第2章导数与微分
第二章 导数与微分教案
M (x0 , f (x0 )) 处的切线方程为 y f (x0 ) f (x0 )( x x0 )
如 果 f (x0 ) 0 ， 那 么 曲 线 y f (x) 在 点 M (x0 , f (x0 )) 处 的 法 线 方 程 为
y
f (x0 )
f
1 (x (x0 )
x0 )
3
例 4 求曲线 y x 2 的通过点（1，4）的切线方程．
《 数学基础 》教案
标题
2.1 导数的概念
【教学目的要求】掌握和理解导数的定义，可导与连续的关系，导数的几何意义
编号
【教学重点】可导与连续的关系，导数几何意义
【教学难点】导数的几何意义
【教学方法】讲授 实施步骤
【教学时数】 教学内容提要
时间
【课外作业】
1
教 学 内 容 （教 学 时 数： ） 一、 导数概念的引例
既然导数是比值 y 当 x 0 的极限，那么，下面两个极限 x
lim y lim f (x0 x) f (x0 ) ， lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
x x0
x0
x
分别叫做函数 y f (x) 在点 x0 处的左导数和右导数，且分别记为 f (x0 ) 和
8
sin 2 x 1 cos2 x
y
1 cos x
1 cos x 1 cos x
y (1 cosx) sin x
三、反函数求导法则 若函数 x ( y) 在某区间 I y 内可导、单调且( y) 0 ，则 它的反函数 y f (x) 在对应区间 I x 内也可导，且
f (x) 1 ( y)
备注：
高等数学 第二章 导数与微分
（2）算比值： y f (x x) f (x) ．
x
x
（3）求极限： f (x) lim y lim f (x x) f (x) ．
x x0
x0
x
四、函数可导性与连续性的关系
定理 如果函数 y f (x) 在点 x0 处可导，则函数 y f (x) 在点 x0 处一定连续． 如果函数 f (x) 在点 x0 处连续，则函数 f (x) 在点 x0 处不一定可导．
第二章
导数与微分
导学
我们在解决实际问题时，除了需要确定变量之间的函数关系外，有时 还需要研究函数相对于自变量变化的快慢程度，即函数的变化率，以及当 自变量发生微小变化时函数的近似改变量，这两个问题就是我们本章所要 讨论的主要内容——导数与微分．
第一节
导数的概念
一、导数的定义
设某物体在数轴上做变速直线运动，运动方程为 s s(t) ，现在求该物体在 t0 时刻的瞬时速度 v(t0 ) ．
当
u
C （C
为常数）时，有
C v
Cv v2
．
二、反函数的求导法则
定理 2 如果函数 x f ( y) 在区间 I y 内单调、可导且 f ( y) 0 ，那么它的反函数 y f 1(x) 在
区间 Ix {x | x f ( y) ，y I y} 内也可导，且有
[ f 1(x)] 1 或 dy 1 ．
当时间 t 由 t0 变到 t0 t 时，物体的路程 s(t) 由 s(t0 ) 变到 s(t0 t) ，
路程的增量 s 为 s s(t0 +t) s(t0 ) ，
物体在
t0
到 t0
t
这段时间内的平均速度为
v
s t
《导数与微分》word版
第二章 导数与微分教学要求:正确理解导数概念及其几何意义.知道导数值与导数的联系与区别.熟练掌握求导方法,记住求导的基本公式及求导法那么(四那么运算法那么,反函数、复合函数、隐函数、参数式函数的求导法那么，对数求导法).知道利用定义求导数的方法,会求分段函数分界点处的导数.会计算较简单的导数应用题.会求曲线在某点的切线和法线方程;会求一些物理量的变化率;会计算一些简单的相关变化率问题.理解高阶导数的定义,熟练掌握求二阶导数的方法.会求一些简单的初等函数(如1,,sin ,ln ,ln(1)x e x x x x). 正确理解微分的定义及其与导数的关系.理解微分与函数增量的关系,会用微分近似计算函数改变量和函数值的近似值.理解一阶微分形式不变性.明确可微(可导)与连续之间的关系.教学重点:导数与微分的概念;导数的几何意义和作为变化率的各种实际意义及其应用;函数连续、可导、 可微相互之间的关系；各类函数的求导法那么与求导方法;基本初等函数的导数与微分公式. 教学难点:复合函数求导法那么与高阶导数求导方法的应用.数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学.微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一.恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）.积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容.第一节 导数概念从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生：(1) 求变速运动的瞬时速度；(2) 求曲线上一点处的切线；(3) 求最大值和最小值.这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念.