地图学第二章地图的数学基础
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第二章 地图的数学基础
地图与测量
电 子 教 案
第 2 章 地图的数学基础
§1 地球的形状及大小 §2 坐标系与大地控制点
§3 地图投影
§4 地图比例尺 §5 地图分幅与编号
§2.1地球的形状及大小 2.1.1 地球体
浩瀚宇 宙中 : 地球是 一个表 面光滑、 蓝色美 丽的正 球体。
事实是：
地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、 赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于 梨形的椭球体。
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1:5千-1：50万地形图的行、列划分和编号
×××D006011 ×××C002003 ×××E018016
001 001 002 003 001 004 002 005 006 007 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 001 001 001
电 子 教 案
第 2 章 地图的数学基础
§1 地球的形状及大小 §2 坐标系与大地控制点
§3 地图投影
§4 地图比例尺 §5 地图分幅与编号
§2.1地球的形状及大小 2.1.1 地球体
浩瀚宇 宙中 : 地球是 一个表 面光滑、 蓝色美 丽的正 球体。
事实是：
地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、 赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于 梨形的椭球体。
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1:5千-1：50万地形图的行、列划分和编号
×××D006011 ×××C002003 ×××E018016
001 001 002 003 001 004 002 005 006 007 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 001 001 001
地图学第二章
第三节 地图投影概述
一. 地图投影的概念 二.地图投影的基本方法 三.地图投影的变形 四.地图投影的分类
沿经线直接展开?
沿纬线直接展开?
沿经线直接展开?
可见,地球椭球面是不可展开的面.无论如 何展开都会产生褶皱,拉伸或断裂等无规律变 形,无法绘制科学,准确的地图.因此解决
球面与平面之间的矛盾—— 地图投影
实际上这种直观的透视投影方法亦有很大的局限性，例如， 只能对一局部地区进行投影，且变形有时较大，同时往往不 能将全球投影下来，多数情况下不可能用这种几何作图的方 法来实现。科学的投影方法是建立地球椭球面上的经纬线网 与平面上相应的经纬线网相对应的基础上的，其实质就是建 立地球椭球面上点的坐标(λ，φ)与平面上对应的坐标(x,y) 之间的函数关系
无级别比例尺地图数据库:
把存储数据的精度和内容的详细程度都有明显高开其 比例尺本身要求的地图数据库,称为无级别比例尺数据 库.
二.比例尺的形式
1 数字比例尺: 2 文字比例尺:”图上1cm相当于实地1km”. 3 图解比例尺:
直线比例尺
斜分比例尺:不是绘在地图上的比例尺,是种地图量算工 具.
1 地理坐标系
(1)天文经纬度:
(2)大地经纬度
(3)地心经纬度
1 地理纬度）的外业以铅垂线为准,大地水准面和 铅垂线是天文地理坐标系的主要面和线。是它沿铅垂线 在大地水准面上投影点的经度和纬度。
以地面某点铅垂线和地球自转轴为基准的经纬度。 天文经度:包含地面某点A的铅垂线和地球自转轴的平面
局部定位:在一定范围内椭球面与大地水准面有最佳
的符合,而对椭球的中心位置无特殊要求；
地心定位:在全球范围内椭球面与大地水准面有最佳
地图学第2.2章
设想光源的远近对经纬网的影响
光源臵于球心 纬线间距自极点至赤道由内向外不断拉伸 投影后赤道在无穷远处
光源臵于无穷远 纬线间距自极点至赤道由内向外不断压缩，赤道附近趋零 纬线被赤道圈围
光源臵于球心外有限距离，光线弯曲——(等距数学函数法)
纬线间距不变
投影后赤道半径为子午面上极点至赤道的距离
光源臵于球心外有限距离，光线弯曲——(等积数学函数法) 面积不变，纬线间距自极点至赤道由内向外逐步压缩
如“图上1cm的相当于实地100米”
3.图解式
（1）直线比例尺
在一直线上截取若干相等线段作为比例尺基本 单位，最左边基本单位分成10或5 等分，通常 1cm或精度达1/10，但可估读到1/100。
பைடு நூலகம்附尺
主尺
（2）斜分比例尺:(微分比例尺)
根据相似三角形原理制成的图解比例尺。
斜分比例尺特征（图）
