第04章 平面问题的极坐标解答_2011-part2
弹性力学简明教程-第四章-平面问题的极坐标解答习题详解
第四章 平面问题的极坐标解答典型例题讲解例4-1 如图所示，矩形薄板在四边受纯剪切力作用，切应力大小为q 。
如果离板边较远处有一小圆孔， 试求孔边的最大和最小正应力。
例4-1图【解】（1）根据材料力学公式，求极值应力和量大正应力的方位角max min 2x y σσσσ+⎫=⎬⎭ 其中0,,x y x q σστ===得max min ,q q σσ==-。
最大正应力 所在截面的方位角为max 0max 0tan 104yqq τασσπα=-=-=-→--=-qqx若在该纯剪切的矩形薄板中，沿与板边成方向截取矩形ABCD ，则在其边界上便承受集度为q 的拉力和压力，如图所示。
这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉，另一对边受压的板等效。
（2）取极坐标系如图。
由2222442222cos 2(1)(13),cos 2(13),(4-18)sin 2(1)(13).ρφρφr r σq φρρr σq φρr r τq φρρ⎫=--⎪⎪⎪⎪=-+⎬⎪⎪=--+⎪⎪⎭得矩形薄板ABCD 内的应力分量为()()()2222442222cos 2(1)(13)cos 2(13)sin 2(1)(13)ρφρφa a σq φa ρρa σq φb ρa a τq φc ρρ=--=-+=--+ 其中 为小孔的半径，而孔边最大与最小正应力由式（b ），在 处得到44cos 2(13)4cos 2,φa σq φaϕ=-+=-当 ， 时，孔边最小正应力为，当时，孔边最大正应力为。
分析：矩形板ABCD 边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。
也可以应用叠加法，求解薄板的各种较复杂的平面应力（应变）问题。
习题全解4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。
【解】 （1）极坐标，直角坐标中的平衡微分方程10210f f ρρϕρϕρρϕϕρϕϕστσσρρϕρτστρρϕρ∂∂-⎧+++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=⎪∂∂⎩ 00yxx x y xy yf xy f y x τσστ∂⎧∂++=⎪∂∂⎪⎨∂⎪++=⎪∂∂⎩将极坐标中的平衡微分方程与直角坐标中的平衡微分方程相比较，第一式中，前两项与直角坐标相似；而项是由于正 面上的面积大于负 面上的面积而产生的，是由于正负 面上的正应力 在通过微分体中心的 方向有投影而引起的。
弹性力学 第四章 平面问题的极坐标解答
s = sσ
(3) 多连体中的位移单值条件
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·问题的提出
工程中有些问题, 用极坐标计算方便, 但应力分量用直角坐 标表述更直观. 反之也存在.
由此需要对应力分量进行坐标变换.
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
已知 σx、σy、τxy , 求 σρ、συ、τρυ？
y
fρ τ + ∂τρυdρ ρυ ∂ρ ∂συ dυ συ+ ∂σρ ∂υ σρ+ dρ ∂τυρ C ∂ρ dυ τυρ+ ∂υ
B
fυ
§ 4-1 极坐标中的平衡微分方程
·平衡微分方程
x
υ dυ ρ
Σ Fρ = 0 :
συ
A
σρ τρυ P τυρ
∂σρ σρ+ dρ (ρ+dρ)dυ - σρ ρdυ ∂ρ ∂συ dυ - συ+ dυ dρ sin ∂υ 2 + τυρ+ - συ dρ sin
Σ Fυ = 0 :
συ = ?
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
συ = ?
