第二章 大学物理牛顿运动定律
大学物理——第2章-质点和质点系动力学
a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
10
例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
12
8
桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1
大学物理2牛顿运动定律
解：分析受力：mg B R ma
v dv tK d v K ( v v ) T 运动方程变为： 0 d t 0 vT v m dt m
d v mg B Kv 加速度 a dt m mg B 极限速度为：vT K
B R
m
mg
vT v K ln t vT m
x
g sin a2 arc tg g cos
例题2-3 一重物m用绳悬起，绳的另一端系在天花板上，
绳长l=0.5m，重物经推动后，在一水平面内作匀速率圆 周运动，转速n=1r/s。这种装置叫做圆锥摆。求这时绳 和竖直方向所成的角度。
2 2Biblioteka 解： T sin m r m l sin T cos mg 角速度： 2n T 拉力：T m 2l 4 2 n 2 ml
1.电磁力
电磁力：存在于静止电荷之间的电性力以及 存在于运动电荷之间的磁性力，本质上相互联系， 总称为电磁力。 分子或原子都是由电荷系统组成，它们之间 的作用力本质上是电磁力。例如：物体间的弹力、 摩擦力，气体的压力、浮力、粘滞阻力。
2.强力
强力：亚微观领域，存在于核子、介子和超 子之间的、把原子内的一些质子和中子紧紧束缚 在一起的一种力。 15 15
F
N 1
i
i
3、矢量性：具体运算时应写成分量式
dv x Fx ma x m dt 直角坐标系中： F ma m dv y y y dt
dvz Fz maz m dt
dv 自然坐标系中： F m dt
F
n
m
v
2
4、惯性的量度： 质量
三. 牛顿第三定律
大学物理第2章-2.4 牛顿运动定律应用举例
m1g FT m1a1
a1 ar a
ar
m1 m1
m2 m2
(g
a)
m1 m2
FT
0
a2FT
y
m2 g FT m2a2
a2 ar a
FT
2m1m2 m1 m2
(g
a)
a1
P1 y
P2 0
例 如图长为 l的轻绳，一端系质量为 m
的小球,另一端系于定点 o，t 0 时小球
位于最低位置，并具有水平速度 v0，求小球
在任意位置的速率及绳的张力。
解： FT mg cos man
mg sin mat
FT mg cos mv2 / l mg sin m dv
dt
o
FT
en
v
et
v0 mg
mg sin m dv
dt
dv dv d v dv dt d dt l d
x
vx v0 cosekt/m
vy
(v0
sin
mg k
)ekt/ m
mg k
15
dx vxdt dy vydt
由上式积分代 初始条件得：
y
v0
Fr
A
P
v
o
x
x
m k
(v0
c os )(1
ekt / m
)
y
m k
(v0
sin
mg k
)(1
ekt / m
)
mg k
t
16
y
y (tan mg )x kv0 cos
v
vdv gl sind
v0
0
v v02 2lg(cos 1)
大学物理牛顿运动定律及其应用习题及答案
第2章 牛顿运动定律及其应用 习题解答1．质量为10kg 的质点在xOy 平面内运动，其运动规律为:543x con t =+(m),5sin 45y t =-(m).求t 时刻质点所受的力．解:此题属于第一类问题54320sin 480cos 4x x x x con t dx v t dtdv a t dt=+==-==- 5sin 4520cos 480sin 4y y y t v t a t=-==-12800cos 4()800sin 4()()800()x x y y x y F ma t N F ma t N F F F N ==-==-=+=2．质量为m 的质点沿x 轴正向运动，设质点通过坐标x 位置时其速率为kx 〔k 为比例系数〕，求： 〔1〕此时作用于质点的力；〔2〕质点由1x x =处出发，运动到2x x =处所需要的时间。
解:(1) 2()dv dx F m mk mk x N dt dt=== (2) 22112111ln ln xx x x x dx dx v kx t x dt kx k k x ==⇒===⎰ 3．质量为m 的质点在合力0F F kt(N )=-〔0F ,k 均为常量〕的作用下作直线运动，求： 〔1〕质点的加速度；〔2〕质点的速度和位置〔设质点开始静止于坐标原点处〕.解:由牛顿第二运动定律 200201000232000012111262v t x t F kt dv mF kt a (ms )dt mF t kt F kt dv dt v (ms )m m F t kt F t kt dx dt x (m )m m ---=-⇒=--=⇒=⎰⎰--=⇒=⎰⎰4．质量为m 的质点最初静止在0x 处，在力2F k /x =-(N)〔k 是常量〕的作用下沿X 轴运动，求质点在x 处的速度。
