对指数函数、对数函数、幂函数交点问题的探究
指数对数函数与幂函数的性质与应用
指数对数函数与幂函数的性质与应用指数函数、对数函数和幂函数是数学中常见的函数类型，它们具有独特的性质和广泛的应用。
本文将重点探讨指数对数函数与幂函数的性质及其在现实生活和科学研究中的应用。
一、指数函数的性质与应用指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a是常数且不等于1。
指数函数的性质如下：1. 随着x的增大，a^x也呈指数增长。
当a>1时，指数函数递增；当0<a<1时，指数函数递减。
2. 指数函数在x=0时取值恒为1。
3. 指数函数的图像一般呈现出一种指数曲线的形状，具有平移、伸缩和翻折等变换特征。
指数函数在许多领域有广泛的应用。
例如，在经济学中，指数函数可以用来描述货币的贬值或通货膨胀；在生物学中，指数函数可以用来描述细胞的增长与衰亡；在物理学中，指数函数可以用来描述放射性物质的衰变等。
二、对数函数的性质与应用对数函数的一般形式为f(x) = logₐx，其中a是底数，x是函数的自变量。
对数函数的性质如下：1. 对数函数与指数函数是互为反函数的关系，即f(f(x)) = x，其中f(x)为指数函数，f(f(x))为对数函数。
2. 底数大于1时，对数函数递增；底数小于1时，对数函数递减。
3. 对数函数的图像一般呈现出一种特殊的曲线形状，具有平移、伸缩和翻折等变换特征。
对数函数在许多领域也有着广泛的应用。
例如，在金融学中，对数函数可用于计算利息和复利；在通信领域中，对数函数可以用来衡量声音和信号的强度等。
三、幂函数的性质与应用幂函数的一般形式为f(x) = x^a，其中a是常数。
幂函数的性质如下：1. 当a为正数且不等于1时，幂函数递增；当a为负数且不等于-1时，幂函数递减。
2. 幂函数在x为正数时均有定义，在x=0时取值恒为1。
3. 幂函数的图像一般呈现出一种曲线的形状，具有平移、伸缩和翻折等变换特征。
幂函数在许多领域也有着广泛的应用。
例如，在物理学中，幂函数可以用来描述力和速度之间的关系；在经济学中，幂函数可以用来描述成本与产量之间的关系。
幂函数指数函数对数函数总结
幂函数指数函数对数函数总结
幂函数、指数函数和对数函数是数学中常见的函数类型，它们的性质和图像特点有所不同，但也有一些共性。
幂函数的形式为$y=x^a$，其中$a$为常数。
当$a$为正整数时，幂函数的图像经过原点和函数的图像都在第一象限内，且函数值随$x$的增大而增大；当$a$为负整数时，幂函数的图像也经过原点，但它的图像在第二象限内，且函数值随$x$的增大而减小。
当$a$为分数时，幂函数的图像不过原点且不与坐标轴相交。
指数函数的形式为$y=a^x$，其中$a$为常数且$a＞0$。
指数函数的图像经过点$(1,a)$，且函数值随$x$的增大而增大。
指数函数的图像与坐标轴没有交点，且当$a＞1$时，图像向左平移，当$0＜a＜1$时，图像向右平移。
对数函数的形式为$y=log_ax$，其中$a$为常数且$a＞0$，$a\neq1$。
对数函数的图像经过点$(1,0)$，且函数值随$x$的增大而减小。
对数函数的图像与坐标轴没有交点，且当$a ＞1$时，图像向右平移，当$0＜a＜1$时，图像向左平移。
在学习幂函数、指数函数和对数函数时，需要注意它们的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，以及它们的图像和应用。
这些函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
指数与幂函数的交点问题
关于一道高考题的深入思考王久成1 朱立明2（吉林省长春市东北师大附中 130024 吉林省长春市东北师范大学130024） 2010年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）中有这样一道问题： 11.函数22xy x =-的图像大致是（ ）本题比较容易解决，可以通过分析函数2xy =与函数2y x =的交点个数，再考察函数22x y x =-的单调性即可解决。
由此题展开联想，对于任意的指数函数xy a =与幂函数ay x =交点的个数有多少应如何判断，本文主要探究这个问题。
1、对于(0,)x ∀∈+∞令()log a a x x f x a=其中(01)a a >≠且，所以有()log log log a xa a a f x x a x a x =-=-+'()1ln a f x x a =-，令'()0f x =解之得ln ax a=因为1xe x >+，所以有ln(1)ln x x x >+>，即ln a a > （1）若01a <<时，0ln aa< 则函数()log a f x x a x =-+在(0,)+∞上单调递减，并且()0f a =，此时函数xy a =与函数ay x =在(0,)+∞上有一个交点。
