用二重积分推导水压力的计算公式
水闸计算公式范文
水闸计算公式范文
1.伯努利方程
伯努利方程是流体力学中的基本方程，描述了流体在静态和动态压力
之间的关系。
对于水闸来说，伯努利方程可以写为如下形式：P + 0.5ρv^2 + ρgh = constant
其中，P是水闸中的压力，ρ是水的密度，v是水的流速，g是重力
加速度，h是离地面的高度。
2.底孔流量公式
底孔流量公式用于计算水闸中通过底孔流出的水量。
底孔流量公式与
伯努利方程相结合，可以写为如下形式：
Q = CdA√2gh
其中，Q是流出水量，Cd是底孔流出系数，A是底孔的面积，g是重
力加速度，h是水头。
3.承压能力公式
承压能力公式用于计算水闸的承压能力，即水闸可以承受的最大压力。
承压能力公式可以写为如下形式：
F=A*σ
其中，F是水闸的承压能力，A是水闸的截面积，σ是水闸材料的抗
压强度。
对于具体的水闸设计，需要根据实际情况选择适用的计算公式，并考虑因素如闸门的形状、尺寸、材料、水流的动力特性、水势差、孔口形状等。
这些因素会对水闸的流量和承压能力产生影响，因此需要综合考虑进行合理的设计和计算。
此外，水闸的计算还涉及到其他因素如水位、水流速度、泄水能力、闸门运动机构以及周围环境等的考虑。
因此，在进行水闸计算时，需要综合考虑各个方面的因素，并使用适当的计算公式，以确保水闸的正常运行和安全性。
以上是水闸计算公式的基本介绍，具体的计算过程和公式选择需要根据实际情况进行。
对于精确的水闸计算，可以使用专业的水力学软件或请相关专业人士进行计算和设计。
注电考试最新版教材-第17讲 数学：积分学(六)
平面曲线积分的计算法 1 第一类曲线积分的计算法设 f ( x ，y)在曲线弧L 上连续，L 的参数方程为在［a ，β］上具有一阶连续导数，且如果曲线 L 由方程y =y (x) ( a ≤x ≤b ）给出，则有如果曲线由方程ρ=ρ(θ)（α≤θ≤β）给出，则有2 第二类曲线积分的计算法设函数P （x ， y ) , Q ( x ，y)在有向曲线弧 L 上连续, L 的参数方程为()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩.当t 单调地由a 变到β时，点 M 从起点 A 沿 L 运动到终点 B ，(),()t t ϕψ在［ a ，β］或 [ β,α]上具有一阶连续导数，如果有向曲线 L 由方程 y = y (x ）给出（x ： a → b ) ，则有格林公式定理 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数P （ x ，y ）及 Q （ x ，y)在 D 上具有一阶连续偏导数，则有其中 L 是 D 的取正向的边界曲线。
上述公式称格林公式。
这一公式揭示了闭区域 D 上的二重积分与沿闭区域 D 的正向边界曲线 L 上的曲线积分之间的联系，利用这一联系使得两种积分的计算可以相互转化。
（四）例题【例 1- 3 - 22 】计算半径为 R 、中心角为 2a 的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量 I （线密度μ＝ 1 ）。
【解】取圆弧的圆心为原点，对称轴为 x 轴，并使圆弧位于y轴的右侧（图 1 一 36 ) ，则L 的参数方程为于是例题2计算Ly2dx，其中L是半径为 a 、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周（图 1 -3-7 ）。
【解】 L 是参数方程为当参数θ从 0 变到π的曲线弧。
因此．积分的应用（一）定积分的应用1 ．几何应用（ 1 ）平面图形的面积1 ）直角坐标情形设平面图形由曲线 y = f （ x ）、y = g （ x ) （f（ x ) ≥g （ x ) ）和直线 x = a 、x = b所围成（图 1-3 - 8 ) ，则其面积。
七大积分总结
