天津市河北区2020年高二(下)数学期末教学质量检测试题含解析

天津市河北区2020年高二(下)数学期末教学质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．函数2cos y x x =+0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A ．2πB ．6πC ．2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】函数()2cos 0,2f x y x x x π⎡⎤==+-∈⎢⎥⎣⎦，()'12sin f x x =-，令()'0f x =，解得x ．利用三角函数的单调性及其导数即可得出函数()f x 的单调性． 【详解】函数()2cos 0,2f x y x x x π⎡⎤==+-∈⎢⎥⎣⎦， ()'12sin f x x =-，令()'0f x =，解得6x π=．∴函数()f x 在0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭内单调递增，在,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦内单调递减． ∴6x π=时函数()f x 取得极大值即最大值．2cos 6666f ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．故选B ． 【点睛】本题考查了三角函数的单调性，考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求三角函数的最值问题，一般是通过两角和差的正余弦公式将函数表达式化为一次一角一函数，或者化为熟悉的二次函数形式的复合函数来解决.2．某地区一次联考的数学成绩X 近似地服从正态分布2(85,)N σ，已知(122)0.96P X ≤=，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩小于48分的样本个数大约为（ ） A ．4 B ．6C ．94D ．96分析：根据正态分布的意义可得(122)0.04,(48)0.04P X P X >=<=即可得出结论.详解：由题可得：(122)0.04,P X >=又对称轴为85，故(48)0.04P X <=，故成绩小于48分的样本个数大约为100x0.04=4故选A.点睛：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题关键是要知道(48)0.04P X <=.3．一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（ ）平方米A ．243π-B ．36363π-C ．36243π-D ．48363π-【答案】D 【解析】分析：由已知可得水对应的几何体是一个以截面中阴影部分为底，以9为高的柱体，求出底面面积，代入柱体体积公式，可得答案．详解：由已知中罐子半径是4米，水深2米， 故截面中阴影部分的面积S=13161416=4 3.33ππ⨯⨯--平方米， 又由圆柱形的罐子的高h=9米， 故水的体积V=Sh=48 3π- 故选D ．点睛：本题考查的知识点是柱体的体积公式，扇形面积公式，弓形面积公式，难度中档． 4．ABC V 中，90C ∠=︒，M 是BC 的中点，若1sin 3BAM ∠=，则sin BAC ∠=（ ）. A ．13B ．23C ．33 D ．63【答案】D作出图象，设出未知量，在ABM∆中，由正弦定理可得2sin3cAMBa∠=，进而可得2cos3caβ=，在RT ACM∆中，还可得22cos()2abβ=+，建立等式后可得2a b=，再由勾股定理可得3=c b，即可得出结论．【详解】解：如图，设AC b=，AB c=，2aCM MB==，MACβ∠=，在ABM∆中，由正弦定理可得2sin sinacBAM AMB=∠∠，代入数据解得2sin3cAMBa∠=，故cos cos()sin sin()2AMC AMC AMBπβπ=-∠=∠=-∠2sin3cAMBa=∠=，而在RT ACM∆中，22cos()2ACAM abβ==+，故可得2223()2caab=+，化简可得422422244(2)0a ab b a b-+=-=，解之可得2a b=，再由勾股定理可得222+=a b c，联立可得3=c b，故在RT ABC∆中，6sinBCBACAB∠==，故选：D．【点睛】本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属于中档题．5．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A．60种B．63种C．65种D．66种【答案】D当取得4个奇数时，有45C 5=种结果，当取得2奇2偶时有2245C C ⋅61060=⨯=种结果,共有156066++=种结果.故答案为D.考点：分类计数原理.6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，两条渐近线与圆22()1(0)-+=>x m y m 相切，若双曲线的离心m 的值为（ ）A．2BCD【答案】A 【解析】 【分析】先由离心率确定双曲线的渐近线方程，再由渐近线与圆相切，列出方程，求解，即可得出结果. 【详解】22221(0,0)x y a b a b -=>>渐近线方程为：b y x a=±，又因为双曲线的离心率为==ce a，222c a b =+，所以ba=y =， 因为两条渐近线与圆22()1(0)-+=>x m y m相切，得：1=，解得2=m ； 故选A 。

【点睛】本题主要考查由直线与圆的位置关系求出参数，以及由双曲线的离心率求渐近线方程，熟记双曲线的简单性质，以及直线与圆的位置关系即可，属于常考题型.7．已知函数0,0,(),0,xx f x e x ≤⎧=⎨>⎩则使函数g(x)＝f(x)＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( ) A ．[0，1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)【答案】D 【解析】作出(),0(){,0x x x h x f x x e x x ≤=+=+>的图象，观察它与直线y m =的交点，得知当0m ≤时，或1m >时有交点，即函数()()g x f x x m =+-有零点. 考点：函数的零点．点评：本题充分体现了数形结合的数学思想．函数的零点、方程的根、函数图像与x 轴的交点，做题时注意三者之间的等价转化．8．世界杯组委会预测2018俄罗斯世界杯中,巴西队获得名次可用随机变量X 表示，X 的概率分布规律为()()(),1,2,3,41aP X n n n n ===+，其中a 为常数，则a 的值为 （ ）A ．