一种系数可选择的矩阵Pad_逼近

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基于广义逆的二元矩阵PADE逼近及其代数性质

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第ｌ卷第１６期２００２年１月
株
洲
工
学
院
学
报
Ｖｏ．６Ｎｏ１１１．
Ｊｕｎ１ｆｕｈｕＩｓｉｕｅｏｃｎｌｇｏｒａｚｏｎｔｔｆＴｅｈｏｏｙｏＺｈｔ
ｒｖｄｆｏｔｅＰｉｅｒｍｈＡＤＥａｐｏｐｒｍｍａｔｏｉｅｓｏ，ｎｓａｇｂａｃｐｏｅｌｉｓａｅｐｅｅｔｄｎｆｄｍｎｉｎ１ａｄｉｌｅｒｉｒｐｒｔｅｒｒｓｎｅｔ
ａｄｐｏｅ．ｎｒｖｄＫｅｒｓｇｎｒｌｅｎｅｓｔｉ２ｄｍｅｓｏａａｒｘ— ｖｌｅｙｗｏｄ：ｅｅａｉｄｉｖｒｅｍａｒｘ；－ｉｎｉｎｌｍｔｉｚａｕｄＰＡＤＥａｐｏｉｐｒｘ— ＩａｔａｇｂａｃｐｏｅｔｅｎｎＩｌｅｒｉｒｐｒｉｓ
定义ｉｔ阵为Ａ－一Ａ‘ ＩＩ，１／ＩｌＡ≠０Ａ０｝（）１设Ａ＝（ ∈ Ⅱ），是Ａ的共轭Ａ‘ 阵，Ａ是Ａ的共轭转置阵，则定义矩阵Ａ的广义逆矩
这里Ｃ＝（（）一。ｃ ∈
定义２设二元矩阵有理函数Ｒ… （），一Ｐ（，ｘｙ／ｘ＇，中Ｐ（）景。ｚｊ（（，Ｅ）Ｑ（）其ｘ，一Ｐｗｙｙｐ））
矩阵ＰＡＤＥ逼近在变分原理，原子及初等粒子物
其中
理，系统理论的模型简化等领域中已经有深人的实际

sinⅹ的帕德近似计算公式

sinⅹ的帕德近似计算公式帕德（Padé）近似是一种用有理函数来逼近另一函数的方法。

对于sin(x)的帕德近似，我们可以使用以下公式进行计算：sin(x)≈xP(x)/Q(x)其中，P(x)和Q(x)是多项式函数，可以通过帕德近似的方法来确定。

帕德近似的基本思想是将sin(x)在其中一点展开成泰勒级数，然后将泰勒级数的项分别除以多项式P(x)和Q(x)来得到帕德近似。

具体步骤如下：1.定义帕德近似的阶数。

假设希望得到一个m阶的帕德近似，则多项式P(x)的最高次数为m，多项式Q(x)的最高次数为m+12.根据阶数m，确定多项式的系数。

可以使用以下递归公式来依次计算多项式P(x)和Q(x)的系数：P0(x)=1,P1(x)=x,P2(x)=x(1+(x^2)/3),...,Pm(x)=x(1+(x^2)/3+(x^ 4)/5+...+(x^2m)/(2m+1))Q0(x)=1,Q1(x)=1+(x^2)/2,Q2(x)=1+(x^2)/2+(x^4)/4,...,Qm(x)=1+ (x^2)/2+(x^4)/4+...+(x^2m)/((2m+1)2m)3. 根据得到的多项式P(x)和Q(x)，计算sin(x)的帕德近似值。

