七年级数学下册 整式的除法(基础)知识讲解
整式的除法笔记
整式的除法笔记
1.定义：
整式除法是将一个整式（被除数）除以另一个整式（除数）的过程，其结果是一个整式或商式。
2.基本法则：
当两个整式相除时，我们可以将其视为分数的形式，即被除数/除数。
例如，对于整式A和B，A ÷ B 可以表示为A/B。
3.多项式除以单项式：
当我们有一个多项式除以一个单项式时，可以将其视为多项式的每一项分别除以该单项式。
例如，对于多项式3x^2 + 4x + 5 和单项式x，结果为3x + 4 + 5/x。
4.除法与乘法的关系：
整式除法与整式乘法是互为逆运算。
这意味着，如果我们有一个整式A除以另一个整式B得到商C，那么A可以表示为B与C的乘积。
5.余数与除式：
当整式除法不能整除时，会有一个余数。
例如，对于多项式5x^2 + 3x + 2 和单项式x+1，商为5x - 2，余数为4。
6.长除法：
当被除数和除数都是多项式时，我们通常使用长除法来找到商和余数。
这种方法类似于我们在小学时学习的长除法，但应用于整式。
7.注意事项：
o确保在除法过程中，除数的每一项都不能为0。
o当整式除法得到的结果是一个多项式时，注意结果的每一项的系数和指数。
o注意余数的存在，它可以帮助我们验证除法的正确性。
8.应用：
整式除法在代数、方程求解、多项式函数等领域都有广泛的应用。
它帮助我们简化复杂的表达式，找到多项式的根，以及解决各种与多项式相关的问题。
整式除法法则公式(一)
整式除法法则公式(一)整式除法法则公式1. 一次整式除法法则公式一次整式除法法则公式用于两个一次整式相除的情况，其公式为：被除式 = 除数× 商 + 余数例如：将被除式3x+5除以除数x+2。
首先，我们找到被除式中与除数的首项3x相乘后，得到3x2+6x。
然后，我们将其减去被除式，得到(3x2+6x)-(3x+5)=3x2+6x-3x-5=3x2+3x-5。
此时，我们可以继续进行整式除法。
继续整除时，我们发现被除式3x2+3x-5中没有与除数x+2的次数匹配的项，因此将剩余的3x2+3x-5作为余数。
因此，将被除式3x+5除以除数x+2的结果为商3与余数3x^2+3x-5。
2. 二次整式除法法则公式二次整式除法法则公式用于两个二次整式相除的情况，其公式为：(被除式) = (除数) × (商) + (余数)例如：将被除式2x^2+5x+3除以除数x+3。
我们首先找到与除数首项2x相乘的结果2x3+6x2，然后将其减去被除式，得到(2x3+6x2)-(2x2+5x+3)=2x3+6x2-2x2-5x-3=2x3+4x2-5x-3。
此时，我们可以继续进行整式除法。
继续整除时，我们发现被除式2x3+4x2-5x-3中没有与除数x+3的次数匹配的项，因此将剩余的2x3+4x2-5x-3作为余数。
因此，将被除式2x2+5x+3除以除数x+3的结果为商2x与余数2x3+4x^2-5x-3。
3. 多次整式除法法则公式多次整式除法法则公式用于两个多次整式相除的情况，其公式与二次整式除法法则公式相同。
例如：将被除式3x3+2x2+5x+1除以除数x^2+2。
我们首先找到与除数首项3x相乘的结果3x2，然后将其减去被除式，得到(3x3+2x2)-(3x2+6x)=3x3+2x2-3x2-6x=3x3-x^2-6x。
此时，我们可以继续进行整式除法。
继续整除时，我们发现被除式3x3-x2-6x中没有与除数x2+2的次数匹配的项，因此将剩余的3x3-x^2-6x作为余数。
七年级数学整式的除法
关键知识点总结
除法运算步骤 将被除式与除式按降幂排列。
用被除式的第一项除以除式的第一项，得到商式的第一项。
关键知识点总结
将商式的第一项与除式相乘， 得到积式。
用被除式减去积式，得到差式 。
将差式作为新的被除式，重复 以上步骤，直到差式为0或次 数低于除式。
关键知识点总结
注意事项 在除法运算中，要保证每一步的运算都是准确的。
