Winkler地基上材料非线性矩形薄板主参数共振研究

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第一作者杨志安男，博士，教授，６年ｌ月生１３９１
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振动与冲击
２００７年第２６卷
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度；Ｗ为横向挠度；为阻尼系数；为地基系数。Ｂ＝ｃｋ
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为板的抗弯刚度，Ｅ和分别而
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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为弹性模量和横向变形系数。以下以边界条件可以简化为四边简支的Ｗｉｋｅ地基上材料非线性矩形薄板ｎｌｒ为例，照图１四边简支边界条件为对，
＋
不失一般性设 ∞＝１Ｅ＂＋Ｏ这里ｏ是调谐值，，ｒ采用多尺度法 ¨ 选用两个时间尺度（，１，主参数共，Ｔ）设
影响。
关键词：非线性，ａｒｉ方法，Ｇｌｋｎｅ多尺度法，主参数共振，ｎｌ地基，Ｗｉｋｅｒ分岔
中图分类号：Ｏ２；Ｂ３３１Ｔ３文献标识码：Ａ
近年来，同几何特性板的非线性振动得到了人不们广泛的研究，这些研究涉及了几何非线性对板的振动的影响，考虑了各向异性、度、切变形或转动还温剪惯性等更为复杂的因素。地基板是工程中常见结构，近年来有许多学者考虑各种非线性效应的影响，讨论了板在不同荷载形式下的振动问题。因为在公路路面、机场跑道、机场、业地坪及建筑基础等多种停工工程中都会遇到地基板的计算分析，以弹性地基板所的研究具有十分重要的工程意义。文［ —４对薄板非１］线性问题进行了研究，［］线性地基上矩形薄板振文５对动问题进行了研究，述研究未涉及非线性地基及非上线性振动的计算。文［９研究非线性弹性地基上圆６— ］板的振动问题。文［０—１］究非线性弹性地基上矩１１研形板的复杂混沌运动和参数共振问题。文［２研究非１］线性弹性矩形板自由振动问题。最近，学家将纤维科加入混凝土中制成一种重量轻、裂缝、用持久的可抗耐弯曲材料，此种材料的应力应变之间存在非线性关系。
ｏｒ＝Ｅ一Ｂ）（
收稿日期：２００６—０２修改稿收到日期：０６＝０２— ８２０５—１５
２－＼￣ａ）Ⅳ （／０）。１）Ｗ（ｗ＋警＋ｚ２［＇ Ⅳ ＋挚＋Ｗ２ｐｃ－ｈ０Ｏ
（）州。＋ｃ＝ｏ＋Ⅳ ２＋ｈｐ＋（）２
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振
第２６卷第３期
动
与
冲击
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＶＩＡＴＯＮＡＮＤＨＯＣＫＢＲＩＳ
Ｗｉｋｅ地基上材料非线性矩形薄板主参数共振研究ｎｌｒ
杨志安，韩彦斌
（山学院唐山市结构与振动工程重点实验室，唐唐山０３０）６００
这种新型材料被称作 “ 程水泥复合材料（Ｃ）。本工ＥＣ”
ｋ — —— — — — — —— —— — — — — —
图１力学模型
其中Ｅ为材料的弹性模量，另一个新的材料常数，Ｂ为
且Ｂ可为正值也可为负值。由弹性力学理论，图１所示Ｗｉｋｅ地基上材料非线性矩形薄板的动力学ｎｌｒ
方程 ’
。３｛）挚＋一（（＋））（（）２）（）（（挚（＋警））
［（）（（）ａ＋ｓ２＋
文研究一个置于Ｗｉｋｅ地基上四边简支且两对边受ｎｌｒ有纵向简谐激励具有线性阻尼的材料非线性矩形薄板
摘要研究Ｗｉｌ地基上材料非线性矩形薄板受参数激励的参数共振动问题。按照弹性力学理论建立Ｗｎｌ地ｎｅｋｒｉｅｋｒ
基上材料非线性矩形薄板受参数激励的动力学方程。利用Ｇｌｒｉａｅｎ方法将其转化为非线性振动方程。应用非线性振动ｋ
的多尺度法求得系统满足主参数共振条件的一次近似解，并进行数值计算，分析定常解的稳定性。给出主参数共振系统参数平面的分岔集和幅频响应方程的分岔图。分析激励、值、尼系数、调谐阻非线性参数、几何参数对共振响应曲线的
的主参数共振问题。
２）（（２】＋
４（（）））（＋
１基本方程
考虑图１所示的四边简支材料非线性矩形薄板，
板厚为ｈ长、，宽分别为石和ｂ在两对边受有纵向简谐，压力 Ⅳ。 Ⅳ ，虑Ｗｉｋｅ基反力ｋＷ和阻尼力。和２考ｎｌｒ地对单向应力状态，材料非线性矩形薄板应力一应变设的非线性方程如下（多非线性弹性材料具有类似的许本构关系）

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Winkler弹性地基板梁的自由振动分析

Winkler弹性地基板梁的自由振动分析魏纲;李钢;蒋吉清;魏新江【摘要】中短型轨道板的几何构型介于梁、板之间,属于宽梁结构。

从Mindlin板理论出发,退化得到适用于宽梁的Mindlin板梁控制方程;引入Winkler地基刚度系数,推导得到位移和转角的模态函数表达式。

考虑两端简支的边界条件,得到弹性地基板梁的自由振动特征方程。

通过无量纲数值算例求解出弹性地基板梁的自振频率,并与Timoshenko梁理论和Mindlin板理论进行对比。

研究高跨比、泊松比和弹性地基刚度等参数对结构自振特性的影响,总结出弹性地基板梁方程的特点及适用范围,即宽度效应显著且泊松比较大的宽梁结构。

【期刊名称】《地震工程学报》【年(卷),期】2015(037)003【总页数】5页(P655-659)【关键词】Winkler地基 Mindlin板梁自振频率泊松比【作者】魏纲;李钢;蒋吉清;魏新江【作者单位】[1]浙江大学城市学院工程分院,浙江杭州310015;[2]浙江大学建筑工程学院,浙江杭州310058【正文语种】中文【中图分类】TU311.3通信作者：蒋吉清。

E-mail：****************.cn。

Key words： Winkler foundation; Mindlin plate-beam; natural frequency; Poisson's ratio梁和板是土木工程常用的结构形式，其相关的力学问题一直是学者研究的热点[1-3]。