内容分布图示★ 引言★ 变速直线运动的瞬时速度★ 平面曲线的切线★ 导数的定义 ★ 关于导数的几点说明★利用定义求导数与求极限 ★例1★例2★ 例3★ 例4★ 例5 ★ 例6 ★ 例7★ 左右导数★ 例8 ★ 例9★ 导数的几何意义 ★ 例10 ★ 例11★ 导数的物理意义★ 可导与连续的关系★ 例12 ★ 例13 ★ 例14★ 内容小结★ 课堂练习★返回内容要点：一、引例： 引例1: 变速直线运动的瞬时速度； 引例2: 平面曲线的切线二、导数的定义：xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000 注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质: 函数增量与自变量增量的比值x y ∆∆是函数y 在以0x 和x x ∆+0为端点的区间上的平均变化率，而导数0|x x y ='那么是函数y 在点0x 处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度.根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤：1． 求函数的增量： );()(x f x x f y -∆+=∆2． 求两增量的比值：x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(; 3． 求极限 .lim0xy y x ∆∆='→∆ 三、左右导数定理1 函数)(x f y =在点0x 处可导的充要条件是：函数)(x f y =在点0x 处的左、右导数均存在且相等.四、用定义计算导数五、导数的几何意义六、函数的可导性与连续性的关系定理2 如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么它在0x 处连续.注：上述两个例子说明，函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，那么它在该点处一定不可导.在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不可导的例子，这与人们基于直观的普遍认识大相径庭，从而震惊了数学界和思想界. 这就促使人们在微积分研究中从依赖于直观转向理性思维，大大促进了微积分逻辑基础的创建工作.例题选讲：导数概念的应用例1 求函数3x y =在1=x 处的导数)1(f '.例2试按导数定义求下列各极限(假设各极限均存在).(1);)2()2(lim ax a f x f a x --→ (2) ,)(lim 0xx f x → 其中.0)0(=f 用定义计算导数例3 求函数C x f =)((C 为常数)的导数.例4设函数,sin )(x x f = 求)(sin 'x 及4|)(sin π='x x . 例5 求函数n x y =(n 为正整数)的导数.例6 求函数)1,0()(≠>=a a a x f x 的导数.例7 求函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的导数.左右导数例8 求函数⎩⎨⎧=,,sin )(x x x f 00≥<x x 在0=x 处的导数. 例9 设)(x f 为偶函数，且)0(f '存在. 证明.0)0(='f例10求等边双曲线x y 1=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程. 例11 求曲线x y =在点)2,4(处的切线方程.例12 讨论函数||)(x x f =在0=x 处的连续性与可导性.例13 讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x x x x f 在0=x 处的连续性与可导性. 例14设函数⎩⎨⎧<≤+<=,10,10,)(2x x x a x f 问a 取何值时，)(x f 为可导函数. 注：上述两个例子说明，函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，那么它在该点处一定不可导.在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不可导的例子(如第十一章第一节的Koch 雪花曲线描述的函数)，这与人们基于直观的普遍认识大相径庭，从而震惊了数学界和思想界. 这就促使人们在微积分研究中从依赖于直观转向理性思维，大大促进了微积分逻辑基础的创建工作.课堂练习1. 函数)(x f 在某点0x 处的导数)(0x f '与导函数)(x f '有什么区别与联系?2. 设)(x ϕ在a x =处连续, )()()(22x a x x f ϕ-=, 求)(a f '.3. 求曲线32x x y -=上与x 轴平行的切线方程.莱布尼茨 （Friedrich , Leibniz ，1597~1652）-----博学多才的数学符号大师出生于书香门第的莱布尼兹是德国一们博学多才的学者。
二导数与微分部分