将两坐标系下微元体组合
τyx σy σx συ
τυρ τxy
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
已知 σx、σy、τxy , 求 σρ、συ、τρυ？
O x
υ
τyx
σy σx
συ y
τυρ τxy
Σ Fυ = 0 :
O h/2 h/2 lqx源自(v)x=0, l = 0
应力边界条件： ( σy ) y=-h/2 = - q (τyx ) y=-h/2 = 0 ( σy ) y= h/2 = 0 (τyx ) y= h/2 = 0
第04章 平面问题的极坐标解答
极坐标中的平衡微分方程
➢径向面PB和AC的面积不相同，
分别为 rdf×1 和 (r+dr )df ×1， 环向面PA和BC的面积均为dr ×1 ，但两者不平行。
与直角坐标中相似，利用 级数展开，可求出各微面 上的应力。
➢力矩平衡条件：
由通过中心点并平行于Z轴的直 线为转轴，根据力矩的平衡条件， 可推导出“切应力互等定理”，即
成的圆形、圆环形、楔形、扇形等弹性体，由于用极坐标表示 其边界线非常方便，从而使得边界条件的表示和基本方程的求 解得到很大的简化，宜用极坐标求解。
➢ 极坐标系中任一点用径向坐标 r 和
环向坐标 f 表示，与直角坐标系相比： 相同点：均为正交坐标系； 不同点：直角坐标系中两坐标线均
为直线，有固定方向，量纲均为L；而 极坐标系中径向坐标线为直线，环向坐 标线则为圆弧曲线，不同点有不同方向 ，量纲分别为L和一。
uj
r
极坐标中的几何方程
➢根据叠加原理，当同时发生径向和环向位移时，
极坐标中的几何方程为上述两种情形结果的叠加：
er
ur
r
ej
ur
r
+
1
r
uj
j
（4-2）
g rj
1
r
ur
j
+ uj
r
uj
r
➢应用了两个基本假设：连续性假设和小变形假
设，这也是其适用的条件；
极坐标中的物理方程
，因为：
2 x2
x
( ) x
(cosj
r
sin j r
j
)(cos j
r
第四章平面问题的极坐标解答
r 2 r r r 2 2
式中 (r, ) ，为应力函数。
应力函数与应力分量之间的关系，可按下述方法导出。
我们注意到，当 0时，x、y 轴分别与r、 轴重
合，此时应力分量
x、
y、
分别与应力分量
xy
r、 、 r 对应
r
( x ) 0
2
dr 2 r dr dr 2 r dr
展开上式得：
r 4 d 4 2r 3 d 3 r 2 d 2 r d 0
dr4
dr3
dr2 dr
这是一个变系数欧拉方程，其通解为
Aln r Br 2 ln r Cr 2 D
式中，A、B、C、D是待定系数。将代入式 （4-8），得应力分量：
1 E
(
r ),
r
2(1
E
)
r
或者
r
E
1 2
( r
),
E
1 2
(
r ),
r
E
2(1
)
r
4. 边界条件
力的边界条件：
r l r m Tr
r l m T
力均对称于它的中心轴(z)，故其应力只与r有关，
与极角无关，由于对称性，只有正应力，而剪应 力为零，称此类问题为平面轴对称问题。对于象曲 杆纯弯曲这类问题，其应力也具有这种特点(与θ 无关)，但结构不具有对称性，称为应力轴对称问题。
由应力分布的上述特点，可假设应力函数形式为：
(r)
相容方程： ( d 2 1 d )( d 2 1 d ) 0
第四章 平面问题的极坐标解答
剪应变为：
1 ur r
（d）
r 1 1 1 1 u r r
（e）
(2) 只有环向变形，无径向变形。 O
径向线段PA的相对伸长：
PA PA dr dr r 2 PA dr 0
径向线段PA的转角：
r P d
2
x
dr
（f）
径向线段PA的相对伸长：
O
r1
1 0
u r r
（a）
r P d
dr
径向线段PA的转角： （b）
ur
B
y
环向线段PB的相对伸长：
1
1
ur r
（c）
ur ur d
B
P 1
ur ur dr r A A
x
(r ur )d
环向线段PB的转角：
O r r rdrd ddr r drd r
drd kr rdrd 0
两边同除以
rdrd ：
d d dr cos( ) 2 r rd d r dr (r dr )d dr cos( ) r r 2 d k rdrd 0 r d ) r d dr sin( ) r dr sin( 2 2
方程（4－1）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静 定问题，需考虑变形协调条件才能求解。
§4-2 极坐标中的几何方程与物理方程
1. 几何方程
径向线段PA的相对伸长：
O
(1) 只有径向变形，无环向变形。
r P d
dr
P PA PA AA PP PA PA 1 B r1 y B ur ur (r ur )d ur dr ur u r ur d r （a） dr r
第四章平面问题极坐标解答2
物体的形状或某物理量绕一轴对称，通过对称轴的 任何面都是对称面，称为轴对称问题。 z 应力轴对称
应力绕Z 轴ρ对称，应力分量仅是径向坐标的函数，与环
向坐标无关,切应力为零。
τ ρφ = τφρ = 0
Φ =Φ(ρ)
1、应力公式。若体积力为0，有：
σρ
=
1 ρ
dΦ dρ
,
σ
φ
=
d2Φ d ρ2
q2 ,
σφ
=
R2 ρ2 R2 r2
+ −
1 1
q1
−
1+ 1−
r2 ρ2 r2 R2
q2 ,
τ ρφ = 0.