工程中常用的梁理论有Euler梁和Timoshenko梁两类，板理论则有Kirchhoff板和Mindlin板等。

相对而言，Timoshenko梁和Mindlin板在中厚结构及中高频动力分析方面更具优越性。

有学者采用Timoshenko梁对Mindlin板进行退化分析[4]，但在退化过程中却未能考虑Timoshenko梁在结构宽度方向上的尺寸效应。

弹性地基上的梁和板振动是工程领域广泛关注的重要问题之一。

非线性弹性地基上圆形薄板主参数共振研究

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第２Ｏ卷第６期２００７年儿月
唐山学院学报
ＪｕｎｌｆＴａｇｈｎＣｌｇｏｒａｎｓａｏｌｅｏｅ
Ｖ０．ＯＮｏ６Ｉ２．
ＮＯＶ０．２０７
非线性弹性地基上圆形薄板主参数共振研究
ｐｒｍｅｒｃｒｓｎａｃ；ｃｒｕｌｒｐｌｔａａｔｉｅｏｎｅｉｃａａｅ
０引言
近年来．同几何特性板的非线性振动得到了人们广泛不
本文研究一个置于非线性地基上圆板的参数共振问题。
ｌ非线性弹性地基上圆形薄板受简谐激励
的基本方程
考虑图１示的周边固定的圆形薄板．厚为ｈ半径为所板。Ｒ，其周边上均匀分布简谐压力 Ⅳｒ。在 —ｎ＋ｃｓｔ考虑非ｏＳ．
关键词：非线性地基；ａｅｋｎ方法；Ｇｌｒｉ多尺度法；主参数共振；圆板
中图分类号：２文献标识码：０３１Ａ文章编号：６２—３９２０）６０１４１７４Ｘ（０７０ —００ —０
ＳｕｙｏｉａｙＰａａｅｒｃＲｅｏｎｅｔｄｎＰｒｍｒｒｍｔｉｓｎａｃ
杨志安
（山学院唐山市结构与振动工程重点实验室．北唐山０３０）唐河６００
摘要：究非线性地基上圆形薄板受简谐激励的非线性振动问题。按照弹性力学理论建立非线性研地基上圆形薄板受简谐激励的动力学方程，利用Ｇａｅｋｎ方法将其转化为非线性振动方程，方ｌｒｉ该程是马休型方程。应用非线性振动的多尺度法求得系统主参数共振的近似解，并进行数值计算。分析阻尼、地基系数、何参数等对共振响应曲线的影响。几

Winkler地基梁在温度场中受简谐激励的主参数共振分析

应用非线性振动的多尺度法，求得系统主参数共振的近似解。分析不同参数对主参数共振响应曲线的影响。关键词：Ｗｉｌ地基；温度场；多尺度法；非线性振动ｎｅｋｒ
中图分类号：Ｔ３５１Ｕ７．文献标识码：Ａ文章编号：１０．１５（０７２０１．３０９９１２０）０．０２０
将上两式代入式（）中得５
＋历歹＝一一ｇｃｓｉ一）（２Ｙｏ２ —
（）６ ຫໍສະໝຸດ 其中：，：
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一
为了简化研究过程，不失一般性，设
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采用多尺度法，设主参数共振情况下～次近似解为
Ｗｉｌｎｅｋｒ地基梁是工程中一种常见结构，本文研究两端简支Ｗｉｌｎｅｋｒ地基梁在温度场中受简谐激励作用的主参数共振问题，分析不同参数对主参数共振响应曲线的影响。１Ｗｉｋｒｎｌ地基梁在温度场中的受力模型和振动方程ｅ图１为两端简支Ｗｉｋｅ地基上梁的力学模型，考虑温度ｎｌｒＲ
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第２卷第２期９
Ｖｔ２ｏ．．９Ｎｏ２．
唐山师范学院学报
２００７年３月
Ｍａ．００７ｒ２
ＪｕｎｌｆａｇｈｎＴａｈｒｏｌｅｏｒａＴｎｓａｃｅｓＣｌｇｏｅｅ
ｆ＝ｙ（，）ｙ（，））ｏＸ０Ｘ１＋ｅｌ０Ｘ１
（）８
将式（）代入式（）并考虑式（），８６７比较同次幂系数，得

《2024年双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板振动的辛叠加方法》范文

《双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板振动的辛叠加方法》篇一一、引言在工程和物理领域，正交各向异性矩形薄板振动的研究具有广泛的应用背景。

特别是在双参数弹性地基上，这种振动的分析变得尤为复杂。

传统的数值方法和解析方法在处理这类问题时，往往面临计算量大、精度低等挑战。

本文提出了一种基于辛叠加方法的双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板振动分析方法，旨在解决上述问题，提高计算精度和效率。

二、问题描述与模型建立双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板的振动问题，涉及到复杂的物理过程和数学模型。

首先，我们需要建立薄板的物理模型，包括各向异性的材料属性、双参数弹性地基的力学特性等。

其次，根据薄板的几何尺寸和边界条件，建立振动问题的数学模型。

该模型将振动问题转化为偏微分方程的求解问题。

三、辛叠加方法的原理辛叠加方法是一种基于辛几何的数值分析方法，具有较高的计算精度和稳定性。

该方法通过将振动问题分解为一系列简单的子问题，利用辛几何的性质进行求解，最后将各个子问题的解进行叠加，得到原问题的解。

在双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板振动问题中，辛叠加方法可以有效地降低问题的复杂度，提高计算效率。

四、辛叠加方法的应用在双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板振动问题的分析中，我们首先将薄板划分为若干个小的子区域，每个子区域内的振动问题可以简化为一个简单的子问题。

