高考全程复习构想高三文科科一轮第六章不等式1.6.4
【2022高考数学一轮复习(步步高)】目录
第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.1集合§1.2 充分条件与必要条件§1.3 全称量词与存在量词§1.4 不等关系与不等式§1.5 一元二次不等式及其解法§1.6 基本不等式强化训练1不等式中的综合问题第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数的概念及其表示第1课时函数的概念及其表示第2课时函数的定义域与值域§2.2 函数的基本性质第1课时单调性与最大(小)值第2课时奇偶性、对称性与周期性第3课时函数性质的综合问题§2.3 幂函数与二次函数§2.4 指数与指数函数§2.5 对数与对数函数§2.6 函数的图象§2.7 函数与方程强化训练2函数与方程中的综合问题§2.8 函数模型及其应用第三章导数及其应用§3.1 导数的概念及运算§3.2 导数与函数的单调性§3.3 导数与函数的极值、最值强化训练3导数中的综合问题高考专题突破一高考中的导数综合问题第1课时利用导数研究恒(能)成立问题第2课时利用导函数研究函数的零点第3课时利用导数证明不等式第四章三角函数、解三角形§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式§4.3 简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时简单的三角恒等变换§4.4 三角函数的图象与性质§4.5 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用强化训练4三角函数中的综合问题§4.6 解三角形高考专题突破二高考中的解三角形问题第五章平面向量、复数§5.1 平面向量的概念及线性运算§5.2 平面向量基本定理及坐标表示§5.3 平面向量的数量积强化训练5平面向量中的综合问题§5.4 复数第六章数列§6.1 数列的概念与简单表示法§6.2 等差数列及其前n项和§6.3 等比数列及其前n项和强化训练6数列中的综合问题高考专题突破三高考中的数列问题第七章立体几何与空间向量§7.1空间几何体及其表面积、体积强化训练7空间几何体中的综合问题§7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系§7.3 直线、平面平行的判定与性质§7.4 直线、平面垂直的判定与性质强化训练8空间位置关系中的综合问题§7.5 空间向量及其应用高考专题突破四高考中的立体几何问题第八章解析几何§8.1直线的方程§8.2 两条直线的位置关系§8.3 圆的方程§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系强化训练9直线与圆中的综合问题§8.5 椭圆第1课时椭圆及其性质第2课时直线与椭圆§8.6 双曲线§8.7 抛物线强化训练10圆锥曲线中的综合问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第1课时范围与最值问题第2课时定点与定值问题第3课时证明与探索性问题第九章统计与统计案例§9.1 随机抽样、用样本估计总体§9.2 变量间的相关关系、统计案例强化训练11统计中的综合问题第十章计数原理、概率、随机变量及其分布§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理§10.2 排列、组合§10.3 二项式定理§10.4 随机事件的概率与古典概型§10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差§10.6 二项分布与正态分布高考专题突破六高考中的概率与统计问题。
高考一轮总复习高考数学(文科,新课标版)一轮总复习课件+训练手册+阶段测试卷：第6章+不 等 式(9
第六章不等式(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1. 已知集合M＝{y|y＝2x，x>0}，N＝{x|y＝lg(2x－x2)}，则M∩N等于(A)A. (1，2)B. (1，＋∞)C. [2，＋∞)D. [1，＋∞)集合M为函数y＝2x，x>0的值域，故M＝(1，＋∞)；集合N为函数y＝lg(2x －x2)的定义域，由不等式2x－x2>0，解得0<x<2，故集合N＝(0，2)，∴M∩N＝(1，2)．2. 在所给的四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0中，能推出1 a <1b成立的有(C)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个1a<1b成立，即b－aab<0成立，逐个验证可得①②④满足题意．3. (2013·济南调研)设a>1，且m＝log a(a2＋1)，n＝log a(a－1)，p＝log a(2a)，则m，n，p的大小关系为(B)A. n>m>pB. m>p>nC. m>n>pD. p>m>n∵a>1，∴a2＋1－2a＝(a－1)2>0，即a2＋1>2a，又2a>a－1，∴由对数函数的单调性可知log a(a2＋1)>log a(2a)>log a(a－1)，即m>p>n.4. 已知(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集是R，则实数a的取值范围是(D)A. a<－35或a>1B. －35<a<1C. －35<a≤1或a＝－1D. －35<a≤1a＝1显然满足题意，若该不等式为一元二次不等式，则必有a2<1，由Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)<0，解得－35<a<1.综上可知－35<a≤1.5. (2013·北京海淀测试)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y －4≤0，kx －y≤0 表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为(D)A. －2B. －1C. 0D. 1注意到直线kx －y ＝0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合题意得直线kx －y ＝0与直线x ＋y －4＝0垂直时满足题意，于是有k×(－1)＝－1，由此解得k ＝1，选D.6. 已知圆x 2＋y 2＋4x －8y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋8＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则8a ＋2b的最小值是(D)A. 4B. 6C. 8D. 9由圆的对称性可得，直线2ax －by ＋8＝0必过圆心(－2，4)，∴a ＋b ＝2.∴8a ＋2b ＝4（a ＋b ）a＋a ＋b b ＝4b a＋ab＋5≥24b a ·a b ＋5＝9，由4b a ＝ab，得a 2＝4b 2，又由a ＋b ＝2，故当且仅当a ＝43，b ＝23时取等号，故选D.7. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，x 12，x>0， 若f(x 0)>1，则x 0的取值范围是(C)A. (－1，1)B. (－1，＋∞)C. (－∞，－1)∪(1，＋∞)D. (－∞，－2)∪(0，＋∞)由f(x 0)>1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0≤0，2－x 0－1>1 或⎩⎪⎨⎪⎧x 0 >0，x 120>1，解得x 0<－1或x 0>1，故选C.8. 已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为(A)A. 32 B. 53C. 256D. 不存在由题意可知，a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，化简得q 2－q －2＝0，解得q ＝－1(舍去)或q ＝2，又由已知条件a m a n ＝4a 1，得 a 1q m －1·a 1q n －1＝16a 21，qm ＋n －2＝16＝24，∴m ＋n ＝6.∴1m ＋4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m ＋4n ·m ＋n 6＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5＋4m n ＋n m ≥16·⎝⎛⎭⎪⎪⎫5＋ 24m n ×n m ＝32，当且仅当4m n ＝nm，即n ＝2m 时取“＝”． 9. (2013·河北质检)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≥2，2x ＋y≤4，4x －y≥－1，则目标函数z ＝3|x|＋|y －3|的取值范围是(A)A. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，9B. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，6 C. [－2，3] D. [1，6]作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，可知三个交点分别为(0，1)，(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，3，且x≥0, y ≤3.则z ＝3|x|＋|y －3|＝3x －(y －3)＝3x －y ＋3，它在点(2，0)处有最大值9，在点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，3处有最小值32，即32≤z≤9.10. (2013·临沂质检)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，若目标函数z ＝y－ax 取得最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a 的取值范围为(D)A. (－∞，－1)B. (0，1)C. [1，＋∞)D. (1，＋∞)本题考查线性规划问题．作出不等式组表示的平面区域△BCD，由z ＝y －ax 得y ＝ax ＋z ，要使目标函数y ＝ax ＋z 仅在点(1，3)处取最大值，则只需直线y ＝ax ＋z 在点B(1，3)处的截距最大，由图像可知a ＞k BD ，∵k BD ＝1，∴a ＞1，即a 的取值范围为(1，＋∞)，故选D.11. 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且ab ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为(A)A. 1＋22 B.3 C. 3 D. 4依题意，4－c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝2，0＜c 2≤2，c 2(a ＋b)2＝c 2(6－c 2)＝－(c 2－3)2＋9≤8，c(a ＋b)≤22，因此ab ＋bc ＋ac ＝1＋c(a ＋b)≤1＋22(当且仅当a ＝b ＝1，c ＝2时等号成立)，故选A.12. 设x ，y ，z 为正实数，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为(C) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4由已知条件得y ＝x ＋3z 2，∴y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x z ＋9z x ＋6≥14×⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x z ×9z x ＋6＝3，当且仅当x ＝y ＝3z 时，y 2xz 取得最小值3.二、 填空题(每小题5分，共20分)13. 若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是__a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1__．作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，∵a 1<a 2，b 1<b 2，∴(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.14. (2013·湖北八校联考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥－1，x －y≤1，|x ＋y|≤1，则z ＝x ＋2y 的最小值为__－2__．