第二章 导数与微分1、利用导数定义求函数极限如果)(/x f 存在)()()(lim/0x f x f x f =-+⇔→口口口注意：分子中的“口”和分母中的“口”应一致，且符号也相同 例1 设)(x f 在0x 点可导，求下列极限 （1）hh x f h x f h 2)2()2(lim000--+→（2）设)]()([sin lim )(2x g tx g t x t x f t -+=∞→π，其中)(x g 有二阶导数，求)(/x f 2、利用定义求函数的导数例2 (1) 设2//))(())(()(a x x f a x a f x -+-=ϕ，求)(//a ϕ注意：函数)(x ϕ仅在a x =处存在二阶导数，故求)(//a ϕ时不能直接利用求导公式。
（2）设周期函数)(x f 的周期为5，)(x f 可导，且12)2()2(lim=--→xx f f x ，求曲线)(x f y =在点))3(,3(--f 处的切线方程。
（3）设))((sin )(x f x F ϕ=，b a f ===)0(,0)0(,)0(//ϕϕ，求)0(/F3、求含有绝对值的函数和分段函数的导数分析: 含有绝对值的函数可转化为分段函数⎪⎩⎪⎨⎧=)()(x g A x f y a x a x a x <=>，（1）当x>a )(//x f y = 当x<a )(//x g y = （2）当x=a a x A x f a y ax --=+→+)(lim)(/ax A x g a y a x --=-→-)(lim )(/（3）如B a y a y ==-+)()(//则)(/a y 存在,且)(/a y =B.否则)(/a y 不存在 （4）写出/y 的解析式例3 （1）已知21sin ()0ln(1)x x f x x ⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩000>=<x x x ,求)(x f 的导数（2）设)(x f 在点0=x 可导，且()()x x f x F sin 1)(+=，求)(x F 在点0=x 可导的充要条件（3）已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=001)(1x x e xx f x,则)0(/f 是否存在（4）设)}(),({max )(2111x f x f x x <<-=ϕ，其中1)(1+=x x f ，22)1()(+=x x f ，求)(/x ϕ4、分段函数在分段点处的导数存在,求待定系数已知⎩⎨⎧=)()()(x g x f x y ax ax <≥在a x =处可导,求)(x y 中的待定系数 分析：（1）)(x y 在a x =处可导,则在a x =处连续,即)()(lim )(lim a f x g x f ax ax ==-→+→﹡ （2）求a x a f x f a y ax --=+→+)()(lim)(/,ax a f x g a y a x --=-→-)()(lim )(/,而)()(//a y a y -+=﹟（3）由﹡和﹟,求待定系数例4 已知⎩⎨⎧+=b ax e x y x )( 0≥<x x 在0=x 处可导, 求a,b5、求分段函数的导数,并会讨论导数在分段点处的连续性函数⎪⎩⎪⎨⎧=)()()(x g A x f x y a x a x a x <=>,求)(/x y ,并讨论)(/x y 的连续性分析:（1）先求)(/x y ； （2）然后讨论)(/x y 在定义域内的连续性例5 设2, 0()ln(1), 0ax bx c x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩问如何选取a ,b ,c 才能使f (x )处处具有一阶连续导数，但在x =0处却不存在二阶导数。
安徽专升本 高数讲义 第二章导数与微分第四讲
4
(2) y x e x x e x
e x xe x 1 x e x
y 1 x e x 1 x e x
e x (1 x )e x 2 x e x
(3) y arctan x
x
y e x sin( x y ) x
x x y e y e cos( x y ) x y 1
y e x y e x cos( x y) x y 1
y e x y e x cos( x y ) y cos( x y ) 1
1 1 x2 2 2 2 2 1 x (1 x ) (1 x 2 ) 2
2. 设
y a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 an , 求y ( n ) .
解 y' na0 x n 1 (n 1)a1 x n 2 (n 2)a2 x n 3 an 1 ,
y 0 2e0 cos0 2
作
业
一、计算下列各函数的二阶导数：
1. 2 x3 x 4 y x
2. y x arctan x
1 1 1 3. y x 3 3 3 1 3 x 3 3 x 3 9 x 二、计算下列各函数的n 阶导数：
可导，并且：
y f ( u( x )) f ( u) u( x )
隐含数求导法则:
（ 1） 方程两边关于 x 求导，求导过程中把 y 看作
中间变量，得到一个关于 y的方程。
(2) 从上述方程中解出 y
高等数学2导数与微分3.
