变权重组合预测模型

变权重组合预测模型
1.符号说明
设对于同一预测问题，我们有n 种预测方法（或模型），)(1t y ∧
，)(2t y ∧
，…，)(t y n ∧
，并假设：
)(t y ：第t 期的实际观差值（t=1,2，…，n ）；
)(t y i ∧
：第i 个预测模型预测的第t 期的值； )(t i ω：第i 个预测模型在第t 期的加权值；
满足
∑=n
i i
t 1
)(ω
=1 ),...,2,1(n t =
0)(≥t i ω ),...,2,1(n i =
)()()(1
t y t t y n
i i i
∑=∧
∧
=
ω
，变权组合预测模型预测的第t 期的值。

2.变权组合预测模型最佳变权重确定
变权重组合预测模型的确定关键在于确定变权系数，下面给出几种确定变权系数的方法。

2.1 以相对误差的最大值达到最小为目标确定最佳变权系数
基于决策论中极大极小准则，我们求得变权系数)(t i ω应使
)
()
()(max
t y t y t y L -=∧
达到最小，其中)()()(1
t y t t y i n
i i ∧
=∧
∑=ω；1)(1
=∑=n
i i t ω；0)(≥t i ω；),...,2,1(n i =。

这问题可以通过线性规划的方法解决，为此先引进记号
)(/)()(t y t y t y e t ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=∧-
⎪⎩
⎪⎨
⎧<≥=+=
-
-
--
000
2
t t t t
t t e e e e e u ⎪⎩
⎪⎨
⎧<-≥=-=
-
--
-
00
02
t t t t
t t e e e e e v 显然有t t t v u e +=-；t t t v u e -=-
，从而可建立如下的线性规划模型 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧==≥≥≥≥==+-≥--∑=-
n
t n i t v u z t v u e v u z z I i
t t n i i t t t t t ,...,1;, (1)
0)(;0;0;01)(00min 1
'ωω
由于()1)(),...,(,)()(,...)()(1)()()
(11
1-⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-=∑=∧
∧∧
-
T
n n
i n i i t t t t y t y t y t y t y t y t e ωωω 所以把模型')(I 整理得
()⎪⎪⎪
⎪⎩⎪
⎪⎪⎪
⎨⎧=≥≥≥≥==+-≥---;
,...,1;0)(;0;0;011
0min n t t v u z W R v u W Y v u z z
I i t t t T
t t t t t t ω 其中 ())(1,....,1维n R T
=
()T
n t w
t w W )(),...,(1t = ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-
--
)(/)(),...,(/)(1t y t y t y t y Y
n
t
线性规划模型)(I 含有12++N nN 个未知量，有N 3个约束条件，可以通过其对偶问题求得最优解，从而得到最佳的变权重系数)(t w i ，n t n i ,...,1;,...,2,1==。

2.2以绝对误差和达到最小为目标确定最佳的变权系数
基于最小一乘法的思想，我们求得的最优变权系数)(t w i 应使
∑
=∧
-=
N
t t y t y Q 1
)()(
达到最小，其中)()()(1
t y t w
t y n
i i i
∑=∧
∧
=
这个问题也可以用线性规划的方法解决，同样引进些记号
)()(t y t y e t -=∧
-
⎪⎩
⎪⎨⎧<≥=+=
-
-
--
0002
t t t t
t t e e e e e u
⎪⎩
⎪⎨⎧<-≥=-=
-
--
-
0002
t t t t
t t e e e e e v
从而可建立如下线性规划模型：
t t t v u e += t t t v u e -=
()'Ⅱ⎪⎪⎪
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧
==≥≥≥==+-+∑∑==n t n i t v u t w v u e v u i t t n i i t t t N
i t t ,...,1;,...,1;0)(;0;01)(0)
(min 1
1
ω
又由于∑∑=
-=-=∧
∧
)())()(()()()(t w e
t y t y t w
t y t y e i it
i i
t
整理()'
Ⅱ得
()Ⅱ⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧
=≥≥≥==+-+∑=;, (1)
0;0;01
0)
(min 1
n t v u W R v u W E v u t
t t
t T t t t t N
i t t ω 其中 ()T
n t t w t w W )(),...,(1=
())(1,....,1维n R T
=
()nt t t e e E , (1)
线性规划模型()Ⅱ含有N nN 2+个未知量，有N 2个约束条件，可以通过其对偶问题求得最优解，从而得到最佳的变权重系数)(t w i ，（n t n i ,...,1;,...,2,1==）。

2.3以误差平方和达到最小为目标函数
基于最小二乘法的思想，我们的最佳变权系数)(t w i 应使
∑
=∧⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
n
i t y t y S 1
2
)()( 达到最小。

由于
[][]T
n nt t i i
t t w t w e e t y t y t w
t y t y e )(),...,(,...,))()()(()()(11=-=
-=∑∧
∧
所以
[][][][]t t T
t T
n nt t T nt
t n t W A W t w t w e e e e t w t w e =∙=)(),...,(,...,,...,)(),...,(11112
其中[]T
n t t w t w W )(),...,(1=
[][]nt t T nt t t e e e e A ,...,,...,11∙=
故此问题可以用下面规划方法解决
()Ⅲ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=≥=N t W W R S t t T
,...,2,10
1
min 又由于 []
N
N T N W T W N
W W W N W W W W W A W W A W
e e e e e e
S N N N N 1
111
2
220
210
2
2121
..10
..1min ...min min ...min min (i)
min 121≥≥≥≥≥≥≥++=+++=+++=
所以得()Ⅲ的最优解：
)/()(1
1
R A R R A W t T
t t --= ()N t ,...,2,1=
())(1,....,1维n R T
=。