8.5_隐函数的求导公式

∂z
Gy zF2 ∂z zF1 Gx ∂z =− = , =− = Gz xF1 + yF2 Gz xF1 + yF2 ∂y ∂x
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8.5 隐函数的求导公式
∂ z ∂z x y , . F ( , ) = 0, 求 利用全微分. 法二 利用全微分 ∂ x ∂y z z 将隐函数方程两边取全微分, 将隐函数方程两边取全微分 得
Fy Fx ∂z ∂z =− , =− . Fz ∂x Fz ∂y
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8.5 隐函数的求导公式
∂z Fx ∂z Fy =− , =− Fz ∂y ∂x Fz x2 y2 z2 ∂ z ∂z ∂ 2z 例 已知 2 + 2 + 2 = 1, 求 , 及 . a b c ∂ x ∂ y ∂ x∂ y
x2 y2 z2 解 法一 公式法 令 F ( x , y , z ) = 2 + 2 + 2 − 1 a b c 2x 2z 则 Fx = 2 , F y = 2 y , Fz = a b2 c2
c2 x c2 y ⇒ dz = − 2 dx − 2 dy a z b z
z = f (x,y)
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
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∂z = ∂x
∂z = ∂y
8.5 隐函数的求导公式
∂z c2 y =− 2 ∂z c2 x 将 = − 2 再一次对 求偏导数 得 ∂y 再一次对y求偏导数 求偏导数,得 b z ∂x a z c2 y ∂z 2 c [− x ⋅ ( − 2 )] 2 c2 x − ∂y ∂ z b z = − 2 =− 2 z a ∂x∂y a2z2 c 4 xy =− 2 2 3 a b z
y 1 2 2 ln( x + y ) = arctaห้องสมุดไป่ตู้ , 2 x
′ = y ′ ⋅ x − y ⇒ dy = − x + y . ⇒ x + y⋅ y
dx y− x
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8.5 隐函数的求导公式
y dy 例 已知 ln x + y = arctan , 求 . x dx
2 2
解 法二 公式法
y 令 F ( x , y ) = ln x + y − arctan , x x+ y y− x , Fy ( x , y ) = 2 , 则 Fx ( x , y ) = 2 2 2 x +y x +y x+ y dy Fx . =− = − y− x dx Fy
(1) 具有连续偏导数 具有连续偏导数; (2) F ( x0 , y0 ) = 0; (3) Fy ( x0 , y0 ) ≠ 0, 则方程F 在点P 则方程 (x, y) = 0在点 (x0, y0)的某一邻域内恒 在点 的某一邻域内恒 能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y = f (x), 它满足条件 0 = f (x0), 并有 它满足条件y
复合函数求导法 两边分别关于x和 求导 应用复合函数求导 求导, 两边分别关于 和y求导 应用复合函数求导法得 ∂z ∂z Fx + Fz ⋅ = 0. = 0, Fy + Fz ⋅ ∂x ∂y 因为 Fz 连续 且Fz ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0, 所以存在 连续, 的一个邻域, 点(x0, y0 , z0)的一个邻域 在这个邻域内 Fz ≠ 0, 的一个邻域 于是得
x dy Fx y −e =− =− y. dx Fy x+e
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8.5 隐函数的求导公式
y dy 例 已知 ln x + y = arctan , 求 . x dx 即一元隐函数求导法） 解 法一 推导法（即一元隐函数求导法）
2 2
先变形方程
y′ ⋅ x − 1 ⋅ y 2 1 2 x + 2 y ⋅ y′ x = , 方程两边对x求导 方程两边对 求导 2 2 y 2 2 x +y 1+ ( ) x
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8.5 隐函数的求导公式
法二 用全微分
xyz + x 2 + y 2 + z 2 = 2
yzdx+ xzdy + xydz + 2 xdx + 2 ydy + 2 zdz = 0 2 x2 + y2 + z2
将点(1,0,−1)代入上式 , 得
dz (1,0,−1) = dx − 2dy.
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∂z c y = − 2 ∂y b z
2
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8.5 隐函数的求导公式
∂ z ∂z ∂ z x y z . 例 已知 2 + 2 + 2 = 1, 求 , 及 a b c ∂ x ∂ y ∂ x∂ y
2 2 2
2
法三 全微分法 将隐函数方程两边取全微分
2x 2y 2z x2 y2 z2 d 2 + 2 + 2 = d(1) ⇒ 2 dx + 2 dy + 2 dz = 0 a a b c b c
F ( x, y) = 0
的求导法. 的求导法
(1)
现在利用复合函数的链导法则 链导法则给出隐函数 现在利用复合函数的链导法则给出隐函数 (1)的求导公式 并指出 的求导公式, 并指出: 的求导公式 隐函数存在的一个充分条件. 隐函数存在的一个充分条件.