• 通常在一组（10条）等间距平行直线上 截取5个长的比例尺基本单位。右边4个 构成主尺，最左边基本单位错位斜分成 10等分，构成附尺。
球面经纬网投影前后差异
球面经纬网的特征： • 纬线长度不等 • 同一条纬线，经差相同 的纬线弧长相等 • 经线长度相等 • 梯形网格（经度带、纬 度带） • 经线和纬线呈直角相交 投影变形的表现： • 长度变形：地图上的 长度随不同地点和方 向而改变 • 面积变形：地图上的 面积随不同地点而改 变 • 角度变形：地图上两 条线所夹的角度不等 于球面上相应的角度
中国高程起算面是 黄海平均海水面。 1956年在青岛观象山设立了水准原点， 其他各控制点的绝对高程均是据此推 算，称为1956年黄海高程系。 1987年国家测绘局公布： 启用《1985国家高程基准》 取代《黄海平均海水面》 其比《黄海平均海水面》 上升 29毫米。
光源臵于球心 纬线间距自极点至赤道由内向外不断拉伸 投影后赤道在无穷远处
光源臵于无穷远 纬线间距自极点至赤道由内向外不断压缩，赤道附近趋零 纬线被赤道圈围
光源臵于球心外有限距离，光线弯曲——(等距数学函数法)
纬线间距不变
投影后赤道半径为子午面上极点至赤道的距离
光源臵于球心外有限距离，光线弯曲——(等积数学函数法) 面积不变，纬线间距自极点至赤道由内向外逐步压缩
如“图上1cm的相当于实地100米”
3.图解式
（1）直线比例尺
在一直线上截取若干相等线段作为比例尺基本 单位，最左边基本单位分成10或5 等分，通常 1cm或精度达1/10，但可估读到1/100。
பைடு நூலகம்附尺
主尺
（2）斜分比例尺:(微分比例尺)
根据相似三角形原理制成的图解比例尺。
斜分比例尺特征（图）
• 通常在一组（10条）等间距平行直线上 截取5个长的比例尺基本单位。右边4个 构成主尺，最左边基本单位错位斜分成 10等分，构成附尺。
球面经纬网投影前后差异
球面经纬网的特征： • 纬线长度不等 • 同一条纬线，经差相同 的纬线弧长相等 • 经线长度相等 • 梯形网格（经度带、纬 度带） • 经线和纬线呈直角相交 投影变形的表现： • 长度变形：地图上的 长度随不同地点和方 向而改变 • 面积变形：地图上的 面积随不同地点而改 变 • 角度变形：地图上两 条线所夹的角度不等 于球面上相应的角度
中国高程起算面是 黄海平均海水面。 1956年在青岛观象山设立了水准原点， 其他各控制点的绝对高程均是据此推 算，称为1956年黄海高程系。 1987年国家测绘局公布： 启用《1985国家高程基准》 取代《黄海平均海水面》 其比《黄海平均海水面》 上升 29毫米。
地图学 第2章地图的数学基础汇总
二、墨卡托投影
墨卡托投影中，面积变形最大，在纬度60度地区，经纬线
比都扩大了2倍，面积比P=m*n=2*2=4，扩大了4倍，愈
接近两极，经纬线扩大的越多，在φ=80度时，经纬线都 扩大了近6倍，面积比扩大了33倍，所以墨卡托投影在80
度以上高纬通常不绘。
该投影被广泛应用于航海和航空方面，因为等角航线（或 称斜航线），在此投影中表现为直线，等角航线是地球表 面上与经线相交的相同角度的曲线，或者说地球上两点间 的一条等方位线，船只要按等角航线航行，不用改变方位 角就能从起点到达终点。
三、横轴方位投影
平面与球面相切，其切点位于赤道上的任意点。特点：通 过投影中心的中央经线和赤道投影为直线，其他经纬线都 是对称于中央经线和赤道的曲线。
三、横轴方位投影
横轴等距方位投影：中央经线上
从中心向南北，纬线间隔相等； 赤道上，自投影中心向东西， 经线间隔逐渐扩大。
横轴等积方位投影：中央经线上
切圆锥投影，视点在球心，纬线投影到圆锥面上是互相平行的 圆，经线投影为相交于圆锥顶点的一束直线，将圆锥沿一条母 线剪开展为平面，则呈扇形，顶角小于360度，纬线不再是圆， 而是以圆锥顶点为圆心的同心圆弧，经线为由顶点向外放射的 直线束，经线间的夹角与相应经差成正比但比经差小。 圆锥面与球面相切的一条纬线投影后是不变形的线，叫标准纬 线，通常位于制图区域中间。切线向南北，变形渐增。
等变形线都是以投影中心为圆 心的同心圆。 包括等角、等积、 等距三种变形性质，主要用于 制作两极地区图。
1.正轴等角方位投影
投影条件：视点位于球面上，投影面切于极点。 纬线投影为以极点为圆心的同心圆，纬线方向上的长度比大于 1。赤道上的长度变形比原来扩大1倍。 经线投影为以极点为圆心的放射性直线束，经线夹角等于相应 的经差，沿经线方向上的长度比大于1，赤道上各点沿经线方 向上的长度变形比原来扩大1倍。
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对地球形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水准面与椭球 体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个 地球椭球体 —— 参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。