整式的除法与因式分解有着密切的联系。在 整式的除法中，如果被除式可以分解为两个 因式的乘积，那么可以通过因式分解的方法 简化运算过程。同时，因式分解也可以看作 是整式的除法的一种特殊情况，即被除式为 0的情况。因此，掌握因式分解的方法对于
理解和应用整式的除法具有重要意义。
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感谢聆听
练习题与答案
$a$ 的指数部分
$a^4 div a^2 = a^{(4-2)} = a^2$
$b$ 的指数部分
$b^3 div b = b^{(3-1)} = b^2$
练习题与答案
02
01
03
$c$ 保持不变 因此，$(15a^4b^3c) div (5a^2b) = 3a^2b^2c$ 练习题2：计算 $(18x^5y^6z^3) div (9x^3y^3z)$
整式除法可用于解决经济问题中的利 润率、折扣率、税率等问题。
工程问题
在工程问题中，利用整式除法可以计 算工作效率、工作时间、工作总量等 问题。
05
整式除法运算技巧与注意事项
简化计算过程技巧
01
02
03
利用乘法分配律
将除法转化为乘法，简化 计算过程。
提取公因式
在整式除法中，可以提取 被除数和除数的公因式， 使计算更简便。
七年级下册数学第一单元整式的乘除压轴题讲解
七年级下册数学第一单元整式的乘除压轴题讲解
整式的乘除是数学中的基础知识，也是数学中重要的部分。
本文将针对七年级下册数学第一单元整式的乘除进行讲解，并提供一道压轴题。
一、整式的乘法
整式的乘法是指将两个或多个整式相乘，得到一个新的整式的运算。
例如：(2x+3)(x+1) = 2x^2+5x+3
这里的2x+3和x+1就是两个整式，它们相乘之后，得到了一个新的整式2x^2+5x+3。
二、整式的除法
整式的除法是指将一个整式除以另一个整式，得到一个商式和余数的过程。
例如：(3x^2+5x+4)÷(x+3) = 3x-4+16/(x+3)
这里的3x^2+5x+4是被除数，x+3是除数，3x-4是商，16/(x+3)是余数。
三、压轴题
(2x+3)(3x-5)-(x+4)(x-2)
解题思路：
1、先将括号内的内容乘开，得到整式。
2、再将相同项合并，得到答案。
解题过程：
(2x+3)(3x-5)-(x+4)(x-2)
=6x^2-10x+9x-15-(x^2-2x+4x-8)
=6x^2-x^2-10x+9x-2x+4x-15-8
=5x^2+x-23
因此，压轴题的答案为5x^2+x-23。
总之，整式的乘除是数学中比较基础的知识点，需要掌握好乘法和除法的方法，特别是对于乘法和除法的运算规律进行深入理解，这样才能更好地应用到实际生活中。
整式的除法
整式的除法整式的除法是指将一个多项式被另一个多项式除，得到商和余数的过程。
具体步骤如下：1. 将被除式和除式按照降幂的顺序排列。
2. 将两个多项式的最高次项对齐，即将高次项的系数乘以一个倍数，使得两个多项式的最高次项的系数相等。
3. 用被除式的最高次项去除以除式的最高次项，得到商的最高次项的系数。
4. 将此商的最高次项乘以除式，然后与被除式进行相减，得到一个新的多项式。
5. 重复以上步骤，直到剩余的多项式的次数小于除式的次数为止。
6. 最后剩下的多项式即为余数，而之前得到的各次的商的系数组成的多项式即为商。
例如，计算多项式 (4x^3 + 3x^2 - 2x + 1) 除以 (2x^2 -x + 3) 的过程如下：最高次项对齐，即 (4x^3 + 3x^2 - 2x + 1) 除以 (2x^2 -x + 3)。
首先用被除式的最高次项 4x^3 除以除式的最高次项 2x^2，得到商的最高次项系数 2x。
然后将 2x 乘以除式，得到 4x^3 - 2x^2 + 6x。
将这个新的多项式与被除式相减，得到 (3x^2 - 8x + 1)。
接着用被除式的最高次项 3x^2 除以除式的最高次项 2x^2，得到商的次高次项系数 1.5，即1.5x。
将 1.5x 乘以除式，得到 3x^2 - 1.5x + 4.5。
将这个新的多项式与被除式相减，得到 (-9.5x - 3.5)。