23 B ．45C ．54D ．56【答案】C 【解析】 【分析】先计算出(1),(2),(3),(4),P X P X P X P X ====再利用概率和为1求a 的值. 【详解】由题得(1),(2),122236a a a a P X P X ======⨯⨯ (3),(4),34124520a a a aP X P X ======⨯⨯所以51,2612204a a a a a +++=∴=. 故答案为：C. 【点睛】(1)本题主要考查分布列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是读懂()()(),1,2,3,41aP X n n n n ===+的含义，对于这些比较复杂的式子，可以举例帮助自己读懂.9．已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，2AB BC ==，AC =若三棱锥D ABC -体积的最大值为2，则球O 的表面积为( ) A ．8π B ．9πC ．25π3D ．1219π【答案】D 【解析】分析：根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积．过AC 的中点M 作平面ABC 的垂下MN ，则球心O 在MN 上， 设OM h =，球的半径为R ，则棱锥的高的最大值为R h +，因为1122()232D ABC V R h -=⨯⨯⨯⨯+=，所以3R h +=， 由勾股定理得22(3)2R R =-+，解得116R =，所以球的表面积为1211214369S ππ=⨯=，故选D ．点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径．10．焦点为06（，）且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是 A ．2211224y x -=B ．2212412y x -=C ．2212412x y -=D ．2211224x y -=【答案】A 【解析】 【分析】根据题目要求解的双曲线与双曲线2212x y -=有相同的渐近线，且焦点在y 轴上可知，设双曲线的方程为()2202x y λλ-=>，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质222+=a b c ，求解出λ的值，即可求出答案． 【详解】由题意知，设双曲线的方程为()2202x y λλ-=>，化简得()22102y x λλλ-=>．236λλ∴+=所以双曲线的方程为2211224y x-=，故答案选A．【点睛】本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线22221x ya b-=有相同渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x ya bλλ-=≠，若0λ>，则双曲线的焦点在x轴上，若0λ<，则双曲线的焦点在y轴上．11．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（）A．华为的全年销量最大B．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C．华为销量最大的是第四季度D．三星销量最小的是第四季度【答案】A【解析】【分析】根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而得出A正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项B，C，D都错误．【详解】根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大；每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；B∴，C，D都错误，故选A．【点睛】本题主要考查对销量百分比堆积图的理解．【答案】B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,22⎛-- ⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B. 【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．61x ⎫-⎪⎭展开式中，二项式系数最大的项是_________．【答案】220x - 【解析】 【分析】根据题意，由二项式系数的性质，得到第4项的二项式系数最大，求出第4项即可. 【详解】在61x ⎫-⎪⎭的展开式中，由二次项系数的性质可得：展开式中第4项的二项式系数最大，因此，该项为：333462120x T C x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=-.故答案为：220x-. 【点睛】本题主要考查求二项式系数的最大项，熟记二项式定理即可，属于基础题型. 14．将三封录取通知书投入四个邮筒共有_____________种不同的投递方式. 【答案】64 【解析】 【分析】每封录取通知书放入邮筒有4种不同的投递方式，然后利用分步乘法计数原理可得出结果. 【详解】故答案为：64.【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.15．某工厂生产甲、乙、丙、丁4类产品共计3000件.已知甲、乙、丙、丁4类产品数量之比为1：2：4：8.现要用分层抽样的方法从中抽取150件进行质量检测，则乙类产品抽取的件数为______．【答案】20【解析】【分析】根据甲乙丙丁的数量之比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【详解】解：Q甲、乙、丙、丁4类产品共计3000件，已知甲、乙、丙、丁4类产品的数量之比为1：2：4：8，∴用分层抽样的方法从中抽取150件，则乙类产品抽取的件数为2150201248⨯=+++，故答案为：1．【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和应用，熟练掌握分层抽样的定义是解决问题的关键．16．如图，顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，母线，O是底面圆心，B是底面圆内一点，且，C为PA的中点，，垂足为D，当三棱锥的体积最大时，______．【答案】【解析】【分析】根据图形，说明PC是三棱锥的高，的面积在时取得最大值，求出OB即可．【详解】又，，所以面即PC 是三棱锥的高．而的面积在时取得最大值斜边的直角三角形．当时，由，知，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆锥的结构特征，棱锥的体积等知识，考查空间想象能力，属于中档题． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在某地区2008年至2014年中，每年的居民人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：对变量t 与y 进行相关性检验，得知t 与y 之间具有线性相关关系． （1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）预测该地区2016年的居民人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()ˆ()nii i nii tt y y btt ==--=-∑∑，ˆˆay bt =- 【答案】（1）ˆ0.6 2.1yx =+ （2）7.5千元 【解析】 【分析】（1）根据所给的数据利用最小二乘法．写出线性回归方程的系数和a 的值，写出线性回归方程，注意运算过程中不要出错．（2）将2016年的年份代号t ＝9代入前面的回归方程，预测该地区2016年的居民人均纯收入． 【详解】解：（1）由已知表格的数据，得123456747t ++++++==，2.73.6 3.34.65.4 5.76.2 4.57y ++++++==，7222222221()(3)(2)(1)012328i i tt =-=-+-+-++++=∑， ∴16.8ˆ0.628b ==． ∴ˆ 4.50.64 2.1a=-⨯=． ∴y 关于t 的线性回归方程是ˆ0.6 2.1yx =+． （2）由（1），知y 关于t 的线性回归方程是ˆ0.6 2.1yx =+． 将2016年的年份代号9t =代入前面的回归方程，得ˆ0.69 2.17.5y=⨯+=． 故预测该地区2016年的居民人均收入为7.5千元．【点睛】本题考查线性回归方程，是一个基础题，解题的关键是利用最小二乘法写出线性回归系数，注意解题的运算过程不要出错．18．已知函数1()(,0)e kxkx f x k k k -=∈≠R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1x …时，ln x f x k ⎛⎫ ⎪⎝⎭…，求k 的取值范围． 【答案】（1）详见解析（2）k 0<或1k e≥【解析】【分析】 （1）将函数求导并化简，对k 分成0,0k k ><两种情况，讨论函数()f x 的单调性.（2）原不等式即1ln x x x ke -≤（1x ≥），当k 0<时，上述不等式显然成立.当0k >时，将不等式变为1ln 0xx k x e --≤，构造函数()()1ln 1x x g x k x x e-=-≥，利用导数研究函数的单调性，由此求得k 的取值范围. 【详解】解：（1）()()()211'kx kx kx ke kx ke f x k e --=⋅ 2kx kx e -= 2kx k x k e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=． ①若0k >，当2,x k ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 在2,k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 当2,x k ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，()f x 在2,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． ②若0k <，当2,x k ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，()f x 在2,k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；当2,x k ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 在2,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． ∴当0k >时，()f x 在2,k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 当0k <时，()f x 在2,k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． （2）1ln x x x f x k ke -⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭（1x ≥）， 当0k <时，上不等式成立，满足题设条件；当0k >时，1ln x x x f x k ke -⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，等价于1ln 0x x k x e --≤， 设()()1ln 1x x g x k x x e -=-≥，则()2'x x k g x e x -=- 22xx x x ke xe--=， 设()22x h x x x ke =--（1x ≥），则()()'210xh x x ke =--<， ∴()h x 在[)1,+∞上单调递减，得()()11h x h ke ≤=-．①当10ke -≤，即1k e≥时，得()0h x ≤，()'0g x ≤， ∴()g x 在[)1,+∞上单调递减，得()()10g x g ≤=，满足题设条件；②当10ke ->，即10k e<<时，()10h >，而()220h ke =-<， ∴()01,2x ∃∈，()00h x =，又()h x 单调递减，∴当()01,x x ∈，()0h x >，得()'0g x >，∴()g x 在[)01,x 上单调递增，得()()10g x g ≥=，不满足题设条件；综上所述，0k <或1k e ≥． 【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数参数的函数单调性问题，考查利用导数求解含有参数不等式恒成立问题.对函数求导后，由于导函数含有参数，故需要对参数进行分类讨论，分类讨论标准的制定，往往要根据导函数的情况来作出选择，目标是分类后可以画出导函数图像，进而得出导数取得正、负的区间，从而得到函数的单调区间.19．（1）求函数()ln x f x x =的最大值； （2）若函数()x g x e ax =-有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】 (1)1e(2) a e > 【解析】【分析】 （1）求出()21ln 'x f x x -=．