作出可行域，如图阴影部分所示，由图可知，z ＝x ＋2y 在(0，－1)处取得最小值－2.15. 设x ，y 为实数，若x 2＋y 2＋xy ＝1，则x －y 的最大值是__2__．设t ＝x －y ，则y ＝x －t ，代入x 2＋y 2＋xy ＝1中，得3x 2－3tx ＋t 2－1＝0，由于x 为实数，故Δ＝(－3t)2－4×3×(t 2－1)≥0，即t 2≤4，解得－2≤t≤2，故t 的最大值，即x －y 的最大值为2.16. 已知函数f(x ＋1)是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x 1，x 2，不等式(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]＜0恒成立，则不等式f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－32x ＜0的解集为__⎝⎛⎭⎪⎪－∞，－12∪(2，＋∞)__．∵f(x＋1)是定义在R 上的奇函数，∴f(－x ＋1)＝－f(x ＋1)，令x ＝0，则f(1)＝0.又(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]＜0，∴f(x)在R 上单调递减，∵f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－32x ＜0＝f(1)，∴x 2－32x ＞1，解得x ＜－12或x ＞2，∴不等式 f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－32x ＜0的解集为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12∪(2，＋∞)．三、 解答题(共70分)17. (10分)围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为 180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． (1)如图，设矩形的另一边长为a m ．则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a＝225x ＋360a －360，(2分)由题意得xa ＝360，得a ＝360x .(3分)∴y ＝225x ＋3602x－360(x>0)．(5分)(2)∵x>0，∴225x ＋3602x≥2225×3602＝10 800，(7分)∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440，当且仅当225x ＝3602x 时，等号成立，(9分)即当x ＝24 m 时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．(10分)18. (10分)已知函数f(x)＝|x 2－1|＋x 2＋kx. (1)若k ＝2，求方程f(x)＝0的解；(2)若关于x 的方程f(x)＝0在(0，2)上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明1x 1＋1x 2<4.(1)当k ＝2时，f(x)＝|x 2－1|＋x 2＋2x ， ①当x 2－1≥0，即x≥1或x≤－1时， 方程化为2x 2＋2x －1＝0， 解得x ＝－1±32，∵0<－1＋32<1，故舍去，∴x ＝－1－32.(2分)②当x 2－1<0，即－1<x<1时，方程化为2x ＋1＝0， 解得x ＝－12.(3分)由①②可知，当k ＝2时，方程f(x)＝0的解为x ＝－1－32或x ＝－12.(4分)(2)不妨设0<x 1<x 2<2，∵f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋kx －1，|x|>1，kx ＋1，|x|≤1，∴f(x)在(0，1]上是单调函数，故f(x)＝0在(0，1]上至多有一个解．(6分) 若1<x 1<x 2<2，则x 1x 2＝－12<0，故不符合题意，因此0<x 1≤1<x 2<2.由f(x 1)＝0得k ＝－1x 1，∴k ≤－1；由f(x 2)＝0得k ＝1x 2－2x 2，∴－72<k<－1.故当－72<k<－1时，方程f(x)＝0在(0，2)上有两个解；(8分)当0<x 1≤1<x 2<2时，k ＝－1x 1，2x 22＋kx 2－1＝0，消去k 得2x 1x 22－x 1－x 2＝0，即1x 1＋1x 2＝2x 2，∵x 2<2，∴1x 1＋1x 2<4.(10分)19. (12分)某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A ，B ，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：收益是多少？设搭载x 件产品A ，y 件产品B ，预计总收益z ＝80x ＋60y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y≤300，10x ＋5y≤110，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域，如图．(6分)作出直线l 0：4x ＋3y ＝0并平移，由图像得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝30，2x ＋y ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝4，即M(9，4)． ∴z max ＝80×9＋60×4＝960(万元)．(10分)即应搭载9件产品A ，4件产品B ，可使得总预计收益最大，为 960万元．(12分) 20. (12分)已知不等式ax 2＋(a －1)x ＋a －1<0对于所有的实数x 都成立，求a 的取值范围．若a ＝0，原不等式为一次不等式可化为－x －1<0，显然它对于任意的x 不都成立．∴a＝0不符合题目要求．(3分)若a≠0，原不等式为二次不等式，由于所给不等式对所有实数x 都成立，∴对应二次函数的图像抛物线必须开口向下，且判别式Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a<0， ①（a －1）2－4a （a －1）<0. ②(6分)整理②，得3a 2－2a －1>0，解得a<－13或a>1.(8分)∴⎩⎪⎨⎪⎧a<0，a<－13或a>1. ∴a<－13.(10分)∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－13.(12分)21. (12分)将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．(1)根据历年统计数据，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时，应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？(2)在按(1)分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调 6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间．(1)设A 组人数为x ，且0<x<52，x ∈N *， 则A 组活动所需时间f(x)＝150×25x ＝60x；(1分)B 组活动所需时间g(x)＝200×1252－x＝10052－x.(2分) 令f(x)＝g(x)，即60x ＝10052－x ，解得x ＝392.∴两组同时开始的植树活动所需时间F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，x ≤19，x ∈N *，10052－x ，x ≥20，x ∈N *，(4分)而F(19)＝6019，F(20)＝258，故F(19)>F(20)．∴当A ，B 两组人数分别为20，32时，植树活动持续时间最短． (6分) (2)A 组所需时间为1＋150×25－20×120－6＝277(h)，(8分)B 组所需时间为1＋200×23－32×132＋6＝113(h)，(10分)∵113<277，∴植树活动所持续的时间为277h ．(12分) 22. (14分)(2013·广东四校联考)已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足： ①对于任意x∈(0，1)，总有f(x)>0； ②f(1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f(x 1＋x 2)≥f(x 1)＋f(x 2)． (1)证明：f(x)在[0，1]上为增函数；(2)若对于任意x∈[0，1]，总有4f 2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a≥0，求实数a 的取值范围；(3)比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋223＋…＋n 2n ＋1与1的大小，并给予证明．(1)设0≤x 1<x 2≤1，则x 2－x 1∈(0，1]， ∴f(x 2)－f(x 1)＝f[(x 2－x 1)＋x 1]－f(x 1) ≥f(x 2－x 1)＋f(x 1)－f(x 1) ＝f(x 2－x 1)>0，即f(x 2)>f(x 1)．故f(x)在[0，1]上是增函数．(4分)(2)由(1)知f(x)在x∈[0，1]上是增函数，则f(x)≤f(1)＝1，∴1－f(x)≥0， 当f(x)＝1时，容易验证不等式成立；当f(x)<1时，则 4f 2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a≥0⇒a ≤4f 2（x ）－8f （x ）＋54－4f （x ）对 x ∈[0，1]恒成立，(6分)设y ＝4f 2（x ）－8f （x ）＋54－4f （x ）＝1－f(x)＋14[1－f （x ）]≥1，从而则 a ≤1，综上，a 的取值范围为(－∞，1]．(8分) (3)令S n ＝122＋223＋324＋…＋n2n ＋1，则 12S n ＝123＋224＋325＋…＋n2n ＋2，(10分)∴12S n ＝122＋123＋124＋…＋12n ＋1－n2n ＋2， ∴S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1<1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋223＋…＋n 2n ＋1<1.(14分)。
高三数学一轮复习 第六章不等式 不等式的综合应用课件 文
考 1
点
考纲解读 会利用不等式求函数定义 域,能利用函数比较两数 大小,了解不等式与函数 之间的转化.
不等式与函数的综合
2
不等式与数列的综合
能利用不等式知识证明关
于数列的不等式,以及关 于不等式的最值问题.
3
不等式与导数的综合
会利用不等式研究函数的 单调性问题,能将不等式 问题转化为函数,然后利 用导数求解.
(A)充分不必要条件. (C)充要条件.
(D)既不充分也不必要条件.
【解析】<x>=<y>⇒|x-y|<1,而令x=1.9,y=2.1时,|x-y|<1,但<x>≠<y>. 【答案】B
1, x 0 2.(2011年福建莆田质检)已知函数f(x)= 1 ,则使方程x+f(x)=m有 , x 0 x
4.(2011年山东山师附中月考)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产
每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1 吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得
利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料
不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是 (A)12万元. (C)25万元. (B)20万元. (D)27万元. ( )
【答案】D
【答案】D
3.(2011年辽宁锦州月考)设0<a<1,函数f(x)=loga(a2x-2ax-2),则使f(x)<0
的x的取值范围是 (A)(-∞,0). (C)(-∞,loga3). ( )
(B)(0,+∞). (D)(loga3,+∞).
