高三2月预测卷二(数学理)(含详解)新课标提分专家2012届

新课标提分专家2012届高考2月预测卷二数学理本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列说法错误的是（ ）A ．命题“若x 2-3x+2＝0，则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2-3x+2≠0”B ．“x ＞1”，是“|x|>1”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．若命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”,则⌝p ：“∀x ∈R ，均有x 2+x+1≥0”2．已知非零向量AB 与AC 满足（+·BC =0,·21,则△ABC为______________．（ ）A ．等腰非等边三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形3．若定义运算f （a *b ）=,(),,().b a b a a b ≥⎧⎨<⎩则函数f （3x *3-x ）的值域是（ ）A ．（0，1）B ．[1，+∞]C ．（0．＋∞）D ．（-∞，+∞）4.虚数（x-2）+yi 中x,y 均为实数，当此虚数的模为1时，xy 的取值范围是（ ）A ．[33,33-] B ．[-33,0]∪（0,33）C ．［-3,3］D ．[-3,0]∪（0,3）5．对任意两个集合Y X 、，定义}|{Y x X x x Y X ∉∈=-且，)()(X Y Y X Y X --=∆ ,设},|{2R x x y y A ∈==，},sin 3|{R x x y y B ∈==，则=∆B A （ ）A ．[)),3(0,3+∞-B ．[-3,3]C ．（-∞,-3）∪（0,3）D ．（-∞,0）∪（3,+∞）6．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）A ．4πB ．π42C ．π22 D ．π217．用数学归纳法证明4221232n n n +++++= ，则当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上（ ）A ．k 2＋1B ．（k ＋1）2C ．42(1)(1)2k k +++D ．（k 2+1）+（k 2+2）+（k 2+3）+…+（k+1）2．8．在ABC ∆中，O 为边BC 中线AM 上的一点，若4=AM ，则)(OC OB AO +∙的（ ）A ．最大值为8B ．最大值为4C ．最小值－4D ．最小值为－89．设⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]2,1[2]1,0[)(2x x x x x f ，则⎰2)(dx x f 的值为（ ）A ．43B ．54 C ．65 D ．6710．如图所示，下列三图中的多边形均为正多边形,M 、N 是所在边的中点，双曲线均以图中的F 1,F 2为焦点，设图中的双曲线的离心率分别为e 1,e 2,e 3，则 （ ）A ．e 1>e 2＞e 3B ．e 1<e 2<e 3C ．e 1＝e 3<e 2D ．e 1=e 3>e 211．某游戏中，一个珠子从如右图所示的通道（图中的斜线）由上至下滑下，从最大面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来， 那么你取胜的概率为（ ）A ．165 B ．325 C ．61 D ．以上都不对12．设a=（a 1，a 2）,b=（b 1,b 2）．定义一种向量积),(),(),(22112121b a b a b b a a b a =⊕=⊕．已知)0,3(),21,2(π==n m ，点P （x,y ）在y=sinx 的图象上运动,点Q 在y=f （x ）的图象上运动，且满足n OP m OQ +⊕=（其中O 为坐标原点），则y=f （x ）的最大值A 及最小正周期T 分别为（ ）A ．2,πB ．2,4πC ．π4,21 D ．π,21第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上。

13．已知x,y ∈Z,n ∈N *，设f （n ）是不等式组⎩⎨⎧+-≤≤≥n x y x 01表示的平面区域内可行解的个数，则f （1）=_______；f （2）=_______；f （n ）=_______． 14．下列命题：①G 2=ab 是三个数a 、G 、b 成等比数列的充要条件；②若函数y=f （x ）对任意实数x 都满足f （x+2）=-f （x ），则f （x ）是周期函数；③对于命题032,:>+∈∀x R x p ,则032,:<+∈∃⌝x R x p ；④直线01)(2=+++a y x 与圆C ：x 2＋y 2=a （a>0）相离． 其中不正确命题的序号为_______（把你认为不正确的命题序号都填上）． 15．已知nn a )31(2⋅=，把数列}{n a 的各项排成三角形状：记A （m,n ）表示第m 行，第n 列的项，[来源:]则A （10,8）=________．16．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据：在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图（其中a 是这8个数据的平均数），则输出的s 的值是__________________．