用被除式的最高次项 -9.5x 除以除式的最高次项 2x^2，得到商的次次高次项系数 -4.75，即-4.75x。
将 -4.75x 乘以除式，得到 -9.5x^2 + 4.75x - 14.25。
将这个新的多项式与被除式相减，得到 (10x - 12.75)。
最后剩下的多项式 10x - 12.75 即为余数，而之前得到的各次的商的系数组成的多项式 2x + 1.5 + (-4.75) 即为商。
因此，多项式 (4x^3 + 3x^2 - 2x + 1) 除以 (2x^2 - x + 3) 的结果为商：2x + 1.5 + (-4.75) 余数：10x - 12.75。
整式的除法法则
整式的除法法则整式的除法法则是指在代数学中，对两个整式进行除法运算的规则。
整式的除法法则是代数学中的基本概念，它是解决代数问题的重要工具。
本文将介绍整式的除法法则的基本概念、步骤和相关例题。
一、整式的基本概念在代数学中，整式是由数字、变量和它们的乘积与幂的和构成的式子。
例如，3x^2+2xy-5是一个整式。
整式的除法是指对两个整式进行除法运算，得到商式和余式的过程。
在整式的除法中，被除式和除数都是整式，它们的系数可以是实数，也可以是复数。
二、整式的除法法则整式的除法包括长除法和短除法两种方法。
下面分别介绍这两种方法的具体步骤。
1. 长除法长除法是一种逐步相除的方法，适用于任意整式的除法运算。
其具体步骤如下：（1）将被除式和除数按照同类项排列。
（2）将被除式的最高次项与除数的最高次项相除，得到商式的最高次项。
（3）用商式的最高次项乘以除数，得到一个中间结果。
（4）将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式。
（5）重复步骤（2）~（4），直到无法再相除为止，得到最终的商式和余式。
2. 短除法短除法是一种简化的除法方法，适用于除数为一次式的情况。
其具体步骤如下：（1）将被除式和除数按照同类项排列。
（2）用被除式的首项除以除数的首项，得到商式的首项。
（3）用商式的首项乘以除数，得到一个中间结果。
（4）将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式。
（5）重复步骤（2）~（4），直到无法再相除为止，得到最终的商式和余式。
三、相关例题下面通过一些例题来演示整式的除法法则的具体应用。
例题1：计算多项式(3x^3-5x^2+2x-1)÷(x-2)。
解：按照长除法的步骤进行计算，首先将被除式和除数按照同类项排列：3x^3-5x^2+2x-1÷ x-2然后将被除式的最高次项与除数的最高次项相除，得到商式的最高次项3x^2。
用3x^2乘以除数x-2，得到一个中间结果3x^3-6x^2。
将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式x^2+2x-1。
初中数学 如何计算整式的除法
初中数学如何计算整式的除法整式的除法是初中数学中的重要内容，它涉及到多项式的运算和化简。
在学习整式的除法时，我们需要掌握一些基本的步骤和方法。
本文将详细介绍如何计算整式的除法，并给出一些例题进行说明。
一、整式的定义首先，我们回顾一下整式的定义。
整式是由若干个单项式相加（减）而成的代数式。
例如，3x^2-2x+1就是一个整式。
其中，3x^2、-2x和1都是单项式，它们相加得到整式3x^2-2x+1。
二、整式的除法步骤整式的除法可以分为以下几个步骤：1. 确定被除式和除式：被除式是我们要进行除法运算的整式，除式是我们用来除以被除式的整式。
2. 规范被除式和除式的次序：将被除式和除式按照降幂的次序排列，确保最高次项在前。
3. 比较最高次项：将被除式和除式的最高次项进行比较。
a) 如果被除式的最高次项的次数小于除式的最高次项的次数，那么商式为0，余式为被除式。
b) 如果被除式的最高次项的次数大于或等于除式的最高次项的次数，那么继续进行下一步骤。
4. 计算商式的最高次项：将被除式的最高次项除以除式的最高次项，得到商式的最高次项。