然后，利用辛叠加方法求解每个子问题，得到子问题的解。

最后，将各个子问题的解进行叠加，得到原问题的解。

在求解过程中，我们需要考虑薄板的各向异性材料属性、双参数弹性地基的力学特性等因素对振动问题的影响。

五、结果分析与讨论通过辛叠加方法，我们得到了双参数弹性地基上正交各向异性矩形薄板振动的解。

通过对解的分析，我们可以得到薄板在不同频率下的振动特性、振型分布等信息。

与传统的数值方法和解析方法相比，辛叠加方法具有更高的计算精度和效率。

此外，我们还讨论了各向异性材料属性、双参数弹性地基的力学特性等因素对振动问题的影响，为实际工程中的应用提供了理论依据。

Winkler基础上矩形板在均布荷载作用下的突变分析

［收稿日期］２００５一ｌ —２２２［者简介］张系斌（９６一，男，１８年大学毕业，硕士，教授，现主要从事结构工程方面的教学与研究工作。作１５）９２
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・
９２・
硼一Ａ硼０ｚ，（）』（）。￡
一一
ＥＬ（硼。硼。，）
（Ｏ１）
解得：
（）一ｚ，（ｆ）＋（１１）
式中，一（）ｚ，为方程式（Ｏ的特解；一（）１）ｚ，为其通解，包含待定系数ｃ由边界条件式（）４～
（）７确定。又将式（）（）代入式（）再由迦辽金（ａ爸ＫＨ方法，：８和９２，ｒＪｐＨ）Ｉ得
模量；＾为板厚度；为泊松比；为板质量密度；Ｉ２ｌＤ走为基床系数；ｑ是作用于板面上外激励；算子Ｌ（Ｂ）：Ａ，为
＝＝＝
雾等＋等一２
㈤
（）４
对于上述大挠度振动的基本方程，在其边界上应满足的４个边界条件一般应为：
长江大学学报（自科版）
２００６年９月
（）８
声一（）（）ｚ，Ｔｚ￡
（）９
式中，Ｏｚ）给定已知函数；ｚ，Ｗ（，为（）和丁（）待求函数。式（）（）代人基本方程（）：￡为将８，９１得
。。
的突变问题进行研究。研究中，仍然采用薄板理论的前３个基本假设，即认为：① 变形前垂直于中面的直线在变形后仍为一直线，并保持与中面垂直；② 忽略沿中面垂直方向的法向应力；③ 只计人质量

Winkler地基对薄圆板的非线性弯曲行为的影响

肃科学学报，２０１７，２９（２）：９５ — ９８．］
ｄｏｉ：１０．１６４６８／ｊ．ｃｎｋｉ．ｉｓｓｎｌ００４ — ０３６６．２０１７．０２．０２０．
Ｗｉｎｋｌｅｒ地基对薄圆板的非线性弯曲行为的影响
［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧａｎｓｕＳｃｉｅｎｃｅｓ，２０１７，２９（２）：９５ — ９８＿ｒ赵晓军．Ｗｉｎｋｌｅｒ地基对薄圆板的非线性弯曲行为的影响［Ｊ］．甘
由于现代工程中许多以弹性板构件为承载部件
的结构被越来越多地应用于航空航天、土木工程等工程领域，因此，板构件的屈曲以及弯曲已成为近代结构力学的重要研究内容之一＿１＿引。李世荣 Ⅲ 研究了弹性圆板的热过屈曲行为。杜国君等利用空间模态假设和变分法，研究了均布载荷作用下夹层圆板大幅度振动的弯曲问题。吴晓等［６］用能量法研究了双模量大挠度圆板的轴对称弯曲。以上研究都没有考虑弹性地基的影响，弹性地基板在工程中具有广泛的应用背景。目前弹性地基梁的模型主要采取Ｗｉｎｋｌｅｒ模型，ｗｉｎｋｌｅｒ地基模型实质上是将地基看作一系列各自独立的弹簧系数，地基板的位移表现为弹簧体系的变形。杨学祥［７利用文克尔局部弹性地基模型，求解均布荷载作用下一端固定的弹性地基梁的基底压力，提出并分析将一端固定的文克尔地基梁应用于工程的可能性。文献［８］中提出了一种改进的Ｗｉｎｋｌｅｒ地基模型，研究了抛物线载荷作用下梁的力学行为。文献Ｅ９］中给出了一种抛物线荷载下双参数弹性地基梁

Winkler地基上黏弹性输流管的参数共振稳定性

２．Ｒｉｚｈａｏｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ２７６８２６，Ｃｈｉｎａ；
３．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭｅｃｈａｎｉｃｓ，ＳｈａｎｇｈａｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２０Ｏ４４４，Ｃｈｉｎａ）
ｃｏｎｄｏｎＷｉｎｋｌｅｒｅｌａｓｔｉｃｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ
ＺＨＡＮＧＪｉ — ｇｕａｎｇ ’ ，ＣＨＥＮＬｉ — ｑｕｎ ’ ，ＱＩＡＮＹｕｅ — ｈｏｎｇ
ｓｍａｌｌ，ｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｍｕｌｔｉ — ｓｃａｌｅｗａｓａｐｐｌｉｅｄｄｉｒｅｃｔｌｙｔｏｔｈｅｇｏｖｅｒｎｉｎｇｅｑｕａｔｉｏｎｔｏｅｓｔａｂｌｉｓｈｔｈｅｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆｐａｒａｍｅｔｉｃｒｒｅｓｏｎａｎｃｅｓ．Ｔｈｅｅｆｆｅｃｔｓｏｆｐｕｌｓａｔｉｎｇｌｆｕｉｄｌｆｏｗｖｅｌｏｃｉｔｙ，ｄａｍｐｉｎｇｃｏｅｉｃｆｉｅｎｔａｎｄｍａｓｓｒａｔｉｏｓｏｎｔｈｅｐａｒａｍｅｔｒｉｃ
振第３２卷第１３期
动
与
冲

弹性地基板动力问题的数值分析

(5) 建立了三维点辐射八结点无限元模型，推导了该模型的单元刚度矩阵和单元质量矩阵。该模型坐标映射函数与位移函数形式简单，便于与三维二十结点等参单元进行耦合计算。编制了有限元与无限元耦合静力分析程序，分析了半空间地基与板的静力共同作用。结果表明，用有限元与点辐射无限元耦合来对弹性半空间进行
I
模拟是准确有效的。静力分析不仅可作为动力分析的基础，而且在工程中有实际意义。
(5) The model of three-dimensional point-radiate 8-node infinite element is established. Its stiffness and mass matrices are deduced. Its mapping function and displacement function are very concise. It can be easily coupled with the 3D 20-node isoparametric element. The responding program coupling finite and infinite elements for the static analysis is coded, and is applied to analyze the static cooperation of the half space foundation and the plate. Results show that it is accurate to simulate the half space foundation by coupling finite elements and point-radiate infinite elements. The static analysis not only can be as a base of the dynamic analysis, but also has the practic significance in engineering.

