平面基本性质的应用 苏科版 南京名师讲堂
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高中数学苏教版必修2第1章《1.2.1 平面的基本性质》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学苏教版必修2第1章《1.2.1 平面的基本性质》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.了解平面的概念、掌握平面的画法及其表示法;
2.初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化;
3.了解公理1、公理2、公理3,并能应用性质解决一些简单的问题.
2学情分析
学生初步接触立体几何中的文字语言、图形语言和符号语言,三种语言的熟练相互转换对学生来说比较困难。
3重点难点
重点:掌握使用符号语言及三个公理的正确理解与使用.
难点:三个公理的正确理解与使用.
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】复习引入
我们知道简单几何体是由点、线、面所构成的,那么空间中的点、直线和平面又有怎样的位置关系呢?与初中平面几何学习一样,对这些位置的研究,我们也要学会严格的度量与论证。
在初中我们学过了直线,请同学们回忆一下直线有那些特性?
活动2【导入】问题情境
辽阔的草原、平静的湖面和海面(PPT展示)。
师(拿起一张A4纸):同学们想一想,如果这张A4纸没有厚薄,没有轻重无限延伸,它将变成怎样的“怪物”呢?(引出课题)平面是构成空间图形最基本的要素。
师:通过刚刚的感知并类比直线,请大家谈谈平面有什么特性?
活动3【讲授】形成概念。
(教师用书)高中数学 1.2.1 平面的基本性质同步教学课件 苏教版必修2
1．2
点、线、面之间的位置关系 1．2.1 平面的基本性质
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握平面的概念及表示． (2)掌握平面的基本性质(3 个公理及其推论)及作用． (3)初步体会图形、符号、文字语言的相互转化．
2.过程与方法 (1)建立类比的思想，联系直线的无限延伸性去理解平面 的无限延展性． (2)结合具体实例掌握平面的三大公理及其推论，建立公 理化思想，初步认识公理的作用． (3)利用联想、化归等方法，引导学生找到平面图形和立 体图形的异同，以及两者的内在联系． 3．情感、态度和价值观 (1)逐步培养学生将立体图形转化为平面图形的能力； (2)培养学生的空间想象能力．
推论1
推论2
推理3
经过两条平行直线，有 且只有一个平面
三种语言的转换
用符号语言表示下列语句，并画出图形． (1)三个平面 α、β、γ 相交于一点 P，且平面 α 与平面 β 交于 PA， 平面 α 与平面 γ 交于 PB， 平面 β 与平面 γ 交于 PC； (2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD，平面 ABC 与平面 ADC 交于 AC.
●重点难点 重点：平面的概念及其表示，平面的基本性质——三大 公理及其推论，注意它们的条件、结论、作用，图形、符号、 文字语言的相互转化． 难点：平面的基本性质—— 三大公理及其推论，图形、 符号、文字语言的相互转化． 重难点突破：以学生身边熟悉的物体(如桌面、黑版面等) 为切入点，引导学生观察、思考、举例和互相交流，归纳出 平面的概念；针对三个公理的学习，可引导学生多联系实际， 发挥空间想象能力，教师多演示，让学生在思考训练中化解 疑难点．
用文字语言和符号语言表示下图．
图 1－2－2
【解】 文字语言：平面 α 内两条直线 m 和 n 相交于点 A. 符号语言：m⊂α，n⊂α，且 m∩n＝A.
点、线、面之间的位置关系 1．2.1 平面的基本性质
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握平面的概念及表示． (2)掌握平面的基本性质(3 个公理及其推论)及作用． (3)初步体会图形、符号、文字语言的相互转化．
2.过程与方法 (1)建立类比的思想，联系直线的无限延伸性去理解平面 的无限延展性． (2)结合具体实例掌握平面的三大公理及其推论，建立公 理化思想，初步认识公理的作用． (3)利用联想、化归等方法，引导学生找到平面图形和立 体图形的异同，以及两者的内在联系． 3．情感、态度和价值观 (1)逐步培养学生将立体图形转化为平面图形的能力； (2)培养学生的空间想象能力．
推论1
推论2
推理3
经过两条平行直线，有 且只有一个平面
三种语言的转换
用符号语言表示下列语句，并画出图形． (1)三个平面 α、β、γ 相交于一点 P，且平面 α 与平面 β 交于 PA， 平面 α 与平面 γ 交于 PB， 平面 β 与平面 γ 交于 PC； (2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD，平面 ABC 与平面 ADC 交于 AC.