这种方法可以较好地逼近sin(x)，特别是在接近原点附近的范围内。

但是需要注意的是，帕德近似在离原点较远的范围内误差可能会增大。

以下是一个计算sin(x)的帕德近似的示例代码：```pythonimport numpy as npdef pade_approximation(x, m):P = np.zeros(m+1)Q = np.zeros(m+2)#计算多项式P(x)的系数P[0]=1for i in range(1, m+1):P[i] = x * (1 +np.sum([(x**(2*k))/((2*k+1)*np.math.factorial(k)) for k in range(1, i+1)]))#计算多项式Q(x)的系数Q[0]=1Q[1]=1+(x**2)/2for i in range(2, m+2):Q[i] = 1 +np.sum([(x**(2*k))/((2*k+1)*2**k*np.math.factorial(k)) for k in range(1, i)])# 计算sin(x)的帕德近似值approximation = x * np.polyval(P, x) / np.polyval(Q, x)return approximation#示例使用x = np.pi/4m=5approximation = pade_approximation(x, m) print("sin(x)的帕德近似值：", approximation) ```。

模型降阶方法综述

模型降阶方法综述大系统模型降阶是一个活跃的研究领域，比较成熟的经典降阶方法主要有：Pade逼近法，时间矩法，连分式法，Routh逼近法及棍合法等。

本文综述了这一领域的现有文献，介绍了每种降阶方法的基本思想、优缺点和适用范围，特别指出了一些新的经典模型降阶方法的进展。

文中最后提出了模型降阶方法的可能研究方向。

一、Pade逼近法Pade逼近法是大系统模型简化中最早出现的一种经典降阶方法。

到目前为止，人们仍然公认它是一种行之有效的传递函数降阶法。

Pade逼近法是泰勒级数展开理论的应用，适用于传递函数可表示成有理多项式分式(或传递函数阵为有理分式阵)的场合。

降阶方法简单，易于编制上机程序，低频(稳态)拟合性能好。

但是，Pade逼近法的高频(动态)拟合性能较差且不能保证降阶模型的稳定性。

因而在模型降阶方法中，很少单独使用Pade逼近法。

为了弥补Pade逼近法的不足，Brown等引入了使降阶模型稳定的补充性能准则，但却提高了降阶模型的阶次；Rossen等把造成降阶模型不稳定的极点隔离开来，并用任意稳定极点取代，可以防止降阶模型不稳定，但加大了计算量；Chuang和Shamash先后提出在和附近交替展成Pade近似式，可获得有较好动态拟合性能的降阶模型；Shih等采用线性变换方法将中不稳定的极点映射到另一平面，以扩大Pade展开式的收敛域，并由此选出稳定的降阶模型。

为了克服泰勒级数收敛慢的弱点，Calfe等提出了切比雪夫多项式模型降阶方法，可获得稳定的降阶模型；Bistritz等提出了广义切比雪夫一Pade逼近法，即Darlington多项式展开法。

这两种降阶方法均可使降阶模型在预定的区间上既稳定又具有最小相位，但计算量大，仅适用于单变量系统。

二、时间矩法时间矩法首先由Paynter提出，采用与Pade逼近法类似的方法，把高阶系统和降阶模型都展成多项式，再令时间矩对应项相等，可以求得降阶模型的各系数。

因此，时间矩法本质上仍是Pade遏近法，其优缺点也相似。

【国家自然科学基金】_padé近似_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803

推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2011年科研热词高阶非线性耦合微盘相似解激光技术时域有限差分法数值模拟微分变换法弱非线性回音壁模式品质因子光学微腔 mhd边界层流动 falkner-skan boussinesq型方程推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2014年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
科研热词静压支承消逝模油膜厚度油垫数值仿真承载力劈形波导刚度光束传播法 te模式 padé近似
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2008年序号 1 2 3 4
科研热词边界层 falkner-skan方程 crocco变换 adomian拆分法
推荐指数 1 1 1 1
2009年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ科研热词表面粗糙度纳米划痕试验磁致伸缩作动器权值直接确定法权值修正有限元有理式神经网络抛光机理周期振动化学气相沉积碳化硅传递矩阵 terfenol-d padé近似
2013年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2013年科研热词重叠nakagami-m衰落译码转发等增益合并移动对移动通信收敛区域和速度微分变换法尖峰解协作通信传输线 spice电路模型 padé逼近 pad6逼近 fitzhugh-nagumo方程推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

