高三数学一轮学案模块2三角函数与数列第14讲向量的加减法运算及几何意义新人教A版
最新高中数学第二章《向量的加法运算及其几何意义》教案新人教A版必修名师优秀教案
高中数学第二章《向量的加法运算及其几何意义》教案新人教A版必修第2课时?2.2.1 向量的加法运算及其几何意义教学目标:1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义;2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力;3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法;教学重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点:理解向量加法的定义.学法:数能进行运算，向量是否也能进行运算呢,数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.教具:多媒体或实物投影仪，尺规授课类型:新授课教学思路:一、设置情景:1、复习:向量的定义以及有关概念强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置2、情景设置:A B C (1)某人从A到B，再从B按原方向到C，AB，BC,AC 则两次的位移和:)若上题改为从A到B，再从B按反方向到C， (2C A BAB，BC,AC 则两次的位移和:C (3)某车从A到B，再从B改变方向到C，AB，BC,AC 则两次的位移和: A BCBCAB，BC,AC(4)船速为AB，水速为，则两速度和: 二、探索研究:A B 1,、向量的加法:求两个向量和的运算，叫做向量的加法.,、三角形法则(“首尾相接，首尾连”)，作,a，,,，则向量叫做如图，已知向量a、,.在平面内任取一点ABCACAB a与,的和，记作a，,，即 a，,，规定: a + 0-= 0 + a ,AB，BC,ACaa a Cb ba+b ,a+b , A ，, a , B探究:(1)两相向量的和仍是一个向量;(2)当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||; ababababA a (3)当与同向时，则+、、同向，abababOb b b 且|+|=||+||，当与反向时，若abababaa B ||>||，则+的方向与相同，且ababa|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.(4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加abab,(例一、已知向量、，求作向量+OA,aAB,bOB,a，b 作法:在平面内取一点，作，则. ,(加法的交换律和平行四边形法则baab问题:上题中+的结果与+是否相同, 验证结果相同从而得到:,)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)aa abba ,)向量加法的交换律:+=+2,(向量加法的结合律:(+) +=+ (+) abcabc证:如图:使，， AB,aBC,bCD,c则(+) +=，+ (+) = abcAC，CD,ADabcAB，BD,AD?(+) +=+ (+) ccabab从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例:例二(P94—95)略练习:P95四、小结1、向量加法的几何意义;,、交换律和结合律;,、注意:|+| ? || + ||，当且仅当方向相同时取等号. abab五、课后作业:P103第,、,题六、板书设计(略)七、备用习题23km/h1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速4km/h度的大小为，求水流的速度.43km23km/h2、一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.3、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船vv124km/h60:的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和. vv124、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h,、已知两个力F，F的夹角是直角，且已知它们的合力F与F的夹角是60，|F|=10N:121求F和F的大小. 12,、用向量加法证明:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形3456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839。
三角函数和解三角形 学案-高三上学期数学一轮复习(新高考)
班级小组姓名________ 使用时间______年______月______日编号一、考点突破考点1：利用正、余弦定理解三角形 例1．在①B=,②a=2,③bcosA+acosB=+1这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决相应问题.已知在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ,若4S=b 2+c 2-a 2,b=,且 ,求△ABC 的面积S 的大小考点2：三角函数,三角变换与解三角形的综合 例2．已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )cos(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ， 求△ABC 的面积．例3．(2020天津,16)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知a=2,b=5,c=.(1)求角C 的大小; (2)求sin A 的值; (3)求sin 的值.考点3、正、余弦定理在平面几何中的应用例4．如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长．考点4：三角形面积、周长的最值或范围问题例5． △ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c .已知a ＝bcosC ＋csinB ，且b ＝2，则△ABC 面积的最大值是________．例6：(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，且 (1)求A ； (2)若a=2，求△ABC 周长的取值范围．变式：若把例5添上条件：在“锐角三角形”中，其它条件不变，求△ABC 周长的取值范围。