七大积分总结一． 定积分1.定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点：a=x 0<x 1<x 2<……<x i-1<x i <x i+1<……<x n-1<x n =b, 把区间[a,b]分成n 个小区间：[x 0,x 1]……[x i-1,x i ]……[x n-1,x n ]， 记△x i =x i －x i-1(i=1,2,3,……,n)为第i 个小区间的长度，在每个小区间上[x i-1,x i ]上任取一点ξi (x i-1≤ξi ≤i )，作乘积:f(ξi )△x i (i=1,2,3,……,n),并作合式： i i x f ∆=∑-)(S i n1ξ记λ=max{△x 1, △x 2, △x 3……, △x n },若不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[x i-1,x i ]上点ξi 怎样取法，只要当λ→0时，S 的极限I 总存在，这时我们称I 为函数f(x)在区间[a,b]上定积分（简称积分），记做：∑⎰=→∆==ni i i bax f I dx x f 10)()(lim ξλ其中f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[a,b]称为积分区间，∑=∆ni iixf 0)(ξ称为积分和。
如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积。
关于定积分的定义，作以下几点说明：（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母记法无关，即⎰⎰⎰==b a b a ba du u f dt t f dx x f )()()(。
（2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。
（3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ→0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限： 例：∑⎰=∞→=ni nn i f dx x f 110n 1)()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2.定积分的存在定理定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
抽水管道压强计算公式
抽水管道压强计算公式在工程领域中，抽水管道是一种常见的设施，用于输送水或其他液体。
在设计和运行抽水管道时，了解管道内的压力是非常重要的。
压力的大小直接影响着管道的安全性和运行效率。
因此，我们需要一种可靠的方法来计算抽水管道的压力，以便合理地设计和运行管道系统。
抽水管道的压强计算公式是一个基本的工程公式，它可以用来计算管道内的压力。
这个公式可以帮助工程师和设计师快速准确地计算出管道内的压力，从而为管道系统的设计和运行提供重要参考。
抽水管道的压强计算公式可以表示为：P = ρgh + P0 + 1/2ρv^2。
其中，P表示管道内的压力，单位为帕斯卡（Pa）；ρ表示液体的密度，单位为千克/立方米（kg/m³）；g表示重力加速度，单位为米/秒²（m/s²）；h表示液体的高度，单位为米（m）；P0表示液体的静压力，单位为帕斯卡（Pa）；v表示液体的流速，单位为米/秒（m/s）。
在这个公式中，第一项ρgh表示液体的静压力，它是由于液体的重力作用而产生的压力。
第二项P0表示液体的静压力，它是由于液体的自身重量而产生的压力。
第三项1/2ρv^2表示液体的动压力，它是由于液体的流动而产生的压力。
这个公式可以很好地描述抽水管道内的压力情况。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择适当的参数值，然后代入公式进行计算。
通过这个公式，我们可以快速准确地计算出抽水管道内的压力，从而为管道系统的设计和运行提供重要参考。
在使用抽水管道的过程中，我们还需要注意一些与压力相关的问题。
首先，管道的设计和安装需要考虑管道内的压力情况，以确保管道系统的安全性和稳定性。
其次，管道的运行需要监测管道内的压力，及时发现并解决压力异常问题，以确保管道系统的正常运行。
总之，抽水管道的压强计算公式是一个非常重要的工程公式，它可以帮助工程师和设计师快速准确地计算出管道内的压力，为管道系统的设计和运行提供重要参考。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择适当的参数值，然后代入公式进行计算。
二重积分的几种计算方法
若为奇函数,则 ；若 偶函数，则 。
例1:计算 (1)
(2)计算积分 ，其中
解：(1) 因为 为偶函数，且积分区间是对称的，所以：
(2) 此题很容易出现计算错误
因为 是偶函数，且积分区间是对称的，所以