基于Pade逼近的时滞对电力系统稳定器的影响分析

基于Pade逼近的时滞对电力系统稳定器的影响分析作者：胡亚莉张亮许嘉纹刘振国来源：《中国新通信》2015年第10期【摘要】低频振荡对电力系统稳定性的影响很大，目前通常用PSS来抑制，但电力系统信号时滞对PSS的性能有一定影响。

本文通过Pade分析时滞对PSS控制器的影响，并用MATLAB进行仿真验证，分析数据并得出结论。

【关键词】Pade 时滞分析电力系统稳定器 MATLAB仿真电力系统的稳定性是研究电力系统的最基本也是最重要的问题之一，但是伴随着电网规模扩大，大量快速励磁装置的投入使用，以及大量不稳定的新能源接入，电力系统运行的稳定性也越来越接近临界点，因振荡而导致失稳的问题越来越普遍，其中低频振荡问题尤为突出。

电力系统稳定器（PSS）是抑制低频振荡常用手段，通常是以本地功角，角速度等本地信号作为输入，输出叠加到励磁系统，作为一种发电机励磁侧的附加控制。

但是，本地信号对区间模式的可观性不高，控制效果不佳。

广域测量系统（WAMS）可以在同一个时间坐标下，捕捉到电力系统各地点实时的稳态、动态信息，这些信息可以广泛应用到电力系统稳态及动态分析以及控制的诸多领域中。

但是它存在信号时滞的问题，而时滞信号会大大降低控制器的性能。

因此，含有信号时滞的PSS分析和研究就有其现实意义。

本文通过电力励磁系统模型，针对含有信号时滞的PSS，使用Pade逼近的方法进行了分析，计算了各次逼近的时滞稳定裕度，并利用MATLAB进行仿真分析。

一、Pade逼近的位置选择Pade逼近的位置选择很重要，一般比较合适的位置是置于相位补偿环节之后，如图1所示：通过经典算法对时延进行处理，表1为计算的时滞稳定裕度：表中∞表明没有时延。

通过表l可以看出，一阶逼近计算的值较大，二阶、三阶的分子非零次逼近计算的结果相近，考虑到阶数越高逼近越精确，因此可以得知一阶逼近的效果不好。

综合考虑计算量和计算的时滞裕度，二阶、三阶逼近结果相近，因此选择二阶分子非零逼近Pade逼近效果比较好。

基于内积矩阵E_(uv)的最小二乘形式矩阵Padé-型逼近

关键词：矩阵值；线性泛函；ａ６型逼近；Ｐｄ一最小二乘法
中图分类号：０２１８４．３文献标志码：Ａ文章编号：０７２６（０２０－１４０１０－８１２１）２０７－４
Ｌｅｓ－ｑａｅａｒｘＶａｕｄＰ－ｐｐｏｉｔｏａｅｎＩｎｒＭａｒｘＥａｔＳｕｒｓＭｔｉ・ｌｅａＴｙｅＡｐｒｘｍａｉｎＢｓｄｏｎｅｔｉ
的形式幂级数所确定，而且要求解一个块状矩阵Ｐｄａ６方程组，计算量大，点不易控制．了克服其极为这些缺点，ｒｘＤａ等和Ｇｕｕ刮提出了矩阵Ｐｄ・ａ６型
逼近的概念，中Ｐｄ其ａ６型逼近的ａ６逼近在理论物理、网络模型、
矩阵Ｐｄ逼近效果好．于矩阵Ｐｄ一逼近对矩ａ６鉴ａ６型阵幂级数展开式系数摄动的灵敏性，工作在文献本［］６的基础上，对矩阵Ｐｄ一ａ６型逼近算法做了一些改
第１８卷第２期
２１０２年４月
上洛天
报（然科学版）自
Ｖ１８ｏｏ１Ｎ２．
．
Ａｐ．２２ｒ０１
ｄｉ１．９９ｊｉｎ１０－８１２１．２０２ｏ：０３６／．ｓ．０７２６．０２０．１ｓ
过程中，为了充分利用矩阵值幂级数展开式信息，做
基于内积矩阵
的最小二乘形式矩阵Ｐｄ．逼近ａ６型