高考数学文科一轮复习(课件+习题)：第六章不等式、推
第六章 不等式、推理与证明第一节 不等关系与不等式1．设b ＜a ，d ＜c ，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a －c ＜b －dB ．ac ＜bdC ．a ＋c ＞b ＋dD ．a ＋d ＞b ＋c解析：由同向不等式具有可加性可知C 正确．答案：C 2．(2013·汕头检测)已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是( )A ．a>ab>ab 2B ．ab 2>ab>aC ．ab>a>ab 2D ．ab>ab 2>a解析：∵a <0，－1<b <0，∴ab 2－a ＝a (b 2－1)>0，ab －ab 2＝ab (1－b )>0，∴ab >ab 2>a .也可利用特殊值法，取a ＝－2，b ＝－12，则ab 2＝－12，ab ＝1，从而ab >ab 2>a .故选D.答案：D3．(2013·东北三校高三第四次联考)若p ⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1， q ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞2，xy ＞1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＞1且y ＞1时，由不等式的基本性质，能推出x ＋y ＞2，且xy ＞1.反过来取x ＝12，y ＝3，满足x ＋y ＞2，且xy ＞1，但推不出x ＞1且y＞1.所以p 是q 成立的充分不必要条件.答案：A4．若a ＞1＞b ，下列不等式中不一定成立的是( )A ．a －b ＞1－bB ．a －1＞b －1C ．a －1＞1－bD ．1－a ＞b －a解析：由a ＞1知a －b ＞1－b ，故A 正确；由a ＞b 知a －1＞b －1，故B 正确；由1＞b 知1－a ＞b －a ，故D 正确，C 项错误，如当a ＝3，b ＝－3时，不成立．答案：C5．(2014·梅州模拟)已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( )A .c a ＜b aB .b －a c＞0 C .b 2c ＜a 2c D .a －c ac＜0 解析：因为c ＜b ＜a ，且ac ＜0，所以c ＜0，a ＞0，所以c a ＜b a ，b －a c ＞0，a －c ac ＜0，但b 2与a 2的关系不确定，故b 2c ＜a 2c不一定成立．答案：C6．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c答案：C7．甲、乙两人同时驾车从A 地出发前往B 地，他们都以速度v 1或v 2行驶，在全程中，甲的时间速度关系如图甲，乙的路程速度关系如图乙，那么下列说法中正确的是( )A ．甲先到达B 地 B ．乙先到达B 地C ．甲乙同时到达B 地D ．无法确定谁先到达B 地答案：A8．如果a ＞b ，则下列各式正确的是________(填序号)．①a·lg x ＞b·lg x(x ＞0)；②ax 2＞bx 2；③a 2＞b 2；④a·2x ＞b·2x .解析：当lg x ≤0时①错，当x ＝0时②错，当b ＜a ＜0时a 2＜b 2，③错，只有④正确．答案：④9．(2013·临沂模拟)若x>y ，a>b ，则在①a －x>b －y ，②a ＋x>b ＋y ，③ax>by ，④x －b>y －a ，⑤a y >b x这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不正确．又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝b x，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④成立．答案：②④10．设a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，则a ，b ，c 之间的大小关系为______________．解析：a ＝2－5＝4－5＜0，∴b ＞0.c ＝5－25＝25－20＞0.b －c ＝35－7＝45－49＜0.∴c ＞b ＞a .答案：c ＞b ＞a11．已知a ＞2，b ＞2，试比较a ＋b 与ab 的大小．解析：∵ab －(a ＋b )＝(a －1)(b －1)－1，又a ＞2，b ＞2，∴a －1＞1，b －1＞1.∴(a －1)(b －1)＞1，(a －1)(b －1)－1＞0.∴ab ＞a ＋b .12．(2013·大庆调研)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时比较c n 与a n ＋b n 的大小．解析：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a n ，b n ，c n >0，而a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n . ∵a 2＋b 2＝c 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1， ∴0<a c <1，0<b c<1. ∵n ∈N ，n >2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2， ∴a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <a 2＋b 2c 2＝1， ∴a n ＋b n <c n .。
高三数学高考一轮复习系列教案第六章 不等式 大纲版
第六章不等式知识结构高考能力要求1．理解不等式的性质及其证明．2．掌握两个（注意不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用．3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．4．掌握简单不等式的解法．5．理解不等式| a |－| b| ≤| a＋b |≤| a |＋| b |．高考热点分析不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点，考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用．高考试题中有以下几个明显的特点：1．不等式与函数、方程、三角、数列、几何、导数、实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的问题很少，尤其是不等式的证明题．2．选择题，填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题，特别是应用题和综合题几乎都与不等式有关．3．不等式的证明考得比较频繁，所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容忽视．高考复习建议1．复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据．2．不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、放缩法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作了解，但要控制量和度．3．解（证）某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来．4．注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用．5．利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：“一正、二定、三相等”.6．对于含有绝对值的不等式（问题），要紧紧抓住绝对值的定义实质，充分利用绝对值的几何意义．7．要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数方程的对比与联系．6．1 不等式的概念和性质知识要点1、实数的大小比较法则：设a，b∈R，则a>b⇔；a＝b⇔；a<b⇔ .实数的大小比较法则，它是比较两个实数大小的依据，要比较两个实数的大小，只要考察它们的就可以了.实数的大小比较法则与实数运算的符号法则一起构成了证明其它不等式性质的基础.2、不等式的5个性质定理及其3条推论定理1（对称性）a>b ⇔定理2（同向传递性）a>b，b>c定理3 a>b⇔a＋c > b＋c推论a>b，c>d⇒定理4 a>b，c>0⇒a>b，c<0⇒推论1 (非负数同向相乘法)a>b≥0，c>d≥0⇒推论2 a>b＞0⇒nn ba>(n∈N且n>1)定理5 a>b＞0⇒>n a n b(n∈N且n>1)例题讲练【例1】(1) 若x＜y＜0. 试比较(x2－y2)(x＋y)与(x2＋y2)(x－y)的大小.(2) 设a＞0，b＞0，且a≠b，试比较a a b b与a b b a的大小.【例2】 设f (x )＝1＋log x 3，g(x )＝2log x 2，其中x ＞0，x ≠1．比较f (x )与g(x )的大小. ．【例3】 函数)(x f ＝ax 2＋bx 满足：1≤)1(-f ≤2，2≤)1(f ≤4，求)2(-f 的取值范围．【例4】 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，当p 、q 满足p ＋q ＝1时，试证明：pf (x )＋qf (y )≥f (px ＋qy )对于任意实数x 、y 都成立的充要条件是o ≤p ≤1.小结归纳 1．不等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而又基本的依据，必须要正确、熟练地掌握，要弄清每一性质的条件和结论．注意条件的放宽和加强，条件和结论之间的相互联系．2．使用“作差”比较，其变形之一是将差式因式分解，然后根据各个因式的符号判断差式的符号；变形之二是将差式变成非负数（或非正数）之和，然后判断差式的符号．3．关于数(式)比较大小，应该将“相等”与“不等”分开加以说明，不要笼统地写成“A ≥B(或B ≤A)”．基础训练题 一、选择题1． 设a 、b ∈+R 且a ≠b ，x ＝a 3＋b 3，y ＝a 2b ＋ab 2；则x与y 的大小关系为 （ ） A ．x >y B ．x ＝y C ．x < y D ．不能确定 2． 如果－1<a <b <0，则有 （ ）A ．a b 11<<b 2<a 2B ．a b 11<<a 2<b 2 C ．ba 11<<b 2<a 2D ．ba 11<<a 2<b 23． 下列判断：① a 1＞b ，a 2＞b ，则a 1＞a 2；② 若ac ＞bc ，则c ＞0；③ 由lg 41＞lg 51，2＞1；有2lg 41＞lg 51；④ a ＞b ，则a 1＜b1，其中不能成立的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4． 若p ＝a ＋21-a （a ＞2），q ＝2242-+-a a ，则 （ ）A ．p ＞qB ．p ＜qC ．p ≥qD ．p ≤q5． 已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，a c－bd ＞0（其中a 、b 、c 、d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36． 若a ，b ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是 （ ）A ．a 1＜b 1B ．a 2＞b 2C ．12+c a ＞12+c bD ．a | c |＞b | c |二、填空题7． 