实际问题与一元二次方程(面积问题)课件
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一元二次方程与实际问题----面积问题 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
知识讲解
解法二:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题
意得
9x·7x=
3 4
×27×21
27
27
x2 = 4
解得
33 x1= 2
33 x2= - 2 (舍去）
33
21
故上下边衬的宽度为:
27-9x 2=
27-9· 2 2
=
54-27 3 4
≈1.8
故左右边衬的宽度为:
21-7x 2=
21-7·
九年级-上册-21.3.5
一元二次方程与实际问题 -----面积问题
难点名称：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次 方程的数学模型。
1
目录
CONTENTS
导入
知识讲解
课堂练习
小节
2
导入
我们知道议程是刻画实际问题中数学关系的有效数学模型，所以 我们经常用议程来分析解决实际问题，在以前的学习中，我们已 经了解并掌握了怎样用一元二次方程、二元二次方程组及分式方 程等去解决实际问题，那么今天，我们就尝试着用一元二次方程 去分析解决实际问题。
33 2
2
=
42-21 4
3
≈1.4
课堂练习
例1：如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边
从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s
的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q
出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？
7
课堂练习
例1：如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边
从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s
一元二次方程应用题(面积问题)课件
一元二次方程应用题(面 积问题)
了解一元二次方程及其应用的基本概念。
二次方程及其应用
面积与周长
探讨形状的面积和周长的基本概 念。
实际问题中的面积
通过实际例子了解如何使用一元 二次方程来解决面积问题。
二次方程的图形表示
通过图形表示来直观地理解二次 方程。
解一元二次方程
1
使用二次公式
掌握使用二次公式来解一元二次方程的方法。
抛物线的实际应用
1 顶点的解释
通过顶点的解释来理解抛 物线在实际中的含义。
2 影响抛物线形状的因
素
研究影响抛物线形状的因 素，如系数和平移。
3 点与抛物线程的关
系
通过三个点的坐标导出抛 物线的方程。
最大和最小值
微积分的应用
使用微积分来找到抛物线的最大 和最小值。
解决实际问题
通过抛物线的最大和最小值解决 实际问题，如优化生产成本。
业务中的应用
探讨一元二次方程在业务决策中 的实际应用。
总结与复习
回顾重要概念，总结一元二次方程应用的关键知识。
2
使用因式分解
了解如何使用因式分解来解决一元二次方程。
3
将问题转化为方程
学会将文字问题转化为一元二次方程，从而解决实际问题。
优化问题的解
找到最佳尺寸
了解如何通过一元二次方程找 到最优解，例如最大或最小的 面积。
应用于建筑与工程
探讨一元二次方程在建筑与工 程中的实际应用。
应用于业务领域
了解一元二次方程在业务问题 中的应用，如成本最小化或利 润最大化。
了解一元二次方程及其应用的基本概念。
二次方程及其应用
面积与周长
探讨形状的面积和周长的基本概 念。
实际问题中的面积
通过实际例子了解如何使用一元 二次方程来解决面积问题。
二次方程的图形表示
通过图形表示来直观地理解二次 方程。
解一元二次方程
1
使用二次公式
掌握使用二次公式来解一元二次方程的方法。
抛物线的实际应用
1 顶点的解释
通过顶点的解释来理解抛 物线在实际中的含义。
2 影响抛物线形状的因
素
研究影响抛物线形状的因 素，如系数和平移。
3 点与抛物线程的关
系
通过三个点的坐标导出抛 物线的方程。
最大和最小值
微积分的应用
使用微积分来找到抛物线的最大 和最小值。
解决实际问题
通过抛物线的最大和最小值解决 实际问题，如优化生产成本。
业务中的应用
探讨一元二次方程在业务决策中 的实际应用。
总结与复习
回顾重要概念，总结一元二次方程应用的关键知识。
2
使用因式分解
了解如何使用因式分解来解决一元二次方程。
3
将问题转化为方程
学会将文字问题转化为一元二次方程，从而解决实际问题。
优化问题的解
找到最佳尺寸
了解如何通过一元二次方程找 到最优解，例如最大或最小的 面积。
应用于建筑与工程
探讨一元二次方程在建筑与工 程中的实际应用。
应用于业务领域
了解一元二次方程在业务问题 中的应用，如成本最小化或利 润最大化。
实际问题与一元二次方程ppt课件
课堂小结
用方程解决实际问题的基本步骤
实际问题
数学问题
实际问题的答案
数学问题的解
21.3 实际问题与一元二次方程 谢谢聆听
变式 如图，要利用一面墙(墙长为25 m)建羊圈，用80 m的围栏围成面积为600 m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？
解：设AB长是x m.