（2）若1a >时，1ln aa> 当(0,)ln a x a ∈时，'()0f x >；当(,)ln a x a∈+∞时，'()0f x < 因此函数()log a f x x a x =-+在ln a x a =处取得最大值，()(log )ln ln a a af a a e a=考察()(1)ln xg x x e x=>， 2ln '()(ln )e x eg x e x -=，令'()0g x =解之得x e =当(1,)x e ∈时，'()0g x <；当(,)x e ∈+∞时，'()0g x > 因此函数()ln xg x e x=在x e =处取得最小值，()1g e =（1）若a e =时，()0f e =，此时函数x y a =与函数ay x =在(0,)+∞上有一个交点 （2）若(1,)(,)a e e ∈⋃+∞时，恒有()1g a >成立，即1ln ae a>， 我们得到()(log )0ln ln a a a f a a e a => 对于(0,)ln a x a ∈时，我们取2x a -=，则221()20f a a a -=--<(,)ln a x a∈+∞时，我们取n x a =，当n 取充分大时，必有()0n n f a na a =-<此时函数xy a =与函数ay x =在(0,)+∞上必有两个交点。
幂函数教案：高中数学必修的章节之一
幂函数教案：高中数学必修的章节之一在高中数学必修的课程中，幂函数是一道重要而又基础的数学知识，更是我们学习其他数学知识的基础。
因此，针对高中数学必修中的幂函数教案，我们需要作出详细的讲解和探究，同时需要结合一些实例和练习来帮助学生更好地理解和掌握这一知识，提高数学素养和解题能力。
一、教学目标1.理解幂函数的定义和性质，知道其图像特征并能用具体实例说明。
2.能变形解决简单的幂函数的运算。
3.能应用指数函数和对数函数的性质，解决幂函数与指数函数、对数函数的联立方程。
二、教学重点1.在数轴上绘制幂函数的图像并分析其特征。
2.掌握幂函数的运算规则，以及幂函数与指数函数、对数函数的联立方程解法。
三、教学难点1.理解并掌握幂函数的定义和性质，知道幂函数的图像特点。
2.掌握幂函数的运算规则，能解决幂函数的简单运算。
3.掌握幂函数和指数函数、对数函数联立方程的解法。
四、教学过程1.幂函数的定义和性质幂函数是形如y=x^a（a为实数）的函数，其中x>0(x=0时，a>0)。
幂函数的图像特征与指数函数相似，是利用对数函数的概念、运算，指数函数的知识，掌握的一个重要的数学工具。
幂函数的图像特征：当a>1时，幂函数y=x^a的图像上升逐渐加速，当a=1时为与x 轴正比例函数y=x，当0<a<1时，幂函数y=x^a的图像上升逐渐减缓，最后趋近于x轴。
当a<0时，幂函数y=x^a的图像下降，且在x轴右侧有垂直渐近线x=0，在x轴左侧有水平渐近线y=0。
2.幂函数的运算规则加减法运算：当幂函数底数相同时，可将其指数相加或相减。
即x^a+x^b=x^(a+b)，x^a-x^b=x^(a-b)。
乘法运算：当幂函数底数相同时，可将其指数乘积。
即x^a*x^b=x^(a+b)。
幂函数的运算可以变形为指数函数和对数函数的运算，如x^a=y，可变形为a=logx(y)或者y=x^a，可变形为a=logy(x)。
高中数学 第二章 指数函数、对数函数和幂函数 2.2.3 对数函数的图象和性质 第1课时 反函数及对
2.2.3 对数函数的图象和性质第1课时反函数及对数函数的图象和性质[学习目标] 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质．[知识]1．作函数图象的步骤为列表、描点、连线．另外也可以采取图象变换法．2．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象与性质.a＞10＜a＜1 图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1 单调性是R上的增函数是R上的减函数[预习导引]1．对数函数的概念把函数y＝log a x(x＞0，a＞0，a≠1)叫作(以a为底的)对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1 图象性质定义域(0，＋∞)值域R过点过点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数3.反函数(1)对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)与指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．(2)要寻找函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来，表示成y＝g(x)的形式，如果这种形式是唯一确定的，就得到f(x)的反函数g(x).