若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是 .8. a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则a b ，ba ，m a mb ++，n b na ++的由大到小的顺序是 .9．使不等式a 2＞b 2，ba ＞1，lg(a －b )＞0，2a ＞2b －1都成立的a 与b 的关系式是 .10．若不等式(－1)na ＜2＋nn 1)1(+-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题11．已知a ＞2，b ＞2，试比较a ＋b 与ab 的大小. ．12．设a 1≈2，令a 2＝1+111a +. (1) 证明2介于a 1、a 2之间； (2) 求a 1、a 2中哪一个更接近于2；(3) 你能设计一个比a 2更接近于2的一个a 3吗？并说明理由．13．某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠．如果甲、乙两家旅行社的原价(一张票)相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？提高训练题14．已知a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根为x 1、x 2．(1)证明：－21＜a b＜1；(2)若x 21＋x 1x 2＋x 22＝1，求x 21－x 1x 2＋x 22； (3)求| x 21－x 22|．15．函数f （x ）＝x 2＋（b －1）x ＋c 的图象与x 轴交于（x 1，0）、（x 2，0），且x 2－x 1＞1. 当t ＜x 1时，比较t 2＋bt ＋c 与x 1的大小.6．2 算术平均数与几何平均数知识要点1．a >0，b >0时，称 为a ，b 的算术平均数；称 为a ，b 的几何平均数．2．定理1 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 2ab （当且仅当 时 取“＝”号）3．定理2 如果a 、b ∈+R ，那么2ba +≥ （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题： (1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值 ．(2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值 ．例题讲练【例1】 设a 、b ∈R +，试比较2ba +，ab ，222b a +，ba 112+的大小．【例2】 已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），1=+y b x a ，求x ＋y 的最小值.【例3】 在某两个正数x 、y 之间，若插入一个正数a ，使x ，a ，y 成等比数列，若插入两个正数b 、c ，使x 、b 、c 、y 成等差数列，求证：(a ＋1)2≤(b ＋1)(c ＋1).【例4】 甲、乙两地相距S （千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c （千米/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b ；固定部分为a 元．(1) 试将全程运输成本Y (元)表示成速度V(千米/小时)的函数.(2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？小结归纳1．在应用两个定理时，必须熟悉它们的常用变形，同时注意它们成立的条件．2．在使用“和为常数、积有最大值”和“积为常数、和有最小值”这两个结论时，必须注意三点：“一正”——变量为正数，“二定”——和或积为定值，“三相等”——等号应能取到，简记为“一正二定三相等”．基础训练题一、选择题1．设,b ,a 00>>则以下不等式中不恒成立．．．．的是 （ ） A ．4)11)((≥++ba b aB ．2332ab b a ≥+C ．b a b a 22222+≥++D ．b a |b a |-≥- 2． 若x 2log＋y 2log≥4，则x ＋y 的最小值为（ ）A ．8B ．42C ．2D ．43． 设a 、b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题q ：(2b a +)2≤222b a +（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 给出四个命题：(1)1222++x x 的最小值为2；(2)xx 432--的最大值为342- (3) x x lg 10log +的最小值为2；(4) xx 22sin 4sin +的最小值为4. 其中正确命题的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．设x ，y ∈R +，且xy －(x ＋y )＝1，则 （ ）A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1) 6． 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 等于（ ）A ．20吨B ．15吨C ．25吨D ．40吨二、填空题7． 设0<x <2，则x (8－3x )的最大值为____________，相应的x 为____________. 8． 要使不等式x ＋y ≤k y x +对所有正数x ，y 都成立，试问k 的最小值是 ．9． 若a ＞b ＞0，则a 2＋)(16b a b -的最小值是________．10．已知0,0>>b a 且1222=+b a ，则21b a +的最大值________.三、解答题11．设实数x ，y ，m ，n 满足条件122=+n m ，922=+y x ，求ny mx +的最大值．12．若a ，b ，c 是互不相等的正数，求证：a 4＋b 4＋c 4)(222222c b a abc a c c b b a ++>++>13．已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），a ＋b ＝10，1=+y bx a ，若 x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．提高训练题 14．已知a 、b 、c ∈R ，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++15． 某单位决定投资3200元建一长方体状仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁珊，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，计算：（1）仓库面积S 的最大允许值是多少？（2）为了使仓库面积S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面用铁珊应设计为多长？6．3 不等式证明（一）知识要点 1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式．(1)作差比较法，它的依据是： ⎪⎩⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-b a b a b a b a b a b a 000它的基本步骤：作差——变形——判断，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等．(2) 作商比较法，它的依据是：若a >0，b >0，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⇔<=⇔=>⇔>b a b ab a b ab a b a111 它的基本步骤是：作商——变形——判断商与1的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到．2．综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论．3．分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因”，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立． 例题讲练【例1】 已知0,0>>b a ，求证：b a ab b a +≥+【例2】 已知a 、b ∈R +，求证：)(22)1)((a b b a b a b a +≥+++【例3】 已知△ABC 的外接圆半径R ＝1，41=∆ABC S ，a 、b 、c 是三角形的三边，令c b a s ++=，cb a t 111++=．求证：s t >【例4】 设二次函数)0()(2>++=a c bx ax x f ，方程0)(=-x x f 的两个根1x 、2x 满足ax x 1021<<<． (1) 当x ∈(0，x 1)时，证明：x <f (x )<x 1(2) 设函数f (x )的图象关于直线x ＝x 0对称，证明：x 0<21x ．小结归纳 1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，而又以作差比较最为常见．作差比较的关键在于作差后如何变形来达到判断差值符号之目的，变形的方向主要是因式分解和配方．2．综合法证明不等式要找出条件和结论之间的内在联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式左右两端的差异和联系，合理进行变换，去异存同，恰当选择已知不等式，找到证题的突破口．3．分析法是“执果索因”重在对命题成立条件的探索，寻求不等式成立的充分条件，因此有时须先对原不等式化简．常用的方法有：平方，合并，有理化去分母等．但要注意所有这些变形必须能够逆推，书写格式要严谨规范．4．分析法和综合法是对立统一的两个方法．在不等式的证明中，我们常用分析法探索证明的途径后，用综合法的形式写出证明过程．这种先分析后综合的思路具有一般性，是解决数学问题的一种重要数学思想．基础训练题 一、选择题1． 已知∈b a 、+R 则下列各式中不成立的是（ ）A ．221≥++ab b aB ．4)11)((≥++ba b aC ．ab ab b a 222≥+ D ．ab ba ab≥+2 2． 设0＜2a ＜1，M ＝1－a 2，N ＝1＋a 2，P ＝a-11，Q ＝a+11，那么 （ ） A ．Q ＜P ＜M ＜N B ．M ＜N ＜Q ＜P C ．Q ＜M ＜N ＜P D ．M ＜Q ＜P ＜N3． 设a ＞0，且 a ≠1，P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，则P ，Q 的大小关系是 （ ） A ．P ＞Q B ．P ＝Q C ．P ＜Q D ．P 与Q 的大小与a 有关4． 设a 、b 、c 是△ABC 的三边，且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ca bc ab ++，则（ ） A ．S ≥2P B ．P ＜S ＜2P C ．S ＞P D ．P ≤S ＜2P 5． 已知∈b a 、+R ，那么“122<+b a ”是“b a ab +>+1”的 （ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知p 、q 是两个正数，且关于x 的方程022=++q px x 和022=++p qx x 都有实根，则q p +的最小可能值是（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．16二、填空题7． 若1>a ，10<<b ，则abb a l o g l o g +的范围是 ．8． 若1=++c b a ，则222c b a ++的最小值为 ．9． 