解: 由牛顿第二运动定律02120v x x dv dv dx dv F k /x mm mv dt dx dt dx k vdv dx v ms )mx -=-====-⇒=⎰⎰5．一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即2/x k f -=(N)，k 是比例常数．设质点在 x =A 时的速度为零，求质点在x =A /4处的速度的大小． 解: 由牛顿第二运动定律02120v x x dv dv dx dv F k /x mm mv dt dx dt dx k vdv dx v ms )mx -=-====-⇒===⎰⎰6．质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv (k 为常数)作用，t =0时质点的速度为0v ，证明(1) t 时刻的速度为v ＝t m k e v )(0-；(2) 由0到t 的时间内经过的距离为x ＝(km v 0)［1-t m k e )(-］； (3)停止运动前经过的距离为)(0km v ； (4)当k m t =时速度减至0v 的e 1，式中m 为质点的质量． 证明: (1) t 时刻的速度为v ＝t m k e v )(0- 0000ln v t k t m v dv F kv mdt dv k v k dt t v v e v m v m -=-==-⇒=-⇒=⎰⎰(2) 由0到t 的时间内经过的距离为x ＝(k m v 0)［1-t m ke )(-］ 00000(1)k t m x tk k t t m m dx v v e dt mv dx v edt x e k ---===⇒=-⎰⎰(3)停止运动前经过的距离为)(0km v 在x 的表达式中令t=0得到: 停止运动前经过的距离为)(0k m v (4)当k m t =时速度减至0v 的e1，式中m 为质点的质量． 在v 的表达式中令k m t =得到:01v v e= 7．质量为m 的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为Ｋ，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度．解: 由牛顿第二运动定律 (1) dv dv k m kv dt dt v m=-⇒=- 考虑初始条件,对上式两边积分: 000vt k t m v dv k dt v v e v m -=-⇒=⎰⎰ (2) max00max 00x k t m mv dx v e dt x dt k ∞-=-⇒=⎰⎰ 8．质量为m 的雨滴下降时，因受空气阻力，在落地前已是匀速运动，其速率为v = 5.0 m/s ．设空气阻力大小与雨滴速率的平方成正比，问：当雨滴下降速率为v = 4.0 m/s 时，其加速度a 多大？(取29.8/g m s =)解: 由牛顿第二运动定律雨滴下降未到达极限速度前运动方程为2mg kv ma -= 〔1〕雨滴下降到达极限速度后运动方程为20mg kv -= 〔2〕将v = 4.0 m/s 代入〔2〕式得2maxmg k v = 〔3〕 由〔1〕、〔3〕式 22424max 16(1)10(1) 3.6/25v v v a g m s v ===-=⨯-= 9．一人在平地上拉一个质量为M 的木箱匀速前进，如图. 木箱与地面间的摩擦系数μ＝0.6.设此人前进时，肩上绳的支撑点距地面高度为h ＝1.5 m ，不计箱高，问绳长l 为多长时最省力? 解: 由牛顿第二运动定律有sin 0cos 0T N mg T N θθμ+-=-=联立以上2式得 ()cos sin mgT μθθμθ=+上式T 取得最小值的条件为tg θμ==由此得到2.92l m =≈。
大学物理第二章牛顿第二定律
二、牛顿第一定律(惯性定律)
任何物体如果没有力作用在它上面,都将保持静止得或作匀速直线 运动得状态。
牛顿第一定律得意义: 1、定义了惯性参考系
2、定性了物体得惯性与力:保持运动状态与改变运动状态
三、牛顿第二定律
定义质点动量:Pm主F 要 d内dPt容:ddt某有mv时关刻系m质: dd点vt F受v得ddm合dtdPt力为Fddm,t则合0力与动F量得m变a化率
Fr FN (mg F sin ) (2、3-4) 将(2、3-3)式 代入(2、3-4)式,得
F cos (mg F sin ) 0
所以 F
mg
sin cos
(2、3-5)
由(2、3-5)式可知:只有当
f ( ) sin cos
为最大时,拉力才为最小,故对函数 f ( ) 求导数,则有