利用导函数的符号判断函数的单调性然后求解最大值；（2）分情况：①在0a =时，②在0a <时，③在0a >时，判断函数的单调性，求解函数的极值与0的关系，然后求解零点个数．【详解】（1）对()ln x f x x =求导数，()21ln 'x f x x -=． 在0x e <<时，()f x 为增函数，在x e >时()f x 为减函数，∴()()1f x f e e ≤=，从而()f x 的最大值为1e． （2）①在0a =时，()x g x e =在R 上为增函数，且()0g x >，故()g x 无零点．②在0a <时，()x g x e ax =-在R 上单增，又()010g =>，1110a g e a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()g x 在R 上只有一个零点．③在0a >时，由()'0xg x e a =-=可知()g x 在ln x a =时有唯一极小值，()()ln 1ln g a a a =-． 若0a e <<，()()1ln 0g x a a =->极小，()g x 无零点，若a e =，()0g x 极小=，()g x 只有一个零点，若a e >，()()1ln 0g x a a =-<极小，而()010g =>．由（1）可知，()ln x f x x=在x e >时为减函数， ∴在a e >时，2a e e a a >>，从而()20a g a e a =->．∴()g x 在()0,ln a 与()ln ,a +∞上各有一个零点．综上讨论可知：a e >时，()f x 有两个零点．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的零点个数的判断，是难题．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数，另一个是含自变量的函数，注意让含有自变量的函数式子尽量简单一些．20．在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==,四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒,E 是AD 的中点.(1)求证: BE ⊥平面PAD ；(2)求平面PAB 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）105 【解析】【分析】(1) 连接BD ，根据几何关系得到PE AD ⊥, 由平面PAD ⊥平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，进而得到PE BE ⊥,再由三角形ABE 的角度及边长关系得到BE AD ⊥，进而得到结果;(2)建立空间坐标系得到面PAB 的法向量为n v ，面PBC 的一个法向量为m v ，根据向量夹角运算可得结果【详解】（1）连接BD ，由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥， 由平面PAD ⊥平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，PE BE ⊥，又由于四边形 ABCD 是边长为2的菱形，60A o ∠=，所以BE AD ⊥，从而BE ⊥平面PAD .（2）以E 为原点，,,EA EB EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，(3P ，()()()1,0,0,3,0,3,0A B C -，有((1,0,3,3,3PA PB =-=-u u u v u u u v ，(3,3PC =--u u u v ，令平面PAB 的法向量为n v ，由00PA n PB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，可得一个)3,1,1n =v ，同理可得平面PBC 的一个法向量为()0,1,1m =v ，所以平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为105m n m n ⋅=v v v v . 【点睛】本题考查了面面垂直的证法，以及二面角的求法，证明面面垂直经常先证线面垂直，再得面面垂直，或者建立坐标系，求得两个面的法向量，证明法向量公线即可.21．已知函数24()(0,1)2x x a a f x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220x mf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】【分析】 （1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=- 即：242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+ ∴函数()f x 的值域为()1,1-.（3）由()220xmf x +-> 可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->- 令(2113)xt t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t+->=-+， 函数21y t t=-+在1≤t≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=， 103m ∴>，故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】 本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题. 22．如图，已知圆心为()4,3C 的圆经过原点O ．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线340x y m -+=与圆C 交于A ，B 两点．若8AB =，求m 的值．【答案】（Ⅰ）22(4)(3)25x y -+-=（Ⅱ）15m =±【解析】试题分析：（Ⅰ）由两点间距离公式求出圆C 的半径，由此能求出圆C 的方程；（Ⅱ）作CD ⊥AB 于D ，则CD 平分线段AB ，从在则 |AD| ＝12|AB| ＝4，由勾股定理求出CD ，由点到直线的距离公式求出CD ，由此能求出m试题解析：（Ⅰ）解：圆C 的半径22345OC =+=，从而圆C 的方程为22(4)(3)25x y -+-=． （Ⅱ）解：作CD AB ⊥于D ，则CD 平分线段AB ， 所以142AD AB ==． 在直角三角形ADC 中，22||3CD AC AD =-=． 由点到直线的距离公式，得223443534mm CD ⨯-⨯+==+，所以35m=，解得15m =±．考点：圆的标准方程；直线与圆相交的性质。