已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0有_______个实根．10．若x 、y 满足2x y =，则代数式87)22(log 2-+y x 的符号是 ．三、解答题11．已知a 、b 、x 、y ∈R +且a 1＞b1，x ＞y .求证：a x x +＞by y+．12．已知a 、b 、c ∈R ，求证：c b ab c b a 234222++≥+++13．已知a ＋b ＋c ＝0，求证：ab ＋bc ＋ca ≤0提高训练题14．已知正数a 、b 、c 满足c b a 2<+，求证：(1) ab c >2 (2) ab c c a ab c c -+<<--2215．是否存在常数C ，使得不等式y x x +2+yx y2+≤C ≤y x x 2++y x y+2对任意正数x 、y 恒成立?试证明你的结论.6．4 不等式证明（二）知识要点证明不等式的其它方法：反证法、换元法、放缩法、判别式法等．反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原命题是正确的证明方法．换元法：对结构较为复杂，量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式的证明方法．放缩法：为证明不等式的需要，有时需舍去或添加一些代数项，使不等式的一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法叫放缩法．判别式法：根据已知的式子或构造出来的一元二次方程的根，一元二次不等式的解集，二次函数的性质等特征，确定其判别式所应满足的不等式，从而推出所证的不等式成立．例题讲练【例1】 已知f (x )＝x 2＋px ＋q ， (1) 求证：f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2) 求证：｜f (1)｜、｜f (2)｜、｜f (3)｜中至少有一个不小于21．【例2】 （1） 已知x 2＋y 2＝1，求证:2211a ax y a +≤-≤+-. （2） 已知a 、b ∈R ，且a 2＋b 2≤1， 求证:2222≤-+b ab a .【例3】 若2≥∈n N n ，且，求证：1131211121222<+⋅⋅⋅++<+-n n【例4】 证明：23112122≤+++≤x x x ．小结归纳 1．凡是含有“至少”，“至多”，“唯一”，“不存在”或其它否定词的命题适宜用反证法．2．在已知式子中，如果出现两变量之和为正常数或变量的绝对值不大于一个正常数，可进行三角变换，换元法证明不等式时，要注意换元的等价性．3．放缩法证题中，放缩必须有目标，放缩的途径很多，如用均值不等式，增减项、放缩因式等．4．含有字母的不等式，如果可以化成一边为零，另一边是关于某字母的二次三项式时，可用判别式法证明不等式成立，但要注意根的范围和题设条件的限制．基础训练题 一、选择题1． 设∈c b a 、、+R ，那么三个数b a 1+、c b 1+、ac 1+ （ ）A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 2． 已知∈d c b a 、、、+R ，S ＝c b a a ++＋db a b++＋a d c c ++＋b dc d++，则有（ ）A ．20<<sB ．21<<sC ．32<<sD ．43<<s3． 若122=++y xy x 且R y x ∈、，则22y x n +=的取值范围是 （ ） A.10≤<n B.32≤≤nC.2≥nD.232≤≤n4． 已知函数f (x )＝(21)x ，a 、b +∈R ，A ＝f (2b a +)，B＝f (ab )，C ＝f (ba ab+2)，则A 、B 、C 的大小关系是（ ）A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A 5． 设x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1，则a y x ≤+恒成立的a的最小值是（ ）A ．22B ．2C ．2D ．226． 设实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2＝1，当x ＋y ＋c ≥0时，c 的取值范围是（ ）A .)12[∞+-，，B . ]12(--∞，，C .)12[∞++，， D .]12(+-∞，，二、填空题 7． 设00>>y x 、，y x y x A +++=1，yyx x B +++=11，则A 、B 大小关系为 ．8． 实数y x yx-=，则x 的取值范围是 ． 9． 若f (n )＝12+n －n ，g (n )＝n －12-n ，ϕ(n )＝n21，则f (n )，g (n )，ϕ(n )的大小顺序为____________． 10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1； ②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④ a 2＋b 2 >2；⑤ab >1，其中能推出：“a 、b 中至少有一个实数大于1”的条件是____．三、解答题11．设二次函数)0()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f 且、、，若函数)(x f y =的图象与直线x y =和x y -=均无公共点．(1) 求证：142>-b ac(2) 求证：对于一切实数x 恒有||41||2a c bx ax >++12．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(且0)1(=-f ，问是否存在实数c b a 、、使不等式)1(21)(2x x f x +≤≤对一切实数都成立，并证明你的结论．13．已知f (x ) ＝12+x ， 且a ≠b 求证： | f (a )－f (b ) | <| a －b |．提高训练题14．设f (x )＝| x 3－1|，实数a 、b 满足f (a )＝f (b )且a <b ，① 求证:a ＋b <2② 若3f (a )＝4f (2ba +)，求a 、b 的值15．已知a 、b 为正数，求证：(1) 若a ＋1＞b ，则对于任何大于1的正数x ，恒有ax ＋1-x x＞b 成立；(2) 若对于任何大于1的正数x ，恒有ax ＋1-x x＞b成立，则a ＋1＞b ．6．5 绝对值不等式的应用知识要点1、有关绝对值不等式的主要性质：① | x |＝ ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(x x x x x② | x |≥0③ | |a |－|b ||≤|a ±b |≤| a |＋| b |④| ab |＝ ，ba＝ (b ≠0)特别：ab ≥0，|a ＋b |＝ ，|a －b |＝ ． ab ≤0，|a －b |＝ ，|a ＋b |＝ ． 2、最简绝对值不等式的解法．① | f (x ) |≥a ⇔ ； ② | f (x ) |≤a ⇔ ； ③ a ≤| f (x ) |≤b ． ④ 对于类似a | f (x ) |＋b | g (x ) | > c 的不等式，则应找出绝对值的零点，以此划分区间进行讨论求解． 例题讲练【例1】 解不等式：| x 2－3x －4|> x ＋1【例2】设f(x)＝x2－x＋b，| x－a |<1，求证：| f(x) －f(a) |<2(| a |＋1).【例3】已知f(x)＝x，g(x)＝x＋a(a>0)，⑴当a＝4时，求)() ()(xfx gaxf-的最小值；⑵若不等式) () ()(xfx gaxf->1对x∈[1, 4]恒成立，求a的取值范围．【例4】设a、b∈R，已知二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c，g(x)＝cx2＋bx＋a，当｜x｜≤1时，｜f(x)｜≤２⑴求证：｜g(1)｜≤２；⑵求证：当｜x｜≤1时，| g(x)|≤4.小结归纳1．利用性质｜|a|－|b|｜≤｜a＋b｜≤|a|＋|b|时，应注意等号成立的条件．2．解含绝对值的不等式的总体思想是：将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式求解．3．绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新，教学中，应注意绝对值与函数问题的结合．基础训练题一、选择题1．方程132+-xxx＝132+-xxx的解集是（）A．(][)∞+⋃-,30,1B．)3,0()1,(⋃--∞C．),3()1,1(∞+⋃-D．),3()1,(∞+⋃--∞2．x∈R，则(1＋x)(1－|x|)>0的解集为（）A．{x|－1<x<1} B．{x|x<1}C．{x| x<－1或x>1} D．{x| x<1且x≠－1} 3．f(x)为R上的增函数，y＝f(x)的图象过点A(0,－1)和下面哪一点时，能确定不等式｜f(x－1)｜<1的解集为{x｜1<x<4} （）A．(3, 1) B．(4, 1)C．(3, 0) D．(4, 0)4．若不等式|x－4|－|x－3|≤a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1C．a≤1 D．a≥15．下面四个式子中：⑴ |b－a|＝| a－b |，⑵| a＋b |＋| a －b|≥2|a|，⑶aa=-2)(，⑷|)||(|21ba+≥||ab成立的有几个（）A．1 B．2C．3 D．46．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1，2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，| f(x1)－f(x2)|＜| x1－x2|恒成立”的只有（）A．f(x)＝x1B．f(x)＝| x |C．f(x)＝2x D．f(x)＝x2二、填空题7．已知| a |≠| b |，m＝||||||baba--，n＝||||||baba++，则m，n的大小关系是．8．不等式x2－4| x |＋3＜0的解集为．9．设|x－2|＜a时，不等式|x2－4|＜1成立，则正数a的取值范围是．10．已知方程| x |＝ax＋1有一个负根且无正根，则实数a 的取值范围是．三、解答题11．解不等式：|2x＋1|＋| x－2 |＋| x－1 |＞4．12．若a、b∈R，α, β是方程x2＋a x＋b＝0的两根，且|a|＋| b |＜1，求证：| α |＜1且|β|＜1．13．已知适合不等式| x 2－4x ＋p |＋| x －3 |≤5的x 的最大值是3，求p 的值．提高训练题14．(1) 已知：| a |＜1，| b |＜1，求证：|b a ab--1|＞1； (2) 求实数λ的取值范围，使不等式|ba ab --λλ1|＞1对满足| a |＜1，| b |＜1的一切实数a 、b 恒成立；(3) 已知| a |＜1，若|abba ++1|＜1，求b 的取值范围.15．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 定义在区间[－1，1]上，且f (0)＝f (1)，又P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是其图象上任意两点(x 1≠x 2)．(1)设直线PQ 的斜率为k ，求证：| k |＜2； (2)若0≤x 1<x 2≤1，求证：| y 1－y 2 |＜1．6．6 含参数的不等式知识要点含有参数的不等式可渗透到各类不等式中去，在解不等式时随时可见含参数的不等式．而这类含参数的不等式是我们教学和高考中的一个重点和难点．解含参数的不等式往往需要分类讨论求解，寻找讨论点（常见的如零点，等值点等），正确划分区间，是分类讨论解决这类问题的关键．在分类讨论过程中要做到不重，不漏．例题讲练【例1】 已知A ＝{x | 2ax 2＋(2－ab )x －b >０}，B ＝{x | x <－2或x >３}，其中b >0，若A ⊇B ，求a 、b 的取值范围．