§2、3理想气体的压强和温度

6 . 02 × 10 = 22 . 4 × 10
23 − 3 − 3
n
0
m
= 2 . 7 × 10
25
m
− 3
标准状况下气体分子间平均距离
标准状况下1m 理想气体中分子数: 2.7× 标准状况下1m3 理想气体中分子数: n0 = 2.7×1025 / m3 每个分子平均分配到自由活动空间体积为 1 / n0 。 为什么? 为什么? 标准状况下气体分子间平均距离为: 标准状况下气体分子间平均距离为:
ρ = n m ,
为液氮分子数密度。 其中n为液氮分子数密度。
1/n 是每个氮分子平均分摊到的空间体积。 是每个氮分子平均分摊到的空间体积。
若认为液氮是由球形氮分子紧密堆积而成， 若认为液氮是由球形氮分子紧密堆积而成，且不考虑分 子间空隙， 子间空隙，则 =(4/3)π 1/n =(4/3)πr3 是氮分子半径。 其中r 是氮分子半径。于是得
设在任意形状的容器中贮藏有一定量的理想气体， 设在任意形状的容器中贮藏有一定量的理想气体， 体积为V 共含有N个分子， 体积为V，共含有N个分子，单位体积中的分子数为 N/V,分子的质量为 分子的质量为m 分子具有各种可能的速度， n = N/V,分子的质量为m。分子具有各种可能的速度， 为讨论方便，把分子分成若干组，每组的V相同。 为讨论方便，把分子分成若干组，每组的V相同。单位 体积内各组的分子数分别为 n1，n2，n3…ni…， 在平衡态下， 在平衡态下， 器壁各处压强相同， 器壁各处压强相同，选用直角坐标 系xyz，在垂直于x轴的器壁上任意取 xyz，在垂直于x 一小块面积dA，计算所受压强。 一小块面积dA，计算所受压强。 dA
dI =
i ( vix > 0 )
∑ 2n mv
i
2
ix
dAdt = ∑ ni mvix dAdt
2 i
单位时间的总冲量是力，单位面积的力是压强， 单位时间的总冲量是力，单位面积的力是压强，故
dI 2 2 p= = ∑ ni mvix = m∑ ni vix dt ⋅ dA i i
n1 v1x + n2 v2 x + ⋅ ⋅ ⋅ vx = = n1 + n2 + ⋅ ⋅ ⋅
必须说明，在推导理想气体压强公式时， 必须说明，在推导理想气体压强公式时，认为气体压 强是大数分子碰撞在单位面积器壁上的平均冲击力。 强是大数分子碰撞在单位面积器壁上的平均冲击力。 实际上气体压强不仅存在于器壁，也存在于气体内部， 实际上气体压强不仅存在于器壁，也存在于气体内部， 对于理想气体，这两种压强的表达式完全相同。 对于理想气体，这两种压强的表达式完全相同。 将气压计引入气体内部并不能测定气体内部的压强， 将气压计引入气体内部并不能测定气体内部的压强， 因为气压计本身就是一个器壁。 因为气压计本身就是一个器壁。 气体内部压强由气体性质决定， 气体内部压强由气体性质决定，它与气压计是否引 入无关。 入无关。
• 热学的微观理论对理想气体性质的所有讨论都 是建立在上述4条假定的基础上的。 是建立在上述4条假定的基础上的。 • 这4条假定分别是理想气体3条基本假定,以及平 条假定分别是理想气体3条基本假定, 衡态气体的分子混沌性。 衡态气体的分子混沌性。
最后需要指出，虽然理想气体是一种理想模型， 最后需要指出，虽然理想气体是一种理想模型，但实 验指出: 验指出: 在常温下，压强在数个大气压以下的气体，一 在常温下，压强在数个大气压以下的气体， 般都能很好地满足理想气体方程， 般都能很好地满足理想气体方程， 这就为理想气体的广泛应用创造很好条件。 这就为理想气体的广泛应用创造很好条件。
• 分子混沌性指出：在没有外场时，处于平衡 分子混沌性指出：在没有外场时， 态的气体分子应均匀分布于容器中。 态的气体分子应均匀分布于容器中。 • 在平衡态下任何系统的任何分子都没有运动 速度的择优方向。除了相互碰撞外， 速度的择优方向。除了相互碰撞外，分子间的 速度和位置都相互独立。 速度和位置都相互独立。 分子混沌性可在理想气体微观模型基础上利用统计 物理证明。 物理证明。
1 1 L=( ) n0
3
=3 (
1 ) m = 3 .3 × 10 − 9 m 2 .7 × 10 25
77K， 77K，压强为 28× kg。 1atm） 1at ）的密度为ρ ，氮的摩尔质量 Mm = 28×10-3kg。 设氮分子质量为m，则 Mm = NAm，
氮分子半径:已知液氮（ 氮分子半径:已知液氮（温度为
2 2 2
∑ ni vix
i
2
∑n
i
2
=
∑ ni vix
i
2
i
n
∑n v
i i
2 2
2
ix
2
= n ⋅ vx
2 2
2
v = vx + v y + vz , v = vx + v y + vz , vx = v y = vz
2 2 2 2
2
1 2 p = nmv = nmv 3