●重点难点 重点：平面的概念及其表示，平面的基本性质——三大 公理及其推论，注意它们的条件、结论、作用，图形、符号、 文字语言的相互转化． 难点：平面的基本性质—— 三大公理及其推论，图形、 符号、文字语言的相互转化． 重难点突破：以学生身边熟悉的物体(如桌面、黑版面等) 为切入点，引导学生观察、思考、举例和互相交流，归纳出 平面的概念；针对三个公理的学习，可引导学生多联系实际， 发挥空间想象能力，教师多演示，让学生在思考训练中化解 疑难点．
用文字语言和符号语言表示下图．
图 1－2－2
【解】 文字语言：平面 α 内两条直线 m 和 n 相交于点 A. 符号语言：m⊂α，n⊂α，且 m∩n＝A.
高中数学苏教版必修第二册第十三章《平面的基本性质》示范公开课教学课件
（1）若平面与直线有一个公共点，那么直线在平面内吗？
（2）若平面与直线有两个公共点呢？
不一定在
在
两点确定一条直线
（3）为什么两个公共点可以？
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
作用：①判定线面之间的关系； ②判断点是否在平面内等等.
下列条件能否确定一个平面？
∴点O在平面内
又点O，C，D在平面内
∴平面,相交于O，C，D所在直线（基本事实3）
故O，C，D三点共线
基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面.
推论2：两条相交直线确定一个平面.
以下图的长方体为例，你能说明下列点、直线和平面的位置关系吗？
（1）点，与直线是什么位置关系？（2）点，与平面是什么位置关系？（3）直线与直线是什么位置关系？（4）直线、直线平面是什么位置关系？
点在直线上，点不在直线上；点在平面内，点不在平面内；直线与直线相交于点；直线在平面内、直线不在平面内．
如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系？
解：（1），. (如图①)（2），，，，.(如图②)（3）.(如图③)
已知：，，，．求证：直线，，共面．
因为直线与点可以确定平面，所以只需证明，，都在平面内．
证明：因为，所以与可以确定平面（推论1）．因为，所以．又，所以（基本事实2）．同理，，所以，，在同一平面内，即它们共面．
如图，在长方体中，为棱的中点，画出由，，三点所确定的平面与长方体表面的交线．
符号表示
点在直线上
点不在直线上
点在平面内
（2）若平面与直线有两个公共点呢？
不一定在
在
两点确定一条直线
（3）为什么两个公共点可以？
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
作用：①判定线面之间的关系； ②判断点是否在平面内等等.
下列条件能否确定一个平面？
∴点O在平面内
又点O，C，D在平面内
∴平面,相交于O，C，D所在直线（基本事实3）
故O，C，D三点共线
基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面.
推论2：两条相交直线确定一个平面.
以下图的长方体为例，你能说明下列点、直线和平面的位置关系吗？
（1）点，与直线是什么位置关系？（2）点，与平面是什么位置关系？（3）直线与直线是什么位置关系？（4）直线、直线平面是什么位置关系？
点在直线上，点不在直线上；点在平面内，点不在平面内；直线与直线相交于点；直线在平面内、直线不在平面内．
如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系？
解：（1），. (如图①)（2），，，，.(如图②)（3）.(如图③)
已知：，，，．求证：直线，，共面．
因为直线与点可以确定平面，所以只需证明，，都在平面内．
证明：因为，所以与可以确定平面（推论1）．因为，所以．又，所以（基本事实2）．同理，，所以，，在同一平面内，即它们共面．
如图，在长方体中，为棱的中点，画出由，，三点所确定的平面与长方体表面的交线．
符号表示
点在直线上
点不在直线上
点在平面内
苏教版高中数学必修二课件平面的基本性质(2)
平面的概念：
平面是现实世界存在着的客观事 物形态的数学抽象。
C
α
A
D B
α
A
β
B
【例1】已知命题：
1、10个平面重叠起来，要比5个平面重 叠起来厚；
2、有一个平面的长是50m，宽是20m；
3、黑板面是平面；
4、平面是绝对的平，没有大小、没有厚 度，可以无限延展的抽象的数学概念。
其中正确的命题是
（）4
根据公理3，经过不共线三点A，B，C有一个平面α. 因为B∈α，C∈α，
所以根据公理1，，l 即平面α经过直线和点A. l 因为B，C在上 l 所以经过直线和点l A的平面一定经过点A，B，C 于是再根据公理3可知经过直线和点A的l平面只有一个。
推论1:经过一条直线和
这条直线外的一点,有且 只有一个平面.