【例2】 已知关于x 的不等式ax ax --25<0的解集为M ，(1) 当a ＝4时，求集合M ；(2) 若3∈M 且5∉M ，求实数a 的取值范围．【例3】 若不等式2x －1>m (x 2－1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围．【例4】 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R)．小结归纳解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行讨论求解．能避免讨论的应设法避免讨论．基础训练题 一、选择题1． 如果 a >0，b >0，则不等式－b <x1<a 的解集是（ ） A ．{x |－b 1<x <0或0<x <b1} B ．{x | x <－b1或x >a 1}C ．{x |－a 1<x <0或0<x <b 1} D ．{x |－a 1<x <b1}2． 已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－1)＝f (3)，则（ ）A ．f (1)>c > f (－1)B ．f (1)< c < f (－1)C ．f (1)<f (－1) < cD ．f (1)> f (－1)> c3．设关于x 的不等式ax >b 的解集中有一个元素是3，则（ ）A ．a >0且3a >bB ．a <0且3a <bC ．a >0且b <0D ．以上都不对4． 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，21)成立，则a 的取值范围是 （ ） A ．[0，＋∞) B ．[－2，2]C ．[－25，＋∞) D ．[－25，－2] 5． 设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别为集合M和N ，那么“212121c cb b a a ==”是“M ＝N ”的（ ）A ．充要条件B ．必要非充分条件C ．充分非必要条件D ．既非充分也非必要条件6． 已知a ＞0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜21，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．]21,0(∪[)∞+,2 B ．)1,21[∪(]2,1C ．)1,41[∪(]4,1 D ．]41,0(∪[)∞+,4二、填空题7． 不等式11<-x ax的解集是{x | x <1或x >2}，则a ＝ ． 8． 设f (x )＝3ax －2a ＋1，若存在x 0∈(－1，1)，使f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是 ．9． 若不等式122)31(3+->x ax x 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．10．若关于x 的不等式组 ⎩⎨⎧>+->01a x ax 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题11．对于任意的x ∈R ，均有x 2－4ax ＋2a ＋30≥0(a ∈R)，求关于x 的方程3+a x＝| a －1|＋1的根的范围．12．解关于x 的不等式01224222>+--a a ax x ．13．已知函数f (x )＝bax x +2(a 、b 为常数)，且方程f (x )－x＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4． (1)求函数f (x )的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式f (x )＜xkx k --+2)1(．提高训练题14．设函数f (x )＝| x －a |，g (x )＝ax (a ＞0)．(1)解关于x 的不等式| x －a |＜ax ；(2)设F(x )＝f (x ) －g (x )，若F(x )在(0，＋∞)上有最小值，求出这个最小值．15．已知f (x )＝lg(x ＋1)，g (x )＝2lg(2x ＋t )( t ∈R ，t 是参数) (1) 当t ＝－1时，解不等式：f (x ) ≤ g (x )(2) 如果当x ∈[0，1]时，f (x ) ≤ g (x )恒成立，求参数t 的取值范围.6．7 不等式的应用知识要点 1．不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系．2．能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布，解决涉及不等式的应用例题讲练【例1】 若关于x 的方程4x ＋a ·2x ＋a ＋1＝0有实数解，求实数a 的取值范围. ．【例2】 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．【例3】已知二次函数y＝ax2＋2bx＋c，其中a＞b ＞c且a＋b＋c＝0.（1）求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点.（2）设函数图象截x轴所得线段的长为l，求证：3＜l＜23.【例4】一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲乙两地相距S(千米)，水速为常量p(千米/小时)，船在静水中的最大速度为q(千米/小时)(q＞p)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为k．⑴把全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v的函数，并求出这个函数的定义域．⑵为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？小结归纳不等式的应用主要有两类：⑴一类是不等式在其它数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围，这类问题所进行的必须是等价转化．注意沟通各知识点之间的内在联系，活用不等式的概念、方法，融会贯通．⑵一类是解决与不等式有关的实际问题，这类问题首先应认真阅读题目，理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用不等式的有关知识加以解决．基础训练题一、选择题1．设M＝(a1－1)(b1－1)(c1－1)，若a＋b＋c＝1，(a，b，c∈R+)则M的取值范围是（）A．[)8,0B．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,81C．[)8,1D．[)∞+,82．已知方程sin2x－4sin x＋1－a＝0有解，则实数a的取值范围是（）A．[－3，6] B．[－2，6]C．[－3，2] D．[－2，2]3．点P(x，y)在椭圆92x＋42y＝1上移动，则x＋y的最大值等于（）A．5 B．3C．6 D．134．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是（）A．(－∞，－1) B．(－∞，22－1)C．(－1，22－1) D．(－22－1，22－1) 5．一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v千米/小时，两车的距离不能小于(10v)2千米，运完这批物资至少需要（）A．10小时B．11小时C．12小时D．13小时6．设函数是定义在R上的奇函数，若f (x)的最小正周期为3,且f (1)>1，f (2)＝132+-mm，则m的取值范围是（）A．m<32B．m<32且m≠－1C．－1< m<32D．m>32且m<－1二、填空题7．如果对任意实数x，不等式| x+1 |≥kx恒成立，则实数k的范围是 .8．已知f (x)＝⎩⎨⎧<-≥11xx，则不等式x＋(x＋2)f (x＋2)≤5的解集是．9．一个盒中装有红球、白球和黑球，黑球的个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的31，白球与黑球的个数之和至少是55，则红球个数的最小值为 . 10．船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度V 1和在静水中的速度V 2的大小关系是 ．三、解答题11．已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程Z 2－2Z ＋5－p 2＝0有无实根，并给出证明．12．已知二次函数f （x ）＝x 2＋bx ＋c （b 、c ∈R ），不论α、β为何实数，恒有f (sin α)≥0，f (2＋cos β)≤0. (1) 求证：b +c ＝－1； (2) 求证：c ≥3；(3) 若函数f (sin α)的最大值为8，求b 、c 的值.13．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名同学，老师们打算组织同学们集体去游泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元，若使每个同学游泳8次，每人最少交多少钱？提高训练题14．设函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c ＜b ＜1)，f (1)＝0，且方程f (x )＋1＝0有实根．(1)证明：－3＜c ≤－1且b ≥0；(2)若m 是方程f (x )＋1＝0的一个实根，判断f (m －4)的正负，并加以证明．15．已知定义域为[0，1]的函数f (x )同时满足：① 对于任意x ∈[0，1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③ 若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)． ⑴ 求f (0)的值．⑵ 求函数f (x )的最大值．⑶ 证明：① 当x ∈(21，1]时，有f (x )＜2x 成立．② 当x ∈[0，21]时，有f (x )≤21f (2x )成立．单 元 测 试一、选择题1. 关于x 的不等式|x －1|>m 的解集为R 的充要条件是（ ）A ．m ＜0B ．m ≤－1C ．m ≤0D ．m ≤1 2. 若a 、b 是任意实数，且b a >，则（ ）A ．22b a >B ．1<abC ．0)lg(>-b aD ．b a )21()21(<3． 若,,h a y h a x <-<-则下列不等式一定成立的是（ ）A ．h y x <-B ．h y x 2<-C ．h y x >-D ．h y x 2>-4． 欲证7632-<-，只需证（ ）A ．22)76()32(-<-B ．22)73()62(-<-C ．22)63()72(+<+D ．22)7()632(-<--5. 设x 1，x 2是方程x 2＋px ＋4＝0的两个不相等的实根，则 （ ） A ．| x 1 |＞2且| x 1 |＝2 B ．| x 1＋x 2|＞4 C ．| x 1＋x 2|＜4 D ．| x 1 |＝４且| x 2 |＝16. 对一切正整数n ，不等式211++<-n n b b 恒成立，则b 的范围是 （ ）A ．(0, 32) B ．(32,0]C ．(52,∞-)),1(∞+⋃D ．(52, 1)7. 已知函数f (x )＝ ⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-)0()0(22x x x x x x ，则不等式f (x )＋2>0的解区间是 （ ） A ．(－2，2) B ．(－∞, －2)∪(2, ＋∞) C ．(－1，1) D ．(－∞, －1)∪(1, ＋∞) 8. 