(80-2x)x=600
x2-40x+300=0
x1=10，x2=30
A
x=10时，80-2x=60>25，(舍去) B
x=30时，80-2x=20<25，
则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.
由题意得 x(25-2x+1)=80
住房墙
化简，得 x2-13x+40=0
1m
解得 x1=5，x2=8 当x=5时，26-2x=16>12 (舍去） 当x=8时，26-2x=10<12
故所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m.
围墙问题一般先设其中的一条边为x，然 后用x表示另一边，最后根据面积或周长公式列方
答：羊圈的边长AB和BC的长各是30m，20m.
25 m
D
C
变式 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利
用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成
，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，
所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平
方米？
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，
3x
32cm
小路所占面积是矩形 面积的四分之一
2x
2x
3
x
32-4x
20-6x 20㎝
21.3.3实际问题与一元二次方程----面积、体积问题(优秀经典公开课比赛课件)
2.如图所示，某幼儿园有一道长为 16 米的墙， 计划用 32 米长的围栏靠墙围成一个面积为 120 平方米的矩形草坪 ABCD．求该矩形草坪 BC 边 的长．
16 米
草坪
21.3.3实际问题与一元二次方 程 ----面积、体积问题
一、预习检测
1．列方程解应用题步骤
2．填空：1）．直角三角形的面积公式 是
•一般三角形的面积公式是
2）．正方形的面积公式是
长
方形的面积公式又是
2）．梯形的面积公式是 4）．菱形的面积公式是 5）．平行四边形的面积公式是 6）．圆的面积公式是
6）．圆的面积公式是
问题 1： 老王承包了一块长方形土地，长 32 米，
宽 20 米Hale Waihona Puke 为了便于灌溉，他在土地上修筑了两条
一样宽的水渠（如图 1 所示）为了使余下部分面
积还剩 540 平方米，水渠的宽应为多少？
解决此类应用题要建立的模型是
．
解题的步骤是
．
解：
达标测试 1 .现有长方形纸片一张，长 19cm，宽 15cm， 需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底 面积为 77cm2 的无盖长方体型的纸盒？
21-3 实际问题与一元二次方程 课件(共25张PPT)
。
2
5−1
− 5−1
或x2=
(不合题意，舍去)，所以
2
2
小练习
例 4：邻边不等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围
墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m，若矩形的面积为
1
4m2，则AB的长度是____m（可利用的围墙长度超过6m）。
解析：设垂直墙的篱笆的AB为x，那么平行墙的篱笆BC长为（6-2x），
解方程，得:x1≈0.225，x2≈1.775(不合题意，舍去）。
则根据问题的额实际意义，甲乙两种药品成本的年平均下降率均为22.5%
知识梳理
知识点1：组合计算问题。
常见单循环赛问题，握手问题，签合同问题都有相同的规
1
律 x(x-1),送礼物和复循环赛规律相同，即x（x-1)。
2
例 1：某植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长
方程，a（1-x）2=49%a，整理得：x2-2x+0.51=0，解得：x1=1.7（舍去）
或x2=0.3，∴平均每次降价30%。故选D。
知识要点
列方程解应用题的一般步骤：①审题；②设未知数；③列方程；
④解方程；⑤检查作答。
组合计数问题：常见单循环问题，握手问题，签合同问题都有
1
相同的规律 x（x-1)，送礼物和复循环赛规律相同，即x（x-1）。
1+x+x(1+x)
人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有_________
个人患了流感。
列方程1+x+x(1+x)=121,
解方程，得x1=10，x2=-12(不合题意，舍去).