粘弹性Winkler地基上Bernoulli-Euler梁横向自振特性

第３９卷　第６期２０２０年１２月兰州交通大学学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＬａｎｚｈｏｕＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＶｏｌ．３９Ｎｏ．６Ｄｅｃ．２０２０收稿日期：２０１９?１０?３１学报网址：ｈｔｔｐ：／／ｌｚｔｘ．ｃｂｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ基金项目：国家自然科学基金（５１２６８０３１，１１６６２００７）；甘肃省基础研究创新群体（１４５ＲＪＩＡ３３２）第一作者：付艳艳（１９８７－），女，甘肃陇西人，博士研究生，主要研究方向为土结构耦合动力学．Ｅ?ｍａｉｌ：６４８００９０８９＠ｑｑ．ｃｏｍ．通信作者：余云燕（１９６８－），女，浙江江山人，教授，博士生导师，工学博士，主要研究方向为土结构耦合动力学．Ｅ?ｍａｉｌ：ｙｕｙｕｎｙａｎ＠ｍａｉｌ．ｌｚｊｔｕ．ｃｎ．文章编号：１００１４３７３（２０２０）０６?００２１?０５ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１?４３７３．２０２０．０６．００４粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁横向自振特性付艳艳，余云燕（兰州交通大学土木工程学院，兰州　７３００７０）摘要：以粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁为目标，研究其在经典边界条件下的横向自由振动特性．基于回传射线矩阵法，根据振动控制方程及边界耦合条件推导得到各经典边界条件下的频率方程，进而求解得到粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁在两端简支边界条件下的自振频率的解析解、其他边界条件下自振频率的近似解析解及衰减系数的解析解；最后，在单一局部坐标系下推导了各经典边界条件下的模态函数表达式．为地基梁振动特性的研究提供理论基础．关键词：粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基；Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁；横向自由振动特性；回传射线矩阵法中图分类号：ＴＵ４７０；Ｏ３２７文献标志码：ＡＴｒａｎｓｖｅｒｓｅＮａｔｕｒａｌＶｉｂｒａｔｉｏｎＣｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒＢｅａｍｏｎＶｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃＷｉｎｋｌｅｒＦｏｕｎｄａｔｉｏｎＦＵＹａｎ?ｙａｎ，ＹＵＹｕｎ?ｙａｎ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＬａｎｚｈｏｕＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ７３００７０，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒｂｅａｍｏｎｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃＷｉｎｋｌｅｒｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｉｓｓｔｕｄｉｅｄｆｏｒｉｔｓｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｆｒｅｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｕｎｄｅｒｃｌａｓｓｉｃａｌｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｒｅｖｅｒｂｅｒａｔｉｏｎ?ｒａｙｍａｔｒｉｘ，ｔｈｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｅｑｕａｔｉｏｎｓｕｎｄｅｒｖａｒｉｏｕｓｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｒｅｄｅｒｉｖｅｄａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｖｉｂｒａｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎａｎｄｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｕｐｌｉｎｇｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅａｎａｌｙｔｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｎａｔｕｒａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｏｆＢｅｒｎｏｕｌｌｉ?ＥｕｌｅｒｂｅａｍｏｎｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃＷｉｎｋｌｅｒｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｕｎｄｅｒｓｉｍｐｌｙｓｕｐｐｏｒｔｅｄｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅａｎａｌｙｔｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｎａｔｕｒａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｕｎｄｅｒｏｔｈｅｒｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｎｄａｎａｌｙｔｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆａｔｔｅｎｕａｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅｍｏｄａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｓｕｎｄｅｒｅａｃｈｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｒｅｄｅｒｉｖｅｄｉｎａｓｉｎｇｌｅｌｏｃａｌｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｙｓｔｅｍ，ｗｈｉｃｈｐｒｏｖｉｄｅｓａｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｂａｓｉｓｆｏｒｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆｖｉｂｒａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｂｅａｍｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃＷｉｎｋｌｅｒｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ；ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒｂｅａｍ；ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｎａｔｕｒａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ；ｍｅｔｈｏｄｏｆｒｅｖｅｒｂｅｒａｔｉｏｎｒａｙｍａｔｒｉｘ地基和基础共同工作、相互联系、相互影响，对其进行整体分析的思想得到了工程界及科学界的广泛认可，地基梁模型的提出也是这种思想的产物．