在R 上定义运算⊗．(1)x y x y ⊗=-若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，则 （ ） A ．11a -<< B ．02a <<C ．3122a -<< D ．1322a -<< 9． 某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771） （ ） A ．5 B ．10 C ．14 D ．1510.（理）集合1{|0}1x A x x -=<+、{}a b x x B <-=，若"1"a =是""Φ≠⋂B A 的充分条件，则b 的取值范围可以是（ ）A ．20b -≤<B ．02b <≤C ．31b -<<-D ．12b -≤< （文）集合1{|0}1x A x x -=<+、{}a x x B <-=1，则"1"a =是""Φ≠⋂B A 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件二、填空题11．若y x y x 2,2416,4230-<<<<则的取值范围是 . 12．若不等式02<--b ax x 的解集为{32<<x x }，则=+b a .13．实数x 满足θsin 1log 3+=x ，则91-+-x x 的值为 .14．已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三条边长，c 为斜边，若点(m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值是 ．15．对a ，b ∈R ，记max| a ，b |＝ ⎩⎨⎧<≥ba b ba a ，函数f (x )＝max| | x ＋1 |，| x －2 | | (x ∈R )的最小值是 ．三、解答题16. 若a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc ．17．已知函数f (x )＝xax x ++22，x ∈[)∞+,1．(1) 当a ＝21时，求函数f (x )的最小值；(2) 若对任意x ∈[)∞+,1，f (x )＞0恒成立，求实数a的取值范围．18．（理）解关于x 的不等式222(1)21x a x x ax+--≥+（文）解关于x 的不等式：2(1)10,(0)ax a x a -++<>19．设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对任意x 、y∈R ＋，f (xy )＝f (x )＋f (y )恒成立，已知f (8)＝3，且当x ＞1时，f (x )＞0．(Ⅰ)证明：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(Ⅱ)对一个各项均正的数列{a n }满足f (S n )＝f (a n )＋f (a n＋1)－1 (n ∈N *)，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，求数列{a n }的通项公式； (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，是否存在正整数p 、q ，使不等式)1(211121-+>+++q pn a a a n对n ∈N *恒成立，求p 、q 的值．20．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1－)(含污物物体质量污物质量）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a (1≤a ≤3)．设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是18.0++x x (x ＞a －1)，用y 质量的水第二次清洗后的清洁度是ay acy ++，其中c (0.8＜c ＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度．(Ⅰ) 分别求出方案甲以及c ＝0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；(Ⅱ) 若采用方案乙，当a 为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a 取不同数值对最少总用水量多少的影响．21. 已知条件p ：|5x －1|>a 和条件01321:2>+-x x q ，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题：“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.。
高考数学一轮复习全程复习构想数学(文)【统考版】第六节 对数与对数函数(课件)
(3)与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象 来解决，即数形结合法．
【对点训练】 1．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
常借助1，0等中间量进行比较
答案：B
反思感悟 求解对数不等式的两种类型及方法
类型 形如
logax>logab 形如
logax>b
方法
借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需 分a>1与0<a<1两种情况讨论
需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax 的单调性求解
角度3 对数型函数性质的综合应用
[例4] 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不 存在，说明理由．
反思感悟 求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤
一求 求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．
判断对数函数的底数与1的关系，分a>1与0<a<1两种情
二判
况 判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同
增异减”原则判断函数的单调性
答案：B
2．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2] 上恒成立，则实数a的取值范围是________．
微专题❾ 巧借运算性质 拟合函 数破压轴
答案：C 解析：函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B项；函数y＝2log4(1 －x)在定义域上单调递减，排除D项，故选C项．
高考数学一轮复习 第6章 不等式课件 理
－z＝0，则当xzy取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为(
)．
9
A．0
B．1
C.4
D．3
由 x2－3xy＋4y2－z＝0 可得 z＝x2－3xy＋4y2，
xy
xy
1
1
故
z
＝
x2－3xy＋4y2＝x 4y ≤ y＋ x －3
2
4－3＝1，当且仅
当xy＝4xy即 x＝2y 时等号成立，这时 z＝x2－3xy＋4y2＝2y2.
利用排除法，
设 x＝3.2，则[－x]＝[－3.2]＝－4，而－[x]＝－[3.2]
ab C．若c2<c2，则 a<b
D．若 a>b，c>d，则 a－c>b－d
由不等式的性质知 C 正确．
C
2．已知 x，y 都为正实数，且 3x＋y＝1，则 xy 的最大
值为( )．
1
1
A.12
B.3
C. 3
D．2 3
∵x，y 都为正实数，∴3x＋y＝1≥2 3x·y，得 xy
1 ≤12，故
xy
1 的最大值为12.
四、极值定理
1．若 x，y∈R＋，积 x·y＝p(定值)，则和 x＋y 有最小
值__2 p__，当且仅当__x＝y__时，取“＝”；
2．若 x，y∈R＋，和 x＋y＝s(定值)，则积 x·y 有最大
值__s42__，当且仅当__x＝y__时，取“＝”．
即：“积为常数，和有最小值；和为常数，积有最大值”．
a －b ＝ log36－ log510＝ 1＋ log32－ (1 ＋ log52) ＝ log32－log52＞0，∴a＞b.
b－c＝log510－log714＝1＋log52－(1＋log72)＝log52 －log72＞0，∴b＞c.∴a＞b＞c.
年高考全程复习构想第六章不等式
解析：原不等式⇔ 2 ≤2－1⇔x2＋2x－4≤－1， 即 x2＋2x－3≤0，解之得－3≤x≤1，解集为[－3,1]． 答案：[－3,1]
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 1.解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零． (2)计算相应的判别式； (3)当 Δ＞0 时，求出相应的一元二次方程的两根； (4)根据一元二次不等式解的结构，写出其解．
2．一元二次不等式的解法技巧 (1)解一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(或＜0)，当 a＞0 时， 其相应一元二次方程的判别式 Δ＞0，则求两根或分解因式， 根据“大于在两边，小于夹中间”写出解；若 Δ＝0 或 Δ＜0， 这是特殊情形，利用相应一元二次函数的图象写出不等式的 解． (2)当含有参数时，必须要分类讨论．分类是由不确定和不 统一而引起的，分类标准是根据需要而设定的，这种“需要” 可能是：是什么不等式(一元一次？一元二次？)；开口方向如 何；根的判别式的正负；根的大小等． (3)要特别注意三个“二次”之间的联系， 重视数形结合的 思想和分类讨论思想的应用.
4． a＜0 时， 不等式 x2－2ax－3a2＜0 的解集是__________．
解析：∵x2－2ax－3a2＝0，∴x1＝3a，x2＝－a.又 a＜0， ∴不等式的解集为{x|3a＜x＜－a}． 答案：{x|3a＜x＜－a}
5．不等式 2
x2＋2x－4
1 ≤2的解集为__________．
x2＋2x－4
③______ ⑥______
①{x|x＜x1 或 x＞x2} ②{x|x≠x1} ③R ④{x|x1＜x＜x2} ⑤∅ ⑥∅
2.用一个流程图来描述一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a ＞0)的求解的算法过程． ⑦{x|x≠x1} ⑧{x|x＜x1 或 x＞x2} ⑨R
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解析：∵x＞1，∴x－1＞0， 1 1 x＋ ＝(x－1)＋ ＋1≥2 x－1 x－1 答案：C
1 x－1· x－1＋1＝3.
4．设
π x ∈ 0，2 ， 则 函 数
2sin2x＋1 y ＝ sin2x 的 最 小 值 为
__________．
2sin2x＋1 2sin2x＋sin2x＋cos2x 3 1 解析：y＝ sin2x ＝ ＝2tanx＋2tanx. 2sinxcosx π ∵x∈0，2，∴tanx＞0， 3 1 3 1 ∴2tanx＋2tanx≥2 2tanx· 2tanx＝ 3， 3 当且仅当 tanx＝ 3 时“＝”成立，故最小值为 3. 答案： 3
6．4 基本不等式及其应用
考纲点击 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 a＋b 1.基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件：①__________. (2)等号成立的条件：当且仅当②__________时取等号． a＋b (3)两个平均数： 2 称为正数 a，b 的③______， ab称 为正数 a，b 的④__________.