平均一个人传染了10个人。
教学新知
2
5−1
− 5−1
或x2=
(不合题意，舍去)，所以
2
2
小练习
例 4：邻边不等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围
墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m，若矩形的面积为
1
4m2，则AB的长度是____m（可利用的围墙长度超过6m）。
解析：设垂直墙的篱笆的AB为x，那么平行墙的篱笆BC长为（6-2x），
解方程，得:x1≈0.225，x2≈1.775(不合题意，舍去）。
则根据问题的额实际意义，甲乙两种药品成本的年平均下降率均为22.5%
知识梳理
知识点1：组合计算问题。
常见单循环赛问题，握手问题，签合同问题都有相同的规
1
律 x(x-1),送礼物和复循环赛规律相同，即x（x-1)。
2
例 1：某植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长
方程，a（1-x）2=49%a，整理得：x2-2x+0.51=0，解得：x1=1.7（舍去）
或x2=0.3，∴平均每次降价30%。故选D。
知识要点
列方程解应用题的一般步骤：①审题；②设未知数；③列方程；
④解方程；⑤检查作答。
组合计数问题：常见单循环问题，握手问题，签合同问题都有
1
相同的规律 x（x-1)，送礼物和复循环赛规律相同，即x（x-1）。
1+x+x(1+x)
人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有_________
个人患了流感。
列方程1+x+x(1+x)=121,
解方程，得x1=10，x2=-12(不合题意，舍去).
平均一个人传染了10个人。
教学新知
实际问题与一元二次方程课件(面积问题)
180
3，如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC
＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C
以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点
B以2cm/s的速度移动.
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ
的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存
B
在某一时刻，使得△PCQ的面积等于
分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为 9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7
解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得
(27 18x)(2114x) 3 27 21 4
解方程得 x 6 3 3 4
故上下边衬的宽度为: 1.8 CM 左右边衬的宽度为:1.4 CM
(32 2х）m，宽为 (20 х）m，由题意得：
(32 2х)(20 х) 540
1：如图：要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两
横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2，如果要使彩条 所占的面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度。
解：设横条的宽度为 3х cm，竖条的 宽度为 2хcm，由题意得：
解：设鸡场的宽度为 х m，
长为 35 2х m，由题意得：
(35 2x)x 150
х
х
思考：1，若设鸡场的长度为 х m
宽度为 1 (35 х) m，
2
2，能否围成面积为170m2的鸡场？
35 2х
问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四
角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制 作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平 方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》PPT课件
是否正确、作答前验根是否符合实际.
感悟新知
1 某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的 知2－练 价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出 此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不 少于3 210元，问第一次降价后至少要售出该种 商品多少件？
知2－讲
解：设平均一个人传染了x个人．则 第一轮后共有（1+x）个人患了流感， 第二轮后共有[1+x+x(1+x) ]个人患 了流感.
依据题意得：1+x+x(1+x)=121.
解得：x1=10，x2=－12（不合题意，舍去）.
平均一个人传染了10个人
感悟新知
知2－练
1 早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患
(1)求得的结果需要检验，看是否符合问题的实际 意义.
(2)设未知数可直接设元，也可间接设元.
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第2课时 列一元二次方程 解营销问题
学习目标
1 课时讲解 营销利润问题
营销策划问题
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
随着社会的不断发展，营销问题在我们的生活 中越来越重要，今天我们就来学习一下利用一元二 次方程解决与营销有关的问题.
感悟新知
知识点 1 营销利润问题
知1－练
例 1 两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元， 生产 1 t乙种药品的成本是6 000元．随着生产技术的 进步，现在生产1 t甲种药品的成本是 3 000元， 生产1 t乙种药品的成本是3 600元．哪种药品成 本的年平均下降率较大?