通过数学方法将地球 椭球体摆到与大地水准面 最贴近的位置上，并求出 两者各点间的偏差，从数 学上给出对地球形状的三 级逼近。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
2.2 中国的大地坐标系统
1.中国的大地坐标系 1980年以前：参见电子教案本章第十三页； 1980年选用1975年国际大地测量协会推荐的参考 椭球： ICA-75椭球参数 a = 6 378 140m b = 6 356 755m f = 1/298.257
陕西省泾阳县永乐镇 北洪流村为 “1980 西安坐标系” 大地 坐标的起算点——大 地原点。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
§2 地球坐标系与大地定位
地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学 研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就 是球面坐标系统的建立。
2.1 地理坐标
—— 用经纬度表示地面点位的球面坐标。
① 天文经纬度 ② 大地经纬度 ③ 地心经纬度
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
2.1 地理坐标 ① 天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位
置，用天文经度和天文纬度表示。
天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶 子午面间的两面角。
在地球上定义为本初子午面与观测点之间 的两面角。 天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面 间的夹角。
椭球体 三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 f
WGS [world geodetic system] 84 ellipsoid:
地图学课件第二章地图的数学基础
等距离投影是指投影前后，地图上的线段 长度保持不变的投影方式。
等方位投影
任意投影
等方位投影是指投影前后，地图上的方向 保持不变的投影方式。
任意投影是指根据实际需要，选择不同的 投影方式进行投影的过程，可以满足各种 不同的需求和应用场景。
02
常用地图投影
方位投影
总结词
方位投影是一种将地球表面投影到平 面上的方法，其特点是投影后各方向 保持相对方位不变。
多面投影
总结词
多面投影是一种将地球表面分割成多个部分，然后将每个部分分别投影到平面上 的方法。这种投影的特点是能够较好地保留地理特征的形状和面积。
详细描述
多面投影常用于制作大比例尺地图，尤其适用于制作特定地区的地图，如国家或 地区地图。由于多面投影可以针对特定区域进行优化，因此它能够更好地保留地 理特征的形状和面积，但制作过程相对复杂。
数字地图的坐标系
地理坐标系
以经纬度为基准，用于表示地球表面任意点的位置。
投影坐标系
将地球表面投影到平面上，形成二维坐标系，用于地图制作和地理信息系统。
数字地图的精度与比例尺
精度
地图上地理要素的详细程度和准确度， 与地图的制作技术和测量技术有关。
VS
比例尺
地图上的长度与实际地物长度之间的比例 关系，用于表示地图的缩放程度。
详细描述
方位投影通常用于制作小比例尺地图 ，因为它能够保持地理特征的相对方 向和距离。然而，方位投影在投影过 程中可能会产生较大的面积变形。
圆柱投影
总结词
圆柱投影是将地球表面投影到圆柱体表面，然后将圆柱体展 开成平面。这种投影的特点是投影后经度线保持等距离，而 纬度线则逐渐缩短。
详细描述
圆柱投影广泛应用于世界地图的制作，因为它在保持经度线 等距的同时，相对较好地保留了纬度方向的形状和面积。然 而，在靠近极点的区域，纬度线会变得非常密集，导致地图 扭曲。
地图学第二章
3.7 地图投影的选择
1. 制图区域的地理位置，形状和范围
（2）制图区域形状直接制约地图投影的选择。 沿经线方向南北延伸的长形区域——多圆锥投影 圆形区域——斜轴方位投影 同是在低纬赤道附近， 沿东西方向长条形区域——正轴圆柱投影 圆形区域——横轴方位投影
1. 制图区域的地理位置，形状和范围 （3）制图区域的大小 1) 世界地图，常用正圆柱、伪圆柱、多圆锥 投影。地理书刊中采用摩尔威特投影。 2) 半球地图，东西半球用等距或等积横方位 投影，南、北半球用等角或等积正方位投影， 水陆半球用等积斜方位投影。 3) 七大洲和一些大国，非洲用等积横方位或 者等角横圆柱投影，其他用等积斜方位投影。
投影条件：
面积变形为零； 离中央经线经差相等的经线构成一个椭圆； 离中央经线经差900的经线构成一个圆。 用途：世界地图、半球图
摩尔维特（Mollweide）投影
（4） 伪圆柱投影之三