《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版
《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版第一章：向量概念的复习1.1 向量的定义1.2 向量的基本性质1.3 向量的表示方法1.4 向量的模长与方向第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义2.2 向量加法的基本性质2.3 向量加法的几何意义2.4 向量加法的运算规则第三章：向量的减法运算3.1 向量减法的定义3.2 向量减法与向量加法的关系3.3 向量减法的几何意义3.4 向量减法的运算规则第四章：向量的数乘运算4.1 向量数乘的定义4.2 向量数乘的基本性质4.3 向量数乘的几何意义4.4 向量数乘的运算规则第五章：向量加法运算的坐标表示5.1 坐标系的建立5.2 向量坐标的定义5.3 向量加法运算的坐标表示方法5.4 向量加法运算的坐标运算规则第六章：向量加法运算的图形验证6.1 向量加法图形的表示方法6.2 向量加法的平行四边形法则6.3 向量加法的三角形法则6.4 向量加法的图形验证练习第七章：向量的减法与数乘的图形意义7.1 向量减法的图形意义7.2 向量减法的三角形法则7.3 向量数乘的图形意义7.4 向量数乘的三角形法则第八章：向量加减法的综合应用8.1 向量加减法的混合运算8.2 向量加减法的坐标应用8.3 向量加减法的几何解释8.4 向量加减法的综合练习第九章：向量数乘的应用9.1 向量数乘与向量长度的关系9.2 向量数乘与向量方向的关系9.3 向量数乘的几何应用9.4 向量数乘的实际问题应用第十章：总结与提高10.1 向量加法、减法、数乘的总结10.2 向量运算在几何中的应用10.3 向量运算在坐标系中的应用10.4 向量运算的综合练习与提高重点和难点解析一、向量概念的复习补充说明：向量是具有大小和方向的量，可用箭头表示。
向量具有平行四边形法则、三角形法则等基本性质。
向量可用字母和箭头表示，例如→a、→b。
向量的模长表示向量的大小，方向表示向量的指向。
二、向量的加法运算补充说明：向量加法是将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。
《向量的加法与减法》课件
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向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在平面或空间中的相对 位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义在于表示两个向量在平面或空间中的相 对位置关系。通过向量加法，我们可以理解一个向量是如何 由另一个向量产生的，以及它们之间的角度和长度关系。
向量加法的性质
总结词
向量加法满足交换律和结合律，不满足消去律。
向量减法的性质
总结词
向量减法的性质
详细描述
向量减法具有一些重要的性质，包括交换律、结合律和反身性。交换律指的是向量减法 的结果不依赖于减数向量的顺序，结合律指的是向量的加减运算满足结合律，反身性指
的是任意向量减去其自身等于零向量。
03 向量的加法与减 法的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法和减法常用于表 示力的合成与分解。通过向量加法， 可以将多个力合成一个力；通过向量 减法，可以将一个力分解成多个分力 。
速度和加速度的计算
在运动学中，向量的加法和减法用于 计算速度和加速度。例如，在平抛运 动中，水平和垂直方向的速度可以通 过向量加法和减法计算出物体的最终 速度和加速度。
在数学中的应用
向量模的计算
向量的加法和减法可以用于计算向量的 模。通过向量加法，可以计算两个向量 的和的模；通过向量减法，可以计算两 个向量的差的模。
详细描述
向量加法满足交换律，即向量a加向量b等于向量b加向量a。同时，向量加法也 满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。但是，向量加法不满足消去律，即 a+b=b+a并不意味着a=b。这是因为向量的加法不具有唯一性，与实数加法不 同。
[新版]人教版高中数学必修四《向量加法运算及其几何意义》教案_[精]
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教师：这是我们祖国地图，重庆位于中国内陆西南部，是座美丽的山城．我的一个好朋友的家在冰雪之城黑龙江，他邀请我去参观他们那边的冰雪节.于是乎，我查了乘车的路线:一条是：乘火车先从重庆到北京，然后再转车到黑龙江；另一条是:乘飞机直飞黑龙江．
问题1：从路程来看，一样吗?
学生：答案是不一样的
【设计意图】通过对引例中的位移三角形的观察，让学生明白为了画出和位移，重点是要抓住两个分位移的位置，向量也是如此．
●活动③学生探究归纳，并进行提炼向量加法的概念
问题4：对于给定的两个向量，向量a和向量b，如何求解它们的和呢?(小组探究，学生代表回答)
生：将向量b的起点平移到向量a的终点，连接起点和终点，方向指向终点．
●活动②学生探究归纳总结位移加法的本质
问题3：为了进一步得到位移的和，两次分位移的位置应满足什么位置关系?在这种位置关系下，如何作出和位移?