第三定律就是牛顿在惠更斯、雷恩、沃 利 斯弹等性人物研体究得碰碰撞撞得定时律候,得在基力础学上得建体立系得中。, 就是从牛顿定律中推出得,但从定律发现得过 程瞧,牛顿第二、第三运动定律就是从碰撞定 律、动量守恒定律得研究中逐步行成得。
六、几种常见得力与基本得自然力
❖ (一)、几种常见得力
❖ 1、重力 ——由于地球吸引而使物体受到得力叫做重力。 重力得作用使液体有天然形状--球状。
❖ 2、惯性(参考)系 (1)、惯性系定义—— 在研究物体相对运动时,选取得参考系 就是牛顿运动定律适用得参考系,这样得系统称为惯性(参考) 系; (2)、惯性系属性—— 凡就是相对于某一已知得惯性系,作匀 速直线运动得参考系也都就是惯性参考系。
？
匀速直
线运动
S
S
S系
仅凭观测球得上 抛与下落,不能 觉察车相对地面 得运动。
中国矿业大学(北京)《大学物理》课件-第二章 牛顿运动定律
★实验表明：地球是一个近似程度很高的惯性系。 ★实验还表明：相对地球做匀速直线运动的物体也 是惯性系。
中国矿业大学（北京）
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牛顿第三定律
2、牛顿第三定律
两个物体之间的作用力 F 和反作用力 F 沿
同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在两
个物体上。
F F
两点说明：
摩擦系数为 ，拉力F作用于物体上。
求：F与水平面之间的夹角 为多大时，能使物体获
得最大的加速度？
F
解：建立直角坐标系oxy，
N
根据牛顿第二定律列式：
f
F cos f ma
G
N F sin mg 0
y
f N
ox
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例题2-2
可解得： f μ(mg F sin ),
瞬时加速度。两者同时存在，同时消失。
F
m
d
v
dt
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牛顿第二定律
(3)矢量性的理解：
F
ma
m
d
v
dt
直角坐标系中的
自然坐标系中的
分量形式
分量形式
Fx
max
m dvx dt
d2 x m dt2
,
Fy
may
m dvy dt
m
d2 dt
y
2
,
Fz
maz
m dvz dt
最大静摩擦力 fmax 0N 滑动摩擦力 f N
0：静摩擦系数，：滑动摩擦系数。与接触面的 材料和表面粗糙程度有关，还和相对速度有关。
0 1
中国矿业大学（北京）
大学物理第2章 牛顿运动定律
推论：当你不去追求一个美眉，这个美眉就会待在那里不动。 2、第二定律(F=ma，物体的加速度，与施加在该物体上的外力成正比)； 推论：当你强烈地追求一个美眉，这个美眉也会有强烈的反应。 评述：这个显然也是错误的！如果你是一只蛤蟆，那么公主是不会动心的。 你的鲜花送得越勤，电话费花得越多，可能对方越是反感，还可能肥了不费力 气的对手。更可能的情况是，当多个人同时在追求一个美眉时，该美眉反而无 动于衷，心想：机会多着呢，再挑一挑。所以，紧了绷，轻了松，火候要拿捏 得好。
mgR 2 F r2
R2 dv mg 2 m 由牛顿第二定律得： r dt 2 dv dv dr dv gR 又 v dr vdv 2 dt dr dt dr r
当r0 = R 时，v = v0，作定积分，得：
v gR 2 R r 2 dr v0 vdv r
故有
k
例题2-4 不计空气阻力和其他作用力，竖直上抛物体的初速 v0最小应取多大，才不再返回地球?
分析：初始条件，r R 时的速度为 v0 只要求出速率方程 v v ( r ) “不会返回地球”的数学表示式为： 当
r 时， v 0
结论：用牛顿运动定律求出加速度后，问 题变成已知加速度和初始条件求速度方程或运动 方程的第二类运动学问题。 解∶地球半径为R，地面引力 = 重力= mg， 物体距地心 r 处引力为F，则有：
说明
1）定义力
2）力的瞬时作用规律
3）矢量性
4）说明了质量的实质 ： 物体惯性大小的量度
5）适用条件：质点、宏观、低速、惯性系
在直角坐标系中，牛顿第二定律的分量式为
d ( mv x ) Fx dt
2-1 牛顿定律大学物理
y
Fx F0t max
t=0,x=0,Vx=0 y=0.Vy=V。
dv x ax dt
F0t 2 dx vx 2 m dt
竖直方向有
v0
m
o
F (t )
x
0dx 0
x
t
F0t 2 dt 2m
F0 3 x t 6m
Fy ma y 0
运动轨迹为
F0 3 x y 3 6mv 0
x
l
dx M L dM dx x
质点与质量元间的万有引力大小为
杆与质点间的万有引力大小为
mdM mMdx df G 2 G x Lx 2
f
lL l
df
lL l
mM mM l L dx mM G 2 dx G 2 G l Lx L x l (l L)
F12 F21
牛顿第三定律
方向相反, 分别作用 在两个物体上 .