当处理到这一步时，发现无法做下去了，此积分不存在，那么哪里错了呢，回头再分析一下题目就会发现，原来积分里出现了断点 和 ，而且即使是采用积分区间可加性的性质，最后计算下来积分也不存在。
Key words: double integral; Symmetrical area; Parity; Polar coordinates; Integral order
0引言
在整个数学分析课程中，无疑我们接触最多的思想莫过于分割思想。从极限理论到函数连续性，从微分学再到积分学，分割思想无处不在；由二重积分的定义知道，若在区域D上可积，则与定积分情况一样，对任何分割 ，只要当 ，即分割细度无限小时，属于 的所有积分和都有 成立。因此对于二重积分的运算，我们不仅要把握积分定义，还要对积分区间的对称性、被积函数的奇偶性、换元思想、积分次序等计算方法熟悉掌握，从而能做到把二重积分转化为累次积分的简化计算；当然也不排除用积分定义、直角坐标系下求解二重积分、与积分路劲无关的格林公式等这些普遍通用的二重积分运算方法；但针对某些复杂的积分运算，为了避免耗时费力，不得不采取一些较为特殊的简化方法，极大地减少计算量！
关于二重积分在直角坐标系下的运算，教材侧重从几何推理出发，推导相应的积分运算公式。而对于二重积分的计算，研究积分区域关于直线对称、关于坐标轴对称、积分区域关于特殊直线对称、一般直线对称、积分区域为圆域或多条曲线围成的区域、积分运算极坐标转化等都只是一笔带过，而没做过多说明。二重积分的计算技巧极为重要，正确选取坐标系、进行适合的坐标变换、注重积分次果！当积分区域为对称区域时，一定要检验被积函数或被积函数的某一部分是否对某一变量具有奇偶性，尤其是对奇函数的部分!合理选择积分坐标运算、利用对称性，奇偶性，对于运算来说无疑是一种快车道。
注册设备师基础公式完整版
a⊥ b的充分必要条件是 a .b =0两向量垂直，则上式等于0（一）平面的方程设平面过点M0（ x0 , y0 , z0 ) ，它的一个法向量n =（A , B , C ) ，则平面Ⅱ的方程为此方程称为平面的点法式方程。
如，在方程Ax＋By＋Cz + D = 0 中，当D = 0 时，方程表示一个通过原点的平面；当A = 0 时，方程表示一个平行于 x 轴的平面；当 A = B = 0 时，方程表示一个平行于 x Oy的平面。
类似地，可得其他情形的结论。
（二）两平面的夹角由此可得Ⅱ1与Ⅱ2互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=0Ⅱ1与Ⅱ2平行相当于空间一点 P 0（ x 0，y0， z 0）到平面的距离，有以下公式：（二）两直线的夹角则 L 1 和 L 2的夹角ϕ可由下式确定：由此可得L 1和 L 2 互相垂直相当于L 1和 L 2平行相当于（三）直线与平面的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角ϕ称为直线与平面的夹角，通常规定02πϕ≤≤。
设直线的方程是平面的方程是则直线与平面的夹角φ由下式确定：由此可得直线与平面垂直相当于直线与平面平行或直线在平面上相当于 A m + B n + C P = 0极限（ l ） （极限的四则运算法则）利用准则I ’，可得一个重要极限利用准则II ，可得另一个重要极限其中 e 是一个无理数， e =2 . 71828 … … 当 x → 0时，有以下常用的等价无穷小：(0tan 2limsin 5x xx→)一般地，对有理分式函数其中P （ x ）、 Q （ x ）是多项式， 若0lim x Q χ→（x ）=Q （x 0） ≠0,则注意：若 Q （ x 0） = 0 ，则关于商的极限运算法则不能应用，需特殊考虑。
由函数在一点连续的定义可知,函数 f （ x ）在一点 x 0处连续的条件是: （ 1 ） f （ x o ）有定义； （ 2 ） 0lim ()x x f x → 存在；（ 3 ）00lim ()()x x f x f x →=若上述条件中任何一条不满足, 则f （ x ）在 x 0处就不连续，不连续的点就称函数的间断点。
高数公式大全