《高等数学》上册教案第二章导数与微分第二章导数与微分§3、高阶导数教学目的：熟练初等函数的求导方法，了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数教学重点：高阶导数的求法教学难点：高阶导数的归纳方法变速直线运动的质点的路程函数为s=s(t)，则速度为v(t)=s′(t)=lim加速度a(t)=lims(t+Δt)−s(t) Δt→0ΔtΔvv(t+Δt)−v(t)，即a(t)=v′(t)=[s′(t)]′。
=limΔt→0ΔtΔt→0Δt定义、设函数y=f(x)在点x的邻域内一阶导数f′(x)存在，如果极限Δx→0limf′(x+Δx)−f′(x) Δx存在，称函数y=f(x)在点x二阶可导，并称极限值为y=f(x)在点x的二阶导数，记d2yd⎛dy⎞d2f作：2=⎜⎟，2，f′′(x)或y′′ 。
dxdx⎝dx⎠dx同理，如果将二阶导数f′′(x)作为函数，可以定义出三阶导数：d3yf′′(x+Δx)−f′′(x)=lim 3Δx→0dxΔxd3yd⎛d2y⎞d3fdn−1y⎟，3，y′′′或f′′′(x)；一般利用函数y=f(x)的n−1阶导数n−1，记作：3=⎜2⎟⎜dxdxdx⎝dx⎠dxdnydnyf(n−1)(x+Δx)−f(n−1)(x)(n)可以定义出n阶导数：n=lim；并记为：y，n 等；称函数的Δx→0dxΔxdx二阶及其以上阶的导数为高阶导数。
通常记作：y′，y′′，y′′′，y(4)，y(5)，L,y(n),L。
d2s由此定义，质点的加速度可以写作：a(t)=s′′(t)=2。
dt例1．设函数y=sinx2，求y′′。
解：y′=2xcosx2，y′′=2xcosx2()′=2(cosx2+x−2xsinx2=2cosx2−4x2sinx2 ())《高等数学》上册教案第二章导数与微分例2．求函数y=ln(x++x2)的二阶导数。
解：y′=1x++x2⋅(1+12x2+x2=1+x32 −x122 y′′=(y′)′=( ′=−(1+x)⋅2x=−222+x(1+x)注：求二阶导数之前，应该将一阶导数作适当的化简、整理。
《高等数学》第2章导数与微分2-4隐函数
• 一、隐函数的导数 • 二、对数求导法 • 三、由参数方程所确定的函数的导数 • 四、相关变化率 • 五、小结 思考题
一、隐函数的导数
定义:由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数 .
y f ( x) 形式称为显函数 .
F(x, y) 0
发射炮弹, 其运动方程为
x v0t cos ,
y
v0t
sin
1 2
gt 2 ,
求
(1)炮弹在时刻
t
的运动方向
0
;
(2)炮弹在时刻
t
的速度大小
0
.
解
(1)
在
t
时刻的运动方向即
0
y v0
vy
v vx
轨迹在 t0时刻的切线方向,
可由切线的斜率来反映 . o
x
dy dx
(v0t sin (v0t cos
4 x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
y
x0 y1
1; 4
将方程 (1)两边再对x求导得
12 x2 2 y xy 12 y2 ( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
二、对数求导法
观察函数
y
(
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
y y
1 x1
1 3( x 1)
x
2
4
1
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
第二章__导数与微分
t
t
瞬时速度
v(t0
)
lim
t0
s t
lim
t0
s(t0
t) t
s(t0
)
2
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
播放
3
y
割线M0M的斜率为
tanφ y f (x0 x) f (x0 )
x
x
切线M0T的斜率为
o
k tanα lim y x0 x
lim f (x0 x) f (x0 )
(0
h)] h
ln(1
0)
1,
f (0) 1.
f
(x)
1
1, 1
x
,
x0 x0.
27
二、反函数的导数
定理 如果函数x φ(y)在某区间Iy内单调、可导 且φ(y) 0 , 那末它的反函数 y f (x)在对应区间Ix 内也可导 , 且有
f (x) 1 φ (x)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
(
x )
1
x
1 2
1
2
1 2x
.
(x1 )
(1)x11
1 x2
.
17
例8 求函数 f (x) ax(a 0,a 1)的导数. 解 (ax ) lim axh ax
h0 h ax lim ah 1
h0 h ax lna.
即 (ax ) ax lna. (ex ) ex .
18
例9 求函数 y loga x(a 0,a 1)的导数.
即 (sinx) cos x.
16
例7 求函数 y xn(n为正整数)的导数.
解 (xn ) lim (x h)n xn