离散复习(2012)

复习
• Part 1：数理逻辑 1、命题逻辑 2、谓词逻辑 • Part 2：集合论 • Part 3：代数结构 • Part 4：图论 20% 10% 30% 15% 25%
题型：填空题、计算题及证明题
Part 1、命题逻辑
一、数理逻辑 1、命题公式与真值表 2、等价公式与逻辑蕴涵公式 3、主析取范式与主合取范式 4、命题逻辑的推理论证 （1）等值演算法 （2）构造证明法 二、谓词逻辑 1. 一阶逻辑与命题符号化 2. 一阶逻辑公式及其解释 3. 一阶逻辑前束范式
（2）判断推理是否正确的方法
I. 真值表法 II. 等值演算法 III.主析取范式法 IV. 构造证明法
说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方 便, 此时采用形式结构“ A1A2…AkB” . 而在 构 造证明时，采用“前提: A1, A2, … , Ak, 结论: B”.
（3）推理规则 A、所有的等价关系 B、所有的蕴涵关系
解：（略）
5、联结词的全功能集
定义 设S是一个联结词集合，如果任何n(n1) 元真值函数都 可以由仅含S中的联结词构成的公式表示，则称S是联结 词全功能集.
例1、
例2、
例3、
6、命题的永真蕴涵关系
（1）定义：若A B当且仅当ABT （2）常用的蕴涵关系式：
名称 I1 简化式 I2 附加式 I3 I4 I5 I6 I7
例3：
下述命题那些是重言式、矛盾式、偶然式
或可满足公式： （1）（P→Q）（┐Q→┐P）
（2）（P→Q）∧（Q→P） （3）（P∧Q P）（P Q）
（4） P∧（Q∨R）→（P∧Q∨P∧R）
3、等值式（等价） （1）定义 若等价式AB是重言式，则称A与B等值，记 作AB，并称AB是等值式。 （2）基本等值式：
解 A (¬ P∨Q)∧Q (¬ P∧Q)∨(Q∧Q) 分配律 (¬ P∧Q)∨(T∧Q ) 等幂,同一律 (¬ P∧Q)∨((¬ P∨P)∧Q) 排中律 (¬ P∧Q)∨(¬ P∧Q)∨(P∧Q)分配律 (¬ P∧Q)∨(P∧Q) 等幂律 m1 ∨ m3 (1,3)
例4：用公式化归法求A=(P→Q)∧Q 的主合取范式
(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 AB A \B (5) 附加规则 A \AB
(6) 化简规则 AB \A (7) 拒取式规则 AB B \A (8) 假言三段论规则 AB BC \AC
推理规则(续)
(9) 析取三段论规则 AB B \A (10)构造性二难推理 规则 AB CD AC \BD (11) 破坏性二难推理 规则 AB CD BD \AC (12) 合取引入规则 A B \AB
注：用真值表可推出这些关系式
（3）永真蕴涵关系的一个重要性质
I. 若A B，且A C，则A （B∧C）
II. 若A∧B C，则A （B→C）
III. 推广（2）：若（H 1∧H 2∧……∧H m∧P）
Q （称由H 1、H 2、……、H m、P推出Q） 则（H 1∧H 2∧……∧H m） P→Q
• • • • • • • 双重否定律 : 等幂律： 交换律: 结合律: 分配律: AA AAA, AAA ABBA, ABBA (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC)
法二、设┐P是假，则P是真。 若Q为真，则┐Q是假，故┐Q∧（P→Q）是假。 若Q为假，则P→Q是假，故┐Q∧（P→Q）是假。
例3：公式法
求证：┐Q∧（P→Q） ┐P
证明：（┐Q∧（P→Q））→┐P ┐（┐Q∧（┐P∨Q））∨┐P （Q∨（P∧┐Q））∨┐P （（Q∨P）∧（Q∨┐Q））∨┐P Q∨P∨┐P T
为什么不是：PQ∨R ？ 因为停机还可能因 为机器坏了，故不是等价关系
例2：
内容提要
2、命题的分类 设A（P1，P2，。。。，Pn）有n个命题变元的命题公式 ① 指派——命题变元的真值的2 n 种的每一种组合 ② 永真式（重言式）——对应所有的指派，其真值为真的 命题 ③ 永假式（矛盾式）——对所有的指派，其真值为假的命 题公式 ④ 偶然式——不是永真式，也不是永假式 ⑤ 可满足公式——至少存在一种指派，使其值为真
Go on…
（2） 他既有理论知识又有实践经验 设： P：他有理论知识 Q：他有实践经验 则： P∧Q
（3）说小学生编不了程序，或者说小学生用不了计算机， 那是不对的。 设： P：小学生会编程序 Q：小学生会用计算机 则： ┐（┐P∨┐Q）
Key
（4）虽然天气很好，老王还是不来。 设：P：天气很好 Q：老王来 则：P∧┐Q （5）停机的原因在于语法错误或程序错误。 设： P：停机 Q：语法错误 R：我去学校 则：Q∨R→P
