相关系数模型(相关系数)组合预测模型及应用

相关系数模型(相关系数)组合预测模型及应用第２３卷第２期科技通报ＢＵＬＬＥＴＩＮＯＦＳＣＩＥＮＣＥＡＮＤＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹＶｏｌ．２３Ｎｏ．２Ｍａｒ．２００７２００７年３月组合预测模型及应用李（南昌航空工业学院曦数学与信息科学学院，江西南昌３３００３４）摘要：通过主成分分析的方法，将非线性预测中的二次多项式预测、指数预测及灰色预测等３种不同的预测方法组合在一起，提出了一种新的组合预测方法，并利用该方法对江西省的国民生产总值进行了预测。

关键词：灰色预测；非线性回归；组合预测；主成分分析：Ｏ１５９：Ａ：１００１－７１１９（２００７）０２－０１５９－０４ＴｈｅＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＴｈｅＭｏｄｅｌｆｏｒＣｏｍｂｉｎａｔｉｏｎＦｏｒｅｃａｓｔｉｎｇＬＩＸｉ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＳｃｉｅｎｃｅ，ＮａｎｃｈａｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＡｅｒｏｎａｕｔｉｃａｌＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｃｈａｎｇ，Ｊａｎｇｘｉ，３３００３４，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｔｗｏ－ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ，ｅｘｐｏｎｅｎｔｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇａｎｄｇｒａｙｆｏｒｃａｓｔｉｎｇ，ａｎｅｗｋｉｎｄｏｆｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ（ｍｅｔｈｏｄ）ｉｓｐｒｅｓｅｎｔｂｙａｐｐｌｙｉｎｇｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｐｒｉｎｃｉｐａｌｃｏｍｐｏｎｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓ．ＴｈｅＧＤＰｏｆＪｉａｎｇｘｉｐｒｏｖｉｎｃｅｉｓｆｏｒｅｃａｓｔｅｄｂｙｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｇｒａｙｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ；ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ；ｐｒｉｎｃｉｐａｌｃｏｍｐｏｎｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓ经济指标的准确预测是国家对宏观经济正确调控的必要前提，但经济系统是一个非常复杂的系非线性的、不确定性的作用关系；因此要准确地预测某一趋势，必须从多个方面统，其中存在着时变的、进行考虑。

预测方法多种多样，如线性与非线性回归预测模型，灰色系统ＧＭ（１，１）模型预测，马尔柯夫链预测模型，神经网络预测模型等等，每种预测各有其特点，在不同的方面有各自的优劣，因此为了准确地预测结果，可考虑采用组合预测法进行预测。

组合预测模型的建立也有多种方法，如文［２］以误差绝对值的和为最小的标准建立的组合预测模型，文［３］的偏最小二乘法建立的组合预测模型；本文运用主成分分析的来建立组合预测模型，这一方法通过分析各种预测量间存在的起支配作用的本质特征及内部结构，找出了几种预测方法共同起作用的预测量，从而产生预测值。

１组合预测模型的建立假设对同一预测问题有ｍ个预测模型，这ｍ个预测模型预测值分别记为Ｙ１，Ｙ２，…，Ｙｍ，对各个不：２００６－０３－０６作者简介：李曦（１９６６－），男，江西进贤人，副教授，主要从事应用数学研究。

１６０科技通报第２３卷同方法产生的Ｙｉ作为一个变量，对ｎ个不同时间，计算出相应的预测值ｙｉｊ，（ｉ＝１，２，…，ｎ；ｊ＝１，２，…，ｍ），由此构造一个ｎ×ｍ矩阵，利用此矩阵求相关系数矩阵Ｒ＝（ｒｉｊ），ｉ，ｊ＝１，２，…，ｍ，其中ｎｙ，ｉｊｉ＝１ｎｒｉｊ＝Ｓ，Ｓｉｊ＝１! （ｙｋｉ－ｉｋｊ－ｊ…，ｍ，ｋ＝１" ｉｉｊｊ对相关系数矩阵Ｒ计算其特征值，Ｒ的最大特征值记为λ１，把属于λ１的因子得分向量记为ｖ１＝（γ１１，２，根据主成分思想，γγ１２，…，γ１ｍ）′１ｉ是第ｉ种预测对第一主成分的方差贡献率，贡献率越大，说明波动幅度越大，那么在组合中所占的比例越多；否则，比例越少。

因此，组合预测的比例可定为２２２２２ｆｉ＝γ１ｉ／（γ１１＋γ１２＋…＋γ１ｍ）＝γ１ｉ（分母之和为１），ｉ＝１，２，…，ｍ．一般，若第一主成分的方差贡献率不足７０％，可以考虑第二主成分，以第一、第二主成分的方差λ１和λ２为权数，组合预测的比例可定为２２ｆｉ＝（γ（ｉ＝１，２，…，ｍ）．１＋γ２）／（λ１＋λ２）１ｉλ２ｉλ其组合预测模型为：Ｙ＝ｆ１Ｙ１＋ｆ２Ｙ２＋…＋ｆｍＹｍ再利用该模型进行最后预测。

２三种预测模型下面我们选取江西省２０００年至２００４年的国内生产总值作为原始数据（见表１），分别采用三种模型进行预测。

表１年份２０００～２００４年江西省国内生产总值（亿元）ＴｈｅＧＤＰｏｆＪｉａｎｇｘｉｐｒｏｖｉｎｃｅ２０００－２００４２００１２１７５．６８２００２２４５０．４８２００３２８３０．４６２００４３４９５．９４Ｔａｂｌｅ１２０００２００３．０７ＧＤＰ２．１二次曲线预测ＧＤＰ从国内生产总值的散点图（图１）可以看出，ＧＤＰ与时间呈非线性关系，可考虑用二次多项式进行非线性回归，设Ｙ１表示ＧＤＰ的值，得二次曲线回归方程为：Ｙ１（ｔ）＝７７．９２３ｔ２－１０３．４９ｔ＋２０４４．４相关系数ｒ＝０．９９７３，对于ｎ＝５，α＝０．０１，查临界值为ｒ０．０１＝０．９３４３，ｒ＞ｒ０．０１，故回归方程有效。

