≥∈N *n n ，则有1ln 0-<<n n ，∴nn nn 1ln 0-<<. …………………11分ln 2ln 3ln 4ln 12311(2,N )234234n n n n n n n*-∴⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅=≥∈ . ………13分。