地基梁理论在结构工程、铁道工程及隧道工程中多有兰州交通大学学报第３９卷应用［１?３］．此前，关于地基梁自振特性的研究已有很多．楼梦麟等［４］采用用模态摄动法求解了复杂情况下弹性地基梁的自振频率，并讨论了弹性地基对梁特性的影响．文献［５?６］运用复模态分析方法研究了有限长粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基及Ｐａｓｔｅｒｎａｋ地基梁的振动特性，得出多种边界条件下的复频率方程和复模态函数表达式．丁虎等［７］由共振关系求解了Ｐａｓｔｅｒｎａｋ地基上ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁两种经典边界（简支及两端固支）条件下的自振频率及模态．马建军等［８］采用分离变量法，考虑有限深度土体运动的影响求解了弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁的模态构型和固有频率．以上的研究多以近似解或数值解为主，自振特性方程也较为复杂，且研究的边界条件通常较为单一，即便是有对多种边界条件下自振特性的研究，各边界条件下的联系与区别也不甚分明．近年来，回传射线矩阵法在结构的瞬态响应、损伤检测等研究中得到了应用［９１０］．同时，在结构的自振特性研究中也有一定的应用［１１?１５］，而这些研究多为数值解的研究，而对于解析解及近似解的研究甚少，且对于模态函数的研究多在实数域中进行．故而，本文基于回传射线矩阵法，在复数域中对经典边界条件下粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上的Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁的横向自振特性的解析解或近似解进行研究．１　振动控制方程及方程的解粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的力学模型及坐标系如图１所示．!"# !"$% & $'()*+,--./0,-()梁"!图１　粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁的力学模型及坐标系Ｆｉｇ．１　ＭｅｃｈａｎｉｃａｌｍｏｄｅｌａｎｄｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｙｓｔｅｍｓｏｆＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒｂｅａｍｏｎＷｉｎｋｌｅｒｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上的ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的节点编号如图１所示，在节点１及节点２处分别建立局部坐标系ｘ１２和ｘ２１，两局部坐标系之间的关系为：ｘ１２＝ｌ－ｘ２１，ｌ表示梁长．整体坐标系ｘ建立在节点１处，且与局部坐标系ｘ１２的方向相同．其横向振动控制方程如式（１）所示．ＥＩ４ν（ｘ，ｔ）ｘ４＋κν（ｘ，ｔ）＋β ν（ｘ，ｔ）ｔ＋ρＡ２ν（ｘ，ｔ）ｔ２＝０．（１）其中：Ｅ、ρ、Ａ和Ｉ分别表示梁体材料杨氏模量、梁体的材料密度、横截面面积和横截面对其形心主轴的惯性矩；κ、β为地基的弹簧系数及阻尼系数；ν为梁的挠度；ｔ为时间．对式（１）无量纲化，令ν＝ν－ｌ；ｔ＝ｔ－ｌ／ｃ０；ｘ＝ｘ－ｌ．（２）式中：ｃ０＝Ｅ／槡ρ为纵波波速，将式（２）带入式（１）得：４ν－（ｘ－，ｔ－）ｘ－４＋κ－ν－（ｘ－，ｔ－）＋β－ν－（ｘ－，ｔ－）ｔ－＋α１２ν－（ｘ－，ｔ－）ｔ－２＝０．（３）式中：κ－、β－及α１分别表示无量纲化的地基弹簧系数、无量化的地基阻尼系数及与梁体尺寸有关的量．其表达式分别为κ－＝κ－ｌ４ＥＩ；β－＝βｃ０ｌ３ＥＩ；α１＝Ａｌ２Ｉ．（４）引入Ｆｏｕｒｉｅｒ变换对，对式（３）进行Ｆｏｕｒｉｅｒ变换，得：ｄ４＾ν（ｘ－，ω）ｄｘ－４＋（κ－＋ｉωβ－－ω２α１）＾ν（ｘ－，ω）＝０．（５）式中：带有顶标“＾”的变量为频域中的变量；ω＝ω－ｎ＋ｉδｎ为角频率；ω－ｎ、δｎ分别为自振频率和衰减系数．求解式（５），得：＾ν＝ａ１（ω）ｅｉλ１ｘ－＋ｄ１（ω）ｅ－ｉλ１ｘ－＋ａ２（ω）ｅｉλ２ｘ－＋ｄ２（ω）ｅ－ｉλ２ｘ－．（６）其中：ａｊ（ω）为入射波波幅；ｄｊ（ω）为出射波波幅；λｊ为波数，其表达式为λ１＝４ω２α１－ｉωβ－－κ槡－；λ２＝ｉ４ω２α１－ｉωβ－－κ槡－{．（７）２２第６期付艳艳等：粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁横向自振特性无量纲化的弯矩Ｍ＾、剪力Ｑ＾、转角＾＝ｄ＾ν（ｘ－，ω）／ｄｘ的表达式为Ｍ＾＝ＥＩｌ｛λ２１［ａ１（ω）ｅｉλ１ｘ－＋ｄ１（ω）ｅ－ｉλ１ｘ－］＋λ２２［ａ２（ω）ｅｉλ２ｘ－＋ｄ２（ω）ｅ－ｉλ２ｘ－］｝；Ｑ＾＝ＥＩｌ２｛ｉλ３１［ａ１（ω）ｅｉλ１ｘ－－ｄ１（ω）ｅ－ｉλ１ｘ－］＋ｉλ３２［ａ２（ω）ｅｉλ２ｘ－－ｄ２（ω）ｅ－ｉλ２ｘ－］｝；＾＝ｉλ１［ａ１（ω）ｅｉλ１ｘ－－ｄ１（ω）ｅ－ｉλ１ｘ－］＋ｉλ２［ａ２（ω）ｅｉλ２ｘ－－ｄ２（ω）ｅ－ｉλ２ｘ－］．（８）２　经典边界条件下的自振频率及振动模态分别考虑两端简支、两端自由、两端固支、简支自由、简支固支及固支?自由六种边界条件下的自振频率和模态函数，其节点耦合条件如表１所列．表１　经典边界条件下粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上ＥｕｌｅｒＢｅｒｎｏｕｌｌｉ梁的节点耦合条件Ｔａｂ．１　ＮｏｄａｌｃｏｕｐｌｉｎｇｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆＢｅｒｎｏｕｌｌｉ?ＥｕｌｅｒｂｅａｍｓｏｎｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃＷｉｎｋｌｅｒｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｕｎｄｅｒｃｌａｓｓｉｃａｌｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ边界条件力平衡位移协调端点１端点２端点１端点２两端简支Ｍ＾１２＝０Ｍ＾２１＝０ν＾１２＝０ν＾２１＝０两端自由Ｍ＾１２＝０Ｍ＾２１＝０Ｑ＾１２＝０Ｑ＾２１＝０－－两端固支－－ν＾１２＝０ν＾２１＝０＾１２＝０＾２１＝０简支?自由Ｍ＾１２＝０Ｍ＾２１＝０Ｑ＾２１＝０ν＾１２＝０－简支固支Ｍ＾１２＝０－ν＾１２＝０ν＾２１＝０＾２１＝０固支?自由－Ｍ＾２１＝０ν＾１２＝０Ｑ＾２１＝０＾１２＝０－２．１　两端简支边界条件下的自振频率和模态函数以两端简支为例，基于回传射线矩阵法推导其频率方程及模态函数，将式（６）及式（８）代入表１中两端简支的节点耦合条件中，可得：ａ１２１（ω）＋ｄ１２１（ω）＋ａ１２２（ω）＋ｄ１２２（ω）＝０；λ２１［ａ１２１（ω）＋ｄ１２１（ω）］＋λ２２［ａ１２２（ω）＋ｄ１２２（ω）］＝０；ａ２１１（ω）＋ｄ２１１（ω）＋ａ２１２（ω）＋ｄ２１２（ω）＝０；λ２１［ａ２１１（ω）＋ｄ２１１（ω）］＋λ２２［ａ２１２（ω）＋ｄ２１２（ω）］＝０．（９）对式（９）进行整理并合并为ｄ＝Ｓ１ａ．（１０）式中：ａ和ｄ表示总体入射波波幅向量和总体出射波波幅向量；Ｓ１为两端简支边界条件下粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁的总体散射矩阵．