第10课时 15.3分式方程(2)
人教版八年级数学上册课件：15.3 分式方程(第二课时)
3．(2019新疆)两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙 地，甲乙两地相距7500米，第一组的步行速度是第二 组的1．2倍，并且比第二组早15分钟到达乙地．设第 二组的步行速度为x千米/小时，根据题意可列方程是 (D)
4．某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A
商家每张餐桌的售价比B商家的优惠13元．若该校花 费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1．8 万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐
(1)这两次各购进这种衬衫多少件？
(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬 衫售完后的总利润不低于1950元，则第二批衬衫每件 至少要售多少元？ (2)设第二批衬衫每件售价y元．根据题意，得 30×(200-150)+15(y-140)≥1950， 解得y≥170． 答：第二批衬衫每件至少要售170元．
桌的售价为( A )
A．117元
B．118元
C．119元
D．120元
5．某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿 化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小 时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每 小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积为x平方
米，请列出满足题意的方程是
．
6．某校学生捐款支援地震灾区，第一次捐款总额为 6600元，第二次捐款的总额为7260元，第二次捐款的 总人数比第一次多30人，而且两次人均捐款额恰好相 等，则第一次捐款的总人数为 300 人．
15.3分式方程的应用
例3：两个工程队共同参与一项筑路工程， 甲队单独施工1个月完成总工程的三分之 一，这时增加了乙队，两队又共同工作了
半个月，总工程全部完成。哪个队的施工 速度快？
分析：甲队1个月完成总工程的 独施工1个月能完成总工程的 1
1 ，设乙队单
3
，那么甲队半
个月完成总工程的 1 ，乙队x半个月完成总工
所以
列分式方程解应用题的 一般步骤
1.审:分析题意,找出研究对象，建立等量关系. 2.设:选择恰当的未知数,注意单位. 3.列:根据等量关系正确列出方程. 4.解:认真仔细. 5.验:有三次检验. 6.答:不要忘记写.
练习1.某单位将沿街的一部分房屋出租,每间房 屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋 的租金第一年为9.6万元,第二年为10.2万元.
（1）.分别求两年每间出租房屋的租金?
（2）.求出租房屋的总间数?
练习2.某市从今年1月1日起调整居民 用水价格,每吨水费上涨三分之一,小 丽家去年12月的水费是15元,今年2 月的水费是30元.已知今年2月的用 水量比去年12月的用水量多5吨,求 该市今年居民用水的价格?
补充练习
1、一项工程，需要在规定日期内完 成，如果甲队独做，恰好如期完成， 如果乙队独做，就要超过规定3天， 现在由甲、乙两队合作2天，剩下 的由乙队独做，也刚好在规定日期 内完成，问规定日期是几天？
要保持什么速度才能使全程的平
均速度是30千米/时?
5、甲、乙两列车分别从相距300 千米的A、B两站同时相向而行。 相遇后，甲车再经过2小时到达B 站，乙车再经过4小时30分到达A 站，求甲、乙两车的速度。
• 小结： • 本节课你有何收获？还有何困惑？
2、把多边形的边数增加1 倍得到一个 新多边形，原多边形内角和是新多 边形内角和的0.4。
八年级上册数学15.3第2课时列分式方程解决实际问题
课堂练习
7．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以 体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球 ，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价 格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买 足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍． （1）足球和篮球的单价各是多少元？
.
甲队 乙队
工作时间（月） 工作效率
1 1
1
2
3
1
1
2
x
工作总量（1）
(1 1 ) 1 23
11 2x
探索新知
知识点 列分式方程解决实际问题
等量关系： 甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”
(1 1 ) 1
11
23
2x
列得分式方程：1 1 1 1 1 1.
2 3 2 x
探索新知
解得 x sv
.
50
检验：由v，s都是正数，得 x sv
时，x(x+v)≠0.
50
所以，原分式方程的解为 x sv
.
50
答：提速前列车的平均速度为 sv
50
km/h.
探索新知
知识点 列分式方程解决实际问题
列分式方程解决实际问题的一般步骤 1.审：审清题意，分清题中的已知量、未知量； 2.找：找出题中的相等关系， 3.设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性； 4.列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程； 5.解：解所列分式方程；
．
﹣
＝30
课堂练习
6．某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元 在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每 件多少元？
15.3_分式方程(2)
,设乙队如果
1 x
单独施工1个月完成总工程的
,那么甲队
1 6 半个月完成总工程的_____,乙队半个月完
1 2x 成总工程的_____,两队半个月完成总工程
1 1 ( ) 6 2x 的_______
.
