有限元相关知识

有限元基本方法1. 绪论绪言有限元方法是用于解决工程学和数学物理学问题的一种数值方法，然而利用数学解析的方法难于求解复杂的几何形状、载荷和力学特征的问题，数学解析通常是求解微分方程或者偏微分方程，但是对于以上复杂的情况需要利用数值方法，也就是所说的有限元的方法。

有限元方法是通过求解联立代数方程组进行问题求解，而不是微分方程。

数值方法可以求解出联立体中多个离散点未知量的近似值。

建模的过程也叫作离散化，即将物理划分为小物体或单元（有限元）组成的等价系统。

有限元方法是通过为每一个有限元建立方程，并进而组合这些方程对物体进行求解。

总之，结构问题的求解是指确定受到载荷结构的各节点的位移和应力。

而非机构问题的未知量可以使热流或者流体流动产生的温度或者流体压力。

下文有介绍有限元历史、矩阵运算方法，计算机在对于求解复杂问题的作用以及有限元的一般步骤。

1.1历史H&M于1941/1943用与求解一维单元求解连续体中的应力，C在1943年提出分段插值函数，L于1953年在其著作中提出了刚度法和位移法，然而这些方法都难以手工求解。

A和K在1954年利用能量原理建立了矩阵结构分析方法。

T等人于1956年首次使用了二维单元，推导了杆单元、梁单元、二维三角形平面应力单元和矩阵单元的刚度矩阵。

并概括了直接刚度法的过程，得到了总体刚度矩阵，随着计算机技术的发展，K等人促进了用矩阵符号表示的有限元刚度方程的进一步发挥。

M在1961年建立了平面矩阵板弯曲单元的刚度矩阵，C和S与1961年建立了轴对称壳和压力容器的曲面壳弯曲单元的刚度矩阵。

Ma于1961年利用四面体刚度矩阵的方法将有限元方法延伸到三维问题。

Ca等人于1962年考虑了非线性材料问题，并于1963年，首次处理了屈曲问题，Zie等人于1968年将有限元方法扩充到粘弹性问题。

Me于1963年认识到可以借助变分方程建立有限元方法方程，于是有限元方法开始用于求解非结构应用问题，后Zie等人求解了场问题，如确定轴的扭转，流体流动和热传导。

加权残余法的适应性使得有限元方法得以进一步扩展，人们认识到当直接公式和变分公式难以或者无法使用时，加权残余法常常是适用的。

如Ly等人在1977年将加权残余法用于确定磁场。

1.2矩阵符号简介矩阵法有限元方法的必要工具，目的是简化单元刚度方程公式，利于计算机编程。

引例如下:作用在各节点（1,2,3.......,n）上的力分量（F1X,F1Y,F1Z,......F NZ）和相应的节点位移（u1,v1,w1.......w n）。

用{}大括号表示列矩阵，矩阵所有的力或位移可以化简表示为{F}和{d}。

然而常用的矩形矩阵用方括号[]表示，如下的单元刚度矩阵[k]和总体刚度矩阵[K],分别用方矩阵表示。

在结构理论中k ij和K ij通常指刚度影响系数。

通过使用刚度总体矩阵[K]，可将总节点力[F]与总节点位移{d}进行关联，方程如下：{F}=[K]{d}方程称为总体刚度方程，这是刚度分析法和位移分析法建立的基本方程。

另外结合书本附页自己学习矩阵有关的知识。

1.3计算机在求解有限元问题的作用计算机实现了在几秒钟内完成上千个方程组的求解，在使用计算机进行求解时，分析人员需要提供确定的有限元模型，并将其相关信息（单元节点坐标、单元相互连接方式、单元的材料性能、外加载荷、边界条件或约束条件）输入计算机。

以便计算机根据这些信息生成相关的方程并进行求解。

1.4有限元的一般步骤结构力学分析中，通常使用两种有限元方法：力法、位移法（柔度法、刚度法）力法：力作为未知量，为了得到控制方程，必须先使用平衡方程，在引入协调方程作为附加方程，得到一组关于多余力和未知力的方程。

位移法:以节点位移作为未知量，协调条件要求施加载荷前后公共节点、公共边和公共表面仍要保持原先的连续条件。

变分法:适用于建立结构或者非结构问题控制方程的一种方法。

有两种原理：最小势能原理、虚功原理。

有限元中每一个单元以一个位移函数相互关联。

每一个单元通过共享接口（节点、边界、表面等）直接或者间接与其他单元连接。

通过材料的应力/应变特性，某一节点的特性可以由其他单元的特性确定。

如何将结构或者连续体划分为有限元（离散化）：如何将物体划分为具有节点的有限元等价系统，有：简单两节点线单元和高阶线单元、具有角点的简单二维单元和具有边中点的高阶二维单元、简单三维单元和具有棱边中节点的高阶三维单元、用于对称轴求解的简单三角形和四边形对称单元。