其表达式分别为ａ＝［ａ１２１ａ１２２ａ２１１ａ２１２］Ｔ；ｄ＝［ｄ１２１ｄ１２２ｄ２１１ｄ２１２］Ｔ；Ｓ１＝１１００λ２１λ２２００００１１００λ２１λ２２－１－１－１００－λ２１－λ２２００００－１－１００－λ２１－λ２２．（１１）由于出射波波幅向量和入射波波幅之间存在如下的相位关系：ｄ＝Ｐｄ～．（１２）式中：ｄ～与ｄ中的元素完全相同，仅排列顺序不同，Ｐ为传播矩阵，其表达式分别如下．ｄ～＝［ｄ２１１ｄ２１２ｄ１２１ｄ１２２］Ｔ；Ｐ＝－ｅ－ｉλ１ｌ－００００－ｅ－ｉλ２ｌ－００００－ｅ－ｉλ１ｌ－００００－ｅ－ｉλ２ｌ－．（１３）式中：ｌ－为无量纲的梁长，其值等于１，引入置换矩阵Ｕ＝００１００００１１００００１００．（１４）以调整ｄ～中元素的位置，从而有：ａ＝ＰＵｄ．（１５）将式（１５）代入式（１０）中并整理得：［Ｉ－Ｒ］ｄ＝０．（１６）式中：Ｒ＝Ｓ１ＰＵ为两端简支边界条件下粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的回传射线矩阵．式（１６）中，ｄ有非零解的条件为：系数行列式等于零，得到两端简支边界条件下粘弹Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上的ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的频率方程为｜Ｉ－Ｓ１ＰＵ｜＝（１－ｅ－２ｉλ１）（１－ｅ－２ｉλ２）＝０．（１７）３２兰州交通大学学报第３９卷根据指数函数和三角函数的变换关系，将式（１７）转化到三角函数形式，为（１－ｃｏｓ２λ１＋ｉｓｉｎ２λ１）（１－ｃｏｓ２λ２＋ｉｓｉｎ２λ２）＝０．（１８）从而得到：ｃｏｓ２λ１＝１．（１９）忽略其代表刚体运动的奇异解λ１＝０，其它的根为λ１＝ｎπ，ｎ＝１，２，３…．（２０）则由式（７），解得：ω＝ｉβ－２α１±κ－＋ｎ４π４α１－β－２４α槡２１．（２１）由式（２１）可以得到两端简支边界条件下的粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的衰减系数δｎ与自振频率ω－ｎ的解析表达式分别为δｎ＝β－２α１；（２２）ω－ｎ＝κ－＋ｎ４π４α１－β－２４α槡２１．（２３）将式（９）转化到单一局部坐标系ｘ１２得：ａ１２１（ω）＋ｄ１２１（ω）＋ａ１２２（ω）＋ｄ１２２（ω）＝０；λ２１［ａ１２１（ω）＋ｄ１２１（ω）］＋λ２２［ａ１２２（ω）＋ｄ１２２（ω）］＝０；ａ１２１（ω）ｅｉλ１＋ｄ１２１（ω）ｅ－ｉλ１＋ａ１２２（ω）ｅｉλ２＋ｄ１２２（ω）ｅ－ｉλ２＝０；λ２１［ａ１２１（ω）ｅｉλ１＋ｄ１２１（ω）ｅ－ｉλ１］＋λ２２［ａ１２２（ω）ｅｉλ２＋ｄ１２２（ω）ｅ－ｉλ２］＝０．（２４）同样，求解式（２４）的非零解，得方程组（２４）的系数矩阵的秩小于４，将ａ１２１作为非自由未知参数，其余未知参数ｄ１２１、ａ１２２和ｄ１２２作为自由未知参数，则含一个未知参数ａ１２１的解可表示该方程组的任一解，可进一步得到方程组的通解．将式（２４）中的ｄ１２１、ａ１２２、ｄ１２２可用ａ１２１表示为ｄ１２１＝－ａ１２１；ａ１２２＝－（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）（ｅｉλ２－ｅ－ｉλ２）ａ１２１；ｄ１２２＝（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）（ｅｉλ２－ｅ－ｉλ２）ａ１２１．（２５）则两端简支边界条件下粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的模态函数表达式为ν＾＝ａ１２１［ｅｉλ１ｘ－－ｅ－ｉλ１ｘ－－（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）（ｅｉλ２－ｅ－ｉλ２）ｅｉλ２ｘ－＋（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）（ｅｉλ２－ｅ－ｉλ２）ｅ－ｉλ２ｘ－］．（２６）根据指数函数与三角函数及双曲函数的变换关系得：ν＾＝２ａ１２１（－ｉｓｉｎλ１ｓｉｎλ２ｓｉｎλ２ｘ－＋ｉｓｉｎλ１ｘ－）．（２７）由（７）式容易得到：ｉλ１＝λ２．（２８）则式（２７）可写为ν＾＝２ａ１２１（－ｉｓｉｎλ１ｓｉｎｈλ１ｓｉｎｈλ１ｘ－＋ｉｓｉｎλ１ｘ－）．（２９）由于振型只是确定系统中各点振幅的相对值，故式中的ａ１２１为一不确定的复常数，文中所有的非自由未知参数ａ１２１均可以通过模态归一化条件对其进行求解．２．２　其它边界条件下的自振频率和模态函数同理，基于回传射线矩阵法，推导得到其他五种边界条件下粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的频率方程、波数、频率及模态函数如表２～３所列．表２　其它边界条件下的频率方程、波数及频率Ｔａｂ．２　Ｔｈｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｗａｖｅｎｕｍｂｅｒｓａｎｄｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｕｎｄｅｒｏｔｈｅｒｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ边界条件频率方程波数方程波数频率两端自由（１－ｅ－ｉ２λ１）（１－ｅ－ｉ２λ２）＋２（ｅ－ｉλ１－ｅ－ｉλ２）２＝０ｃｏｓλ１＝１／ｃｏｓｈλ１λ１≈（ｎ＋１２）π，ｎ＝２，３，４，…ω＝ｉβ－２α１±κ－α１＋（２ｎ＋１）４π４１６α１－β－２４α槡２１两端固支（１－ｅ－ｉ２λ１）（１－ｅ－ｉ２λ２）＋２（ｅ－ｉλ１－ｅ－ｉλ２）２＝０ｃｏｓλ１＝１／ｃｏｓｈλ１λ１≈（ｎ＋１２）π，ｎ＝２，３，４，…ω＝ｉβ－２α１±κ－α１＋（２ｎ＋１）４π４１６α１－β－２４α槡２１简支自由（１－ｅ－２ｉλ１）（１＋ｅ－２ｉλ２）＋（ｉ＋１）（ｅ－２ｉλ１－ｅ－２ｉλ２）＝０ｓｉｎλ１≈ｃｏｓλ１λ１≈（１４＋ｎ）π，ｎ＝１，２，３，…ω＝ｉβ－２α１±κ－α１＋（１＋４ｎ）４π４２５６α１－β－２４α槡２１简支?固支（１－ｅ－２ｉλ１）（１＋ｅ－２ｉλ２）＋（ｉ＋１）（ｅ－２ｉλ１－ｅ－２ｉλ２）＝０ｓｉｎλ１≈ｃｏｓλ１λ１≈（１４＋ｎ）π，ｎ＝１，２，３，…ω＝ｉβ－２α１±κ－α１＋（１＋４ｎ）４π４２５６α１－β－２４α槡２１固支自由（１－ｅ－ｉ２λ１）（１－ｅ－ｉ２λ２）＋２（ｅ－ｉλ１＋ｅ－ｉλ２）２＝０ｃｏｓλ１＝－１／ｃｏｓｈλ１λ１≈（ｎ－１２）π，ｎ＝４，５，６，…ω＝ｉβ－２α１±κ－α１＋（２ｎ－１）４π４１６α１－β－２４α槡２１备注：两端自由（两端固支）及固支自由边界条件下的频率方程采用图解法进行求解．４２第６期付艳艳等：粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁横向自振特性表３　其它边界条件下的模态函数Ｔａｂ．３　Ｔｈｅｍｏｄａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｓｕｎｄｅｒｏｔｈｅｒｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ模态函数两端自由ａ１２１［ｅｉλ１ｘ－－２ｉ（ｅｉλ１－ｅλ１）－（１＋ｉ）（ｅ－λ１－ｅλ１）２ｉ（ｅ－ｉλ１－ｅλ１）＋（１－ｉ）（ｅ－λ１－ｅλ１）ｅ－ｉλ１ｘ－－（１－ｉ）（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）＋２（ｅ－ｉλ１－ｅλ１）（１－ｉ）（ｅ－ｉλ１－ｅ－λ１）－（１＋ｉ）（ｅ－ｉλ１－ｅλ１）ｅ－λ１ｘ－－（１＋ｉ）（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）＋２（ｅ－ｉλ１－ｅ－λ１）（１＋ｉ）（ｅ－ｉλ１－ｅλ１）－（１－ｉ）（ｅ－ｉλ１－ｅ－λ１）ｅλ１ｘ－］两端固支ａ１２１［ｅｉλ１ｘ－＋（１＋ｉ）（ｅ－λ１－ｅλ１）－２ｉ（ｅｉλ１－ｅλ１）（１－ｉ）（ｅ－λ１－ｅλ１）＋２ｉ（ｅ－ｉλ１－ｅλ１）ｅ－ｉλ１ｘ－－２（ｅ－ｉλ１－ｅλ１）＋（１－ｉ）（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）（１＋ｉ）（ｅ－ｉλ１－ｅλ１）－（１－ｉ）（ｅ－ｉλ１－ｅ－λ１）ｅ－λ１ｘ－＋２（ｅ－ｉλ１－ｅ－λ１）＋（１＋ｉ）（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）（１＋ｉ）（ｅ－ｉλ１－ｅλ１）－（１－ｉ）（ｅ－ｉλ１－ｅ－λ１）ｅλ１ｘ－］简支自由ａ１２１［ｅｉλ１ｘ－－ｅ－ｉλ１ｘ－＋（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）（ｅ－λ１－ｅλ１）ｅ－λ１ｘ－－（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）（ｅ－λ１－ｅλ１）ｅλ１ｘ－］简支?固支ａ１２１［ｅｉλ１ｘ－－ｅ－ｉλ１ｘ－－（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）（ｅ－λ１－ｅλ１）ｅ－λ１ｘ－＋（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）（ｅ－λ１－ｅλ１）ｅλ１ｘ－］固支自由ａ１２１［ｅｉλ１ｘ－＋ｉ（ｅ－λ１－ｅλ１）－（ｅ－λ１＋ｅλ１）－２ｅｉλ１ｉ（ｅ－λ１－ｅλ１）＋（ｅ－λ１＋ｅλ１）＋２ｅ－ｉλ１ｅ－ｉλ１ｘ－－ｉｉ（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）－（ｅｉλ１＋ｅ－ｉλ１）－２ｅλ１ｉ（ｅ－λ１－ｅλ１）＋（ｅ－λ１＋ｅλ１）＋２ｅ－ｉλ１ｅ－λ１ｘ－－ｉｉ（ｅｉλ１－ｅ－ｉλ１）＋（ｅｉλ１＋ｅ－ｉλ１）＋２ｅ－λ１ｉ（ｅ－λ１－ｅλ１）＋（ｅ－λ１＋ｅλ１）＋２ｅ－ｉλ１ｅλ１ｘ－］由表２和表３可知，两端自由与两端固支边界条件下的粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁的频率方程完全相同，而其相应的振动模态函数却不同．简支自由与简支?固支边界条件下的粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上的ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的频率方程完全相同，而其相应的振动模态函数却不同．由式（２１）及表２可知，各经典边界条件下的粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上的ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的自振频率随着阶数的增长而逐渐增加，自振频率与地基弹性系数正相关，而与地基阻尼系数负相关；衰减系数是一个与地基阻尼系数及梁自身有关的量，而与阶数及约束条件无关．３　结论基于回传射线矩阵法，首先，得到了横向自由振动时粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上两端简支边界条件下ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的频率及模态函数解析表达式；其次，得到了其它边界条件下自振频率近似解析表达式及模态函数表达式．结论如下：１）两端自由与两端固支边界条件下粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁的频率方程相同，而模态函数却不同；简支自由与简支?固支边界条件下也存在相同的情况．２）各种边界条件下，粘弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上ＢｅｒｎｏｕｌｌｉＥｕｌｅｒ梁的频率方程的联系与区别十分明显，其自振频率都随着阶数的增长而逐渐增加，自振频率与地基弹性系数正相关，而与地基阻尼系数负相关．３）经典边界条件下Ｗｉｎｋｌｅｒ地基上Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ?Ｅｕｌｅｒ梁的衰减系数是一个与地基阻尼系数及梁自身有关的量，而与阶数及约束条件无关．参考文献：［１］　刘希成．弹性地基梁理论在软弱地基柱下条形基础中的应用［Ｊ］．煤炭工程，２０１５，４７（１２）：２５２７．［２］　白海峰．基于连续弹性地基梁的轨枕静力响应研究［Ｊ］．铁道工程学报，２００７（５）：２２２７．［３］　戚丰武，王健．连续弹性地基梁在隧道施工中的运用技术［Ｊ］．铁道工程学报，２００１（４）：９３?９５．［４］　楼梦麟，沈霞．弹性地基梁振动特性的近似分析方法［Ｊ］．应用力学学报，２００４，２１（３）：１４９?１５２，１７０．［５］　彭丽，陈春霞．黏弹性Ｗｉｎｋｌｅｒ地基梁的振动特性分析［Ｊ］．上海师范大学学报（自然科学版），２０１２，４１（６）：５８６?５８９．［６］　彭丽，丁虎，陈立群．黏弹性三参数地基梁横向自由振动［Ｊ］．振动与冲击，２０１４，３３（１）：１０１?１０５．［７］　丁虎，陈立群．Ｐａｓｔｅｒｎａｋ地基梁受迫振动行波解［Ｊ］．中国科学：物理学力学天文学，２０１３，４３（４）：５６４５７１．（下转第３１页）５２第６期孙建忠：基于ＢＰ神经网络的氯盐渍土溶陷特性研究［１１］　张朝晖，师百垒，李宗利．高速公路盐渍土地区路基地基改良研究［Ｊ］．公路工程，２０１８，４３（３）：５２５６．［１２］　郭高峰．影响多年冻土融沉特性的因素研究［Ｄ］．长春：吉林大学，２００８．［１３］　逯兰．冻土融化下沉特性试验分析研究［Ｄ］．长春：吉林大学，２００９．［１４］　侯瑞．人工神经网络ＢＰ算法简介及应用［Ｊ］．科技信息，２０１１，５１（３）：７４?７５．［１５］　ＬＥＲＡＧ，ＰＩＮＺＯＬＡＳＭ．ＮｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄｂａｓｅｄＬｅｖｅｎｂｅｒｇＭａｒｑｕａｒｄｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｔｒａｉｎｉｎｇ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＮｅｕｒａｌＮｅｔｗｏｒｋｓ，２００２，１３（５）：１２００１２０２．（责任编辑：马延麟檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴檴）（上接第２５页）［８］　马建军，秦紫果，刘丰军，等．考虑有限深度土体运动的Ｗｉｎｋｌｅｒ地基梁自由振动分析［Ｊ］．振动与冲击，２０１９，３８（６）：６２?６６，９９．［９］　余云燕，余莉芬．均质土中半埋入完整桩的瞬态波动响应［Ｊ］．兰州交通大学学报，２００９，２８（４）：１６．［１０］　柳伟，余云燕．基于回传射线矩阵法和Ｈｉｌｂｅｒｔ?Ｈｕａｎｇ变换简支梁损伤检测［Ｊ］．兰州交通大学学报，２０１８，３７（１）：２７?３４．［１１］　陈进浩，余云燕．框架结构瞬态波动响应及自振频率的回传射线矩阵法分析［Ｊ］．振动与冲击，２０１６，３５（１０）：８３?９０．［１２］　许兰兰，余云燕．门式框架结构的瞬态波动响应和自振特性研究［Ｊ］．振动与冲击，２０１７，３６（１７）：１７０１７８．［１３］　柳伟，余云燕．桩顶固定且部分桩体埋入黏弹性地基中时桩的自振特性分析［Ｊ］．噪声与振动控制，２０１８，３８（２）：１２７１３２．［１４］　余云燕，陈进浩，刘家骥．土体阻尼对全（部分）埋入单桩基础自振特性的影响研究［Ｊ］．振动工程学报，２０１８，３１（６）：１０７６１０８４．［１５］　付艳艳，余云燕．全埋入单桩基础纵向振动模态正交性研究［Ｊ］．兰州交通大学学报，２０１７，３６（３）：６１１．（责任编辑：马延麟）１３。