４０００３５００３０００２５００ＧＤＰ２０００１５００１０００５０００２０００２００１图１系列１多项式（系列１）（１）２００２２００３２００４年份ＧＤＰ与时间的关系Ｆｉｇ．１ＴｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎＧＤＰａｎｄｙｅａｒｓ第２期组合预测模型及应用１６１２．２用灰色系统ＧＭ（１，１）预测ＧＤＰ灰色系统是处理不完全的一种理论，灰色预测是指以ＧＭ（１，１）模型为基础的预测，其主要应用于时间序列预测，其方法是列出预测对象历史发展时间序列，并对其进行一次迭加得｛Ｘ（ｔ）｝，利用模型ｄＸ＋ａＸ＝ｂ，得Ｘ（ｔ）＝（Ｘ（０）－ｂ）ｅ－ａｔ＋ｂ。

根据前面列出的ＧＤＰ数据得预测方程为：Ｙ（ｔ＋１）＝１００６３．０７ｅ０．２ｔ×２１（ｅ０．２－１），由于观察到残差较大，故考虑用ＧＭ（１，１）模型进行残差修正，其残差序列ｅ（ｔ）生成的预测模型为：ｅ（ｔ＋１）＝５９４．７２ｅ０．４０６８ｔ×（ｅ０．４０６８－１），即修正后的预测模型为：（２）Ｙ２（ｔ＋１）＝１００６３．０７ｅ０．２ｔ×（ｅ０．２－１）－δ（ｔ－１）×５９４．７２ｅ０．４０６８ｔ×（ｅ０．４０６８－１）１，ｔ≥１其中；δ（ｔ－１）＝０，ｔ＜１"利用该模型进行预测可得预测值。

２．３指数曲线预测ＧＤＰ根据散点图，还可考虑用指数曲线进行回归预测：Ｙ＝ａｔｂ，即ｌｎＹ＝ｌｎａ＋ｂｌｎｔ，利用上述数据得ｌｎＹ＝０．１３７７ｔ＋７．４２６５，Ｒ２＝０．９７０４，即预测模型为：Ｙ３（ｔ）＝１６７９．９ｅ０．１３７７ｔ相关系数ｒ＝０．９８５，说明效果较好。

（３）３组合预测模型将三种预测方法预测结果汇聚成表２，将三种预测方法Ｙｉ（ｉ＝１，２，３）看作三个变量，表２３种预测方法的预测结果Ｔａｂｌｅ２年份ＴｈｅｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇＧＤＰｂｙｔｈｒｅｅｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄＹ２２２２８．０２２７２．８２６５０．２３０４８．０３４３９．０３７７４．０Ｙ３１９２７．９２２１２．５２５３９．２２９１４．０３３０７．６３８３７．９Ｙ４２０５８．２２２１１．４２５４２．０２９４６．４３４０７３９４６．８Ｙ２００３．０７２１７５．６８２４５０．４８２８３０．４６３４９５．９４Ｙ１２０１８．８２１４９．１２４３６．２２８７７．２３４７５．０４２２８．７２０００２００１２００２２００３２００４２００５求三个变量的相关系数矩阵Ｒ，其检验结果如下：表３ＫＭＯ和Ｂａｒｔｌｅｔｔ检验ＫＭＯａｎｄＢａｒｔｌｅｔｔ’ｓＴｅｓｔ０．７７６１７．０７５３０．００１Ｔａｂｌｅ３Ｋａｉｓｅｒ－Ｍｅｙｅｒ－ＯｌｋｉｎＭｅａｓｕｒｅｏｆＳａｍｐｌｉｎｇＡｄｅｑｕａｃｙ．Ａｐｐｒｏｘ．Ｃｈｉ－ＳｑｕａｒｅＢａｒｔｌｅｔｔ’ｓＴｅｓｔｏｆＳｐｈｅｒｉｃｉｔｙｄｆＳｉｇ．进行ＫＭＯ统计检验及Ｂａｒｔｌｅｔ’Ｓ球形检验（表３）：当ＫＭＯ值越大，表示变量间的共同因素越多，越适合进行因子分析，一般若其值小于０．５，则不适合进行因子分析，本结果显示为０．７７６，适合做因子分析；表中Ｂａｒｔｌｅｔ’Ｓ为０．０１，小于１％，同样说明变量间具有相关性，适合做因子分析。

计算Ｒ的特征值得：λ１＝２．９７５，λ２＝０．０１８，λ３＝０．００７，由于１６２科技通报第２３卷λ１＝２．９７５＝０．９９１６１２３说明第一主成分达到９９．１６％，故只考虑第一主成分，其相应于λ１的因子得分向量为ｖ′１＝（０．３３５，，将其化为ｖ１＝（，，）′，最后得到组合预测模型为：０．３３５，０．３３４）′Ｙ４＝１（Ｙ１＋Ｙ２＋Ｙ３）（４）由于本例中的特殊情况，使三种方法组合的结果恰好近似为三种方法的平均值，根据上述模型可预测２００５年江西国内生产总值为３９４６．８亿元；根据江西省２００５年国民经济和社会发展统计公报，２００５年江西省ＧＤＰ为４０５６．２亿元，实际值与预测值很接近，由此看出组合预测效果更好。

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