5. 用商式的最高次项乘以除式，并减去得到的结果。
6. 将减去的结果与被除式的下一项相减，并得到新的被除式。
7. 重复步骤4-6，直到被除式的次数小于除式的次数。
8. 最后得到的商式即为整式的商式，被除式除以除式得到的余式即为整式的余式。
三、整式的除法例题现在，我们通过一些具体的例题来演示整式的除法计算。
例题1：计算(3x^3-5x^2+2x-1) ÷ (x-2)解：首先，我们将被除式和除式按照降幂的次序排列：被除式：3x^3-5x^2+2x-1除式：x-2比较最高次项：被除式的最高次项是3x^3，除式的最高次项是x。
被除式的最高次项的次数大于除式的最高次项的次数，我们可以继续进行计算。
计算商式的最高次项：将被除式的最高次项3x^3除以除式的最高次项x，得到3x^2。
用商式的最高次项乘以除式，并减去得到的结果：(3x^2)(x-2) = 3x^3-6x^2将减去的结果与被除式的下一项相减，并得到新的被除式：(3x^3-5x^2+2x-1) - (3x^3-6x^2) = x^2+2x-1现在，我们将新的被除式x^2+2x-1 作为被除式，继续进行下一步骤。
初中数学 什么是整式的除法
初中数学什么是整式的除法整式的除法是指对两个整式进行除法运算，其中被除数除以除数得到商式和余式的过程。
首先，我们来了解一些整式的基本概念。
整式是由常数项、变量项和它们之间的运算符（加法和减法）组成的代数表达式。
常数项是只包含常数的项，变量项是包含变量和常数的项。
例如，3x² + 2xy - 5 是一个整式，其中3x²是变量项，2xy 是变量项，-5 是常数项。
在整式的除法中，被除数通常是一个多项式，除数通常是一个一元多项式（只有一个变量的多项式）。
我们的目标是找到一个商式和余式，使得被除数等于除数乘以商式加上余式。
让我们通过一个例子来说明整式的除法过程：假设我们要计算(2x³ + 5x² - 3x + 1) ÷ (x - 1)。
首先，我们将被除数和除数按照降幂排列，即按照变量的指数从高到低排列。
在这个例子中，被除数已经按照降幂排列，除数为x - 1。
接下来，我们将除数的第一项x 与被除数的第一项2x³进行除法运算。
x 除以2x³等于(1/2)x²。
我们将这个结果乘以除数，得到(1/2)x³ - (1/2)x²。
然后，我们将这个结果与被除数进行减法运算，得到(2x³ + 5x² - 3x + 1) - ((1/2)x³ - (1/2)x²) = (3/2)x³ + (5/2)x² - 3x + 1。
接下来，我们重复上述步骤。
将除数的第一项x 与新的被除数的第一项(3/2)x³进行除法运算，得到(3/2)x²。
我们将这个结果乘以除数，得到(3/2)x³ - (3/2)x²。
然后，我们将这个结果与新的被除数进行减法运算，得到(3/2)x³+ (5/2)x²- ((3/2)x³ - (3/2)x²) = 8x² - 3x + 1。
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整式的除法（基础）
【学习目标】
1. 会进行单项式除以单项式的计算．
2. 会进行多项式除以单项式的计算．
【要点梳理】
要点一、单项式除以单项式法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出
现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组
合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.
要点二、多项式除以单项式法则
多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++
要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实
质是将它分解成多个单项式除以单项式.
（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变
化.
