高考数学总复习 5.3线段的定比分点与平移课时演练 人教版

1．已知两点M (－1，－6)，N (3,0)，点P (－73
，y )分有向线段MN →所成的比为λ，则λ，y 的值分别为( )
A ．－14，8 B.1
4，－8
C ．－14，－8
D ．4，18
2．已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)三点共线，若x 1，x 2，x 3成等差数列，则P 1
分有向线段P 2P 3→所成的比为( )
A ．－2
B ．－12
C ．－3
D ．－1
3
解析：∵x 1，x 2，x 3成等差数列，∴x 1＋x 3＝2x 2， ∴x 3－x 1＝2(x 2－x 1)．∴
x 1－x 2x 3－x 1＝－1
2
. ∴P 1分P 2P 3→所成比λ＝
x 1－x 2x 3－x 1＝－12
. 答案：B
3．已知f (x )是定义在R 上的单调函数，实数x 1≠x 2，λ≠－1，α＝x 1＋λx 21＋λ，β＝x 2＋λx 1
1＋λ
，若|f (x 1)－f (x 2)|＜|f (α)－f (β)|，则( )
A ．λ＜0
B ．λ＝0
C ．0＜λ＜1
D ．λ≥1
解析：不妨设函数f (x )为增函数，由题意可知在x 轴上α，β在x 1，x 2之外，故λ＜0.
答案：A
4．已知点M 1(6,2)和M 2(1,7)，直线y ＝mx －7与线段M 1M 2的交点分有向线段M 1M 2的比为3∶2，则m 的值为( )
A ．－32
B ．－2
3
C.1
4
D ．4 解析：设M (x ，y )分M 1M 2
的比为3
2，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝6＋321＋32
＝3，
y ＝2＋3
2×7
1＋32
＝5，
∴M (3,5)在直线y ＝mx －7上，即5＝3m －7，∴m ＝4. 答案：D
5．已知A 、B 、C 三点共线，O 是这条直线外一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且存在实数m ，使m a －3b ＋c ＝0成立，则点A 分BC →的比为( )
A ．－13
B ．－1
2
C.13
D.12
解析：设点A 分BC →的比为λ，则BA →＝λAC → ⇒OA
→－OB →＝λ(OC →－OA →) ⇒(1＋λ)OA →－OB →＝λOC →⇒(1＋λ)a －b ＝λc ⇒c ＝1＋λλa －1
λ
b .①
又∵c ＝－m a ＋3b .② 由①、②得⎩⎪⎨⎪⎧
1＋λ
λ＝－m ，
－1
λ＝3.⇒⎩⎪⎨
⎪⎧
λ＝－13m ＝2
.
答案：A
6．将函数f (x )＝x 3
＋3x 2
＋3x 的图象按向量a 平移后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )满足g (1－x )＋g (1＋x )＝1，则向量a 的坐标是( )
A ．(－1，－1)
B ．(2，3
2)
C ．(2,2)
D ．(－2，－3
2
)
解析：f (x )＝x 3
＋3x 2
＋3x ＝(x ＋1)3
－1，其对称中心为M 1(－1，－1)，函数g (x )满足
g (1－x )＋g (1＋x )＝1，其对称中心为M 2(1，1
2)，则向量a ＝M 1M 2→的坐标是(2，32
)．
答案：B
7．把点A (2,1)按向量a ＝(－2,3)平移到B .此时点B 分向量OC →(O 为坐标原点)的比为－2，则C 点的坐标为______．
解析：设C 点坐标为(a ，b )，B (x ′，y ′)，
∵⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝x ＋h
y ′＝y ＋k ，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝0y ′＝4，即B (0,4)．
又∵B 分OC →的比为－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
0＝0＋
－2a
1＋－2
4＝0＋
－2b 1＋
－2
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝0
b ＝2
，即C (0,2)．
答案：(0,2)
8．已知点P 是抛物线y ＝2x 2＋1上的动点，定点A (0，－1)，若点M 分PA
→所成的比为2，则点M 的轨迹方程是______，它的焦点坐标是______．
解析：设P (x 0
，y 0
)，M (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x
3
y ＝y 0
－2
3
⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝3x
y 0＝3y ＋2，
将其代入y 0＝2x 20＋1，得3y ＋2＝18x 2＋1，即x 2
＝16y ＋118＝16(y ＋13)，则p ＝112，故焦点
坐标为(0，－7
24
)．
答案：x 2
＝16(y ＋13) (0，－724
)
9．若直线y ＝－ax －2与连接P (－2,1)，Q (3,2)两点的线段有公共点，则实数a 的取值范围是________．
解析：当直线过P 点时，a ＝32；直线过Q 点时，a ＝－4
3
；当直线与线段PQ 的交点在P 、
Q 之间时，设这个交点M 分PQ →的比为λ，则它的坐标x M ＝
－2＋3λ1＋λ，y M ＝1＋2λ
1＋λ
.
因为直线过M 点，所以1＋2λ1＋λ＝－a ×－2＋3λ
1＋λ－2，
即λ＝2a －3
3a ＋4
.
由M 在线段PQ 上知λ＞0，所以2a －3
3a ＋4＞0
解得a ＜－43或a ＞3
2
.
故a ≤－43或a ≥3
2为所求a 的取值范围．
答案：a ≤－43或a ≥3
2
10．已知△ABC 的三个顶点为A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，试求： (1)三边的长；
(2)AB 边上的中线CM 的长； (3)重心G 的坐标； (4)角A 的平分线AD 的长． 解：(1)|AB →|＝4－72
＋
1－5
2
＝5，
|BC →|＝7＋42
＋5－72
＝55， |CA
→|＝4＋4
2＋
1－7
2
＝10.
(2)∵M 为A (4,1)、B (7,5)的中点． ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x M ＝112，y M ＝3.
∴|CM →|＝
－4－
11
2
2
＋7－3
2
＝
517
2
. (3)∵G 为△ABC 的重心， ∴3OG →＝OA →＋OB →＋OC →(O 为原点)． ∴x G ＝4＋7－43＝73，y G ＝1＋5＋73＝133，
∴G (73，13
3
)．
(4)∵D 为角A 的平分线与BC 的交点， ∴D 分BC
→所成的比 λ＝|BD →||DC →|＝|AB →||AC →|＝12，
∴x D ＝
x B ＋λx C 1＋λ＝103，y D ＝y B ＋λy C 1＋λ＝17
3
.
∴D (103，173)．∴|A D →|＝1023
.
11．已知三点A (0,8)，B (－4,0)，C (5，－3)，D 点分AB →所成的比为13，E 在BC 上且使
△BDE 的面积是△ABC 面积的一半，求点E 的坐标．
解：如图所示，D 分AB
→所成的比为13， ∴|DB →||AB →|＝34
， 而S △BDE ＝12|DB →||BE →|sin ∠DBE ，
S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ，
又
S △BDE S △ABC ＝1
2
，∠DBE ＝∠ABC ， ∴|DB →||BE →||AB →||BC →|＝12
， 又|DB →||AB →|＝34，∴|BE →||BC →|
＝23，即BE →＝2EC →， ∴点E 分BC →所成的比λ＝2，代入定比分点坐标公式得点E 的坐标为(2，－2)．
12．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)A (2,0)为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且
A C →·
B
C →＝0，|O C →－O B →|＝2|B C →－B A →|.
(1)求椭圆的方程；
(2)若AB 上的一点F 满足B O →－2O A →＋3O F →＝0，求证：CF 平分∠BCA .
|C B→|
＝2，
又
|C A→|
∴F在∠BCA的平分线上，即CF平分∠BCA.。