（压力） （4-14）
（2）若只有内压，则解答为：
σρ
=
−
R2 ρ2 R2 r2
−1
q1 −1
σφ
=
R2 ρ2 R2 r2
+1
q1 −1
（压力） （拉力）
（4-15）
（3）受内压的具有圆孔的无限大薄板，或具有圆孔
σρ
=
q 2
(1 −
r2 ρ2
)+
q 2
cos 2φ(1−
r2 ρ2
)(1− 3
r2 ρ2
⎫ ),⎪
⎪
σφ
=
q 2
(1 +
r2 ρ2
)
−
q 2
cos
2φ(1 +
3
r4 ρ4
),
⎪⎪ ⎬ ⎪
τ ρφ
=
−
q 2
sin
2φ(1 −
r2 ρ2
)(1 +
3
弹性力学平面问题极坐标解法
sin θ cosθ ∂ 2 − r2 ∂θ 2
极坐标下的应力函数和相容方程（ 极坐标下的应力函数和相容方程（3）
∂2 ∂2 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 + 2 = 2 + + 2 2 r ∂r r ∂θ 2 ∂x ∂y ∂r
应力函数的相容方程
∂2 ∂2 2 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 2 ∇ 2ϕ = ( 2 + 2 ) ϕ = ( 2 + + 2 ) ϕ =0 2 ∂x ∂y ∂r r ∂r r ∂θ
极坐标系是正交曲线坐标系 极坐标系是正交曲线坐标系 正交
r坐标曲线：坐标θ为常数的曲线（过原点和空间点的直线） 坐标曲线：坐标 为常数的曲线 过原点和空间点的直线） 为常数的曲线（ 坐标曲线 θ坐标曲线：坐标 为常数的曲线（过空间点的圆弧） 坐标曲线： 为常数的曲线（ 坐标曲线 坐标r为常数的曲线 过空间点的圆弧） 由坐标确定的空间点， 由坐标确定的空间点，既是两条坐标曲线的交点 过一个空间点的两条坐标曲线都是唯一的，且相互正交。 过一个空间点的两条坐标曲线都是唯一的，且相互正交。其 切线构成局部正交坐标标架
极坐标和直角坐标的坐标变换
∂r 2 x = = cos θ ∂x 2r ∂r 2 y = = sin θ ∂y 2r ∂θ 1 −y y sin θ = ⋅ 2 =− 2 =− 2 y x ∂x r r 1+ 2 x 1 1 x cos θ ∂θ = ⋅ 2 = 2 = 2 y x ∂y r r 1+ 2 x
ε
(1) r
P′A′ − PA AA′ − PP′ = = PA PA ∂u (u r + r d r ) − u r ∂ur ∂r = = dr dr ∂r
ε θ(1) =
第四章平面问题的极坐标解答（讲）
第四章平面问题的极坐标解答§4-1 极坐标中的平衡微分方程对于由径向线和圆弧线围成的圆形、圆环形、楔形、扇形等的弹性体，宜用极坐标求解。
因为用极坐标表示其边界线非常方便，从而使边界条件的表示和方程的求解得到很大的简化。
在极坐标中，平面内任一点P的位置，用径向坐标ρ及环向坐标ϕ来表示，图4-1。
极坐标和直角坐标都是正交坐标系，但两者有如下区别：在直角坐标系中，x和y坐标线都是直线，有固定的方向，x和y坐标的量纲都是L。
在极坐标系中，ρ坐标线（ϕ=常数）和ϕ坐标线（ρ=常数）在不同的点有不同的方向；ρ坐标线是直线，而ϕ坐标线为圆ϕ坐标为量纲一的量。
这些区别将引弦曲线；ρ坐标的量纲是L，而起弹性力学基本方程的差异。
为了表明极坐标中的应力分量，从所考察的薄板或长柱形体中取出任一厚度等于1的微分体PACB，在xy平面上，这个微分体是由两条径向线（夹角为d ϕ）和两条环向线（距离为ρd ）所围成，如图所示，沿ρ方向的正应力称为径向正应力，用ρσ代表；沿ϕ方向的正 应力称为环向正应力或切向正应力，用ϕσ代表；切应力用ϕρρϕττ及代表（根据切应力的互等关系，ϕρρϕττ=）。
各应力分量的正负号规定和直角坐标中一样，只是ρ方向代替了x 方向，ϕ方向代替了y 方向。
即正面上的应力以沿正坐标方向为正，负面上的应力以沿负坐标方向为正，反之为负。
图中所示的应力分量都是正的。
径向及环向的体力分量分别用ϕρf f 及代表，以沿正坐标方向为正，反之为负。
与直角坐标中相似，由于应力随坐标ρ的变化，设PB 面上的径向正应力为ρσ，则AC 面上的将为ρρσσρρd ∂∂+；同样，这两个面上的切应力分别为ρϕρϕττ及+ρρσϕd ∂∂。