学生讨论，自主探究，得出以下结论：两次分位移首尾相连，和位移是由起点指向终点．
教师：位移是个物理量，如果抛开它的物理属性，它就是我们今天研究的向量．那么，我们受到位移求和的启发，能否类比此法找到求解向量之和的方法呢?
第二个学生活动——学生表述，老师辅助完成.师：同学很善于出难题!老师发现有同学是这么画的两个向量(同向共线)，我们能帮助他完成吗?
1．理解向量加法的定义．
2．恰当使用向量加法的三角形法则和平行四边形法则．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
读一读：阅读教材第80页至第84页，填空：
①向量加法的定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法．
②三角形法则：已知向量a，b，在平面上任取一点A，作 ＝a， ＝b，再作向量 ，则向量 叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝ ＋ ＝ .如图1，上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.
向量减法运算及其几何意义 课件
探究点一 向量的减法
思考1 a的相反向量是什么？－a的相反向量是什么？零向量的相 反向量是什么？ 答 与向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量， 记作－a，并且有a＋(－a)＝0， －a的相反向量是a即－(－a)＝a. 规定：零向量的相反向量仍是零向量.
思考2 我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数 的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减 法呢？ 答 向量的减法也有类似法则，定义a－b＝a＋(－b)，即减去一 个向量相当于加上这个向量的相反向量. 思考3 向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差向量，求两 个向量的差的运算叫做向量的减法，对于向量a，b, c，若a＋c＝b， 则c等于什么？ 答 a＋c＝b⇔c＝b－a.
则B→A＝a－b，D→C＝c－d.
反思与感悟 根据向量减法的三角形法则，需要选点平 移作出两个同起点的向量.
例2 化简下列式子：
(1)N→Q－P→Q－N→M－M→P；
→ → →→→→→ 解 (1)原式＝NP＋MN－MP＝NP＋PN＝NP－NP＝0.
(2)(A→B－C→D)－(A→C－B→D).
解 原式＝A→B－C→D－A→C＋B→D
O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b；
②当a与b同向且|a|≤|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b： O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b；
③若a与b反向，在给定的直线l上作出差向量a－b：
→
→
→
OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b.
思考2 通过作图，探究|a－b|与|a|、|b|之间的大小关系？ 答 当a与b不共线时，有：||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|； 当a与b同向且|a|≥|b|时，有：|a－b|＝|a|－|b|； 当a与b同向且|a|≤|b|时，有：|a－b|＝|b|－|a|.
向量的减法运算及其几何意义
向量的减法运算及其几何意义教学目标：1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向的确定.学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：例：在四边形中， .解：二、提出课题：向量的减法1. 用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作-a（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0如果a、b互为相反向量，则a = -b， b = -a， a + b = 0（3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b 的差.即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a - b3求作差向量：已知向量a、b，求作向量∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点o，作 = a， = b则 = a - b即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.注意：1︒表示a - b.强调：差向量“箭头”指向被减数2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.2. 探究：1）如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b - a.2）若a∥b，如何作出a - b ？三、例题：例一、（p97 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d.。
向量的加法运算及其几何意义导学案
向量的加法运算及其几何意义导学案一、概念向量是由大小和方向同时确定的量，可以用有向线段来表示，通常用字母加箭头的形式表示，如→AB表示由点A指向点B的向量。