古德投影－－等面积正弦投影 为了减少远离中央经线部分的变形，美
国地理学家古德提出：在整个制图区域 几个主要部分中央都设置一条中央经线， 分别进行投影，则全图就分成几瓣，每 个瓣沿赤道连接起来。古又称分瓣投影。 经纬网特征： 用途：世界地图
横轴方位投影
斜轴方位投影
正 轴 圆 锥 投 影
3.7 地图投影的选择
1. 制图区域的地理位置，形状和范围 （2）制图区域形状直接制约地图投影的选择。 同是在中纬度地区， 沿纬线方向延伸的长形区域——单标准纬线 正轴圆锥投影； 沿经线方向略窄，沿纬线方向略宽的长形区 域 ——双标准纬线正轴圆锥投影 。
6) 教学和宣传用途用任意投影。
3.7 地图投影的选择
4. 出版方式
单幅图，系列图，地图集。 单幅图和系列图投影选择比较简单； 地图集应该尽量采用同一系统的投影， 再根据个别内容的特殊要求，在变形性 质方面予以适当的变化。
第二章地图数学基础分析
一、地理坐标系——地球椭球面
这是一个纯粹的数学表面，用 简单的数学公式即可表达 ：
x2 y2 z2 a2 a2 b2 1
常用的符号有a、b、α、
e、e，这些符号的含义
叫做地球椭球的基本元
素。
第二章地图数学基础分析
短 半 径
b
0
长半径a
地球椭球面
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——地球椭球面 其中 α 、e、e 的名称和公式为：
第二章地图数学基础分析
1954年北京坐标系、1980西安坐标系是 参心坐标系，
WGS84坐标系、2000 国家大地坐标系是 地心坐标系
参心坐标系 是以参考椭球的几何中心为原点的 大地坐标系。 地心坐标系 以地球质心为原点建立的空间直角 坐标系
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——椭球体的采用
一、地理坐标系——经纬线与地理坐标
纬线圈 起始经线
B——纬度，从赤道起算
P
L——经度，从格林尼治
A
首经线起算
B L
P＇
地理坐标系中某点 的纬度和经度，是用大 地测量的方法测定的， 赤道 故又称这种地理坐标系 为大地地理坐标系，简 称大地坐标系。
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——经纬线与地理坐标
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系 经差1°的纬线弧长
二、平面直角坐标系 纬 度（度） 长 度（公里）
0
111 321
10
109 641
20
104 649
30
96 448
40
85 396
50
71 698
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➢ 地球体的自然表面 —— 十分不规则的表面
由于地球的自然表面凸凹不平，形态极为复杂，显然不能 作为测量与制图的基准面。应该寻求一种与地球自然表面 非常接近的规则曲面，来代替这种不规则的曲面。
• 该几何体必须满足两个条件:
✓ 形状接近地球自然形体； ✓ 可以用简单的数学公式表示。
➢ 地球体的物理表面 —— 大地水准面
椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最 好的一个地球椭球体 —— 参考椭球体，这项工作就是参考 椭球体定位。
通过数学方法将地球 椭球体摆到与大地水准面 最贴近的位置上，并求出 两者各点垂直的偏差，从数 学上给出对地球形状的三 级逼近。
P'•
大地水准面
地球椭球体定位——对 地球形体的三级逼近。
▪ 水准面：自由静止的水面
特性： 处处与铅垂线相垂直；
离心力 地心引力
重力G 地心
有无数多个；
➢ 地球体的物理表面 —— 大地水准面
假想将静止的平均海水面延伸到大陆内部，形成一个连续不 断的，与地球比较接近的形体，其表面称为大地水准面。
地球自然表面 地 球椭球 面
平均海水 面
它实际是一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面
➢ 地球自然表面： • 地球自然表面上分布：高山、峡谷 丘陵、平原
1.1 地球上的三个面
➢ 地球体的自然表面 —— 十分不规则的表面
8,848.13m ——8844.43m 珠穆朗玛峰 11,034m 玛利亚那海沟
70% 海洋、30%陆地
• 25.4cm in diameter, • Mt. Everest would be a 0.176mm bump in the ball, • Mariana trench a 0.218mm scratch in the ball,
地图学第二章地图的数学基础
地图是以公式化、符号化、抽象化来反映客观世界的模型
第二章 地图的数学基础
• 1.地球体 1.1 地球上的三个面 1.2 坐标系 1.3 比例尺
• 2. 地图投影概述 2.1 地图投影的概念 2.2 地图投影方法 2.3 地图投影变形 2.4 地图投影分类