要点一对数函数的概念例1 指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝log x3；(4)y＝log2x＋1.解(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．规律方法判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.跟踪演练1 若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定答案 A解析设对数函数的解析式为y＝log a x(a＞0且a≠1)，由题意可知log a4＝2，∴a2＝4，∴a ＝2，∴该对数函数的解析式为y＝log2x.要点二对数函数的图象例2 如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35、110，则相应于c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为( )A.3、43、35、110B.3、43、110、35C.43、3、35、110D.43、3、110、35 答案 A解析 方法一 先排c 1、c 2底的顺序，底都大于1，当x ＞1时图低的底大，c 1、c 2对应的a 分别为3、43.然后考虑c 3、c 4底的顺序，底都小于1，当x ＜1时底大的图高，c 3、c 4对应的a 分别为35、110.综合以上分析，可得c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为3、43、35、110.故选A.方法二 作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c 1、c 2、c 3、c 4对应的a 值分别为3、43、35、110，故选A.规律方法 函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的底数变化对图象位置的影响．观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图象向右越靠近x 轴，0＜a ＜1时a越小，图象向右越靠近x 轴．(2)左右比较：比较图象与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 跟踪演练2 (1)函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(－2,1) D ．(－1,1)(2)如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞1 答案 (1)D (2)B解析 (1)令x ＋2＝1，即x ＝－1， 得y ＝log a 1＋1＝1，故函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点(－1,1)．(2)作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0＜b ＜a ＜1. 要点三 对数函数的定义域例3 (1)函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) (2)若f (x )＝121log (21)x +，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 答案 (1)C (2)C解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，1－x ≠0，解得x ＞－1且x ≠1.(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0，2x ＋1≠1，解得x ＞－12且x ≠0.规律方法 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式． 跟踪演练3 (1)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1] (2)函数y ＝lgx ＋1x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞) 答案 (1)B (2)C解析 (1)因为y ＝x ln(1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x ＞0，解得0≤x ＜1.(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，解得x ＞－1且x ≠1，故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)，故选C. 