高等数学公式汇总第一章 一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=±和差角公式：sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin coscos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin 2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-===++===-半角公式：::ln(2::ln(211::ln21x xx xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x-----==++==±+-+===+-双曲正弦；反双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+，222(1)(21)126n n n n +++++=22333(1)124n n n ++++=2、极限➢常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1n a >=;lim 1n =➢ ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则➢ 两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+ ➢:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x--++++3、连续：定义：000lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或 第二章 导数与微分1、 基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x-----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
高数二重积分习题解答
2 dy
4y2 f (x, y)dx ；
0
0
0
1 1y2
1
0
(5)
0
y1
1
dy f (x, y)dx dy
1y 2 f (x, y)dx ；
1 0
0
0
(6)
1
x2
3
3 x
dx f (x, y)dy dx 2 f (x, y)dy
0
0
1
0
所属章节：第九章第二节
(5)
sin( x )d
2
dy
y3
sin(
x
)dx
2
(
y
cos1
y
cos
y
2)dy
3cos1 sin1 sin 4 ．
D
y
1
y
y
1
2
所属章节：第九章第二节
难度：二级
12．画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(假定 f(x，y)在积分区域上连续)：
(1)
1
dy
y f (x, y)dx ；
1
4
的面积为
1 4
，在其中1
sin( x2
y2)
1
e4
，而等号不恒成
1
立，故 π I πe4 ．
4
4
所属章节：第九章第一节
难度：二级
7．设
f(x，y)是连续函数，试求极限： lim r 0
1 πr 2
x2 y2 r2
f ( x,
y)d
解答：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得
lim
D D1
D
D1
重积分应用案例
重积分与微分几何、偏微分方程等数学分支有着密切的联系。未来可以 加强这些领域之间的交叉研究，以推动重积分理论的深入发展和应用拓 展。
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其他物理量如流量、压力等计算
流量计算
在流体力学中，流量是单位时间内通过某一 截面的流体体积。对于连续分布的流体，如 管道中的水流或气流，流量可以通过重积分 来计算。即对每个小微元的流速与其截面面 积的乘积进行积分。
压力计算
在静力学中，压力是垂直作用于单位面积上 的力。对于连续分布的物体，如液体中的压 力分布或固体中的应力分布，可以通过重积 分来计算。即对每个小微元的压力与其作用 面积的乘积进行积分。
02
重积分计算方法
直角坐标系下重积分
投影法
将重积分区域投影到某一坐标平面上 ，通过对投影区域进行单重积分来计 算重积分。
截面法
通过垂直于某一坐标轴的平面将重积 分区域切割成若干个小区域，对每个 小区域进行单重积分后再求和。
极坐标系下重积分
极坐标变换
将直角坐标系下的重积分通过极坐标变换转化为极坐标系下的重积分，简化计算 过程。
流速场描述
利用重积分对流速场进行建模，了解流体在空间中的速度分布情 况。
压力场描述
通过重积分描述压力场，掌握流体内部压力变化规律。
流体动力学分析
结合流速场和压力场信息，对流体动力学问题进行分析，如流体 流动、传热、传质等。
控制系统中系统稳定性和性能评估
系统稳定性分析