三、解答题：共大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．（本题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos cos cos b A c A a C ⋅=⋅+⋅． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若4,7=+=c b a ，求△ABC 的面积．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：1()f x x =，22()f x x =，33()f x x =，4()sin f x x =，5()cos f x x =，6()2f x =．（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．[来源:学*科*网Z*X*X*K] 19．（本小题满分12分）如图，已知AB ⊥平面A C D ，D E ⊥平面A C D ，△A C D 为等边三角形，2A D D E A B ==，F 为C D 的中点． （1）求证：//A F 平面BC E ；（2）求证：平面B C E ⊥平面C D E ；（3）求直线B F 和平面BC E 所成角的正弦值． [来源:学科网]ABCDEF已知数列{}n a 的前n 项之和为2*,n S n n N =∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2n n na b =，求数列{}n b 的前n 项和T n ；（3）求使不等式12111(1)(1)(1)na a a +++≥ n ∈N *均成立的最大实教p ．设函数).exxxh=ex=ϕ2ln(2为自然对数的底)(),(（1）求函数的极值hxFϕ=；x-))(x()(（2）若存在常数k和b,使得函数)xgf和对其定义域内的任意实数x分别满足((x)gx:x((fkx+=的“隔为函数l和≥和则称直线)yb)(bkx+(,)x)f+≤xkxbg离直线”．试问:函数)hϕ和是否存在“隔离直线”?若存在,求出“隔离直线”(x(x)方程,不存在,请说明理由．已知定点C（-1，0）及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．1，求直线AB的方程；（1）若线段AB中点的横坐标是-2（2）在x轴上是否存在点M，使MBMA 为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：[来源:学_科_网Z_X_X_K]1．解析: C ． 选项C 中p q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题即可，所以p 、q 均为假命题是错误的． 2．解析:A ．AB 、AC 方向的单位向量,向量+在∠BAC 的平分线上,由（·BC =0知,AB=AC,由21,可得∠CAB =1200,∴△ABC 为等腰非等边三角形,故选A ．3．解析:A ．当x>0时;f （3x *3-x ）=3-x ,当x=0时，f （30*30）=30=1, 当x<0时，f （3x *3-x ）=3x , 故选A ． 4.解析:B ．∵⎩⎨⎧≠=+-01)2(22y y x ,设k ＝x y ，则k 为过圆1)2(22=+-y x 上的点及原点的直线斜率，作图如下，则3331||=≤k ，又∵0≠y ,∴k ≠0．由对称性选B ．5．解析:A ．[)+∞=,0A ，]3,3[-=B ，),3(+∞=-B A ，[)0,3-=-A B ，∴[)),3(0,3+∞-=∆ B A ． 6．解析:D ．由题意得，该几何体的直观图是一个底面半径为21,母线长为1的圆锥．其侧面展开图是一扇形，弧长为2πr=π，∴这个几何体的侧面积为2121ππ=⨯=S ，故选D ．7．解析： D当n=k 时，左侧=1+2+3+…+k 2， 当n=k+1时， 左侧=1+2+3+…＋k 2＋（k 2＋1）＋…十（k+1）2，∴当n=k+1时，左端应在n=k 的基础上加上（k 2+1）+（k 2+2）+（k 2+3）+…+（k+1）2．8．解析: A84424|)||(|2||||22)(22=⨯=+≤⋅=∙=+∙OM AO OM AO OM AO OC OB AO ，当且仅当2||||==OM AO ，即点O 为AM 的中点时，等号成立．故)(OC OB AO +∙的最大值为8．选A 项． 9．解析:C[来源:学科网ZXXK] 21210321122|)212(|31)2()(x x x dx x dx x dx x f -+=-+=⎰⎰⎰65)212()24(31=---+=，故选C ．10．解析:D 在图（1）中令|F 1F 2|=2c,因为M 为中点，所以|F 1M|=c 且|MF 2|=c 3．∴13132||||||2212211+=-=-==MF MF F F ac e在图（2）中，令|F 1M|=m,则|F 1F 2|=2m 2，|MF 2|=m 5．∴1122121322101522||||||e MF MF F F e =+<+=-=-=．在图（3）中, 令|F 1F 2|=2c,则|F 1P|=c,|F 2P|=c 3．∴e 3=13+．故e 1=e 3 >e 2．故选D ．11．解析:A ．珠子从出口1出来有05C 种方法，从出口2出来有15C 种方法，依次从出口i （l≤i ≤6）出现有15-i C方法，故取任的概率为1655545352515525=+++++CC C C C C C ,故选A ．12．解析:C ．