准格林函数方法在winkler地基上简支多边形薄板振动问题中的应用

准格林函数方法在winkler地基上简支多边形薄板振动问题中的应用
，内容要求有全面性及详细性
近年来，随着建筑建设技术不断发展，越来越多的建筑均采用多边形薄板结构。

Winkler地基和薄板构件相结合，具有合理的构造，降低结构损伤，降低建造成本，提高生产效率等优点，因此得到了越来越多的应用。

然而，由于基础不稳定，多边形薄板结构受到了大量外力的作用，导致振动频
率越来越高，严重影响了结构安全性和稳定性。

因此，对多边形薄板结构振动问题的研究变得越来越重要。

Karniadakis提出的标准格林函数方法是解决多边形薄板
振动问题的有效方法之一，它可以满足不同结构的振动特性，使二者之间取得适当比例。

在winkler地基上，利用标准格林函数方法可以很好地求解多边形薄板振动问题。

首先，根据多边形薄板结构的模型，建立薄板的几何参数和荷载特性，求解所形成立体多面体的标准格林函数。

然后，运用有限元分析法处理土基与薄板之间的地基效应。

最后，综合考虑薄板的参数、土基的影响及其他因素，根据标准格林函数求解多边形薄板振动的特性和频率。

总之，标准格林函数方法在winkler地基上简支多边形薄板振动问题中有着重
要的作用。

在此基础上，可以得出更有效的计算结果，准确模拟多边形薄板的振动特性，有效提高结构的安全性和稳定性，为改善建筑结构提供了有力的支持。

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