利用重积分对控制系统稳定性进 行评估，判断系统是否能在受到 扰动后恢复到平衡状态。
激发学习兴趣和动力
通过介绍有趣的重积分应用案例，激发读者对重积分学习的兴趣和动力，提高 学习效果。
液体压力的三种计算公式
液体压力的三种计算公式
液体压力的计算公式取决于液体的密度、重力加速度以及液体所处深度等因素。
以下是三种液体压力的常见计算公式：
1. 压力 = 密度×重力加速度×液体深度
这个公式适用于液体静止或处于恒定的情况下。
其中，压力是单位面积上的力，密度是液体的质量单位体积，重力加速度是指在地球上的重力加速度（约为9.8 m/s²），液体深度是指相对于液体表面的垂直距离。
2. 压力 = 密度×重力加速度×液体高度
当液体处于一个封闭容器中，并且容器的底部面积为A 时，可以使用这个公式来计算液体压力。
其中，密度是液体的质量单位体积，重力加速度是指在地球上的重力加速度（约为9.8 m/s²），液体高度是指液体柱的高度。
3. 压力 = 压力差 / 液体柱的高度
当液体柱的两端存在不同的压力时，可以使用这个公式来计算液体压力。
其中，压力差是液体柱两端的压力差值，液体柱的高度是指液体柱的垂直高度。
需要注意的是，以上公式只适用于理想情况下的液体压力计算，并且在实际应用中可能需要考虑其他因素，如温度、表面张力等。
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解 如图建立坐标系，D为下半圆域， 水面高度 H=0，则由前面的公式， 水桶一端面所受的压力为：
y
P
g (0 y ) d
D
o
g
2 3
0
3
d r sin r d r
0
R
D
x
gR
同济六版290页，例4
四川大学数学学院 徐小湛 June 18, 2012
a b a
b
f (y) g(y)
( H y ) dx
O
x
g ( H y )[ f ( y ) g ( y )]d y P g ( H y )[ f ( y ) g ( y )] dy
a b
这就是计算水压力的定积分公式
四川大学数学学院 徐小湛 June 18, 2012
y
H
水面
b
x=g(y)
a
O
D
x=f(y)
x
四川大学数学学院 徐小湛 June 18, 2012
y
6.3 定积分的物理应用 9
则平板一侧所受的水压力
P
H
b
水面
g ( H y ) d
D
x=g(y)
a
D
x=f(y)
g dy
用二重积分来计算平板的水压力， 有时更方便。 最后，举例加以说明。
四川大学数学学院 徐小湛
June 18, 2012
6.3 定积分的物理应用 3
问题： 将一平板垂直地放入水中（如图）， 求平板一侧所受的水压力 P。 水面 水 平板
6.3 定积分的物理应用 10
下面举一个例子来说明以上公式的应用
四川大学数学学院 徐小湛
June 18, 2012
6.3 定积分的物理应用 11
例 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶 水，设桶的底半径为 R ，水的密度为 ，计算 桶的一端面上所受的压力．
四川大学数学学院 徐小湛 June 18, 2012
6.3 定积分的物理应用 7
所以该面积元素所受到的水压力约为：
dP ( H y ) g d
（压力元素）
其中为水的密度，g为重力加速度。
于是整个平板一侧所受的水压力为：
水面 水 D
H
四川大学数学学院 徐小湛
June 18, 2012
6.3 定积分的物理应用 6
下面用元素法来建立水压力的二重积分公式。 在平板的(x,y)处取一个面积元素 d 它到水面的距离是 H y H 水面 水
d
( x, y )
D
四川大学数学学院 徐小湛
June 18, 2012
6.3 定积分的物理应用 4
下面用二重积分来计算平板所受水压力
四川大学数学学院 徐小湛
June 18, 2012
6.3 定积分的物理应用 5
如图建立坐标系。
设平板占据的区域为 D，水面高度为 H。
P
d P g ( H y ) d
D D
这就是计算水压力的二重积分公式
四川大学数学学院 徐小湛 June 18, 2012
6.3 定积分的物理应用 8
如果 D {( x , y ) | )}
6.3 定积分的物理应用 1
用二重积分推导水压力计算公式
King’s College
四川大学数学学院 徐小湛
June 18, 2012
6.3 定积分的物理应用 2
作为定积分的物理应用，平板所受 的水压力一般是用定积分来计算。
本课件用二重积分的元素法来推导 水压力的二重积分计算公式。