解: 设乙队如果单独施工1个月完成总工程 的 1 .依题意得
x
1 1 1 1, 3 6 2x
分析：这里的v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速
度为x km/h，先考虑下面的填空：
s h，提速后列车的 x 平均速度为 (x+v) km/h，提速后列车运行 (s+50) km
提速前列车行驶s km所用的时间为
所用时间为 方程:
s+50 x+v
h. 根据行驶时间的等量关系可以列出
s s+50 x = x+v
完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 1.5倍.
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件
新产品？
【解析】设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工
1 200 1 200 =10 ， 1.5x件产品，依题意得 x 1.5x
解得：x=40.
经检验x=40是原方程的解，所以1.5x=60.
答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品.
5.（潼南·中考)某镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合
作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多
用30天完成此项工程. (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)若甲工程队独做a天后,再由甲、乙两工程队合作____ 天(用含a的代数式表示)可完成此项工程;
人教版 15.3.3分式方程(2)
s s 50 x xv
sv 解得： x 50
练习
动笔动脑,熟能生巧
1、某工人师傅先后两次加工零件各 1500个，当第二次加工时，他革新
了工具，改进了操作方法，结果比
第一次少用了18个小时.已知他第二
次加工效率是第一次的2.5倍，求他
Dfedu_5_WAX starwanga例示范
例2 某次列车平均提速v千米/ 小时，用相同的时间，列车提速 前行驶s千米，提速后比提速前 多行驶50千米，提速前列车的平 均速度为多少？
Dfedu_5_WAX
starwanganxing@
例题
Dfedu_5_WAX starwanganxing@
例题
师生互动,典例示范
解：设提速前列车的平均速度为x km/h,由题得:
方程两边同乘x(x+v),得 s( x v) x( s 50)
sv 检验：由v，s都是正数，当 x 时，x(x+v) ≠0 50 sv 所以原分式方程的解为 x 50 sv 答：提速前列车的平均速度为 千米/时 50
小结
梳理总结,形成体系
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,理清数量关系、找出等量关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据数量关系、等量关系, 列出方程.
4.解:解分式方程.
5.检:检验.（是否是分式方程的根， 是否符合题意） 6.答:注意单位和语言完整.
Dfedu_5_WAX starwanganxing@
第二次加工时每小时加工多少零件?
Dfedu_5_WAX starwanganxing@
15.3.2分式方程2
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是2x千米/时， 依题意得： 10 1 10 得到结果记 住要检验。 x 3 2x 解得：x=15 经检验，x=15是原方程的根，并符合题意 由x＝15得6x≠0
答：自行车的速度是15千米/时
甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做 90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙 每小时各做多少个零件？ 等量关系：甲用时间=乙用时间 解：设甲每小时做x个零件， 请审题分析题意 则乙每小时做（ x －6）个零件。依题意得 ：
分析: 甲队1个月完成总工程的
1 3
,设乙队如果
1 x
单独施工1个月完成总工程的
,那么甲队
1 6 ,乙队半个月完 半个月完成总工程的_____
1 2x ,两队半个月完成总工程 成总工程的_____
1 1 ( ) 6 2x 的_______
.
1 解: 设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 x .依
题意得
1 1 1 1 3 6 2x
方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x，
解得 x=1. 检验:x=1时6x≠0,x=1是原分式方程的解
答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务, 而甲队1个月完成总工程的 1 ,可知乙队施工速度快.