（物体间相互作用规律）
性 质 相 同
效 果 不 同
T＇ T m P P＇
地球
m
2 – 1
牛顿定律
第二章 牛顿定律
1984年2月27日，我国国务院颁布实行以国际 单位制（SI）为基础的法定单位制 . 力学的 单位名称 基本单位 符号
取适当的单位，使 k =1 ，则有
d( mv ) dm dv Fi dt dt v m dt dv Fi m dt ma
d2 y Fiy m dt 2
当物体的质量不随时间变化时
• 直角坐标系下为
d2 x Fix m dt 2
d2 z Fiz m dt 2
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解： 分析力 水平方向：迎面空气阻力、摩擦力
竖直方向：升力、重力、地面支持力
取坐标 水平前进方向： x 方向
竖直向上： y 方向
12
列方程
x方向
N
Cxv2
max
m
dv x dt
y方向 N C yv2 mg may 0
★ 注意：上两式中的 v 90km / h 、 它是飞机
av人对地
av
人对绳
av 绳对地
a人对地
a0
g
a0 3
g 2a0 3
方向：向上
26
例4. 一光滑的劈，质量为 M ，斜面倾角为 ，并位于 光滑的水平面上，另一质量为m 的小块物体，沿劈的斜面 无摩擦地滑下， 求劈对地的加速度。
m
M
y
N1
f1*
x
av2
mg
解：研究对象：m 、M
M 2L
2 (L2
r2)
17
① §惯性2.系6 惯加性速系度和av相非对 惯 0性系
牛顿运动定律适用的参照系；牛顿第一 定律定义的参照系。
太阳参照系 地心参照系 地面参照系
性质：所有相对于惯性系做匀速运动的参照系 也一定都是惯性系；相对于惯性系做变 速运动的参照系一定不是惯性系。
18
伽利略相对性原理（力学相对性原理）： 在相互作匀速直线运动的一切惯性系 中，一切力学现象是等同的；或力学 定律在所在惯性系中都是相同的。
N
' 1
sin
f
* 2
0
(（33)）
N2
N
' 1
cos
Mg
0
(4)
将
N
' 1
N1,
f1*
ma1 ,
f
* 2
Ma1 代入（2）（3）
N1 mg cos ma1 sin m对M：
N1 sin Ma1
a2
(M m)sin M m sin2
g
a1
解：在距转轴为r处取质量元dm
T(r ) T(rdr ) dm
v2 r
0 dT L M 2rdr
T( r )
rL
T (T dT ) M dr 2r
L
dm
r
dT M dr 2r
L
r L时，无约束（自由端）
T(L) 0
16
结果：
T( r )
滑行过程中任意时刻 x 方向的速度，
是vx
N
mg
C
y
v
2 x
N
C
x
v
2 x
m
dv x dt
(mg
C
yv
2 x
)
C
xv
2 x
m
dv x dx
dx dt
13
(mg
C
y
v
2 x
)
C
x
v
2 x
m
dv x dx
dx dt
条件： vx v0 90km / h 时，
vx
N
mg
0
C yv02
Cy
(90
1000 )2 3600
结果： 滑行距离 S 221(m)
14
例2 （0036）一条质量分布均匀的绳子，质 量为M、长度为L，一端拴在转轴上， 并以恒定角速度在水平面上旋转。设 转动过程中绳子始终伸直不打弯，且 忽略重力，求距转轴为r处的张力T(r)
15
a
是质点对非惯性系的加速度
v uv
F ma
22
非惯性系的牛顿第二定律：
v F
mav
vv F f*
= mav
真实
惯性力
23
例3 (0655)一根细绳跨过一光滑的定滑轮，
一端挂一质量为M的物体，另一端被人
用双手拉着，人的质量m M / 2 。若人相
对于绳以加速度 a0 向上爬，则人相对于 地面的加速度是多少？（以竖直向上为
f1*
ma2
sin 0
(1)
(2)
M对M
对M：x
:
N
' 1
sin
f
* 2
Ma1