思考：
（1）一条直线可以将平面分成两个部 分，那么一个平面可以将空间分成几个 部分呢？
（2）两个平面可以将空间分成几个部
分呢？
β
C
D
B
α
A
α
B
A
位置关系
点P在直线AB上 点C不在直线AB上 点M在平面AC内
符号表示
P∈AB
CAB
M∈平面AC
D1
A1 D
A
P
C1
B1
M
C
B
点A1不在平面AC内A1源自面ACαBC A推论2:经过两条相交直
a
线,有且只有一个平面.
α
b
推论3:经过两条平行直
A
线,有且只有一个平面. a
αb
【例3】已知：A，Bl ，C，Dl l l 求证：直线AD，BD，CD共面。
新教材苏教版必修第二册1321平面的基本性质课件5
图形语言
符号语言 若A，B，C三点不共 线，则有且只有一个 平面α，使A∈α，B∈
α，C∈α
AB∈ ∈αα⇒AB ⊂α
文字语言
基本 事实3
如果两个不重合的平面 _有__一__个__公__共__点___，那么它们 _有__且__只__有___一条过该点的 _公___共__直__线__
图形语言
符号语言
3．下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是 答案：D
()
4．如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α 经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直 线DE的位置关系是________．
解析：因为AC∩BC＝C，所以直线AC与BC确定一个平面β. 可知α∩β＝DE，因为P∈AB，所以P∈β，又P∈α，所以P∈DE，故点P与直线 DE的位置关系是P∈DE. 答案：P∈DE
法二(辅助平面法)：∵a∥b，∴a，b确定一个平面，设为α. ∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α. 又A∈l，B∈l，∴l⊂α. ∵点C∈l，∴点C∈α，∴a与点C同在平面α内． 又a∥c，∴直线a，c确定一个平面β. ∵点C∈c，c⊂β， ∴点C∈β，即a与点C同在平面β内． ∴平面α和平面β重合，则c⊂α，∴直线a，b，c和l共面．
三个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面． 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面． 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．
答案：∈ ∉ ⊄ AC
文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
13.2.1平面的基本性质苏教版高中数学必修第二册课件
小
学
结
·
探 新
1．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所
提 素
知
养
在平面是否只相交于一点？为什么？
合
作 探
[提示]
由图可知它们不是相交于一点，而是相交于一条直线．
课 时
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
32
·
情 景
图形表示如图．
业
返 首 页
·
20
·
情
课
景
堂
导 学
1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形
小 结
·
探 有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言 提
新
素
知 表示，再用符号语言表示．
养
合 作
2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈” 课
探
时
究 或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示． 分
学
结
·
探 新
N∈l，那么下列说法正确的是(
)
提 素
知
养
A．l⊂α
B．l⊄α
合
作 探
C．l∩α＝M
D．l∩α＝N
课 时
究
A
[∵M∈a，N∈b，a⊂α，b⊂α，∴M∈α，N∈α.而 M，N 确
分 层
释
作
疑 难
定直线 l，根据基本事实 2 可知 l⊂α.故选 A．]
业
返 首 页
·
13
·
情
课
景
堂
导 学
2．下列说法正确的是( )
苏教版必修第二册1321平面的基本性质课件1
证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β(即平面ABCD)，又因 为 AB∩α ＝ E ， AB⊂β ， 所 以 E∈α ， E ∈ β ， 即 E 为 平 面 α 与 β 的 一 个 公 共 点． 同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，两个平面有公共点，它们有 且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．
第13章 立体几何初步
平面的基本性质
数学
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
1．平面 (1)平面的概念 平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．平面通常用_平__行__四__边__形___来表 示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的_正__方__形___的直观图作为平 面的直观图．
(2)平面的表示法 平面通常用希腊字母α，β，γ，… 表示，也可以用平行四边形的两个相对 顶点的字母表示；如图的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平 面BD.
1．几何里的平面有什么特点？ 提示：(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能 进行度量． (2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．
2．如图所示，下列符号表示错误的是( )
√A．l∈α
C．l⊂α
B．P∈/ l D．P∈α
解析：观察题图知，P∈/ l，P∈α，l⊂α，则 l∈α 是错误的．
3．下面是一些命题的叙述语(A，B 表示点，a 表示直线，α，β 表示平面)， 其中命题和叙述方法都正确的是( ) A．因为 A∈α，B∈α，所以 AB∈α B．因为 a∈α，a∈β，所以 α∩β＝a
探究点3 三点共线、三线共点问题 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点
苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第13章 立体几何初步 13.2.1 平面的基本性质
符号
2.基本事实1的三个推论
推论 内容
经过一条直线和这条直线外 推论 1 的一点,有且只有一个平面
推论 2
经过两条相交直线,有且只有 一个平面
推论 3
经过两条平行直线,有且只有 一个平面
图形
作用
确定平面 的依据
过关自诊 1.若直线上有两个点在平面外,则( ) A.直线上至少有一个点在平面内 B.直线上有无穷多个点在平面内 C.直线上所有点都在平面外 D.直线上至多有一个点在平面内
3.下图中图形的画法正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D
4.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB
与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是
证明 方法一 ∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α. 又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平 面ABC与平面α的交线上,∴P,Q,R三点共线. 方法二 ∵AP∩AR=A, ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR. ∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC,∴Q∈平面APR.又Q∈α, ∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线.