实际问题与一元二次方程(面积与体积)
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是 常数，且a≠0。
一元二次方程的一般形式
一般形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、 c是常数，且a≠0。
系数
a、b、c称为方程的系数，它们决 定了方程的解的性质。
解Hale Waihona Puke 满足方程的未知数的值称为方程的 解。
一元二次方程的解法
公式法
因式分解法
实际应用
例如，一个三角形的面积为10平方厘米，底为x 厘米，求高。
03 体积问题与一元二次方程
圆柱体体积问题
圆柱体体积公式：V = πr²h
求解一元二次方程：当已知圆柱体的底面半径r和高h时，可以通过一元二次方程计 算出体积。
实际应用：计算圆柱体容器中液体的体积，或计算圆柱体材料的体积以便进行加工。
圆锥体体积问题
圆锥体体积公式
V = (1/3)πr²h
求解一元二次方程
当已知圆锥体的底面半径r和高h时，可以通过一 元二次方程计算出体积。
实际应用
计算圆锥体沙堆的体积，或计算圆锥体模具中材 料的体积。
长方体体积问题
长方体体积公式：V = lwh
求解一元二次方程：当已知长方体的长、宽、高时，可以通过一元二次方程计算出体积。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
一元二次方程建立
假设圆的半径为r，面积为A，则有 A = π × r^2。当半径或面积 中有一个未知时，可以建立一元二次方程求解。
实际应用
例如，一个圆的面积为100π平方厘米，求半径。
三角形面积问题
1 2 3
三角形面积计算公式
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实际问题与一元二次方程 ——面积问题
洪湖七中 刘 英
1.列一元二次方程解应用题的一般步骤： 这是最重要的一步，一般先找出 （1）审 是指读懂题目，审清题意。 能够表达应用题全部含义的一个相等 关系，然后列代数式表示相等关系中 是指设未知数。 （2）设 的各个量，就能得到含有未知数的等 （3）列 是指列方程。 式---方程. （4）解 是指解方程，求出未知数的值。 注意：结合实际，正确决定一元二 （5）验 是指检验解是否是方程的解，是否符 （6）答
注意：结合实际，正确决定一元二次
方程两个根的取舍问题。
变式训练：上题中改变方式修小路，设小路的宽为 x，用x表示草坪面积，并指出x的取值范围。
归纳：解答这类问题，并没有用到什么 草坪面积： 草坪面积： 复杂的数学知识，只是运用化归思想， （40-2x) (26-2x)平方米 （40-x) (26-x)平方米 把几条小路归在一起，草坪归在一起， x的取值范围0＜x＜26 这种做法给综合分析问题、解决问题带 x的取值范围0＜x＜13 来很大方便。
练习：小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，准备在该空地 上建造一个花园，并使花园面积为矩形面积面积的一半，小 明设计了如下的四种方案，请你分别帮小明求出图中的x值．
方案一
8
x x x x
方案二
8
6
x x
6
x x
8
xห้องสมุดไป่ตู้x
等量关系
6
（1）花园面积=矩形面积的一半
（2）空白地方=矩形面积的一半
x
x
方案三
小结
1、解面积问题的应用题时，要注 意将不规则图形分割成或组合成规则图形， 再根据几何图形的面积以及它们之间的数 量关系来列方程，因此画出符合题意的图 形，有助于解题。 2、要仔细审题，理解题意中的已知 条件，并结合实际，正确决定一元二次方 程两个根的取舍问题。
已知矩形(记为A)长为4，宽为1，是否存在 另一个矩形(记为B),使得这个矩形的周长 和面积都为原来矩形周长和面积的一半?如 果存在,求出这个矩形的长和宽；如果不存 在,试说明理由。
合题中的实际意义。 次方程两个根的取舍问题。 是指写出应用题的答案。
例1. 如图，某小区规划在一个长为40米，宽为26米 的矩形场地ABCD上修建如下图所示的同样宽的小路， 其余部分种草，若使草坪面积为864平方米，求小路的 宽度？
40米
40米
26 米
x
26 米
x 2x 分析：这类问 题的特点是修建小路所占的面积只与小路的条 设小路的宽为x米，那么草坪长（40-2x） 数、宽度有关，而与位置无关。为了研究问题方便，可分别 米，宽（26-x）米 把纵横修建的小路移到一起（最好靠一边）。 x x
长为（40-2x)米 宽为(26-2x)米
长为（40-x)米 宽为(26-x)米
例2有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙长a=10米）， 围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，如果围成面积 为45 平方米的花圃，AB的长是多少？
F
E
分析：设花圃的宽AB为x米， 则BC=（24-3x）米
注意：根据BC的实际意义既要大于0又要不大 于墙的长度10来检验根的取舍.