PA 及BC 两个面上的环向正应力分别为ϕσ及ϕσ+ϕρσϕd ∂∂；这两个面上的切应力分别为ϕϕτττϕρϕρϕρd ∂∂+及。
对于极坐标中所取的微分体，应注意它的两个ρ面PB 及AC 的面积不相同，分别等于()ϕϕρϕρd d d +及；两个ϕ面PA 及BC 的面积都等于d ρ，但此两面不平行。
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y a1 y
(n) n
( n 1)
a2 y
(n2)
a n 1 y a n y 0
(1)
其解可以用特征根法求解：即令y=elx代入上式，得到下 列特征方程的解，从而得到原方程的n个解
l a1l a 2 l
n 1
特征方程的根
n2
a n 1l a n 0
m 1
( f ) 30 ( l m) 30 ( f ) 30 ( l m) 30
q ( ) 30 a ( ) 30 0
在边界 f=-30° 上：
l0
m 1
q ( ) 30 a ( ) 30 0
习题4-8：试考察应力函数
所示弹性体的何种受力问题
y O
q 3 cos 3 能解决如图 6a
30° 30°
a
a
x
例
题
按逆解法进行求解：通过求面力分析受力情况
（1）校核相容方程：应力函数代入式相容方程有
1 1 2 2 2
E E 1 m 2
m
m
1 m
轴对称应力和相应的位移
一般而言，产生轴对称应力状态的条件是：弹性体 的形状、体力和面力必须是轴对称的。由此得出的应 力分量和应变分量是轴对称的。 轴对称应力状态的位移解不一定是轴对称的。但如 果位移边界条件为轴对称，则位移也是轴对称的。
补充知识
一、n阶齐次常系数线性常微分方程的通解
应力分量的坐标变换
如图，当取厚度为1，包含x面、y
面和径向坐标面的微小三角板A时， 由微分体沿径向和环向两个方向的 静力平衡条件，可得如下变换式：
同理，当取厚度为1，包含x面、y面和环向坐标面的微
F 0
F 0 F 0
x cos 2 y sin 2 xy sin 2 ( y x ) cos sin xy cos 2
q cos 3 a
例
题
q cos 3 a q sin 3 a
3、由应力分量反推出边界上的面力： 在边界 f=30°上：
l0
f ( s ) ( l m) s f ( s ) ( l m) s
课后作业
作业1：习题4－10
主要内容
绪
论
极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移 圆环或圆筒受均布压力
圆孔的孔口应力集中
半平面体在边界上受集中力
半平面体在边界上受分布力
因此该应力函数能解的受力问题为（如图所示）：
q f ( f ) 30 ( f ) 30 0 a q ( f ) 30 ( f ) 30 0 a ( f ) a q cos 3 ( f ) a fq sin 3
§4.5 轴对称应力和相应的位移
轴对称：物体的形状或物理量是绕一轴对称的，凡
通过对称轴的任何面均是对称面。
由于对称，在对称面两边对应点的物理量必须满足
如下两个条件 （1）数值必须相等：在极座标下，任一环向线上 的各点的应力分量的数值相同。因此，它只能是径向坐 标 的函数，不随环向坐标 f 改变，即与 f 无关。由 此可见，凡是轴对称问题，总是使自变量减少一维。 （2）方向必须对称，即方向对称于z轴，方向不对 称的物理量不能存在。
2 2 2
2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 q q 3q 2 cos 3 cos 3 cos 3 2 2 a 2a 2a 0
主要内容
绪
论
极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移 圆环或圆筒受均布压力
圆孔的孔口应力集中
半平面体在边界上受集中力
半平面体在边界上受分布力
§4.6 圆环或圆筒受均布压力
主要内容
绪
论
极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移 圆环或圆筒受均布压力
圆孔的孔口应力集中
半平面体在边界上受集中力
半平面体在边界上受分布力
§4.4 应力分量的坐标变换