【典型例题】
类型一、单项式除以单项式
1、计算：
（1）342222(4)(2)x y x y ÷；
（2）2137323m n m m n x y z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭
； （3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-；
（4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++．
【思路点拨】（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、
（4）中多项式因式当做一个整体参与计算．
【答案与解析】
解：（1）342222684424(4)(2)1644x y x y x y x y x y ÷=÷=．
（2）2137323m n m m n x y z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭
21373211()()()3m m m n n x x x y y y z z +⎡⎤⎛⎫=÷÷-÷÷÷÷÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦ 21432
n xy z -=-． （3）22
[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷- 222()()()()x y x y x y x y =+-÷+÷-
2()()x y x y x y =-÷-=-．
（4）2
[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++ 2(124)[()()][()()]a b a b b c b c =÷+÷++÷+
3()33a b a b =+=+．
【总结升华】（1）单项式的除法的顺序为：①系数相除；②相同字母相除；③被除式中单独有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．（2）注意书写规范：系数不能用带分数表示，必须写成假分数．
举一反三：
【变式】计算：
（1）3153a b ab ÷； （2）5322
53x y z x y -÷； （3）2221126a b c ab ⎛⎫⎛⎫-
÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； （4）63(1010)(210)⨯÷⨯． 【答案】 解：（1）33202153(153)()()55a b ab a a b b a b a ÷=÷÷÷==．
（2）532252323553(53)()()3x y z x y x x y y z x yz -÷=-÷÷÷=-
． （3）22222201111()()332626a b c ab a a b b c ab c ac ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-÷-÷÷== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
． （4）63633(1010)(210)(102)(1010)510⨯÷⨯=÷÷=⨯．
2、夏天是多雷雨的季节，大家都知道，雷雨时往往是先看到闪电，后听到雷声，这是因为光的传播速度比声音的传播速度快的缘故．已知光在空气中的传播速度约为8310⨯米/秒，而声音在空气中的传播速度约为23.410⨯米/秒．
（1）光的速度大约是声音速度的多少倍？（结果保留两个有效数字）
（2）如果你看到闪电8秒后，才听到了雷声，那么你能算出闪电离你大约有多远吗？
（注：光传播到地球的时间忽略不计）
【答案与解析】
解：（1）82826
(310)(3.410)(3 3.4)(1010)0.88210⨯÷⨯=÷⨯÷⨯≈58.810⨯≈． （2）23
3.4108 2.72102720⨯⨯=⨯=（米）．
【总结升华】在科学记数法表示的数10n a ⨯中，a 相当于单项式的系数，10n 相当于单项式中的幂．
类型二、多项式除以单项式 3、计算（1）254311222x x x x ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ ； （2）()
()32271833x x x x -+÷-.
【思路点拨】直接利用多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加计算．
【答案与解析】 解：（1）254311222x x x x ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 5432
5242323211224111124424
482x x x x x x x x x x x x x
⎛⎫=++÷ ⎪⎝
⎭=÷+÷+÷=++ （2）()
()32271833x x x x -+÷- ()()()
32227318333961x x x x x x x x =÷--÷-+÷-=-+-
【总结升华】本题考查多项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，要注意符号的处理．
4、计算：
（1）324
(67)x y x y xy -÷；
（2）42(342)(2)x x x x -+-÷-；
（3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-；
（4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫-
-÷- ⎪⎝⎭
． 【答案与解析】 解：（1）32432423
(67)(6)(7)67x y x y xy x y xy x y xy x y x -÷=÷+-÷=-．
（2）42(342)(2)x x x x -+-÷- 42[(3)(2)][4(2)][(2)(2)]x x x x x x =-÷-+÷-+-÷-
33212
x x =-+． （3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-
222222212(4)(8)(4)4(4)x y y xy y y y =÷-+-÷-+÷-
2321x x =-+-
（4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛
⎫--÷- ⎪⎝⎭ 22322432110.3(0.5)(0.5)(0.5)36a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=÷-+-÷-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22321533
ab a b =-++． 【总结升华】（1）多项式除以单项式是转化为单项式除以单项式来解决的．（2）利用法则计算时，不能漏项．特别是多项式中与除式相同的项，相除结果为1．（3）运算时要注意符号的变化．
举一反三：
【高清课堂399108 整式的除法 例5】
【变式】计算：
（1）23233
421(3)2(3)92xy x x xy y x y ⎡
⎤--÷⎢⎥⎣⎦； （2）2[(2)(2)4()]6x y x y x y x +-+-÷．
【答案】
解： （1）原式2232
39421922792x y x x x y y x y ⎛
⎫=-÷ ⎪⎝⎭ 52510428(927)93x y x y x y x xy =-÷=-．
（2）原式2222
[44(2)]6x y x xy y x =-+-+÷ 2222(4484)6x y x xy y x =-+-+÷ 2(58)6x xy x =-÷
5463x y =-．。