• 3. 常用地图投影 3.1 方位投影及其应用 3.2 圆柱投影及其应用 3.3 圆锥投影及其应用 3.4 伪投影及其应用
➢ 大地体
由大地水准面包围的形体——大地体。
最能代表地球的形状
➢ 地球体的数学表面 — 地球椭球体面
大地水准面仍然不是一个规则的曲面。因为重力线方 向并非恒指向地心，导致处处与重力线方向正交的大地水 准面也不是一个规则的曲面。大地水准面实际上是一个起 伏不平的重力等位面。
• 大地体特点： •形状不规则
高程（H)
我国坐标系：
1954年北京坐标系
我国大地坐标系：
1980西安坐标系
1956年黄海高程系
我国高程坐标系：
1985国家高程基准
中国高程起算面是 黄海平均海水面。 •1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均 是据此推算，称为1956年黄海高程系。 •1987年国家测绘局公布： 启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》其比《黄海平均 海水面上升 29毫米。
➢ 数字比例尺：1:1万、1:25万
➢文字比例尺： 万分之一
➢图解比例尺： 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺
•直线比例尺：
以直线线段形式标明图上线段长度对所对应的地面距离。
• 斜分比例尺：
微分比例尺，根据相似三角形原理制成。可以量取比例尺 基本长度单位的百分之一。
• 复式比例尺：
投影比例尺，小比例尺地图上使用。根特（Hayford）椭球体 ；
• 1953—1980年采用克拉索夫斯基椭球体
（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台） ；
• 自1980年开始采用 IUGG 1975 （国际大地测量与地
球物理学联合会 1975 推荐）新参考椭球体系，并确定 陕西泾阳县永乐镇北洪流村为大地坐标的起算点。
陕西省泾阳 县永乐镇北 洪流村为 “1980西安 坐标系”
大地坐标的 起算点—— 大地原点。
大地原点
1.2 坐标系
大地坐标：
经度l ：指参考椭球面上过某点的大地
子午面与本初子午面间的两面角。东经
为正，西经为负。
纬度 ：指参考椭球面上某点的垂直线（
法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南 纬为负。
3. 地图投影的应用 3.1 地图投影的选择 3.2 我国基本比例尺地图投影
1. 地球体
1.1 地球上的三个面 1.2 坐标系 1.3 比例尺
1.1 地球上的三个面
天圆地方 —— 地圆说 —— 地扁说 —— 真实自然形体
通过天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量等精密 测量，发现：
地球并不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道 半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。
•形状接近于绕短轴旋转而成的椭球体
旋转椭球面
•
大地水准面
• 旋转椭球体（地球椭球体）——地球的数学表面——对 地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面
• 地球椭球体三要素：
长轴a （赤道半径） 短轴b （极半径） 椭球扁率：f＝（a－b）/a
• 数学模型：
x2 a2
y2 a2
z2 b2
1
X
Z Y
对地球形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水准面与
➢ 大地水准面
海洋
陆 地
大地水准面
大地水准面的意义
1. 地球形体的一级逼近： 对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺 少的相当。
2. 起伏波动在制图学中可忽略： 对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制 图中，均把地球当作正球体。
3. 重力等位面： 可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面 的高度）。
1.3 比例尺
1) 地图比例尺的含义
当制图区域比较小、景物缩小的比率也比较小时：图 上长度与相应地面之间的长度比例。
当制图区域相当大、景物缩小的比率也相当大时：对 地球半径缩小的比率，为主比例尺。在地图上体现为个别 的点或线。因此，用图者不可随意量算。图上也不可绘制 直线比例尺。
2) 地图比例尺的表示
和地图投影长度变形分布规律设计的一种图解比例尺。通常 是对每一条纬线单独设计一个直线比例尺，再组合起来。
2. 地图投影概述
2.1 地图投影的概念 2.2 地图投影方法 2.3 地图投影变形 2.4 地图投影分类