要点四 反函数例4 求下列函数的反函数：(1)y ＝2x －5；(2)y ＝x1－x ；(3)y ＝1＋e 2x . 解 (1)从x ＝2y －5中解得y ＝x ＋52，即为所求；(2)从x ＝y 1－y 中解得y ＝xx ＋1，即为所求；(3)从x ＝1＋e 2y 移项得x －1＝e 2y .两端取自然对数得到ln(x －1)＝y2，解得y ＝2ln(x －1)，即为所求．规律方法 要找寻函数y ＝f (x )的反函数，可以先把x 和y 换位，写成x ＝f (y )，再把y 解出来，表示成y ＝g (x )的形式．如果这种形式是唯一确定的，就得到了f (x )的反函数g (x )．既然y ＝g (x )是从x ＝f (y )解出来的，必有f (g (x ))＝x ，这个等式也可以作为反函数的定义． 跟踪演练4 y ＝ln x 的反函数是________． 答案 y ＝e x解析 由y ＝ln x ，得x ＝e y ，所以反函数为y ＝e x.1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x ) B ．y ＝log 22xC ．y ＝log 2x ＋1D ．y ＝lg x 答案 D解析 选项A 、B 、C 中的函数都不具有“y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)”的形式，只有D 选项符合． 2．函数f (x )＝11－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A ．(－13，＋∞) B．(－∞，－13)C ．(－13，13)D ．(－13，1)答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1.3．函数y ＝a x与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )答案 A解析 函数y ＝－log a x 恒过定点(1,0)，排除B 项； 当a ＞1时，y ＝a x是增函数，y ＝－log a x 是减函数，排除C 项，当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数，y ＝－log a x 是增函数，排除D 项，A 项正确．4．若a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点________． 答案 (2,1)解析 函数图象过定点，则与a 无关， 故log a (x －1)＝0，所以x －1＝1，x ＝2，y ＝1， 所以y ＝log a (x －1)＋1过定点(2,1)． 5．函数y ＝lg x 的反函数是________． 答案 y ＝10x解析 由反函数的定义知x ＝10y，故反函数为y ＝10x.1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)这种形式．2．在对数函数y ＝log a x 中，底数a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.一、基础达标1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则a 的值可以是( )A ．0.5B ．2C ．eD ．π 答案 A解析 ∵函数y ＝log a x 的图象单调递减，∴0＜a ＜1，只有选项A 符合题意． 2．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，4－x ≥0，解得1＜x ≤4.3．在同一坐标系中，函数y ＝log 3x 与y ＝13log x 的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称 答案 B解析 ∵y ＝13log x ＝－log 3x ，∴函数y ＝log 3x 与y ＝13log x 的图象关于x 轴对称．4．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b 答案 D解析 y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log b x ，y ＝log c x 的图象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b ，c ∈(0,1)，又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b .5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x， x ≤0，log 2x ，x ＞0，那么f (f (18))的值为( )A ．27 B.127C ．－27 D ．