由一点的应力状态分析可知，由已知的直角坐标
A
2
(4-11)
0
其中的3个待定常数根据内外边界
面上的应力边界条件来确定。
圆环或圆筒受均布压力
在内外边界面上，分别有应力边界条件：
r R
q1 , q2 ,
r
0 0
(a)
R
由于轴对称，关于切应力的两个条件是
自然满足的。将应力分量表达式(4-11) 代 入(a)式，得到 2 个方程(b)式，显然不能 确定 3 个待定常数A、B、C。
补充知识
二、n阶欧拉方程的通解
x y a1 x y
n (n)
n 1 ( n 1)
a2 x y
n2 (n2)
an 1 xy an y 0
(1)
上述方程可以通过变量代换 x=et 或 t=lnx，化为函数y 对新自变量 t 的常系数线性常微分方程，然后用特征根 法求解。
( f ) 30 ( l m) 30 ( f ) 30 ( l m) 30
例
题
在边界 =a 上：
l 1
m0
( f ) a ( l m) a ( ) a q cos 3 f ( f ) a ( l m) a f ) a q sin 3 (
（4-11）
对于平面应力情况，将上述应力代入物理方程（4-3）， 可求得相应的应变分量（见教材），它们也是轴对称。
将上面所求的应变分量代入几何方程（4-2），通过积分， 可得到轴对称应力状态下的位移分量如公式（4-12），位移 分量中包含了非轴对称的项。（详细过程见教材，并参考高 等数学的有关常微分方程解的内容）
n阶齐次常系数常微分方程的通解
单重实根l
单重复根la±ib r重实根l r重复根la±ib
elx
elxcosbx, elxsinbx elx, xelx , … , xr-1elx eaxcosbx, eaxsinbx , xeaxcosbx, xeaxsinbx， …， xr-1eaxcosbx, xr-1eaxsinbx，
轴对称应力和相应的位移
以上是轴对称应力状态下，应力分量和位移分量的一 般性解答（通解），适用于任何轴对称应力问题。 应力解（4-11）和位移解（4-12）中的待定常数，可通 过应力边界条件和位移边界条件（多连体中还须考虑位 移单值条件）来确定。 将平面应力问题解答中的 E 和 m 作如下替换，可得 平面应变问题的解答。
（4-7）
x cos 2 sin 2 sin 2 y sin 2 cos 2 sin 2 xy ( ) cos sin cos 2
（4-8）
例
题
A ln B ln C D
2 2
（4-10）
其中A、B、C和D为四个待定常数。
轴对称应力和相应的位移
（3）求应力分量：将公式（4-10）代入（4-9），得轴 对称应力的应力分量为：
1 d A 2 B (1 2 ln ) 2C d d 2 A 2 B (3 2 ln ) 2C 2 d 0
满足相容方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例
题
q 3 cos 3 6a
（2）求应力分量：将上式代入（4-9），得：
1 1 2 q 3q q 2 cos 3 cos 3 cos 3 2 2a 2a a 2 q 2 cos 3 a 1 q ( ) sin 3 a
中的应力分量求极坐标中的应力分量，或者由已知 的极坐标中的应力分量求直角坐标中的应力分量， 就需要建立两个坐标系中应力分量的关系式，即应 力分量的的坐标变换式。
由于应力分量不但具有方向性，而且与作用面有
关，为了建立应力分量的坐标变换式，应取出包含 两种坐标面的微分体，然后考虑微分体的静力平衡 条件，可得出该变换式。
2 2 2 2 2
1 d d 1 d d d 4 2 d 3 2 d 2 1 d d ( d ) d 4 d 3 2 d 2 3 d 0 d d
方程为一个四阶常微分方程，其全部通解只有4项。上式 积分4次，即得到轴对称应力状态下应力函数的通解：
圆环和圆筒是工程中常见的重要构件之一，如高压管
筒、炮筒等。圆环（平面应力问题）和圆筒（平面应变 问题）受到内外均布压力作用。显然，它属于轴对称应 力问题，完全可以应用上节中轴对称应力问题的通解：
A
2
B (1 2 ln ) 2C B (3 2 ln ) 2C
化简得：
1 d d 2 , , 0 2 d d
（4-9）
轴对称应力和相应的位移