0
(3)
y : N2
N
' 1
cos
Mg
0
(248 )
mg sin f1* cos ma2 (1)
mg cos N1 f1* sin 0 (（2)2）
惯性系：牛顿第一定律成立的参考系。
力：改变物体运动状态的原因（并非维持
物体运动状态的原因）。
5
▲ 第二定律（Second law）
F
d
(mv)
dt
F
：物体所受的合外力。
m ：质量（mass）， 它是物体惯性大小的量
度，也称惯性质量（inertial mass）。
若m = const. ， 则有：
质点运动学
力
质点动力学
刚体力学
学
狭义相对论
1
三个定律
牛顿第一定律 牛顿第二定律 牛顿第三定律
三个定理
动量定理 角动量定理 动能定理
三个守恒定律
动量守恒定律 角动量守恒定律 机械能守恒定律
2
牛顿运动定律
（Newtons Laws of Motion）
3
本章目录
Δ§2.1 牛顿运动定律 Δ§2.2 SI单位和量纲（书§2.2 ） Δ§2.3 常见的几种力（书§2.3 ） Δ§2.4 基本的自然力（书§2.4 ）
② 非惯性系 av相对 0
牛顿运动定律不适用的参照系。
19
*若在加速平动参照系：
动画
uv a
m
av
奇怪?
v N
uv a
av
v F
0
mgv
? av球对车 0
问题出在：在非惯性系中用了牛顿第二定律！
20
没问题！
动画
a
v F
0
av球对地 0
21
v
哦！
f* N
f *惯性力
Fiz F合外z maz
dv Fit F合外t mat m dt
v2
Fin F合外n man m
9
4. 解决问题的步骤
隔离体、分析力、取坐标、分解力、
列方程、 求解未知力或
ax ay az
微分方程积分
xyz
5. 力学中常见的几种力 ① 重力 P mg ②万有引力
F Gm1m2 r2
vx vy vz
③弹性力 F kx ④摩擦力 f N ⑤流体阻力 f kv
10
§2.5 牛顿定律应用举例
例1 （0534）飞机降落时的着地速度大小 v = 90km/h，方向与地面平行，飞机
与地面间的磨擦系数 = 0.10 ，迎面
空气阻力为Cxv2，升力为Cyv2 （v是 飞机在跑道上的滑行速度， Cx和Cy均 为常数）。已知飞机的升阻比 k = Cy/Cx =5，求飞机从着地到停止这 段时间所滑行的距离。（设飞机刚着 地时对地面无压力）
F
ma
a ：物体的加速度。
6
▲ 第三定律（Third Law）
· m1 F12
·m2
F21
F12 F21
对牛顿定律的说明：
1.牛顿定律只适用于惯性系；
2.牛顿定律是对质点而言的，而一般物体可认
为是质点的集合，故牛顿定律具有普遍意义。
7
详细讨论牛顿第二定律
1. 数学表达式:
v F
mav
牛顿第二定律只适用于质点及惯性系。
质aFvv量：：：相合描对外述于力物惯体性惯参性照的系物；理量;
2. 瞬时性:质点所受力与加速度同时出现，同时消失
3. 矢量性
矢量方程分解成标量方程求解
8
★ 矢量方程
分解力
标量方程
v F
mav
Fix F合外x max
Fiy F合外y may
mg M
sin cos m sin2
M对地
附：将上式代入（1）得
m对地：
av
av1
av2
L 29
作业：2.2 2.6 2.7 2.11 2.23
第二章结束
30
mav
f*
mgv
小球车受厢三中个的力观的察作者用以：车m厢gv，为参Nv，照f系惯* （性力 非惯性系）他认为，
合外力：
v F
mgv
v N
v f*
惯性力
ma
v
真实力
虚拟力
F : 质点在非惯性系受到的合力
f惯* 性力
uv ma :
mav
uvav 为非惯性系对惯性系的加速度
以劈为参照系，建立坐标如图
受力分析：如图
设M对地的加速度为 m 对M的加速度为
y
ava2v1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
N2