－127答案 B解析 f (18)＝log 218＝log 22－3＝－3，f (f (18))＝f (－3)＝3－3＝127.6．已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________. 答案 －32解析 设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)， 则－3＝log a 8，∴a ＝12.∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32.7．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3； (2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )．解 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0，解之得x ＞2且x ≠3.∴函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解之得－1＜x ＜0或0＜x ＜4. ∴函数定义域为(－1,0)∪(0,4)． 二、能力提升8．设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，且g (a )＝14，则a 等于( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12答案 B解析 ∵函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝2x，即g (x )＝2x. 又∵g (a )＝14，∴2a＝14，∴a ＝－2.9．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x＋b 的图象大致是( )答案 D解析 由函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可知，函数f (x )＝log a (x ＋b )在(－b ，＋∞)上是减函数．所以0＜a ＜1且0＜b ＜1.所以g (x )＝a x＋b 在R 上是减函数，故排除A ，B.由g (x )的值域为(b ，＋∞)．所以g (x )＝a x＋b 的图象应在直线y ＝b 的上方，故排除C. 10．若log 2a 1＋a21＋a<0，则a 的取值X 围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析 当2a >1时，∵log 2a 1＋a21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a <1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1.当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a >1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 11．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )＜f (2)，利用图象求a 的取值X 围． 解 (1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2.由图象知：函数f (x )为单调增函数，当0＜a ＜2时，恒有f (a )＜f (2)．∴所求a 的取值X 围为(0,2)． 三、探究与创新12．求y ＝(log 12x )2－12log 12x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．解 因为2≤x ≤4，所以log 122≥log 12x ≥log 124，即－1≥log 12x ≥－2.设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，所以y ＝t 2－12t ＋5，其图象的对称轴为直线t ＝14，所以当t ＝－2时，y max ＝10；当t ＝－1时，y min ＝132.13．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的word 11 / 11 表达式，并画出大致图象．解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，－lg 1－x ，x ＜0，∴f (x )的大致图象如图所示：。
幂函数和对数函数的交点
幂函数和对数函数的交点幂函数和对数函数是高中数学中比较重要的两类函数，其中幂函数指的是形如$y=x^a$的函数，对数函数指的是形如$y=log_ax$的函数。
这两类函数的交点是需要我们进行研究的。