设Q （x,y ），P （x 0，y 0），则由n OP m OQ +⊕=得y y x x y x y x y x 2,621),21,32()0,3()21,2(),(000000=-=+=+=πππ,代入得)621sin(21π-=x y ，则y=f （x ）的最大值A 及最小正周期T 分别为π4,21,故选C ．13．解析：填1 3 2)1(+n n画出可行域：当n=1时，可行域内的整点为（1,0）,∴f （1）=1,当n=2时，可行域内的整点为（1,0）、（2,0）、（1,1），∴f （2）=3, 由此可归纳出f （n ）=1+2+3+…+n=2)1(+n n14．解析：填①③④ 当a=b=G=0时，G 2=ab,但是a,G,b 不构成等比数列，①不正确，②f （x+2）＝-f （x ）=f（x-2），∴T=4,f （x ）为周期函数．②正确；③命题032,:00≤+∈∃⌝x R x p ，因此,③不正确．④圆心（0,0）到直线01)(2=+++a y x 的距离为21a +大于或等于圆的半径a ，④不正确． 15．解析：填89)31(2⋅第n 行共有2n-1个数，前九行共有81921711731=⨯+=+++ 个数,故A （10,8）相当于数列}{n a 的第89项，因此A （10,8）=89)31(2⋅．16．解析：填7 该程序框图的功能是输出这8个数据的方差， 因为这8个数据的平均数4488764331040=++++++++=a ，故其方差7841292162=+⨯+⨯+⨯．故输出的s 的值为7．三、解答题：17．解:（Ⅰ）根据正弦定理2cos cos cos b A c A a C ⋅=⋅+⋅⇒B C A C A C A B A sin )sin(sin cos cos sin sin cos 2=+=+=, ……4分 1sin 0,cos ,2B A ≠∴=又0180o o A << ,60o A ∴=． …………………………6分[来源:]（Ⅱ）由余弦定理得:bc c b bc c b bc c b a3)(60cos 27222222-+=-+=⋅-+==,……8分代入b +c =4得bc =3, ……………………………………………………10分 故△ABC 面积为.433sin 21==A bc S……………………………………12分18．解;（1）记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知.51)(2623==CC A P ………4分（2）ξ可取1,2,3,4．11133311166513(1) , (2)210C C C P P C C C ξξ=====⋅=， 111111133332211111111654654331(3) , (4)2020C C C C C C C P P C C C C C C C ξξ==⋅⋅===⋅⋅⋅=；………6分 故ξ的分布列为………9分ABCDEFMHG .47201420331032211=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE答：ξ的数学期望为.47………12分19．（1） 证法一：取C E 的中点G ，连F G B G 、．∵F 为C D 的中点，∴//G F D E 且12G F D E =．…………1分∵AB ⊥平面A C D ，D E ⊥平面A C D ，∴//A B D E ，∴//G F A B ． 又12A B D E =，∴G F A B =． ………2分∴四边形G F A B 为平行四边形，则//A F B G ． ∵A F ⊄平面BC E ，B G ⊂平面BC E ，∴//A F 平面BC E ． ………4分 证法二：取D E 的中点M ，连A M F M 、．∵F 为C D 的中点，∴//FM C E ． …………1分 ∵AB ⊥平面A C D ，D E ⊥平面A C D ， ∴//D E A B ． 又12A B D E M E ==，∴四边形ABEM 为平行四边形，则//AM BE ．…2分 ∵F M A M ⊄、平面BC E ，C E BE ⊂、平面BC E ， ∴//F M 平面BC E ，//A M 平面BC E ．又FM AM M = ，∴平面//AFM 平面BC E ． ∵AF ⊂平面A F M ，∴//A F 平面BC E ． …………4分（2） 证：∵A C D ∆为等边三角形，F 为C D 的中点， ∴A F C D ⊥．∵D E ⊥平面A C D ，AF ⊂平面A C D ，∴D E AF ⊥．又CD DE D = ，故A F ⊥平面C D E ． ………6分 ∵//B G A F ，∴B G ⊥平面C D E ．∵B G ⊂平面BC E ，∴平面B C E ⊥平面C D E ． …………8分 （3） 解：在平面C D E 内，过F 作F H C E ⊥于H ，连B H ． ∵平面B C E ⊥平面C D E ， ∴FH ⊥平面BC E ．∴F B H ∠为B F 和平面BC E 所成的角． …………10分 设22AD DE A B a ===，则sin 452FH C F a =︒=，2BF a ===，R t △FH B 中，sin 4FH FBH BF∠==．∴直线B F 和平面BC E所成角的正弦值为4．…………12分[来源:学科网ZXXK]方法二：设22A D D E A B a ===，建立如图所示的坐标系A xyz -，则()()()()()000200,0,0,,,0,,3,2A C a B a D a E a a a ，，,，，．∵F 为C D的中点，∴3,,022F a a ⎛⎫⎪⎪⎝⎭．