3
例2 某列车平均提速v km/h，用相同的时间，列 车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？
分析：这里的v，s表示已知数据，设提速前列 车的平均速度为x km/h，先考虑下面的填空：
s h，提速后列车的 x 平均速度为 (x+v) km/h，提速后列车运行 (s+50) km
人教版初二数学上册15.3分式方程(20210204030855)
15. 3分式方程一、教学目标：1. 了解分式方程的概念，和产生增根的原因.2. 掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根•二、重点、难点1. 重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根•2. 难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根•三、例、习题的意图分析1. P149思考提出问题，弓I发学生的思考，从而引出解分式方程的解法以及产生增根的原因•2. P149的归纳明确地总结了解分式方程的基本思路和做法.3. P150思考提出问题，为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解，引出分析产生增根的原因，及P151的归纳出检验增根的方法.4. P151归纳提出检验增的方法的理论根据是什么？5. 教材P154习题第2题是含有字母系数的分式方程，对于学有余力的学生，教师可以点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相似，只是在系数化1时，要考虑字母系数不为0,才能除以这个系数•这种方程的解必须验根•四、课堂引入x + 2 2x —31 .回忆一元一次方程的解法，并且解方程乞二一.丝工二14 62.提出本章引言的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v km/h，根据两次航行所用时间相同”这一等量关系，90 _ 60 得到方程30 v 30 -v32像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程 五、例题讲解(P151 )例1•解方程［分析］找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化为整式方程，整式方程的解必须验根这道题还有解法二：利用比例的性质 内项积等于外项积”，这样做也比较简便•(P151 )例2•解方程［分析］找对最简公分母(x-1)(x+2),方程两边同乘(x-1)(x+2)时,学生容易把整 数1漏乘最简公分母(x-1)(x+2)，整式方程的解必须验根.六、随堂练习解方程七、课后练习1 •解方程2x 十 9 1 22. X 为何值时，代数式 丝仝—丄—2的值等于2? x +3 x -3 x八、答案：4六、 (1) x=18(2)原方程无解 (3) x=1 (4) x=- 5 七、 1. (1) x=3 (2) x=3 (3)原方程无解 (4) x=12. x=课后反思: 15. 3分式方程(二)(1) 2 x -6 (3)x 1 4 x -1 x 2 -1 (4) 2x x 2x -1 x —2 (3) 2x 2 x =0 -1(2)(4) 6 3x — 8 4x -7 8 — 3x 1 _ 5 _ 3 x 1 2x 2 46 =2一、教学目标：1．会分析题意找出等量关系.2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.二、重点、难点1．重点：利用分式方程组解决实际问题.2．难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.三、例、习题的意图分析本节的例3 不同于旧教材的应用题有两点：（1）是一道工程问题应用题，它的问题是甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快？这与过去直接问甲队单独干多少天完成或乙队单独干多少天完成有所不同，需要学生根据题意，寻找未知数，然后根据题意找出问题中的等量关系列方程.求得方程的解除了要检验外，还要比较甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快，才能完成解题的全过程（2）教材的分析是填空的形式，为学生分析题意、设未知数搭好了平台，有助于学生找出题目中等量关系，列出方程.例4 是一道行程问题的应用题也与旧教材的这类题有所不同（1）本题中涉及到的列车平均提速v km/h，提速前行驶的路程为s km.用字母表示已知数（量）在过去的例题里并不多见，题目的难度也增加了；（2）例题中的分析用填空的形式提示学生用已知量v、s和未知数x,表示提速前列车行驶s km所用的时间，提速后列车的平均速度设为未知数x km/h，以及提速后列车行驶（x+50）km 所用的时间.这两道例题都设置了带有探究性的分析，应注意鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，让学生经过自己的努力，在克服困难后体会如何探究，教师不要替代他们思考，不要过早给出答案.教材中为学生自己动手、动脑解题搭建了一些提示的平台，给了设未知数、解题思路和解题格式，但教学目标要求学生还是要独立地分析、解决实际问题，所以教师还要给学生一些问题，让学生发挥他们的才能，找到解题的思路，能够独立地完成任务.特别是题目中的数量关系清晰，教师就放手让学生做，以提高学生分析问解决问题的能力.四、例题讲解例3分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率X 工作时间•这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1,工作的时间单位为月”.等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1例4分析：是一道行程问题的应用题,基本关系是：速度=路程.这题用字时间母表示已知数（量）•等量关系是：提速前所用的时间=提速后所用的时间五、随堂练习1. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习•甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个•2. 一项工程要在限期内完成•如果第一组单独做，恰好按规定日期完成；如果第二组单独做，需要超过规定日期4天才能完成，如果两组合作3天后，剩下的工程由第二组单独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是多少天？3. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4 倍，求步行的速度和骑自行车的速度•六、课后练习1 •某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快-，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。
人教版八年级上册数学课件：15.3 分式方程
知识点一 知识点二 知识点三
知识点三 分式方程的应用 列分式方程解应用题的基本思路. (1)审:了解已知量与未知量各是什么; (2)设:设出未知数; (3)找:找出相等关系,列出分式方程; (4)解:解这个分式方程; (5)验:检验,看方程的解是否满足方程和符合题意; (6)答:写出答案. 名师解读 列分式方程解应用题的关键是用分式表示一些基本的 数量关系,列分式方程解应用题一定要验根,还要保证其结果符合 实际意义.
15.3 分式方程
知识点一 知识点二 知识点三
知识点一 分式方程的定义 分母中含未知数的方程叫做分式方程. 名师解读 理解分式方程要注意,所给的式子必须具备三个特 征:(1)含有分母;(2)分母中含有未知数;(3)是方程.