我们来看幂函数和对数函数函数的图像。
对于幂函数，当$a>0$时，它的图像如下所示：而对于对数函数，当$a>1$时，它的图像如下所示：从图像上看，这两类函数都可能存在交点，而对于$a=1$的情况，幂函数和对数函数的图像分别为一次函数和常数函数，不存在交点。
接下来，我们来研究幂函数和对数函数的交点的求法。
设幂函数$y=x^a$和对数函数$y=log_ax$相交于点$(x_0,y_0)$，则有：$$\begin{cases}y_0=x_0^a\\y_0=log_ax_0\\\end{cases}$$由第二个式子得到$x_0=a^{y_0}$，代入第一个式子中可得到：$$y_0=(a^{y_0})^a=(a^a)^{y_0}$$对上式两端取对数可得：$$\log_{a^a}y_0=y_0$$我们只需要求出$a^a$的值，然后求解方程$\log_{a^a}y_0=y_0$即可得到交点$(x_0,y_0)$的坐标。
接下来我们举例来说明一下交点的求解过程。
例1：求幂函数$y=x^2$和对数函数$y=log_2x$的交点。
根据上面的公式，我们可以知道：$$a=2$$$a^a=2^2=4$。
对于方程$\log_{4}y=y$，我们可以画出它们的图像来求解：由图可知，方程$\log_{4}y=y$的解为$y=1$和$y=2$，幂函数$y=x^2$和对数函数$y=log_2x$的交点分别为$(1,1)$和$(4,2)$。
例2：求幂函数$y=x^3$和对数函数$y=log_3x$的交点。
根据上面的公式，我们可以知道：$$a=3$$$a^a=3^3=27$。
对于方程$\log_{27}y=y$，我们可以画出它们的图像来求解：由图可知，方程$\log_{27}y=y$的解为$y=1$和$y=3$，幂函数$y=x^3$和对数函数$y=log_3x$的交点分别为$(1,1)$和$(27,3)$。
指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像
指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•指数函数的定义与性质•对数函数的定义与性质•幂函数的定义与性质•指数函数、对数函数与幂函数的比较•指数函数、对数函数与幂函数的应用案例•总结与展望01指数函数的定义与性质指数函数的定义02指数函数：y=f(x)=a^x03a>0时，函数图像过一三象限；a<0时，函数图像过二四象限。
指数函数的性质函数图像恒过(0,1)点值域：R a>1时，函数为单调递增函数；0<a<1时，函数为单调递减函数奇偶性：当a>0时，为奇函数；当a=0时，既不是奇函数也不是偶函数；当a<0时，为偶函数指数函数的图像图像恒过(0,1)点当a>1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐加快；当0<a<1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐减慢。
a>1时，函数为单调递增函数，图像位于一三象限；0<a<1时，函数为单调递减函数，图像位于二四象限。
当a>1时，函数的最大值无限趋近于正无穷大；当0<a<1时，函数的最小值无限趋近于0。
02对数函数的定义与性质1 2 3自然对数：以数学常数e为底数的对数，记作ln(x)。
常用对数：以10为底数的对数，记作lg(x)。
底数为任意正数的对数，记作log(x)。
对数的运算性质log(a*b)=log(a)+log(b)；log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。
对数恒等式log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。
对数的运算律如果a>0且a不等于1，M>0，N>0，那么log(a)(MN)=log(a)M +log(a)N；log(a)(M/N)=log(a)M -log(a)N；log(a)M^n=nlog(a)M。
•对数函数的图像与性质：图像与x轴交点为1，当x>1时，函数值大于0；当0<x<1时，函数值小于0。
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2）几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②lo g 1aa =，③lo g Na a N =，④lo g N a aN =。
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维普资讯
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３ ・ Ｏ
中学教研 （ 学） 数
２０ ０ ８年第 １期
对 指 数 函 数 、 数 函 数 、 函 数 交 点 问 题 的 探 究 对 幂