………2分（1）证：()()3,,0,,,,2,0,22AF a a BE a a BC a a ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭，∵()12A FB E BC =+ ，A F ⊄平面BC E ，∴//A F 平面BC E ． …………4分（2）证：∵()()3,,0,,0,0,0,222AF a C D a ED a ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴0,0AF C D AF ED ⋅=⋅=，∴,A F C D A F E D ⊥⊥ ． …………6分∴AF ⊥平面C D E ，又//A F 平面BC E ，∴平面B C E ⊥平面C D E ． …………8分（3） 解：设平面BC E 的法向量为(),,n x y z = ，由0,0n BE n BC ⋅=⋅=可得：0,20x z x z ++=-=，取()1,2n =． …………10分又3,,22BF a a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设B F 和平面BC E 所成的角为θ，则sin 4BF n BF nθ===⋅ ． ∴直线B F 和平面BC E所成角的正弦值为4． …………12分20．解（1）当n ≥2时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．而a 1=1符合n ≥2时n a 的形式，因此*21,n a n n N =-∈． …………2分…………7分（3）由题意得12111)(1)(1)np a a a ≤+++对任意n ∈N *恒成立．设12111())(1)(1)nF n a a a =+++，则…………10分显然F （n ）＞0，因此，F （n+1）＞F （ n ），即F （n ）随着n 的增大而增大．[来源:学科网ZXXK]所以F （n）的最小值是(1)3F =3p ≤，即最大实数P3．……12分注：（1）中不验证a 1＝1符合n ≥2时a n 的形式，扣1分． 21．解；（1）)0(,ln 2)()()(2>-=-=x x e x x x h x F ϕxe x e x xe x x F ))((222)('+-=-=∴当0)(,'==x F e x 时,易得0)(处取得极小值为在e x F ,且为最小值．………4分（2）由1）知当0>x 时,)(),()(取等号仅当e x x x h =≥ϕ若存在“隔离直线”,则存在常数b k 和,使得 )0(,)()(>+≤+≥x b kx x b kx x h ϕ和恒成立,)()(处有公共点的图像在和e x x g x h =因此若存在)()(x g x h 和的“隔离直线”，则该直线必过这个公共点),(e e 设该直线为e ke kx y e x k e y -+=-=-即),(由)(,)(R x e k e kx x h ∈-+≥恒成立，得e k e k 2,0)2(2=≤-=∆故…8分 以下证明时恒成立当0,2)(>-≤x e ex x ϕ令)0(,2ln 22)()(>+-=+-=x e x e x e e x e x x G ϕxx e e e xe x G )(222)('-=-=，容易得当e x =时有的极大值)(x G 为0．从而0)(≤x G ,即)0(,2)(>-≤x e x e x ϕ恒成立．故函数)(x h 和)(x ϕ存在唯一的“隔离直线”x x e y -=2．………………12分 22．解 （1）依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y=k （x+1）,将y=k （x+1）代入x 2+3y 2=5,消去y 整理得（3k 2+1）x 2+6k 2x+3k 2-5=0． …………2 分 设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,则⎪⎩⎪⎨⎧+-=+>-+-=∆.136,0)53)(13(4362221224k k x x k k k …………4分由线段AB 中点的横坐标是-21，得221x x +=-13322+kk =-21,解得k=±33，适合①． ……………6分所以直线AB 的方程为x-3y+1=0,或x+3y+1=0．………………7分（2）假设在x 轴上存在点M （m ，0），使MB MA ⋅为常数．（ⅰ）当直线AB 与x 轴不垂直时，由（1）知 x 1+x 2=-13622+-kk ,x 1x 2=135322+-kk ． ③所以MB MA ⋅=（x 1-m ）（x 2-m ）+y 1y 2=（x 1-m ）（x 2-m ）+k 2（x 1+1）（x 2+1）①②=（k 2+1）x 1x 2+（k 2-m ）（x 1+x 2）+k 2+m 2． …………9分 将③代入，整理得MBMA ⋅=135)16(22+--kkm +m 2=133142)13)(312(22+--+-km km +m 2=m 2+2m-31-)13(31462++km ． ………………11分注意到MB MA ⋅是与k 无关的常数，从而有6m+14=0，m=-37，此时MB MA ⋅=94． ………………12分（ⅱ）当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A ，B 的坐标分别为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-32,1、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--32,1，当m=-37时，亦有MB MA ⋅=94．综上，在x 轴上存在定点M ⎪⎭⎫⎝⎛-0,37，使MB MA ⋅为常数． …………14分。