2 x
气体分子平均平动动能
εt
为每个气体分子
的平均平动动能（ 的平均平动动能 （ 其中下标 t 表示平动） 表示平动），即
1 2 ε t = mv 2
2 p = nε 3
t
1 p = nm v 3
2
早在1857年 克劳修斯（Clausius） 早在1857年，克劳修斯（Clausius）即得到这一重 1857 要关系式。 要关系式。 此二式都称为理想气体压强公式， 此二式都称为理想气体压强公式，它们都分别表示了 宏观量（气体压强）与微观量（ 宏观量（气体压强）与微观量（气体分子平均平动动 能或均方速率） 能或均方速率）之间的关系。
（1）分子线度比分子间距小得多，可忽略不计。 分子线度比分子间距小得多，可忽略不计。 理想气体微观模型第二条基本假定: 理想气体微观模型第二条基本假定: （2）除碰撞一瞬间外，分子间互作用力忽略不 除碰撞一瞬间外， 分子两次碰撞之间作自由匀速直线运动。 计。分子两次碰撞之间作自由匀速直线运动。
理想气体微观模型第三条基本假定: 理想气体微观模型第三条基本假定:
§3
温度的微观解释
（一）温度的微观意义 从微观上理解， 从微观上理解，温度是平衡态系统的微观粒子热运动 程度强弱的度量。 程度强弱的度量。 p = 2 n ε t / 3 将 p = nkT 与 比较可得分子热运动平均平动动能 比较可得分子热运动平均平动动能
εt =
1 mv 2
2
=
3 kT 2
它表明分子热运动平均平动动能与绝对温度成正比。 它表明分子热运动平均平动动能与绝对温度成正比 。 绝对温度越高，分子热运动越剧烈。 绝对温度越高，分子热运动越剧烈。 温度的微观意义: 温度的微观意义: 绝对温度是分子热运动剧烈程度的度量. 绝对温度是分子热运动剧烈程度的度量.
最后还要强调: 最后还要强调:
气体分子碰壁数及气体压强公式均适用于平衡态下 的宏观气体。 的宏观气体。 布朗粒子就是因为粒子线度已不属宏观范围， 布朗粒子就是因为粒子线度已不属宏观范围，涨落 使表面受到的压强处处作随机变化， 使表面受到的压强处处作随机变化，因而会产生布朗 运动。 运动。 只要器壁取宏观尺寸， 只要器壁取宏观尺寸，同一容器器体压强公式
1738年 伯努利出版<流体动力学>, >,在历史上首次建立 1738年,伯努利出版<流体动力学>,在历史上首次建立 了分子动理论的基本概念,指出: 了分子动理论的基本概念 , 指出 : 气体的压强来自粒子 频繁碰撞器壁所产生的冲量. 频繁碰撞器壁所产生的冲量. 气体压强是单位时间内大数分子频繁碰撞器壁所给予 单位面积器壁的平均总冲量。 单位面积器壁的平均总冲量。 这种碰撞是如此频繁， 几乎可认为是无间歇的， 这种碰撞是如此频繁 ， 几乎可认为是无间歇的 ， 所施 予的力也是恒定不变的。 予的力也是恒定不变的。 理想气体压强公式的推导:采用不同近似程度的模型。 理想气体压强公式的推导:采用不同近似程度的模型。 这里介绍类似前面的最简单的方法， 这里介绍类似前面的最简单的方法 ， 后面有较严密 的推导。 的推导。
§2 理想气体的压强
一、 理想气体微观模型
要从微观上讨论理想气体，先应知道其微观结构。 要从微观上讨论理想气体，先应知道其微观结构。 一、实验证实对理想气体可作如下三条基本假定: 实验证实对理想气体可作如下三条基本假定: (1)分子线度比分子间距小得多，可忽略不计。 分子线度比分子间距小得多，可忽略不计。 估计几个数量级： 估计几个数量级： 洛施密特常量——标准状况下 3 理想气体中的分子 洛施密特常量 标准状况下1m 标准状况下 表示。 数，以n0表示。 标准状况下1 ol气体占有22 ol气体占有22. 标准状况下1mol气体占有22.4 L。则
r =
3
(
3 4π n
) =
3
(
3M
4 πρ N
m A
) = 2 . 4 × 10
− 10
m
比较分子之间平均距离和分子直径: 比较分子之间平均距离和分子直径:
1 1 L=( ) n0
3
= 3 .3 × 10 − 9 m r =
3
(
3 4π n
) = 2 . 4 × 10
− 10
m
可以看到标准状况下理想气体的两邻近分子间平均距离 约是分子直径的10倍左右。 10倍左右 约是分子直径的10倍左右。 另外，因固体及液体中分子都是相互接触靠在一起， 另外，因固体及液体中分子都是相互接触靠在一起，可 估计到固体或液体变为气体时体积都将扩大10 数量级。 估计到固体或液体变为气体时体积都将扩大103数量级。 说明:在作数量级估计时一般都允许作一些近似假设。 说明:在作数量级估计时一般都允许作一些近似假设。 例如:在估计氮分子半径时，假设氮分子是球形分子, 例如:在估计氮分子半径时，假设氮分子是球形分子,液 氮中氮分子之间没有间隙,或者按照密堆积而组成。 氮中氮分子之间没有间隙,或者按照密堆积而组成。