●李 惟峰 （ 浙江杭州外国语学校 ３０２ ） １０３
在人 教版普通 高 中课 程标 准实验 教 科 书必 修第 １册
况 为
相 ， 相 于 ÷÷． 据 数 数 对 ｉ 切 且 切 点 （，） 根 指 函 和 数ｉ 并 再
数 图 ，知 当 ＜＜÷） ，线Ｙ ｏ ＝ｇ 的 像 易 ： ０ ｏ 《 时 曲 ＝ ｌ 和ｙ ｏ 有 只 个 点； 《 ＜ ＜ 时 曲 ｙ ｏ和Ｙ 且 有３ 交 当 ÷） ｏ １ ， 线 ＝ ＝
（ｏ ） ＝ ｘ ） Ｉ： ， １ ｇ Ｉ：
１ １
（当 ＜＜ ） ， 只 ３交 ； １ ０ （ 。有 有个 点 ） 。÷ 时 且 （当 ＝ ） ， 只 ｌ点 ２ 。（ 有 有 交 ； ） ÷时且
（当÷ ＜＜时有 只 ｌ点 ３ （ ）。ｌ ， 有 交 ． ） 且
下 面先 求曲线 Ｙ＝ｏ 和 Ｙ＝ｌ 相切时 。的值． ‘ ｏ ｇ
设切点 为 Ｐ（。ｙ ） 由对称性知 ， Ｐ在 直线 Ｙ＝ ｘ ，０ ， 点 上 ，
并且在点 Ｐ处 的斜 率为 一１则 ，
交点 ， 并且交点位 于（ ， ） 间． ｏ １之 证明 构造函数 ， ）＝ 一ｌｇ ， 知函数 ， ） （ ｏ 易 （ 在 ∈
果 又如何 呢？这个 问题 实 际上 是求对 数 函数 、 指数 函数 和 幂函数这 ３个 函数 图像 的交点 问题 ， 里主要 考察 这 ３个 这 函数在第 一象 限的交 点个数． 面分 ３种情况加 以讨论． 下
１ 曲线 ＝Ｉｇｘ和 ＿． 的交点 ｏ． －Ｘ － ａ 结论 １ 当 口＞１时 ， 函数 Ｙ＝ｌ 和 Ｙ＝ 的交 点情 ｏ ｇ
况 为
【 口 ） Ｉ ＝１ （ ： ，
解 击代 。 Ｘ ｅ１ 。ｅ 得 ＝ 入 Ｏ ＝ ， ＝． ＝得 即 ÷
综上所述 ， 口＝ｅ 当 言时 ， 曲线 Ｙ＝ 和 Ｙ＝ｌｇ 相 ２条 ｏ 切， 并且 相切 于点 Ｍ（ ， ） 再根据 指数 函数和 对数 函数 的 ｅｅ． 图像易知 ： １＜ 当 口＜ｅ 时 ， ÷ 曲线 Ｙ＝口 和 Ｙ＝ｌ 有且 只有 ｏ ｇ ２个交 点 ； 口＞ｅ 当 ÷时 ， 曲线 Ｙ 和 Ｙ＝ｌ 无交 点． ＝口 ｏ ｇ 结论 ４ 当 ０＜ 口＜１时 ， 曲线 Ｙ＝ 和 Ｙ＝ｌ 的交点 口 ｏ ｇ 情 况为
（ ） 口 ＝ｅ ， １ １ 当 言时 有 个交 点 ； （ ） 口 ＜ｅ 时 ， ２个交 点 ； ２当 言 有 （） ｏ ３ 当 ＞ｅ 时 ， 言 无交 点．
证明
先求 曲线 Ｙ＝ ｏ 和 Ｙ＝ 相切时 口的值 ． ｌｇ
设曲线 Ｙ＝ｌ 和 Ｙ＝ 相切 于点 （ ， ） 则 ２条 ｏ ｇ ， 曲线在点 （ ，０ 处的切线斜率相 等 ， ｙ） 于是
即
解得
÷ ・ 口 ’ ‰ 亡 ｍ ＝ 一，
ａ — ＝ ．
又 为‰ ＝， 丢・ ， ÷・ ｅ 以 点 Ｎ（０ ） 因 ｌ ‰ ＝ ｉ解 ＝所 ｙ ， 也是它们 的一个 交点． 。 ａ 即 得 ，
８ ＝ｅ ． 言 因此 当 口 ＝ｅ ， 言时 曲线 Ｙ＝ｌ 和 Ｙ＝ 相 切． ｏ ｇ 再 根据对数 函数和幂 函数 的 图像 特征 可 知 ： ｏ 当 ＞ｅ 寺时 ， 曲 线无交点 ； ｏ ＇时 ， 当 ＜ｅ Ｔ 曲线有 ２个 交点． ‘ 结论 ２ 当 ０＜８＜ １时 ， 函数 ｙ ｏ￣ ｙ＝ “ １ ＝ｌｇｘ和 有 个
， １ ＝１＞ ， （ ）＝ “ （） ０ ， 口 口 一１＜ ， ０ （， ０ ＋∞） 上单调递增． 又因为
解 得 ＝ 一 １ 代入 。 ， ＝ 解得 ｅ ｉ ＝ １
．
，
即＝ ） 。（ 。 ÷．， ｏ 《 时２ 线Ｙ ｏ和Ｙ ｌ 条 ｏ
中， 有如下一道观察题．
（ ） ｏ＞ｅ ３当 言时 ， 没有交点．
证 明 先求 曲线 Ｙ＝ａ 和 Ｙ ｏ 相切时 。的值． ｘ ＝ｌ ｇ
设 曲线 Ｙ＝ Ｙ ｏ 相切 于点 （０ ｙ ） 由对称 ｏ 和 ＝ｌｇ Ｘ ，０ ， 性知 ， 点 在直线 Ｙ＝ 上 ， 且在点 处 的斜率为 １ 则 并 ，
证 明 当 ０＜ 口＜１时 ， 函数的 图像 知 ： 由 Ｙ＝口 和Ｙ＝ ｌ 的 图像必有 １ ｏ ｇ 个交点 ， 且在 直线 Ｙ＝ 上． 另外， 函数 Ｙ＝ｏ 和 Ｙ ｏ 互为 反 函数 ， ＝ｌｇ 易知如果 点 Ｍ（ ，０ （ ≠ｙ ） 曲线 Ｙ＝口 和 Ｙ＝ｌｇ 的交 点 ， 么 ‰ ｙ ） ０是 ｏ 那
；
题 目 请 在 图像 上 分别 标 出不 等 式 ｌ ２ ｏ ｘ＜２ ， ｇ ＜ ｌｇｘ＜ ＜ ｏ２ ２ 成立 的 自变量 的取值范 围（ 图略） ． 就本题 而言 ， 了图像 以后 ， 画 就能得 到答 案． 如果把 但
题 目中的数字 ２换成其他数字 ， 甚至字母 ｏ ｏ＞０ ， （ ） 那么结
得 ， ｏ ， １ ０ 所 以函数 ， ） （ ， ） 有一个零 点 ， （ ）・ （ ）＜ ， （ 在 ｏ１上 即 函数 Ｙ： ｏ 和 Ｙ＝ 有 １ ｌｇ 个交点．
２ 曲线 ＝ 和 ＝ ｏ ￣ ｌｇｘ的交点 结论 ３ 当 口 ＞１时 ， 曲线 Ｙ＝口 Ｙ＝ｌ ￣ 和 ｏ ｘ的交点 情 ｇ