【名师一号】2013版高中数学 1-4 全称量词与存在量词技能演练 新人教A版选修1-1

技能演练
1.(2010·山东日照质检)命题“∀x>0，x2＋x>0”的否定是( ) A．∃x>0，使得x2＋x>0
B．∃x>0，x2＋x≤0
C．∀x>0，都有x2＋x≤0
D．∀x≤0，都有x2＋x>0
答案 B
2．(2010·北京东城区期末)下列四个命题中的真命题为( ) A．∃x0∈Z,1<4x0<3
B．∃x0∈Z,5x0＋1＝0
C．∀x∈R，x2－1＝0
D．∀x∈R，x2＋x＋2>0
答案 D
3．(2010·福建高二质检)已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则( ) A．綈p：∃x∈R，sin x≥1
B．綈p：∀x∈R，sin x≥1
C．綈p：∃x∈R，sin x>1
D．綈p：∀x∈R，sin x>1
答案 C
4．命题“存在点P(x0，y0)，使x20＋y20－1≤0成立”的否定是( ) A．不存在点P(x0，y0)，使x20＋y20－1>0成立
B．存在点P(x0，y0)，使x20＋y20－1>0成立
C．对任意的点P(x0，y0)，使x2＋y2－1>0成立
D．对任意的点P(x0，y0)，使x2＋y2－1<0成立
答案 C
5．给出下列四个命题：
①p：∀x∈R，有x4>x2；
②q：∃α∈R，使sin3α＝3sinα；
③r：∃x∈R，使得|x＋1|≤1且x2>4；
④s：∀φ∈R，函数y＝sin(2x＋φ)都不是偶函数．
以上命题的否定
．．为真命题的序号是( )
A．①②③B．①③④
C．②③D．①③
解析①x＝1时，x4＝x2，∴p是假命题，綈p是真命题．
②当α＝0时，sin(3×0)＝3sin0，∴q 为真命题，綈q 为假命题．
③由|x ＋1|≤1，得－2≤x ≤0，由x 2
>4，得x >2，或x <－2，命题r 是假命题，綈r 为真命题．
④当φ＝π2时，函数y ＝sin(2x ＋π2
)是偶函数，故s 为真命题，綈s 为假命题． 答案 D
6．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2≥0，则綈p ：________.
答案 ∃x ∈R ，x 2<0
7．已知命题：“存在x ∈[1,2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则a 的取值范围是________．
答案 [－8，＋∞)
8．(2010·福建莆田月考)下列命题是真命题的是________．
①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”； ②若命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＝0，则綈p 为∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0；
③全称命题“∀x ∈R ，x 2是有理数”是真命题；
④∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β.
答案 ①②④
9．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p ：∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3；
(2)q ：∀x ∈R ，x 2＋x －4>0.
解 (1)綈p ：∀x ，y ∈Z ，2x ＋y ≠3，
当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，
因此綈p 是假命题．
(2)綈q ：∃x ∈R ，x 2＋x －4≤0，
当x ＝0时，x 2＋x －4＝－4≤0，
因此綈q 是真命题．
10．(2010·湖南长沙月考)已知函数f (x )＝2x 2－2ax ＋b ，f (－1)＝－8.对∀x ∈R ，都有f (x )≥f (－1)成立，记集合A ＝{x |f (x )>0}，B ＝{x ||x －t |≤1}．
(1)当t ＝1时，求(∁R A )∪B ；
(2)设命题p ：A ∩B ≠∅，若綈p 为真命题，求实数t 的取值范围．
解 由题意(－1，－8)为二次函数的顶点，
∴f (x )＝2(x ＋1)2－8＝2(x 2＋2x －3)． A ＝{x |x <－3，或x >1}．
(1)B ＝{x ||x －1|≤1}＝{x |0≤x ≤2}．
∴(∁R A )∪B ＝{x |－3≤x ≤1}∪{x |0≤x ≤2}
＝{x |－3≤x ≤2}．
(2)B ＝{x |t －1≤x ≤t ＋1}．
⎩⎪⎨⎪⎧ t －1≥－3，t ＋1≤1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ t ≥－2，t ≤0.
∴实数t 的取值范围是[－2,0].
感悟高考
(2010·安徽)命题“存在x ∈R ，使得x 2
＋2x ＋5＝0”的否定是________．
解析 特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词．
答案 对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0。