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最 低总造价； (2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试 设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
200 解析：设污水处理池的长为 x 米，则宽为 x 米，再设总造价为 y 元，则有 200 200 (1)y＝2x＋ x ×2×400＋248×2× x ＋80×200 259 200 ＝800x＋ x ＋16 000 259 200 ≥2 800x· x ＋16 000＝2×800×18＋16 000＝44 800， 259 200 当且仅当 800x＝ x ，即 x＝18 米时，y 取得最小值． 100 ∴当污水池的长为 18 米，宽为 9 米时总造价最低为 44 800 元
点评： (1)求最值时，要注意“一正，二定，三相等”，一定要明 确什么时候等号成立． (2)学好基本不等式，灵活应用是关键，添常数、配系数， “1”的代换别忘了，一正、二定、三相等，格式规范要切记， 千变万化不等式，透过现象看本质．在本例(1)中解法二采用了 配系数，(2)中采用了添常数，(3)中利用了“1”的代换，如果(3) x＋y 4 9 中若 x＋y＝2，则如何用“1”的代换？显然 2 ＝1，故 x ＋ y ＝ x＋y 4 9 · ＋y. 2 x
①a＞0，b＞0 ②a＝b ③算术平均数 ④几何平均数
2．几个重要不等式 (1)a2＋b2≥⑤______(a，b∈R)． (2)ab≤⑥__________(a，b∈R)． a＋b 2 (3) 2 ≤⑦__________(a，b∈R)． b a (4)a＋b≥⑧______(a· b＞0)． a＋b a2＋b2 2 (5)1 1≤ ab≤ 2 ≤ 2 (a＞0，b＞0)． a＋b a＋b a2＋b2 2 ⑤2ab ⑥ ⑦ 2 ⑧2 2
证明：∵x、y、z 是互不相等的正数，且 x＋y＋z＝1， 1－x y＋z 2 yz 1 ∴x －1＝ x ＝ x ＞ x .① x＋y 2 xy 1 z －1＝ z ＞ z .② x＋z 2 xz 1 y －1＝ y ＞ y .③ 1 1 1 又∵0＜x＜1，∴x ＞1.同理 z ＞1，y ＞1. 1 1 1 将①②③三式相乘，得x －1y －1 z －1＞8.
a2＋b2 解析：a＞b＞0⇒ 2 ＞ab. ∵a2＋b2≥2ab(a，b∈R)， a2＋b2 ∴由 2 ＞ab⇒a，b∈R 且 a≠b/⇒a＞b＞0. 答案：A
1 3．当 x＞1 时，关于函数 f(x)＝x＋ ，下列叙述正确的 x－1 是( ) A．函数 f(x)有最小值 2 B．函数 f(x)有最大值 2 C．函数 f(x)有最小值 3 D．函数 f(x)有最大值 3
(2)若厂家利用此优惠条件，则至少 25 天购买一次饲料， 设该厂利用此优惠条件，每隔 x 天(x≥25)购买一次饲料，平均 每天支付的总费用为 y2，则 1 300 2 y2 ＝ x (3x － 3x ＋ 300) ＋ 200×1.8×0.85 ＝ x ＋ 3x ＋ 303(x≥25)． 300 ∵y′2＝－ x2 ＋3， ∴当 x≥25 时，y′2＞0，即函数 y2 在[25，＋∞)上是增函 数， ∴当 x＝25 时，y2 取得最小值为 390.而 390＜417， ∴该厂可以接受此优惠条件．
解析： (1)方法一：∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1， ∴1＝4a＋b≥2 4ab＝4 ab， 1 1 1 当且仅当 4a＝b＝2，即 a＝8，b＝2时，等号成立． 1 1 ∴ ab≤4，∴ab≤16. 1 所以 ab 的最大值为16.
方法二： ∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1， 1 14a＋b2 1 ∴ab＝44a· 4 b≤ ＝ ， 2 16 1 1 1 当且仅当 4a＝b＝2，即 a＝8，b＝2时，等号成立． 1 所以 ab 的最大值为16.
⑨x＝y ⑪x＝y
⑩2 p s2 ⑫4
考点自测 1.已知 ab≠0，a，b∈R，则下列式子总能成立的是( b a b a A.a＋b≥2 B.a＋b≥－2 b a b a C.a＋b≤－2 D．|a＋b|≥2
)
b a 解析：选项 A、B、C 中不能保证a、b为正． 答案：D
a2＋b2 2．“a＞b＞0”是“ab＜ 2 ”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)∵x＞0，y＞0，且 x＋y＝1， 8 2 8 2 8y 2x ∴x ＋y ＝x ＋y (x＋y)＝10＋ x ＋ y 8y 2x ≥10＋2 x · ＝18. y 8y 2x 当且仅当 x ＝ y ，即 x＝2y 时等号成立， 2 1 8 2 ∴当 x＝3，y＝3时， x＋ y有最小值 18.
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个 条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值； 三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错 误． a＋b 2 对于公式 a＋b≥2 ab，ab≤ 2 ，要弄清它们的作用 和使用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab 和 a＋b 的转化 关系．
3．利用基本不等式求最值问题 已知 x＞0，y＞0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当⑨__________时，x ＋y 有最小值是⑩______(简记：“积定和最小”)． (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当⑪__________时， xy 有最大值是⑫__________(简记：“和定积最大”)．
变式探究 1 (1)设 0＜x＜2，求函数 y＝ 3x8－3x的最大值； 8 2 (2)已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1，求x ＋y 的最小值．
解析： (1)∵0＜x＜2，∴0＜3x＜6,8－3x＞2＞0， 3x＋8－3x 8 ∴y＝ 3x8－3x≤ ＝2＝4， 2 4 当且仅当 3x＝8－3x，即 x＝3时，取等号． 4 ∴当 x＝3，y＝ 3x8－3x的最大值是 4.
题型三 利用基本不等式解应用题 例 3 某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料 200 千克，每千克饲料的价格为 1.8 元，饲料的保管与其他费 用为平均每千克每天 0.03 元，购买饲料每次支付运费 300 元． (1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总 费用最少？ (2)若提供饲料的公司规定， 当一次购买饲料不少于 5 吨时 其价格可享受八五折优惠(即为原价的 85%)．问该厂是否可以 考虑利用此优惠条件？请说明理由．
5．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据 市场分析，每辆客车营运的总利润 y(单位：10 万元)与营运年 数 x(x ∈ N ＋ ) 为 二 次 函 数 的 关 系 ( 如 图 ) ， 则 每 辆 客 车 营 运 __________年，营运的年平均利6)2＋11， 则营运的年平均利润 2 25 y －x－6 ＋11 ＝ ＝12－x＋ x x x ≤12－2 25＝2， 25 此时 x＝ x ，解得 x＝5. 答案：5
(2)∵x＞2，∴x－2＞0， 4 4 4 ∴x＋ ＝x－2＋ ＋2≥2 x－2· ＋2＝6， x－2 x－2 x－2 4 当且仅当 x－2＝ ，即 x＝4 时，等号成立． x－2 4 所以 x＋ 的最小值为 6. x－2
(3)∵x＞0，y＞0，x＋y＝1， 4 9 4 9 4y 9x ∴x ＋y ＝(x＋y)x ＋y ＝13＋ x ＋ y 4y 9x 4y 9x ≥13＋2 x · ＝25，当且仅当 x ＝ y 时等号成立， y 2 x＋y＝1， x＝5， 由4y 9x 得 x＝y， y＝3， 5 2 3 4 9 ∴当 x＝5，y＝5时取等号．所以x＋y的最小值为 25.
2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公 a2＋b2 a＋b 式的逆用， 例如 a2＋b2≥2ab 逆用就是 ab≤ 2 ； 2 ≥ ab a＋b 2 (a，b＞0)逆用就是 ab≤ 2 (a，b＞0)等．还要注意“添、 拆项”技巧和公式等号成立的条件等.
题型探究 题型一 利用基本不等式求最值 例 1 解下列问题： (1)已知 a＞0，b＞0，且 4a＋b＝1，求 ab 的最大值； 4 (2)已知 x＞2，求 x＋ 的最小值； x－2 4 9 (3)已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1，求x ＋y 的最小值．
解析：(1)设该厂应隔 x(x∈N＋)天购买一次饲料，平均每天支付 的总费用为 y1. ∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少 200×0.03＝6(元)， ∴x 天饲料的保管与其他费用共是 6(x－1)＋6(x－2)＋„＋6＝3x2－3x(元)． 1 300 从而有 y1＝ x(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝ x ＋3x＋357≥417. 300 当且仅当 x ＝3x，即 x＝10 时，y1 有最小值． 即每隔 10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．