一种新型的矩阵Padé逼近方法

一
、
引言
在自然科学和工程技术的实际计算中，函数的用
本思想就是对于一个给定的形式矩阵值幂级数，构造一个矩阵值有理函数，为逼近式，该逼近式的Ｔｙｒ称使ａｌ展ｏ开式有尽可能多的项与原来的幂级数相一致．引入矩阵多项式的集台
展开与级数（）首项起连续地有尽可能多的项相１从
同．即
经典矩阵Ｐｄ逼近在控制理论、统理论、息理ａ６系信论、子及初等粒子物理中已经有深入的实际应用背原景０但是，典矩阵Ｐｄ逼近都要涉及矩阵的乘法，经ａ６而矩阵的乘法一般不满足交换律，而在一定程度上限制从
了该逼近方法的应用范围．于广义逆的矩阵Ｐｄ基ａ６逼
妻ｃ
这里要求尽可能地大．中其
＝）
ｆ２］
０）＝∑ｇ ‘盛∈Ｃ（．：
表示一个首项系数从ｒ开始的余项幂级数．项由于有理函数包含多项式为其特侧，以定义中所所述的矩阵有理函数Ｐ（）Ｑ（）ｚＩ。显然是存在的．记
是作为从幂级数展开式中提取更多信息的一种系统方法，延至２则ｏ世纪６ｏ年代初期结合电子计算机的应用始由理论物理学家ＢｋｒＧａａｅ等强调指出，逐渐ａｅ和ｎｍｌ并

Padé逼近问题的数值代数求解

作者简介：陈
亮（９７，，苏论１７一）男江讲研数
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第７期
陈
亮：ａ逼近问题的数值代数求解Ｐ
２１
（ｃ）１ ∑ （＋∑ ６）一∑ Ｃ‘ （＋＋，Ｌ＝０ｚＭＩｉＺＬ）
陈亮
（北煤炭师范学院淮数学系，徽淮北２５０）安３００
摘
要：要讨论使用单点Ｐｄ近、点Ｐ逼近和混合Ｐｄ近等三种方法将Ｐ逼近问题转化为数值代数问题，主ａ６逼多ａａ６逼ａ
ｉ０＝ｉ１＝ｆ０＝
移项，有
∞ Ｌ ∞ ＾ｆ
∑ｃ＝∑ ａ（ｃ） ∑ｂ（一 ∑ ｉ（ｉ＋０川“ ．ｚ ‘ ｚ））
ｉ０＝ｉ０＝ｆ＝０ｆ１＝
为了消去两边的高阶项即误差，将上式重新排列成如下的等式
Ｌ＋＾ｆＬ ∞
∑ｃ＋０（＋＝∑ ａ‘ （ｃ）ｂ …＋）（＋＋，）ｉ一 ∑ ｉ（１ｚｚ＋ ‘ ６＋０ｚＭＩＬ）
ｆｏ＝ｉｏ＝ｉ＝ｏ
即
Ｌ＋＾ｆＬＬ＋＾一１ｆＬ＋＾一２ｆＬ
∑ｃ＋０（＋＝∑ ａ（ｌｃｂ ∑ ｃ …＋ ∑ ｃ）０ＺＭ－）一ｂ ∑ ＋＋６ｉ＋（＋＋，ｚＬ）
ｉ０＝ｉ＝０ｉ０＝；＝Ｏ＝Ｏ
此时可以消去上式两边的误差０川＋）从而有（１．
这种方法在实际应用时显得不足，以人们考虑用其它函数来代替函数的Ｔｙｒ开，时有理函数脱颖所ａｌ展ｏ此