规律方法 三种语言转换方法:用文字语言、符号语言表示一个图形时,首 先仔细观察图形有几个平面、几条直线及相互之间的位置关系,试着用文 字语言表示,再用符号语言表示.
变式训练1 用符号表示下列语句,并画出图形. (1)平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B. (2)点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.
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一条直线上。
【类题展示】
2、已知：如图，四面体
A
ABCD中，E,G分别为
H
G
B E C F D
BC,AB的中点，F在CD
上，H在AD上，且有 DF:FC=2:3,DH:HA=2:3, 求证：EF,GH,BD交于 一点。
【类题展示】
3、已知：a,b,c,d是两两相交且不共 点的四条直线，求证：a,b,c,d共面。 4、已知：直线l与n条平行直线分别相 交，求证：l与这n条直线共面。
【思路分析】
R
A
P C D Q B K
N
M
【问题解答】
证明： 连结KN，则平面RNK∩平面BCD=KN, ∵M∈PQ,而PQ 平面RNK, ∴M∈平面RNK（公理1） 同理，M∈平面BCD， ∴M∈KN.（公理2） 所以M,N,K三点共线.
【变式】
C
G F E A B
已知：如图， ABC 与 EFG 不在同一平面 内，如果三条直线 AE,BF,CG两两相交， 求证：三条直线 AE,BF,CG必过同一点。
A B C
a b c
【思路分析】
A B
a
C
b c
先确定一个平面， 再证明其余元素在此平面内
【思路分析】
A B C
a b c
A
B
C
a b c
【思路分析】
A B C
a b c
经过两条相交直线的平面 有且只有一个
【问题解答】
证明： ∵a∥b，∴a,b确定一个平面. ∵A∈a,∴A∈ .同理，B∈ . ∴AB确定的直线l . ∵b∥c，∴b,c确定一个平面. ∵B∈b,∴B∈ .同理，C∈ . ∴BC确定的直线l . ∵ 与 同时过两相交直线b,l, ∴ 与 重合.∴a,b,c,l共面.
先确定一个平面， 再证明其余元素在此平面内
【思路分析】
D A B C
先确定一个平面， 再证明其余元素在此平面内
【思路分析】
D A B C
先确定一个平面， 再证明其余元素在此平面内
【思路分析】
D
A B D A B C C
D A B C
【变式】
已知：如图，直线l与三条平行直线 a,b,c分别相交于点A、B、C， 求证：l与a,b,c共面。
A B C
a b c
【题型】 多线（点）共面的判断与证明 【方法提炼】 “落入法” -其 先确定一个平面，再证明
同一法 --
余元素在此平面内 有关点、线分别作多个平面，
再证明这些平面是同一个平面
【典型例题3】 已知：如图
D1
M
C1
N
A1
B1
D E B F
G C
H A
正方体 ABCD A1B1C1D1， 点E,F,G,H,M,N分别是 AB, BC, CC1 , AA1 , C1D1 , D1 A1 的中点，求证： (1)直线MG,DC,EF经过同 一点； (2)E,F,G,H,M,N六点共面。
【思路分析】
G
C
B F
P
E
A
【题型】 多点共线与多线共点的判断与证明 【方法提炼】 分析法与转化思想
多点共线 点在线上
多线共点
点在线上
【典型例题2】
A 已知：如图， l , B l , C l , D l ， 求证：直线AD,BD,CD共面。
D A B C
【思路分析】
D A B C
平面基本性质的应用
南京一中 叶 红
【引入】
已知 MP 4e1 2e2 ， PQ 2e1 e2 ，
求证：M、P、Q三点共线。
三点共线
------平面向量、平面几何、立体几何
【典型例题1】
A R P C D Q K
B N M
已知：如图，在四面体 ABCD中，作截面PQR， PQ、CB的延长线交于点 M，RQ、DB的延长线交 于点N，RP、DC的延长 线交于点K， 求证：M,N,K三点共线。
感谢观看！ 再 见
【思路分析】
D1
N M
C1
B1
A1
H D
G C F
P
AEBiblioteka B【思路分析】D1
N M
C1
B1
A1
H
G C F
D
A
E
B
【思路分析】
D1
N M
C1
A1
H
B1
D F
G C
P
A
E
B
【类题展示】
A
C B
1、已知： ABC 在平面
外，它的三边所
在的直线分别交平面
R
Q
P
于P,Q,R三点，
求证：P,Q,R三点在同
【类题展示】
2、已知：如图，四面体
A
ABCD中，E,G分别为
H
G
B E C F D
BC,AB的中点，F在CD
上，H在AD上，且有 DF:FC=2:3,DH:HA=2:3, 求证：EF,GH,BD交于 一点。
【类题展示】
3、已知：a,b,c,d是两两相交且不共 点的四条直线，求证：a,b,c,d共面。 4、已知：直线l与n条平行直线分别相 交，求证：l与这n条直线共面。
【思路分析】
R
A
P C D Q B K
N
M
【问题解答】
证明： 连结KN，则平面RNK∩平面BCD=KN, ∵M∈PQ,而PQ 平面RNK, ∴M∈平面RNK（公理1） 同理，M∈平面BCD， ∴M∈KN.（公理2） 所以M,N,K三点共线.