答： （1） (p→q)→r) m1∨m3∨m4∨m5∨m7 q→(p→r) m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7 所以(p→q)→r) q→(p→r) （2） ┐(p∧q) m0∨m1∨m2 ┐(p∨q) m0 所以┐(p∧q) ┐(p∨q)
例6、设(pq)r成真赋值为001, 011, 101, 110, 111， 求其 主析取范式与主合取范式。
德· 摩根律 : (AB)AB (AB)AB 吸收律: A(AB)A, A(AB)A 零律: A11, A00 同一律: A0A, A1A 排中律: AA1 矛盾律: AA0 蕴涵等值式: ABAB 等价等值式: AB(AB)(BA) 假言易位: ABBA 等价否定等值式: ABБайду номын сангаасB 归谬论: (AB)(AB) A
例1——证明两个公式等值
证明 p(qr) (pq)r 证 p(qr) p(qr) （蕴涵等值式，置换规则） (pq)r （结合律，置换规则） (pq)r （德摩根律，置换规则） (pq) r （蕴涵等值式，置换规则）
例2：等值公式应用
1、用公式法求证：P∨┐（（P∨┐Q）∧Q）是永真公 式； 2、用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q(pq) (2) (pq)(qp) (3) ((pq)(pq))r) 3、其他：
（4）关于永真蕴涵关系的证明方法
（A） 真值表法： 法一、列真值表 法二、真值表推理法 ★ 假定前件是真，若能推出后件是真，则此 蕴涵式是真 ★ 假定后件是假，若能推出前件是假，则此 蕴涵式是真 （B） 公式法：
例1、真值表法——列表法
例2：
1、
2、┐Q∧（P→Q） ┐P
法一、设┐Q∧（P→Q）为真，则┐Q、（P→Q） 为真，故Q是假，所以P是假，因此有：┐P为真。
例1、 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号. 解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. 证明的形式结构为: (pq)pq 证明（用等值演算法） (pq)pq ((pq)p)q pqq 1 得证推理正确
例2：用真值表法求A=(P→Q)∧Q 的主合 取范式
PQ
¬ P∨¬ ¬ Q P∨Q P∨¬ P∨Q (P→Q)∧Q Q
1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
由上表得答案: A (¬P∨Q)∧(P∨Q)
例3：用公式化归法求A=(P→Q)∧Q 的主析取范式
4、主析取范式与主合取范式
例1：用真值表法求A=(P→Q)∧Q 的主析 取范式
PQ 0 0 1 1 0 1 0 1
¬ P∨¬ ¬ Q P∨Q P∨¬ P∨Q (P→Q)∧Q Q
1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1
由上表得答案: A (¬P∧Q)∨(P∧Q)
例2、构造下面推理的证明： 若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课， 今天必备课. 我今天下午没备课. 所以， 明天不是星期一和星期三. 解 设 p：明天是星期一，q：明天是星期三， r：我有课，s：我备课 形式结构为 前提：(pq)r, rs, s 结论：pq
解 A (¬ P∨Q)∧Q (¬ P∨Q)∧((¬ P∧P)∨Q) (¬ P∨Q)∧(¬ P∨Q)∧(P∨Q) (P∨Q)∧(¬ P∨Q) M 0 ∧ M2 (0,2)
例5、用主析取范式（或主合取范式）判断下列公式是否 等值： （1）(p→q)→r与q→(p→r) （2）┐(p∧q)与┐(p∨q)
4、形式推理的表上作业
形式推理的具体操作可在包含3列的一张表上进行. 1. 第一列是序号列, 将各次操作按先后排序; 2. 第二列是断言列或命题公式列, 内容可以是前提, 中间结论或最终结论; 3. 第三列是注释列或根据列,表明所引用的推理规则 及与之有关的行的编号.
第三列是形式推理的特点与优点.
关系式 P∧Q P，P∧Q Q P P∨Q, Q P∨Q P P Q Q P Q （P Q） P （P Q） Q P，Q P∧Q
I8 析取三段论 I9 假言推论 I10 拒取式 I11 假言三段论 I12 二难推论 I13 I14
P∧（P∨Q） Q P∧（P Q） Q Q∧（P Q） P （P Q）∧（Q P） （P R） （P∨Q）∧（P R）∧（Q R） R A B （A∨C） （B∨C） A B （A∧C） （B∧C）
（2）他既有理论知识又有实践经验
（3）说小学生编不了程序，或者说小学生
用不了计算机，那是不对的。 （4）虽然天气很好，老王还是不来 （5）停机的原因在于语法错误或程序错误。
Key
（1） a 2 + b 2 = a 2 当且仅当b = 0 设 P：a 2 + b 2 = a 2 Q：b = 0 则：P Q