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1 矩阵值有理插值的一般方法
集设 z 是复变量, F ( z ): C C 是定义在有界开上的矩阵值函数. 考虑用插值点 z1, z 2, 插值
s t
F ( z ) 的问题 . 目前假设所有的 z i 都是不同的. 设
收稿日期 : 2006-11 -10 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 10271074) 通信作者 : 顾传青 ( 1955~ ) , 男 , 教授 , 博士生导师, 博士 , 研究方向为数值代数和逼近及控制论应用 . E-m ai: l cqgu@ shu. edu . cn
一种系数可选择的矩阵 Pad 逼近
顾传青, 王烽
( 上海大学理学院 , 上海 200444)
摘要 : 通过 L ag rang e多项式的迭代公式 , 该文引入了内积空间中的一类 L ag rang e型的矩阵值有理插值 . 当所有的插值结点都趋于零时 , 导出了系数可选择的矩阵 Pad 逼近 , 其中的系数可用非常有效的最小二乘法求得 . 对矩阵 Pad 逼近的误差进行了分析 , 并给出了计算公式 . 关键词 : 矩阵值 ; 有理插值 ; L agrange多项式 ; 矩阵 P ad 逼近中图分类号 : O 241. 5 文献标识码 : A
[1 -2 ] -1
( 2)
m+ n
式中, U ( z ) V ( z ) 分别是阶数至多为 m 和 n 的矩阵的展开式与 f ( z ) 直到 z 项都相同. f ( z )的经典左矩阵 Pad 逼近可类似地定义. 提出了广义逆矩阵 P ad 逼近 ( GM PA ), 并应用到控制论中的模型简化问题. 它的
k zi 0 i= 1, 2, , l
3 误差公式
定理 3 . 1 设 F ( z ): C C 是矩阵值函数. 设 E l, k , Q l, k
s t
li m rl, k ( z ).
( 15)
R l, k ( z ) 是 ( l- 1 /k )阶矩阵 P ad 逼近, 则成立 F ( z) - R l, k ( z ) = ( 21 )
A M atrix -P ad Approxi m ation w ith Chosen Coefficients
GU Chuan -qing , WANG F eng
( Co llege of Sc iences, Shangha iU n ive rs ity , Shangha i 200444, Ch ina)
s t 2
优点是在构造过程中不必用到矩阵的乘法 , 但无法 , ( 1)
- 1
+ un z + C,
n
构造当 n 为奇数时的 [ m /n] 型的矩阵 P ad 逼近. 本工作突破了这个限制, 在实际课题中具有应用意义. 本工作先引入了一类系数可选择的矩阵值有理插值, 当所有的插值结点都趋于零的时候 , 推导出了系数可选择的矩阵 Pad 逼近 , 其中的系数可用非常有效的最小二乘法求得.
cjW 1, j ( z ) L j+ 1, l ( z )
j= 0 k
, cjW 1, j ( z)
( 6)
L 0, n- 1 ( z ) = L 0, n- 2 ( z ) + W 0, n- 2 ( z ) D 0, n- 1, L 0, 2 ( z ) = L 0, 1 ( z ) + W 0, 1 ( z ) D 0, 2, L 0, 1 ( z ) = L 0, 0 ( z ) + W 0, 0 ( z ) D 0, 1. ( 12 ) 将上述 n 式的等式两端分别相加, 并注意到 F ( z0, z1, , zk ) = D 0, k , 得到 L 0, n ( z) = L 0, 0 ( z ) + W 0, 0 ( z ) D 0, 1 + W 0, 1 ( z) D 0, 2 + + W 0, n- 1 ( z) D 0, n = + F ( z0 ) + ( z - z0 ) F [ z0, z1 ] + ( z - z 0 ) ( z - z 1 ) F [ z 0, z 1, z 2 ] +
n+ 1
[ ( zi - zm ) ( z i - zm + 1 ) z - zj , j = m, j i z i - z j i = m, m + 1,
s t
Wm, n ( z )
i= m
F ( zi )
n+ 1
,
( 9)
( z i - zj )
j = m, j i
式中 , W m, n ( z ) 由式 ( 5 )给出. , n. ( 4) 证明由 Lm, n ( z )的定义易得 . 引入符号 Dm, n:
Abstract : In ter m s o f the recursiv e relation in th e L agrange polynom ial form, a m ethod of L agrange-type m atrix ratio na l in terpo lation is presented in the inner product space. W hen a ll interpo latio n po ints approach zero, a m atrix Pad approx i m ation w ith chosen coefficients is constructed, w hose coeffic ie nts can be obta in ed by the least square m ethod . An error for m u la o f the m atr ix Pad approx i m at io n is given . K ey w ord s : m atrix -valued ; ratio na l in terpo lation ; Lagrange po lynom ia ;l m atrix P ad approx i m at io n 设 f ( z )是给定的系数为矩阵的幂级数: f ( z ) = u0 z + u1 z + u2 z + ui =
n
, zn 插值函数 F ( z ), 其定义 z 0, z 1,
( A, A ) =
i= 1 j = 1
*
| a ij | =
2
A
2 F
.
引理 2 . 2 设 F [ z0, z 1,
k
, z k ] 是 F ( z ) 在点集 F ( zj )
k i= 0, i j
, zk 上阶数为 k 的差商 , 则有 F [ z 0, z 1, , zk ] =
n
引理 2 . 3 设 Lm, n ( z ) 是在点 zm , zm + 1,
( z - z i- 1 ) ( zi - z i- 1 )
( z - zn ) ] / ( z i - zn ) ] =
插值 F ( z ) 的矩阵有理值 Lag range 多项式 ( 3 ), 则成立递推公式: Lm, n+ 1 ( z ) = Lm , n ( z ) +
n
显然, Lm , n ( z ) 是 C 上的矩阵. 定义数量多项式 W m, n ( z )为
n
D m, n = ( z - zr ), n m 1 ; ( 5) 于是 , 式 ( 9) 可写为
i= m
F ( zi )
n
.
( 10 )
W m, n ( z) =
r =m
( zi - z j )
2 矩阵 Pad 逼近
定义 2 . 1
[ 1-4]
( z - z 0 ) ( z - zn- 1 ) F [ z 0, z 1, , zn ]. ( 13 ) 易知上式为牛顿插值公式, 由 L agrange 递推式 ( 11 ) C ,
s t
设 A = [ a i, j ], B = [ b i, j ]
第 1期
顾传青 , 等 : 一种系数可选择的矩阵 P ad 逼近
s t
37
Lm, n ( z ) 是阶数至多为 n - m 的矩阵值多项式 , 且 Lm, n ( z )在点 zm , zm + 1, 如下 Lm, n ( z ) = F ( zm ) lm , m ( z ) + F ( zm + 1 ) lm, m + 1 ( z) +
j=m, j i
W m, m - 1 ( z ) = 1 ,m
1 .
由此定义矩阵值有理函数 rl, k ( z) 为 p l, k ( z ) rl, k ( z ) = = q l, k ( z )
k
Lm, n+ 1 ( z ) = Lm, n ( z ) + Wm, n ( z ) Dm, n+ 1. ( 11 ) 由式 ( 8 ) 可知, 差商 F [ z0, z1, , zk ] 是 D m, n 当 m= 0 , n = k 时的特殊情况. 在式 ( 11)中令 m = 0 , 可得 L 0, n ( z ) = L 0, n- 1 ( z) + W 0, n- 1 ( z) D 0, n,
第 14 卷第 1 期 2008 年 2 月
上海大学学报 ( 自然科学版 )
JOU RNAL OF SHANGHA I UN I VER SI TY ( NATURA L SC I EN CE)
V o.l 14 N o . 1 F eb . 2008