线单元：线单元有横截面积，且可变二维单元:单元是有厚度的，厚度可变也可是等厚度的。

三维单元;对称单元：可用于几何形状及载荷都是对称的问题中。

如何推导单元刚度矩阵和单元方程单元的刚度矩阵和单元的方程最初是基于刚度影响系数建立的，本书使用：直接平衡法或刚度法、功或能量法、加权残余法。

直接平衡法：利用单元的力平衡条件以及应力/应变关系得到。

应用范围是线单元和一维单元功或能量法:应用范围是二维和三维单元的刚度矩阵和方程，涉及虚功原理和最小势能和castigliano理论虚功原理可以用于任何材料，还适用于势函数不存在的情况。

最小势能原理只能应用于弹性材料。

在线弹性材料分析中，使用以上三种方法都可以得到相同的单元方程，目前更多地是使用最下势能原理泛函数：函数的函数，以函数为参数的函数，能过将有限元方法扩展到结构应力分析以外的领域。

加权残余法:多用于推导单元方程，其中迦辽金发很著名如何得到总体方程并引入边界条件：总体方程：联立各个节点方程可以得到总体的节点联立方程。

{F}=[K]{d}其中{F}是总体节点力矢量，它还包括了外加载荷，[k]是结构总体刚度矩阵（多数是对称的方阵），{d}是节点的自由度或广义位移，[k]是行列式为0 的奇异矩阵，为了去掉奇异性需要添加边界条件，使结构固定。

直接刚度法：以节点力平衡为基础的一种较为直接的叠加方法。

需要我完成的内容：矩阵运算规则、推导未知自由度，推导单元刚度矩阵和方程。

第二章引入线性弹簧再介绍刚度矩阵定义，弹簧单元刚度矩阵的推导，再利用平衡和协调的的基本概念组装由弹簧单元构成的结构的总体刚度矩阵，又引入直接刚度法的概念来通过叠加单个单元的刚度矩阵得到总体的刚度矩阵。

总体刚度矩阵建立后要怎么添加边界条件呢？（均匀或不均匀边界）最后引入最小势能原理推导弹簧的单元方程。

2.1刚度矩阵的定义如何定义：对于一个单元，其刚度矩阵[k],将节点位移{d}与同一单元的节点力{f}关联在一起：{f}=[k]{d}对于一个连续的介质或一系列单元构成的结构，刚度矩阵[K]将全局坐标（想x ，y ，z ）的节点位移{d}与整个结构的总体力[F]关联在一起：{F}=[K]{d}[K] 表示整个弹簧组装的刚度矩阵。

2.2弹簧单元刚度矩阵的推导推导过程：方法：直接平衡法（胡克定理）参考点：1,2叫做单元节点。

自由度：节点位移叫做每个节点的自由度本构定律：结构问题有胡克定律、热传导问题有傅里叶定律、流体流动有达西（darcy ）定律，电网络有欧姆定律。

⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧212221121121u u k k k k f f x x K ij 代表由地第j 个自由度的单位位移d j 在第i 个自由度需要的力Fi 。

步骤一：如何选择单元类型弹簧单元有两个节点，在每个节点标上节点号，并标上单元号来表示这一单元。

步骤二：如何选择位移函数位移函数的用途：对解得形状或单元内的位移分布进行假设。

最常用的函数是多项式。

弹簧的位移函数表示为：u=x a a 21+其中a 的个数与单元相关的自由度的总数相等。

这里每一个单元有两个自由度，函数的矩阵表达形式为： u=[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧211a a x 如上图，我们用u 1和u 2表示1,2节点位移，u 表示位移函数。

u(0)=u 1=1au(L)=u 2=1212u L a a L a +=+解得：Lu u a 122-=则位移函数可以表示为：u=112)(u x Lu u +- 用矩阵形式表示为： u=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211u u L x L x 或 u=[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧2121u u N N 其中N 1、N 1 称为形函数，N i 称为内插函数。

步骤三：定义应变/位移和应力/应变关系弹簧两端受到拉力T 总伸长(变形)为0δ，弹簧的总变形表示如下：12)0()(u u u L u -=-=δ而对于弹簧，将弹簧力与变形直接联系起来，可以不需要应变/位移的关系： T=k δ带入变形式得：)(12u u k T -=步骤四：如何推导单元刚度矩阵和单元方程？利用节点力符号和里的平衡得出：T f x -=1 T f x =2利用步骤三的方程可以表示为：)(121u u k f T x -=-=)(122u u k f T x -==用矩阵表示为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧2121u u k k k k f f x x 以上关系对于x 轴的弹簧成立，线弹性单元的刚度矩阵表示为：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=k kk k k 特点：方阵、对称阵。