【变式】
C
G F E A B
已知：如图， ABC 与 EFG 不在同一平面 内，如果三条直线 AE,BF,CG两两相交， 求证：三条直线 AE,BF,CG必过同一点。
A B C
a b c
【思路分析】
A B
a
C
b c
先确定一个平面， 再证明其余元素在此平面内
【思路分析】
A B C
a b c
A
B
C
a b c
【思路分析】
A B C
a b c
经过两条相交直线的平面 有且只有一个
【问题解答】
证明： ∵a∥b，∴a,b确定一个平面. ∵A∈a,∴A∈ .同理，B∈ . ∴AB确定的直线l . ∵b∥c，∴b,c确定一个平面. ∵B∈b,∴B∈ .同理，C∈ . ∴BC确定的直线l . ∵ 与 同时过两相交直线b,l, ∴ 与 重合.∴a,b,c,l共面.
先确定一个平面， 再证明其余元素在此平面内
【思路分析】
D A B C
先确定一个平面， 再证明其余元素在此平面内
【思路分析】
D A B C
先确定一个平面， 再证明其余元素在此平面内
【思路分析】
D
A B D A B C C
D A B C
【变式】
已知：如图，直线l与三条平行直线 a,b,c分别相交于点A、B、C， 求证：l与a,b,c共面。
A B C
a b c
【题型】 多线（点）共面的判断与证明 【方法提炼】 “落入法” -其 先确定一个平面，再证明
同一法 --
余元素在此平面内 有关点、线分别作多个平面，
再证明这些平面是同一个平面
【典型例题3】 已知：如图
D1
M
C1
N
A1
B1
D E B F
G C
H A
正方体 ABCD A1B1C1D1， 点E,F,G,H,M,N分别是 AB, BC, CC1 , AA1 , C1D1 , D1 A1 的中点，求证： (1)直线MG,DC,EF经过同 一点； (2)E,F,G,H,M,N六点共面。
【思路分析】
G
C
B F
P
E
A
【题型】 多点共线与多线共点的判断与证明 【方法提炼】 分析法与转化思想
多点共线 点在线上
多线共点
点在线上
【典型例题2】
A 已知：如图， l , B l , C l , D l ， 求证：直线AD,BD,CD共面。
D A B C
【思路分析】
D A B C
平面基本性质的应用
南京一中 叶 红
【引入】
已知 MP 4e1 2e2 ， PQ 2e1 e2 ，
求证：M、P、Q三点共线。
三点共线
------平面向量、平面几何、立体几何
【典型例题1】
A R P C D Q K
B N M
已知：如图，在四面体 ABCD中，作截面PQR， PQ、CB的延长线交于点 M，RQ、DB的延长线交 于点N，RP、DC的延长 线交于点K， 求证：M,N,K三点共线。
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【思路分析】
D1
N M
C1
B1
A1
H D
G C F
P
AEBiblioteka B【思路分析】D1
N M
C1
B1
A1
H
G C F
D
A
E
B
【思路分析】
D1
N M
C1
A1
H
B1
D F
G C
P
A
E
B
【类题展示】
A
C B
1、已知： ABC 在平面
外，它的三边所
在的直线分别交平面
R
Q
P
于P,Q,R三点，
求证：P,Q,R三点在同