知识点一 知识点二 知识点三
知识点二 分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法 是“去分母”,即方程两边乘最简公分母,这也是解分式方程的一般方 法. (2)解分式方程的一般步骤:
拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四
解两边分别通分,得(������-45)-(������������-3) = (������-25)-(������������-1). 当分子为零,即 5-x=0 时, 解得 x=5; 当分子不为零,而分母相等时,得 (x-4)(x-3)=(x-2)(x-1),解得 x=52, 检验:x=5,x=52时,各分母都不为 0. 故 x=5,x=52都是原分式方程的解.
C.m>-94
D.m>-94且 m≠-34
解析:去分母得 x+m-3m=3x-9,整理得 2x=-2m+9,解得 x=-2���2���+9.
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a
最简公分母 是原分式方程的解；若
x 等于0，则
a
不是原分式方程的解（是分式方程的增根）。
点拨精讲：因为分式方程转化成整式方程后求的解可能是增根，所以
一定要检验。
【预习导学】
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。5分钟
1、教材P152页练习题；
点拨精讲：注意要检验。
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟
探究2
2x m 3 的解是正数，求m来自取值范围。 已知关于x的方程 x2
解：由题意可得，x=6+m ∵此方程的解是正数
6 m 0 ∴ 6 m 2
∴m>－6，且m≠－4.
点拨精讲：要考虑两个条件:一是解是正数，二是解不为2.
【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。5分钟
的分式没有意义，所以 x 1 是整式方程的解，但不是原分式方程的解，这
个分式方程无解。
问题1：你认为在解分式方程的过程中，那一步变形可能引起增根？为什么 会产生增根？
总结归纳：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使 原方程的分母为0，因此应做如下检验——将整式方程的解代入 ， 最简公分母 不为0 如果最简公分母 的值 ，则整式方程的解是原分式方程的解；否则， 这个解不是原分式方程的解，是原分式方程的增根。
【预习导学】
一、自学指导
1、自学1：自学课本P150页“思考”，理解增根的概念及产生的原因，掌握分式
方程验根的方法，完成填空。5分钟 1 2 ①解方程 ，方程两边都乘以( x 1)( x 1) ，得到方程x 1 2，解这 2 x 1 x 1 个一元一次方程得 x 1 ，检验：当 x 1 时，分母 x 1、x 2 1 都为0，相应
第十五章 分 式
15.3 分式方程（2）
【学习目标】
1、进一步熟练地解可化为一元一次方程的 分式方程。 2、使学生理解增根的概念，了解增根产生的 原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方 法。
【学习重、难点】
重点：理解增根的概念及产生的原因，掌握 解分式方程验根的方法。 难点：理解增根的概念及产生的原因。
探究1
m 1 x 3 当m为何值时，分式方程 x 2 2 x 无解？ m 1 x 3 x2 2 x
解：∵
∴ m 2 x 5
∵此分式方程无解
∴x=2 ∴m=1
点拨精讲：先按一般步骤解方程，再将增根x=2代入求m的值
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟
【预习导学】
2、自学2：自学教材P151页“例1、例2、归纳”，掌握解分式方程的方法。5分钟 总结归纳：解分式方程的一般步骤为——1、去分母（乘以最简公分母） 将分式方程转化成整式方程；2、解整式方程得到整式方程的解x a 把整式方程的解 x ， 不等
a
代入 最简公分母
，若 最简公分母
于0，则 x
3、因为分式方程会产生增根，所以一定要检验，检验
的方法是将整式方程的解代入最简公分母检验； 4、分式方程无解可能有去分母后的整式方程无解与整 式方程有解是增根两种情况。
【课堂小结】
（学生总结本堂课的收获与困惑）2分钟
【当堂训练】10分钟
【课后作业】
• 1.P152页练习1题； • 2.完成本节学习辅导达标体验； • 3.预习分式方程的实际应用，了解分式方程 的在实际生活中的应用意义；
1、若分式方程
1 x4 7 有增根，则增根为 x＝3 x 3 3 x
； ；
3 2a 4 2、若方程 无解，则a的值是 x 2 x x( x 2)
3 或1 2
2 2 x 3、解下列分式方程：(1) 1 x2 1 x x 8 1 8 (3) x7 7 x
1 1 x 3 (2) x2 2 x
2x 9 4x 7 (4) 3x 9 x 3 2
点拨精讲：第2小题去分母后得到的整式方程不一定是一元一次方程，所以
要分整式方程无解与整式方程有解是增根两情况讨论，第3题要注意解分式方程 要检验。
【点拨精讲】（3分钟） 1、解分式方程的基本方法是通过去分母将分式方程转化 成整式方程； 2、分式方程产生增根的原因是去分母时两边乘以的最 简公分母的值为0；