证明(三)-平行四边形复习讲义

北师大版数学九年级上第三章、证明（三）-平行四边形、梯形复习讲义
一、要点概况
1、平行四边形的定义：两组对边分别的四边形叫做平行四边形。

平行四边形是对称图形，其对称中心是。

2、平行四边形的特征（性质定理及推论）
（1）性质1：平行四边形的对边平行且相等。

（2）性质2：平行四边形的邻角互补，对角相等。

（3）性质3：平行四边形的对角线互相平分。

（4）推论1：中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

（5）推论2：若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积。

（6）推论3：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的识别（判定定理及推论）
（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）判定1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（3）判定2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（4）判定3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（5）判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、梯形的定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形。

5、等腰梯形的性质定理：
（1）从角看：等腰梯形同一底上的两个内角相等；
（2）从边看：等腰梯形两腰相等；
（3）从对角线看：等腰梯形两条对角线相等．
6、等腰梯形的判定定理：
（1）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

（2）对角线相等的梯形是等腰梯形。

（3）两条腰相等的梯形是等腰梯形．
6、等腰梯形的推论：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。

7、梯形的中位线：
（1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h
8、梯形常见辅助线的作法：
作法图形
延长两腰，转化为三角形
A
B
C
D E
平移一腰，转化为三角形、平行四边形
A
B
C
D E
作高，转化为两直角三角形和一矩形(
A
B
C
D
E
F
平移一对角线，转化为三角形、平行四边形
A
B
C
D
E
倍长中线，构造全等三角形1
A
B
C
D E
F
倍长中线，构造全等三角形2
梯形内平移两腰,转化为两个平行四边形和一三角形
作中位线（两腰的中点的连线）
二、典例精讲及变式训练
（一）平行四边形中命题的判断
例1：下列说法中，错误的是（ ）
A 、 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B 、 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
C 、 四个角都相等的四边形是矩形
D 、邻边相等的矩形是正方形
变式训练1：如图，在平行四边形 ABCD 中(AB≠BC )，直线EF 经过其对角线的交点O ,且分别交AD 、BC 于点M 、 N ，交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，下列结论： ①AO=BO ；②OE=OF ； ③△EAM ∽△EBN ； ④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是
A. ①②
B. ②③
C. ②④
D.③④
（二）平行四边形性质的运用与考查
例2：如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 边上的中点．若∠ABE=∠EBC ，AB=2， 则平行四边形ABCD 的周长是 。

变式训练2-1：如图，在平行四边形ABCD 中，已知AD=5cm ，AB=3cm ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，则EC 是多少长？
变式训练2-2：在□ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点F ，则AF ：CF ＝（ ）
A ．1：2
B ．1：3
C ．2：3
D ．2：5
（三）平行四边形判定定理的运用与考查
例3-1：四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB=CD ，AD=BC ；③AO=CO ，BO=DO ；④AB ∥CD ，AD=BC ．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有
9题图
A
B
C
D
E F
M
N
O
A．1组B．2组C．3组D．4组
变式训练3-1：已知四边形ABCD，从下列条件中：（1）AB∥CD，（2）AD∥BC，（3）AB=CD，（4）AD=BC，（5）∩A=∩C，（6）∩B=∩D，任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形：这一结论的情况有（）A、4种B、9种C、13种D、15种
例3-2：如图，BD是 ABCD的对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，求证：四边形AECF为平行四边形.
30，变式训练3-2：如图，分别以RtΔABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ΔACD、等边ΔABE，已知∠BAC=0 EF⊥AB，垂足为F，连结DF。

（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形。

（四）平行四边形判定定理、性质定理及推论的综合运用与考查
例4-1：如图，E、F为平行四边形ABCD一组对边AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，BF与CE相交于点H。

求证：四边形GEHF为平行四边形。

变式训练4-1：已知△DAB，△EAC, △FBC都是等边三角形，求证：四边形ADFE为平行四边形。

例4-2：如图，已知平行四边形ABCD，AD=a，BE∥AC，DE交AC的延长线于点F，交BE于E点。

（1）求证：DF=FE；
（2）AC=2CF，∩ADE=60°，AC⊥DC，求BE的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积。

变式训练4-2：如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，过点P作直线，交AD于点E，交BC 于点F。

若PE=PF，且AP+AE=CP+CF。

证明：四边形ABCD为平行四边形。

(五)梯形中常见辅助线的作法
例5：延长两腰,将梯形转化成三角形
如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，BC ＝9，∠B ＝80°，∠C ＝50°.求AB 的长.
变式训练5-1：如图所示，四边形ABCD 中，AD 不平行于BC ，AC ＝BD ，AD ＝BC. 判断四边形ABCD 的形状，并证明你的结论.
A B
C
D
例5-2：平移一腰,梯形转化成:平行四边形和三角形
A 、把上下底之差、两腰转化到同一个三角形中。

可利用三角形知识解决问题
例2 如图，梯形ADCB 中，AD ∥BC ，BC ＝8cm ，AB ＝7cm ，AD ＝6cm ，求DC 的取值范围
.
变式训练5-2：如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ∥DC ，AD ＝15，AB ＝16，BC ＝17. 求CD 的长. A B
C
D
例5-3：平移两腰腰,梯形转化成:平行四边形和三角形
B、平移两腰，将两腰转化到同一个三角形中
在梯形ABCD中，AD∥BC，AD<BC，E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC，梯形ABCD是等腰梯形吗？为什么？
变式训练5-3：在梯形ABCD中,AD∥BC,AD﹤BC,E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC，试说明∠B=∠C。

例5-4：作梯形的高,梯形转化成矩形与直角三角形
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=5，BC=11；求梯形ABCD的面积。

变式训练5-4：已知：梯形ABCD中，∠ABC=90°，∠C=45°，BE⊥CD，AD=1，CD=22求：BE
例5-5：利用中点，割补三角形
如图梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中点，DE⊥CE，试说明CD＝BC＋AD。

变式训练5-5：如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，EF⊥AB于点F。

求证：S梯形ABCD=AB×EF。

例5-6：案例说明：平移对角线,将梯形转化成：平行四边形、三角形.
A、把上下底之和，两对角线转移到同一个三角形BDE中
B、△ABD与△CDE面积相等S梯形ABCD＝S△BDE
C、BD⊥AC推出BD⊥DE得到直角三角形BDE
如图所示，在梯形ABCD中，上底AD＝1cm，对角线BD⊥AC，且BD＝3cm，AC＝4cm. 求下底BC以及梯形的高。

（六）等腰梯形的性质与判定的综合运用
例6：在梯形ABCD中，AD//BC, E为BC中点，EF⊥A B，EG⊥CD，EF=EG。

求证：梯形ABCD为等腰梯形。

变式训练6-1：在梯形ABCD中，AD//BC，∠ACB=∠DBC。

求证：梯形ABCD是等腰梯形。

变式训练6-2：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E、F、G分别是BC、AB、AC的中点。

求证：四边形DEFG为等腰梯形。

（七）梯形中位线的运用与考查
例7：（2010中考复习）顺次连接等腰梯形两底的中点及两对角线的中点，所组成的四边形是（）
A.棱形
B.平行四边形
C.矩形
D.等腰梯形
变式训练7：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC、∠BCD的平分线正好相交于梯形的中位线EF上的点G。

（1）试说明：△BEG是等腰三角形；
（2）若EF=2，求梯形的周长。

三、课堂练习
1、。