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8.5 隐函数的求导公式
隐函数存在定理1 设二元函数F 隐函数存在定理1 设二元函数 (x, y)在点 在点 P (x0, y0)的某一邻域内满足 的某一邻域内满足: 的某一邻域内满足
8.5 隐函数的求导公式
x y 其中F的偏导数连续 例 设有隐函数 F ( , ) = 0 ,其中 的偏导数连续 其中 的偏导数连续, z z ∂ z ∂z , . 求 用多元复合函数求导法 ∂ x ∂y x y 解 法一 由公式 令 G( x, y, z) =F ( , ) 由公式. z z ∂G ∂G −1 = F1 ⋅ z + 0, = 0 + F2 ⋅ z −1 Gx ∂z ∂x =− ∂y Gz ∂x ∂G = F1 ⋅ ( − xz − 2 ) + F2 ⋅ ( − yz − 2 )
). 确定的, 则z在点(1,0,−1)处的全微分 dz = ( dx − 2dy 解 法一 用公式
设 F ( x , y , z ) = xyz + x 2 + y 2 + z 2 − 2 ∂z 2x ∂F = 1, , = yz + ∂x ( 1 , 0 , −1 ) ∂x 2 x2 + y2 + z2 2y ∂z ∂F , = xz + = − 2, 2 2 2 ∂y ∂y ( 1 , 0 , − 1 ) 2 x + y +z 2z ∂F . dz (1,0,−1) = dx − 2dy. = xy + ∂z 2 x2 + y2 + z2
dy Fx ( x, y) 隐函数的求导公式 =− dx Fy ( x, y) (证明从略 仅推导公式 将恒等式 F ( x , f (x) ≡ 0 证明从略)仅推导公式 证明从略 仅推导公式. )
两边关于x求导 链导法则, 两边关于 求导, 由链导法则 得 求导
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8.5 隐函数的求导公式
F ( x , f (x)) ≡ 0
2 2
dy Fx ( x, y) 隐函数的求导公式 =− dx Fy ( x, y)
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8.5 隐函数的求导公式
由三元方程F(x, y, z) = 0确定二元隐函数 确定二元隐函数 2. 由三元方程 ∂z ∂z z = f (x, y), 求 , . ∂x ∂y 满足: 满足 隐函数存在定理2 若三元函数F 隐函数存在定理2 若三元函数 (x, y, z)满足 (1) 在点 (x0, y0, z0)的某一邻域内具有连续 在点P 的某一邻域内具有连续 偏导数; 偏导数 (2) F ( x0 , y0 , z0 ) = 0; (3) Fz ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0, 在点(x 则方程 F (x, y, z) = 0 在点 0, y0, z0)的某一邻域内 的某一邻域内 恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x, y),它满足条件 z0 = f ( x0 , y0 ), 并有
Fy Fx ∂z ∂z =− . =− , Fz Fz ∂y ∂x
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8.5 隐函数的求导公式
(证明从略 仅推导公式 证明从略)仅推导公式 证明从略 仅推导公式. 设 z = f (x, y)是方程 F (x, y, z) = 0所确定的 是方程 所确定的 隐函数, 隐函数 则 将恒等式
F ( x , y , f ( x, y) ) ≡ 0
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8.5 隐函数的求导公式
例 证明方程 xy − e x + e y = 0, 在(0,0)点附近确定 点附近确定
dy 一个隐函数y 一个隐函数 = f (x), 并求 . dx
证 记 F ( x , y ) = xy − e x + e y , 则 (1) Fx ( x , y ) = y − e x 与Fy ( x , y ) = x + e y 在点(0,0) 的邻域内连续; 的邻域内连续 (2) F (0,0) = 0; (3) Fy (0,0) = 1 ≠ 0, 隐函数存在定理1 隐函数存在定理1 所以方程在点(0,0)附近确定一个有连续导数、 附近确定一个有连续导数、 所以方程在点 附近确定一个有连续导数 当x = 0时y = 0 的隐函数 y = f (x), 且
2 2 2
2
方程确定了一个二元函数 方程确定了一个二元函数z = f (x, y), 二元函数 求导： 看作常数) 方程两边对x 求导：(y看作常数