二、向量加法的运算规律1.交换律：A+B=B+A2.结合律：(A+B)+C=A+(B+C)3.零向量：对于任意向量A，A+0=A，其中0表示长度为0的向量，也称为零向量，记作0向量。
4.负向量：对于任意向量A，存在一个唯一的向量B，使得A+B=0，称向量B为A的负向量，记作-B。
三、向量加法的几何意义向量加法的几何意义可以通过平行四边形法则进行解释。
平行四边形法则：将两个向量的起点放在同一点，然后将这两个向量的终点相连，得到的线段所构成的平行四边形的对角线，即为两个向量的和向量。
具体操作步骤如下：1.将第一个向量的起点放在坐标原点O处，终点放在点A处；2.将第二个向量的起点也放在坐标原点O处，终点放在点B处；3.用直线段连接点A和B，得到一个平行四边形，记作OACB；4.连接O和C，并延长OAC和OCB，使其交于D点；5.OD就是所求的和向量，记作C=A+B。
四、示例以二维向量为例，假设有向量A(3,2)和向量B(1,-4)，求和向量C=A+B。
1.将向量A的起点放在原点O，在坐标系上表示出向量A；2.将向量B的起点也放在原点O，在坐标系上表示出向量B；3.用直线段连接两个向量的终点，得到平行四边形OACB；4.连接O和C并延长OC，交于点D；5.OD就是所求的和向量C。
根据平行四边形法则，连线OC就是向量A和向量B的和向量C。
对于上述例子，可以得到C=(4,-2)。
五、向量加法的向量表示向量的坐标表示法，可以将向量拆分成水平方向上的分量和垂直方向上的分量。
向量A的水平分量记作Ax，垂直分量记作Ay；向量B的水平分量记作Bx，垂直分量记作By；向量C=A+B的水平分量记作Cx，垂直分量记作Cy。
根据向量相加的运算规律，可以得到：Cx=Ax+Bx，Cy=Ay+By。
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第十四讲 向量的加减法运算及几何意义
一、知识梳理
1、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶
三
角
形
不等
式
：
a b a b a b
-≤+≤
+．
⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：
()(
)a b
c
a b c
++
=+
+；③00a a
a +=+=．
⑸坐标运算：
设
()11,a x y =
，
()22,b x y
=
，则
(
)
1
2
1
2
,a b x x y y
+=++．
2、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设
()11,a x y =
，()22,b
x y =
，则()
1212,a
b x x y y -=
-
-． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()2
2,x y ，则()
1212,x x y y
A B
=
--．
二、同步练习 1．化简P M
P N M N
-+所得的结果是
（ ）
A
．M P B ．N P C
．0
D ．M N 2．设O A =
a ，O B
=
b 且|a|=| b|=6，∠AOB=120︒，则|a －b|等于 （ ）
A ．36
B ．12
C ．6
D ．3
6
3．a ，b 为非零向量，且|a+ b|=| a|+| b|，则 （ ） A ．a 与b 方向相同 B ．a = b C ．a =－b D ．a 与b 方向相反 4．在平行四边形ABCD 中，若||||
B C
B A B
C A B +=+，则必有 （ ）
A ．ABCD 为菱形
B ．ABCD 为矩形
C ．ABCD
为正方形
D ．以上皆错
5．已知正方形ABCD 边长为1，A B =a ，B C =b ，A C =c ，则|a+b+c|等于 （ ） A ．0 B ．3 C ．2
2 D ．
2
6．设()()AB
C D BC D A +++=
a
，而b 是一非零向量，则下列个结论：(1) a 与b 共线；（2）a
b
a
C
B
A
a b C C -=A -A B =B
+ b = a ；(3) a + b = b ；(4)| a + b|<|a |+|b|中正确的是 （ ） A ．(1) (2) B ．(3) (4) C ．(2) (4) D ．(1) (3) 7
．在平行四边形ABCD 中，A B
=
a ，A D
=
b ，则C A
=
__________，B D
=
_______．
8．在a =“向北走20km”，b =“向西走20km”，则a + b 表示______________． 9．若|
|A B =
8，|
|A C =
5，则||B C 的取值范围为_____________．
10．一艘船从A 点出发以3
2km/h 的速度向垂直于河岸的方向行驶，而船实际行驶速度的
大小为4km/h ，则河水的流速的大小为___________．
11．如图，O 是平行四边形ABCD 外一点，用
O A O B O
C 、
、表示O D ．
12．如图，在任意四边形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，求证：
A B D C E
F E F
+=+．
13．飞机从甲地按南偏东100方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按北偏西700方向飞行2000km 到达丙地，那么丙地在甲地的什么方向？丙地距离甲地多远？
14．点D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 上的中点， 求证：（1）A B B E A C C E
+=
+；
（2）E A F B D C ++
=
0．
A。