A
B
洪湖七中 刘 英
1.列一元二次方程解应用题的一般步骤： 这是最重要的一步，一般先找出 （1）审 是指读懂题目，审清题意。 能够表达应用题全部含义的一个相等 关系，然后列代数式表示相等关系中 是指设未知数。 （2）设 的各个量，就能得到含有未知数的等 （3）列 是指列方程。 式---方程. （4）解 是指解方程，求出未知数的值。 注意：结合实际，正确决定一元二 （5）验 是指检验解是否是方程的解，是否符 （6）答
注意：结合实际，正确决定一元二次
方程两个根的取舍问题。
变式训练：上题中改变方式修小路，设小路的宽为 x，用x表示草坪面积，并指出x的取值范围。
归纳：解答这类问题，并没有用到什么 草坪面积： 草坪面积： 复杂的数学知识，只是运用化归思想， （40-2x) (26-2x)平方米 （40-x) (26-x)平方米 把几条小路归在一起，草坪归在一起， x的取值范围0＜x＜26 这种做法给综合分析问题、解决问题带 x的取值范围0＜x＜13 来很大方便。
练习：小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，准备在该空地 上建造一个花园，并使花园面积为矩形面积面积的一半，小 明设计了如下的四种方案，请你分别帮小明求出图中的x值．
方案一
8
x x x x
方案二
8
6
x x
6
x x
8
xห้องสมุดไป่ตู้x
等量关系
6
（1）花园面积=矩形面积的一半
（2）空白地方=矩形面积的一半
x
x
方案三
小结
1、解面积问题的应用题时，要注 意将不规则图形分割成或组合成规则图形， 再根据几何图形的面积以及它们之间的数 量关系来列方程，因此画出符合题意的图 形，有助于解题。 2、要仔细审题，理解题意中的已知 条件，并结合实际，正确决定一元二次方 程两个根的取舍问题。
已知矩形(记为A)长为4，宽为1，是否存在 另一个矩形(记为B),使得这个矩形的周长 和面积都为原来矩形周长和面积的一半?如 果存在,求出这个矩形的长和宽；如果不存 在,试说明理由。
合题中的实际意义。 次方程两个根的取舍问题。 是指写出应用题的答案。
例1. 如图，某小区规划在一个长为40米，宽为26米 的矩形场地ABCD上修建如下图所示的同样宽的小路， 其余部分种草，若使草坪面积为864平方米，求小路的 宽度？
40米
40米
26 米
x
26 米
x 2x 分析：这类问 题的特点是修建小路所占的面积只与小路的条 设小路的宽为x米，那么草坪长（40-2x） 数、宽度有关，而与位置无关。为了研究问题方便，可分别 米，宽（26-x）米 把纵横修建的小路移到一起（最好靠一边）。 x x
长为（40-2x)米 宽为(26-2x)米
长为（40-x)米 宽为(26-x)米
例2有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙长a=10米）， 围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，如果围成面积 为45 平方米的花圃，AB的长是多少？
F
E
分析：设花圃的宽AB为x米， 则BC=（24-3x）米
注意：根据BC的实际意义既要大于0又要不大 于墙的长度10来检验根的取舍.
A
B